文 高沖

作為數(shù)學(xué)的一種基本思想，模型思想是連接數(shù)學(xué)和外部世界的橋梁，對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)以及學(xué)生的發(fā)展都具有重要意義。數(shù)學(xué)建模是一種人類認(rèn)識(shí)和改造自然的方法論，是解決數(shù)據(jù)“爆炸”的有效手段之一。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在要求，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的重要體現(xiàn)。新加坡數(shù)學(xué)倡導(dǎo)的CPA（concretpictorial-abstract，具象-形象-抽象）教學(xué)法為我們提供了思路和方法，從平面模型到立體建模，用模型賦能素養(yǎng)，在課程與素養(yǎng)之間架設(shè)了一座橋梁。

一、體驗(yàn)式感悟：CPA 模型圖的應(yīng)用價(jià)值

建模是新加坡數(shù)學(xué)CPA 教學(xué)法的核心。從一個(gè)具象的蘋果到形象的圖形再到抽象的數(shù)字1，學(xué)生可以用多種圖形（可以是一條線段、一個(gè)方塊，等等）來(lái)適應(yīng)乃至學(xué)會(huì)形象化或符合化表達(dá)。在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，逐漸形成和完善抽象的數(shù)學(xué)思維能力。

下面是一個(gè)用模型圖法求解應(yīng)用題的實(shí)例。

如圖1，如果一把尺子和2 支鉛筆共需140 分，而一把尺子價(jià)格又比一支鉛筆多20 分，求一把尺子的價(jià)格是多少分？

從模型圖中可以看出，3 個(gè)格子=140 分-20 分=120 分，1 個(gè)格子=120 分÷3=40 分。

所以一把尺子的價(jià)錢=40 分+20 分=60 分。

模型圖法通過(guò)思維可視化的方式，更容易幫助學(xué)生快速找到實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的正確思路（如圖2）。

圖2

模型圖的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)具體表現(xiàn)。概括起來(lái)說(shuō)，CPA 模型圖的應(yīng)用價(jià)值體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 圖像化的方式對(duì)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)很有幫助

從具象、形象再到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論。

2. 畫模型圖能夠幫助學(xué)生真正地理解題目，讓思維可見(jiàn)

讓學(xué)生改變思維方法，學(xué)會(huì)用圖式法思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性。

3.平常解題時(shí)多用模型圖，更利于理解和思考

解決問(wèn)題時(shí)，盡量讓學(xué)生堅(jiān)持畫模型圖，一旦形象化思維變得自然而然的時(shí)候，就將內(nèi)化為一種重要的思維方式，當(dāng)熟練到即使不畫圖，頭腦中也會(huì)產(chǎn)生類似的一種思考模型圖，在遇到更高階的抽象問(wèn)題時(shí)，也會(huì)了然于胸。

4. 學(xué)好模型圖可以為培養(yǎng)建模素養(yǎng)打下基礎(chǔ)

模型圖將數(shù)學(xué)拉回到現(xiàn)實(shí)生活，通過(guò)代數(shù)思想形象化，在真實(shí)情境中解決真實(shí)問(wèn)題，為培育建模素養(yǎng)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、類型化明晰：CPA 模型圖的常見(jiàn)樣態(tài)

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)主要特點(diǎn)是充滿了“方格”圖，被稱為“模型圖”，這種并不復(fù)雜的“模型圖”是建立深層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知的生動(dòng)手段。從教學(xué)內(nèi)容設(shè)置到教材體現(xiàn)，“模型圖”其實(shí)就是CPA 模型的最形象表達(dá)。

數(shù)學(xué)知識(shí)的具象-形象-抽象的發(fā)展模型，是需要著重強(qiáng)調(diào)的課程實(shí)施方式。如下圖：

CPA 三角模型

小學(xué)低年級(jí)要盡量多提供一些動(dòng)手操作活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的具體實(shí)踐經(jīng)歷。小學(xué)中年級(jí)則要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的表象經(jīng)歷。而到了小學(xué)高年級(jí)，就要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象概念。對(duì)于其中某個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也應(yīng)該遵循從動(dòng)手活動(dòng)出發(fā)到逐漸發(fā)展表象經(jīng)歷，到最后逐漸抽象表達(dá)出數(shù)學(xué)概念的一般模式發(fā)展。

從數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)論出發(fā)，CPA 模型在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解中具備媒介的作用。數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)論指出，數(shù)字通過(guò)特定的信息體系來(lái)標(biāo)識(shí)和編碼信息。這些標(biāo)志本身并沒(méi)有任何價(jià)值，因?yàn)榉?hào)意義的形成必須要通過(guò)所感知的客觀物體或者通過(guò)在適當(dāng)?shù)膮⒄窄h(huán)境中形成一種媒介才能完成。而這種媒介又不完全是主觀的或者任意的，為了把符號(hào)變成真正的數(shù)學(xué)符號(hào)，和參照對(duì)象相互之間聯(lián)系的同時(shí)，又取決于數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)時(shí)的認(rèn)識(shí)環(huán)境。

數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)論模型

認(rèn)識(shí)論的三角模型就代表著一種關(guān)系模型，其中，數(shù)學(xué)思想的價(jià)值并不能夠僅僅由某個(gè)角“演繹”出來(lái)，而是需要在各個(gè)“角”間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)。而符號(hào)與現(xiàn)實(shí)之間的思想一方面是由關(guān)系規(guī)則盡可能精確地界定；另一方面，對(duì)于現(xiàn)實(shí)的定義則又受社會(huì)協(xié)議影響?；诖?，在符號(hào)與現(xiàn)實(shí)之間的思想建立也就受到了基于規(guī)則的概念與社會(huì)協(xié)商之間的作用。在思想形成過(guò)程中的意義創(chuàng)造，有客觀的一面，也有主觀的一面。如果說(shuō)符號(hào)和現(xiàn)實(shí)之間形成了同一種數(shù)學(xué)思想，則必然是一種超越思想的處于符號(hào)和現(xiàn)實(shí)中間的產(chǎn)生式媒介。

CPA 模型正是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的良好認(rèn)識(shí)工具，可以發(fā)揮超越思維，介于符號(hào)形式和實(shí)物中間的產(chǎn)生式媒介作用。它能潛在地構(gòu)建數(shù)學(xué)概念建立所需要的基礎(chǔ)理論。

“模型圖”法是為了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的問(wèn)題解決，最直接體現(xiàn)CPA 模型的一種直觀的教學(xué)方法。這一教學(xué)方法的實(shí)質(zhì)在于充分利用CPA 模型中的“具體化”和“表征”作用來(lái)提高對(duì)抽象關(guān)系的理解能力，進(jìn)而提高問(wèn)題解決能力，這恰恰有利于解決小學(xué)低年級(jí)學(xué)生解答應(yīng)用題困難的現(xiàn)實(shí)難題。小學(xué)低年級(jí)學(xué)生解應(yīng)用題困難的主要原因是不容易把握題目中抽象的數(shù)量關(guān)系。而“模型圖”教學(xué)法，通過(guò)數(shù)學(xué)思維可視化的方法，幫助學(xué)生更快地理解題目中的數(shù)量關(guān)系，從而找到問(wèn)題解決的正確路徑。

常見(jiàn)的“模型圖”主要有三種類型，即“部分-整體模型”“比較模型”以及“變化模型（也叫之前-之后模型）”。

“部分-整體模型”是為了描述一個(gè)總體被分為若干個(gè)部分的情況，一般用下圖表示：

如果各部分的數(shù)量是已知的，則可以用加法得到整個(gè)的數(shù)量;如果整體和某個(gè)部分的數(shù)量是已知的，可以用減法得到剩余部分的數(shù)量。

“比較模型”主要是為了說(shuō)明兩個(gè)或幾個(gè)量多和少的情況，如下圖所示，有A 和B 兩個(gè)量，我們可以利用其中的差（加法的比較）或商（乘法的比較）來(lái)進(jìn)行對(duì)比。反之，如果它們之間的差或商是已知的，通過(guò)一個(gè)已知量也可以算出另一個(gè)量。

“變化模型”是一種表示增加或減小后的量和原有數(shù)量間的關(guān)系，如下圖，有兩個(gè)量A 和B，從A 中減去C 并加入到B 中，這樣跟原來(lái)數(shù)量相比，A 減少了C，而B(niǎo) 則增加了C。

這幾種模型都可以用來(lái)解決與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比例等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

“模型圖”是在學(xué)生對(duì)部分-整體關(guān)系認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的?？ㄍㄊ降摹澳Ｐ蛨D”通常在一年級(jí)和二年級(jí)中使用，通過(guò)一些類似實(shí)物的圖片，對(duì)算術(shù)應(yīng)用題中的信息進(jìn)行圖形建模。后來(lái)，為了增加抽象程度，用一個(gè)矩形取代了圖片。從三年級(jí)開(kāi)始，他們就學(xué)會(huì)了用適當(dāng)大小的矩形方格來(lái)表示問(wèn)題中的具體信息。這一直觀啟發(fā)式的教學(xué)方法，一直圍繞在小學(xué)五年級(jí)和六年級(jí)的分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)和比例應(yīng)用題上，成為大多數(shù)學(xué)生解決稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題不可或缺的方法。

三、支架式搭建：CPA 模型圖的實(shí)施路徑

畫模型圖的方法在解決具體情境中的真實(shí)問(wèn)題時(shí)非常有用，借助模型圖，更便于整理題目中的有效信息，通過(guò)讓數(shù)量關(guān)系以數(shù)學(xué)思維可視化的方式使學(xué)生能夠快速地抓住問(wèn)題中的關(guān)聯(lián)信息，從而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的路徑。

1.創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，初步感知數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)既來(lái)源于日常生活，也服務(wù)于日常生活，所以要把現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的內(nèi)容及時(shí)引入到課堂教學(xué)中，并把書本上的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生日常生活中熟悉的例子進(jìn)行對(duì)接，用情境再現(xiàn)的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，由此說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)生的背景。而情境的設(shè)計(jì)又應(yīng)與社會(huì)的基本現(xiàn)實(shí)、社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題、自然科學(xué)以及與數(shù)學(xué)問(wèn)題密切相關(guān)的各種因素相結(jié)合，使學(xué)生覺(jué)得真實(shí)、新穎，以適應(yīng)他們新奇、好動(dòng)的心理特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)已有的知識(shí)體驗(yàn)，讓他們用積累的體驗(yàn)來(lái)體會(huì)其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而幫助他們把知識(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)理現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的存在。

2.通過(guò)組織探究，抽象本質(zhì)，自主完成模型的建立

通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)向抽象數(shù)學(xué)模型有效轉(zhuǎn)換，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)所在。但需要指出的是，具體生動(dòng)的情境問(wèn)題僅僅給學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建立創(chuàng)造了機(jī)會(huì)，而一旦忽略由具體到抽象的研究過(guò)程的組織探究，那就不能稱之為模型。

3.重視模型意識(shí)培養(yǎng)，優(yōu)化方法，提煉建模的流程

數(shù)學(xué)教學(xué)中，不管是概念的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)還是問(wèn)題的解決，核心問(wèn)題都在于模型意識(shí)的培養(yǎng)，要在不斷對(duì)比、感悟中，優(yōu)化模型圖的方法，提煉數(shù)學(xué)建模的流程，這也是CPA 模型實(shí)踐操作的靈魂所在。

4.通過(guò)還原生活，變換場(chǎng)景，擴(kuò)大模型的空間外延

人的認(rèn)知過(guò)程，是由感性到理性再回到感性這樣一個(gè)循環(huán)反復(fù)、螺旋向上的過(guò)程。真實(shí)情境中的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)抽象提取后初步建立起具體化的模型，這不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的結(jié)束，還要讓學(xué)生將已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型回歸到實(shí)際生活中，通過(guò)變換生活場(chǎng)景，變化情境，使已形成的模型進(jìn)一步得到拓展與提升。

CPA 模型圖在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合的一種體現(xiàn)，同時(shí)也是學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)的基本方法，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)起了關(guān)鍵的作用。