李 鑫，趙德雙

(電子科技大學(xué)物理學(xué)院 成都 611731)

隨著物聯(lián)網(wǎng)和5G 時(shí)代的到來，大量的傳感器被集成到人體及其周圍環(huán)境中，使人們的生活更加方便快捷。先進(jìn)的5G 技術(shù)顯著提高了傳感器的無線通信性能，但大多數(shù)傳感器的電源供應(yīng)仍依靠電池或電線，阻礙人們真正地進(jìn)入無線時(shí)代。微波無線傳能（microwave power transmission, MPT）技術(shù)作為一種無線功率傳輸技術(shù)在解決傳感器無線供電問題上具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。發(fā)射陣列與接收天線之間的功率傳輸效率（power transmission efficiency,PTE）是衡量MPT 系統(tǒng)性能的最重要參量之一。在對室內(nèi)傳感器進(jìn)行無線充電時(shí)，傳感器上的接收天線處于發(fā)射天線陣列的近場區(qū)，利用傳統(tǒng)MPT 方法如方向圖綜合法[3-4]和相位補(bǔ)償法[5-6]實(shí)現(xiàn)的PTE較低。近年來，時(shí)間反演（time reversal, TR）作為一種高效無線傳能技術(shù)被應(yīng)用于MPT 系統(tǒng)[7-9]中。然而，TR 相較于傳統(tǒng)MPT 方法在近場PTE 方面的對比研究較少。

為此，本文基于輻射式MPT 場景，利用電磁場理論中的互易定理推導(dǎo)了PTE 的表達(dá)式，并從理論上證明了無論在天線近場區(qū)還是遠(yuǎn)場區(qū)，利用TR 均可實(shí)現(xiàn)最高的PTE。接著利用電磁全波仿真技術(shù)，對基于TR、方向圖綜合法和相位補(bǔ)償法在室內(nèi)近場MPT 場景中實(shí)現(xiàn)的PTE 進(jìn)行計(jì)算和分析，證明了相較于傳統(tǒng)MPT 技術(shù)，TR 可實(shí)現(xiàn)最高的PTE。

1 理論分析

1.1 輻射式MPT 場景中的PTE 理論推導(dǎo)

考慮圖1 所示的輻射式MPT 場景。

圖1 輻射式MPT 場景

圖1 中，假設(shè)區(qū)域A中有一無耗且與其傳輸線阻抗匹配的發(fā)射天線，它的實(shí)輸入功率Pin1由電流源J1和磁流源M1產(chǎn)生。同時(shí)，J1和M1在自由空間中產(chǎn)生的電場為E1，磁場為H1。假設(shè)自由空間無耗，此時(shí)Pin1等于發(fā)射天線在B處的輻射功率P1，即：

式中，上劃線代表復(fù)共軛運(yùn)算。區(qū)域B中有一端接匹配負(fù)載RL的無耗接收天線。根據(jù)接收天線的開路電壓等效模型[10]，接收天線接收的實(shí)功率為：

式中，V表示開路電壓的峰值。

此外，假設(shè)當(dāng)接收天線處于發(fā)射模式時(shí)，接收天線的實(shí)輸入功率Pin2由電流源J2和磁流源M2產(chǎn)生，同時(shí)J2和M2在自由空間中產(chǎn)生的電場為E2，磁場為H2。此時(shí)，開路電壓可由場和源共同表示為：

式中，I2表示接收天線處于發(fā)射模式下的端口電流；S2表示包圍J2和M2的閉合曲面。

由互易定理[11]，V可表示為：

式中，S1表示包圍J1和M1的閉合曲面。此時(shí)，PTE 可表示為：

因Pin1、Pin2均為實(shí)數(shù)，可令Pin1=αPin2，α為實(shí)數(shù)，此時(shí)PTE 可以表示為廣義瑞利商形式[10]：

式中，上標(biāo)T 和H 分別代表轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算；

式中，r、n分別表示ψB的徑向單位向量、曲面S1的法向單位向量；Z0表示自由空間中的波阻抗。

當(dāng)α=1，r·n=1 時(shí)，式(6)中的η 取最大值，此時(shí)J1和M1的最優(yōu)值可表示為：

式中，k為比例系數(shù)：

從式(8)可知，當(dāng)發(fā)射天線的等效電流J1和磁流M1與接收天線在發(fā)射天線處產(chǎn)生的輻射場E2和H2的復(fù)共軛成正比時(shí)，PTE 最高，其值為[10]：

由式(10)可知，當(dāng)區(qū)域A處的曲面S能夠全部接收J(rèn)2和M2產(chǎn)生的電磁波，即S=S1時(shí)，ηopt=1，PTE 可達(dá)100%[10,12]。

現(xiàn)證明利用TR 和單頻正弦激勵(lì)信號(hào)可實(shí)現(xiàn)最大的PTE。仍考慮圖1 所示的輻射式MPT 場景，假設(shè)區(qū)域A中的發(fā)射天線能夠完全接收到來自區(qū)域B中接收天線產(chǎn)生的單頻電磁波，接收到的電場為單頻正弦形式：

式中，Em(r)為振幅，僅為空間坐標(biāo)r的函數(shù)；w為角頻率； φ0是與時(shí)間無關(guān)的初相位。E(r,t)的復(fù)振幅為：

對式(12)作相位共軛操作，得：

式(13)對應(yīng)的時(shí)域信號(hào)為：

同理，式(11)也可用磁場表示為：

式(14)和式(15)表明，具有單頻正弦形式的電場或磁場在相位上的共軛等于在時(shí)間上的反轉(zhuǎn)，即TR[12]。值得注意的是，上述推導(dǎo)均基于普適的電磁場理論，因此由式(8)、式(14)和式(15)可知，無論在天線的近場區(qū)或是遠(yuǎn)場區(qū)，利用TR 和單頻正弦激勵(lì)信號(hào)均可實(shí)現(xiàn)最高的PTE。

1.2 室內(nèi)近場MPT 場景

在實(shí)際的室內(nèi)MPT 場景中，傳感器上的天線位于平面發(fā)射陣列的近場區(qū)，同時(shí)由于傳感器尺寸的限制，單個(gè)傳感器上往往只能配備一個(gè)接收天線用于射頻能量的接收。對此，本文僅討論單個(gè)接收天線正對平面發(fā)射陣列中心時(shí)的MPT 場景，如圖2所示。

圖2 室內(nèi)近場MPT 場景

圖2 中，用于射頻能量發(fā)射的Nx×Ny個(gè)單元的平面發(fā)射陣列放置在xy平面，并取陣列中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。其中，平面發(fā)射陣列的行間距為dx，列間距為dy，第mn個(gè)天線單元Amn的坐標(biāo)為(xm,yn,0)，xm=(2m-Nx+1)d/2，yn=(2n-Ny+1)d/2。正對陣列中心上方放置一個(gè)接收天線用于接收射頻能量，其坐標(biāo)為(0,0,d)，d表示收發(fā)天線間的距離，當(dāng)d發(fā)生改變時(shí)，接收天線形式保持不變。

1.3 MPT 方法及其所需的幅相激勵(lì)

本節(jié)考慮圖2 所示室內(nèi)近場MPT 場景，概述MPT 方法，即TR、傳統(tǒng)MPT 方法（方向圖綜合法和相位補(bǔ)償法）。與此同時(shí)，分析在電磁仿真軟件CST 中仿真時(shí)，各方法所需激勵(lì)的幅度和相位。

1.3.1 TR

基于接收天線與平面發(fā)射陣列間信道互聯(lián)的TR 技術(shù)包含兩個(gè)階段，即信道探測階段和功率傳輸階段[12]。信道探測階段，接收天線發(fā)出單頻正弦信號(hào)，其復(fù)信號(hào)向量為b1，則平面發(fā)射陣列中第k(k=1,2,···,M;M=Nx×Ny)個(gè) 天 線 單 元 接 收 到 的 信號(hào)為：

式中，hk1表示接收天線到第k個(gè)天線單元的信道傳輸系數(shù)。

在功率傳輸階段，對信道探測信號(hào)dk進(jìn)行TR 處理。值得注意的是，dk在時(shí)域上的表現(xiàn)形式為單頻正弦信號(hào)，由1.1 節(jié)可知，此時(shí)的TR處理等效于復(fù)共軛操作。此外，假設(shè)平面發(fā)射陣列擬輸送的能量信號(hào)為c=[c1,c2,···,cM]T，此時(shí)第k個(gè)天線單元的發(fā)射信號(hào)為：

對發(fā)射信號(hào)tk做傅里葉變換，得到其在工作頻點(diǎn)上的幅度Ak和相位 φk。由式(14)和式(15)可知，對 φk進(jìn)行相位共軛后即可實(shí)現(xiàn)單頻連續(xù)正弦波激勵(lì)下的時(shí)間反演。此時(shí)，基于TR 所需單頻連續(xù)正弦波激勵(lì)的幅度為Ak，相位為- φk。

此時(shí)，接收天線接收到穩(wěn)定的單頻連續(xù)正弦波信號(hào)，其在頻域上可以表示為：

式中，h1k表示第k個(gè)天線單元到接收天線的信道傳輸系數(shù)，由信道互易可知，hk1=h1k。此時(shí)由于信道的自相關(guān)特性，平面發(fā)射陣列發(fā)射的電磁波能量大部分匯聚于接收天線處，從而實(shí)現(xiàn)MPT。此時(shí)，在CST 中可以獲得所接收到的單頻連續(xù)正弦波信號(hào)的幅值aM，因此，PTE 可以用下式計(jì)算：

1.3.2 方向圖綜合法

假設(shè)圖2 所示的平面發(fā)射陣列為均勻平面陣，即各單元的激勵(lì)幅度相等。此時(shí)平面陣的波束指向(θ0, φ0)可表示為[13]：

式中，αx、αy分別是沿x和y方向排列的直線陣列的均勻遞變相位。若平面發(fā)射陣列要對接收天線進(jìn)行無線能量傳輸，波束指向應(yīng)為θ0=0，此時(shí)αx=0，αy=0，即基于“方向圖綜合法”所需的激勵(lì)等幅同相。

1.3.3 相位補(bǔ)償法

根據(jù)圖2 所示的平面發(fā)射陣列各單元與接收天線的空間相位關(guān)系，天線單元Amn相對坐標(biāo)原點(diǎn)距離接收天線的補(bǔ)償相位 φmn可表示為：

式中，相位常數(shù)k=2π/λ。此時(shí)，基于“相位補(bǔ)償法”所需的激勵(lì)幅度相等，相位滿足式(22)。

2 電磁仿真實(shí)例

2.1 收發(fā)天線結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

將8×8 個(gè)相同的微帶貼片天線在x、y方向均勻排布組成平面發(fā)射陣列，陣元間距為0.58λ，如圖3a 所示。其中，微帶貼片天線采用同軸饋電線饋電，工作頻率為5.8 GHz（波長λ=5.17cm），如圖3b所示。此外，接收天線也采用相同的微帶貼片天線形式。收發(fā)天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示，介質(zhì)基板的介電常數(shù)εr=3.48，厚度H=0.1 cm。仿真結(jié)果表明，微帶貼片天線在5.8 GHz 處的S11為-19 dB，10 dB 帶寬為0.13 GHz，如圖4 所示。

表1 收發(fā)天線尺寸 m

圖3 收發(fā)天線結(jié)構(gòu)

圖4 微帶貼片天線的S11 仿真結(jié)果

此外，為保證恒定的無線功率傳輸，收發(fā)天線均采用單頻連續(xù)正弦激勵(lì)信號(hào)，時(shí)長以20 ns 為例。

2.2 仿真結(jié)果與分析

在電磁全波仿真中，將2.1 節(jié)設(shè)計(jì)的收發(fā)天線結(jié)構(gòu)應(yīng)用于圖2 所示的室內(nèi)近場MPT 場景中。同時(shí)，為對比TR 相較于傳統(tǒng)MPT 方法如方向圖綜合法和相位補(bǔ)償法在近場無線傳能中的優(yōu)勢，利用電磁仿真技術(shù)，分別基于“TR”“方向圖綜合法”和“相位補(bǔ)償法”計(jì)算PTE 隨收發(fā)距離d(d=1～15λ)的變化情況，如圖5 所示。

圖5 PTE 隨收發(fā)距離d 的變化情況

圖5 中，根據(jù)有限尺寸天線的場區(qū)劃分原則，當(dāng)d<10.4λ、10.4λ

此外，為直觀解釋圖5 中利用TR 在近場區(qū)可實(shí)現(xiàn)最高PTE 的原因，計(jì)算z=d處的觀測平面（24 cm×24 cm）上的歸一化電場分布，如圖6 所示。圖6a、6b、6c 為基于方向圖綜合法的歸一化電場分布圖，圖6d、6e、6f 基于相位補(bǔ)償法，圖6g、6h、6i 基于TR。

圖6 z=d 平面處的歸一化電場分布圖

根據(jù)功率下降1/2 的聚焦斑半徑計(jì)算原則，計(jì)算觀測平面中心處的聚焦斑，聚焦斑在x、y方向上的尺寸如圖7 所示。圖7 中，在d＞11λ 時(shí)，中心聚焦斑大于觀測平面在y方向上的尺寸，圖中以24 cm 計(jì)。

圖7 x 或y 向的聚焦斑尺寸隨d 的變化曲線

圖5、圖6 和圖7 表明，基于“方向圖綜合法”在d為1～4λ 時(shí)觀測平面處的電場分布較為均勻，沒有在觀測面中心形成明顯的聚焦斑，這將導(dǎo)致接收天線接收的電磁波能量較少，使得PTE 很低。在d為5～15λ 時(shí)，觀測平面中心處的聚焦斑尺寸此時(shí)，由于聚焦斑尺寸遠(yuǎn)大于接收天線有效口徑，導(dǎo)致大部分電磁能量無法被接收天線接收，使得PTE 也很低。

此外，在d=1λ 時(shí)，基于“TR”和“相位補(bǔ)償法”的觀測平面處的中心聚焦斑接近于接收天線尺寸（3 cm×3 cm），但基于“相位補(bǔ)償法”的中心聚焦斑周圍的副瓣較大，因此基于“相位補(bǔ)償法”的PTE 較低。

物理機(jī)制上，在近場區(qū)，接收天線與平面發(fā)射陣列之間的互耦較強(qiáng)，導(dǎo)致利用相位補(bǔ)償法補(bǔ)償?shù)目臻g相位會(huì)有較大的誤差，使得平面發(fā)射陣列各單元發(fā)射的電磁波信號(hào)不完全在接收天線處同向疊加，導(dǎo)致PTE 降低；而TR 僅考慮收發(fā)天線間的完整的傳輸信道，包含了天線間的互耦合鄰近效應(yīng)，即僅考慮發(fā)射波與接受波之間的相位關(guān)系，因此相位準(zhǔn)確度高，PTE 較高。此外，隨著d的增大，基于“TR”“方向圖綜合法”和“相位補(bǔ)償法”在觀測平面處的中心聚焦斑尺寸逐漸大于接收天線尺寸，接受天線僅能接收到一部分電磁場能量，使得PTE 逐漸降低。

3 結(jié) 束 語

本文基于互易定理推導(dǎo)了輻射式MPT 場景中PTE 的最優(yōu)解并證明了基于TR 可實(shí)現(xiàn)最高的PTE。同時(shí)，通過電磁仿真實(shí)例驗(yàn)證了在室內(nèi)近場MPT 場景中，相較于傳統(tǒng)的MPT 技術(shù)如方向圖綜合法和相位補(bǔ)償方法，利用TR 可實(shí)現(xiàn)最高的PTE。