郝鴻浩，賴 欣，韓盛欣來，張小飛

南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京210016

波達(dá)方向（direction of arrival,DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要內(nèi)容，在無線通信、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)影像、聲納等方面有著重要的應(yīng)用[1]。多輸入多輸出（multiple input multiple output,MIMO）雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)，與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO 雷達(dá)具有更好的空間分辨率和參數(shù)的可識(shí)別性，在陣列信號(hào)處理方面引起了廣泛的重視[2]。起初，針對(duì)MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)的研究建立在均勻線陣上，利用子空間算法，如多重信號(hào)分類（multiple signal classification,MUSIC）[3]或旋轉(zhuǎn)不變性（estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT）[4]方法實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)。但是均勻線陣的陣元間距為半波長(zhǎng)或小于半波長(zhǎng)，不僅限制了陣列孔徑，而且會(huì)導(dǎo)致DOA 估計(jì)的自由度受制于實(shí)際物理陣元的數(shù)量。

稀疏陣列MIMO 雷達(dá)在提升陣列的自由度、降低陣元間互耦和系統(tǒng)成本等方面有著巨大的優(yōu)勢(shì)[5]，常見的稀疏陣列包括最小冗余陣[6]、嵌套陣[7]和互質(zhì)陣[8]，稀疏陣列MIMO 雷達(dá)對(duì)提高DOA 估計(jì)的精確度和角度分辨力有著重要的研究?jī)r(jià)值。最小冗余陣MIMO 雷達(dá)[9]的發(fā)射陣列和接收陣列均采用最小冗余陣，然而最小冗余陣沒有閉式解，一般采用窮舉法確定其物理陣元的位置，其計(jì)算復(fù)雜度高，在實(shí)際工程中難以運(yùn)用；嵌套陣MIMO 雷達(dá)[10]的發(fā)射陣列和接收陣列均采用嵌套陣，然而嵌套陣MIMO 雷達(dá)存在密布陣，而密布陣受互耦影響較大，從而降低了DOA 估計(jì)的性能；互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)[11]的發(fā)射陣列和接收陣列均采用互質(zhì)陣，雖然互質(zhì)陣的互耦更小，但是互質(zhì)陣的兩個(gè)子陣間是相互交錯(cuò)分布的，交錯(cuò)分布的子陣同樣易受到互耦的影響，也會(huì)降低DOA 估計(jì)的性能。

互質(zhì)陣在進(jìn)行DOA 估計(jì)時(shí)的優(yōu)勢(shì)在于存在閉式解，并且互耦效應(yīng)也優(yōu)于嵌套陣，而不足之處在于接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中連續(xù)自由度低，對(duì)此學(xué)者們進(jìn)行了大量研究與改進(jìn)。最簡(jiǎn)單的方法是將一個(gè)子陣的陣元數(shù)加倍，其他條件不變，這種陣型稱為增廣互質(zhì)陣（augmented coprime array,ACA）[12]。隨后又出現(xiàn)了廣義互質(zhì)陣（generalized coprime array,GCA）[13]，具體分為兩種：一種是將一個(gè)子陣的陣元間距壓縮，這種陣型稱為CACIS (coprime array with compressed inter-elemment spacing)，且壓縮因子越大，連續(xù)自由度越高；另一種是將一個(gè)子陣移至距另一個(gè)子陣一定距離的位置，這種陣型稱為CADiS (coprime array with displaced subarrays)，該陣列雖然不能增加自由度，但是解決了子陣陣元交錯(cuò)帶來的高互耦的問題。后來提出的展開互質(zhì)陣（unfolded coprime array,UCA）[14]，也可以看成CADiS 的一種特殊形式，它實(shí)際上就是將互質(zhì)陣的兩個(gè)子陣按照相反方向分開放置。隨著互質(zhì)陣的不斷改進(jìn)與發(fā)展，如何利用互質(zhì)陣實(shí)現(xiàn)高分辨率的MIMO 雷達(dá)成為了近年來的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[11] 設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)在收發(fā)兩端分別部署互質(zhì)陣，實(shí)現(xiàn)了入射角和發(fā)射角的聯(lián)合估計(jì)，是一種最經(jīng)典的互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)，其互耦效應(yīng)和自由度有待于進(jìn)一步優(yōu)化。文獻(xiàn)[2] 設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)在收發(fā)兩端部署增廣互質(zhì)陣，在發(fā)射端引入擴(kuò)展因子α，進(jìn)一步擴(kuò)大了發(fā)射陣列的孔徑，有效提升了DOA 估計(jì)的自由度，降低了發(fā)射陣元間的互耦，并且詳細(xì)推導(dǎo)出了MIMO 雷達(dá)的閉式解，但是并沒有解決接收陣列中子陣交錯(cuò)的問題。文獻(xiàn)[1] 首次將展開互質(zhì)陣與MIMO雷達(dá)相結(jié)合，在陣列中沒有相近陣元的前提下實(shí)現(xiàn)了一定的連續(xù)自由度，降低了互耦的影響，但是文中提出的MIMO 雷達(dá)沒有引入擴(kuò)展因子，所以在自由度方面遠(yuǎn)不及文獻(xiàn)[2] 所提出的MIMO 雷達(dá)。文獻(xiàn)[15] 提出了一種基于互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的酉ESPRIT 算法，它將互質(zhì)陣的兩個(gè)子陣分別作為收發(fā)陣列，陣列結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而且不存在相近陣元，不需要進(jìn)行空間平滑即實(shí)現(xiàn)了高精度的DOA 估計(jì)，其缺點(diǎn)是自由度低。文獻(xiàn)[16] 系統(tǒng)分析了稀疏陣列MIMO 雷達(dá)設(shè)計(jì)規(guī)律，并提出了一種名為SA-FIS (sparse arrays with flexible inter-element spacing) 的雷達(dá)設(shè)計(jì)方式，它在收發(fā)陣列中分別引入了互質(zhì)的擴(kuò)展因子提高了陣元間距，其優(yōu)點(diǎn)是陣列的設(shè)計(jì)更加靈活，不受制于陣元個(gè)數(shù)的限制，獲得了更多的自由度同時(shí)降低了互耦的影響，缺點(diǎn)是連續(xù)自由度低，需要較為復(fù)雜的算法進(jìn)行DOA 估計(jì)。

為了進(jìn)一步降低MIMO 雷達(dá)陣列互耦影響，并提高連續(xù)自由度，本文利用稀疏擴(kuò)展因子對(duì)展開增廣互質(zhì)陣列進(jìn)行擴(kuò)展，提出了展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)結(jié)構(gòu)。本文的貢獻(xiàn)總結(jié)如下：1）通過引入稀疏擴(kuò)展因子，使展開增廣互質(zhì)陣列的子陣的陣元間隔得到擴(kuò)展，提出了展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)。2）通過對(duì)展開增廣互質(zhì)陣列MIMO 雷達(dá)的廣義和差聯(lián)合陣列（generalized sum and different co-array,GSDC）[17]進(jìn)行分析，詳細(xì)推導(dǎo)出了連續(xù)自由度和總自由度的閉式解。3）通過性能分析與仿真結(jié)果驗(yàn)證了展開增廣互質(zhì)陣列MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)上的優(yōu)勢(shì)。

1 信號(hào)模型

根據(jù)廣義和差聯(lián)合陣列的概念[16]，一個(gè)MIMO 雷達(dá)最終得到的虛擬陣列既可以看成收發(fā)陣列差陣的和陣列，也可以看成收發(fā)陣列和陣的差陣列。差聯(lián)合陣列定義為一個(gè)陣列中任意元素與任意元素之間所有不同的差，用公式可以表示為Sdc={u-u′,u,u′∈Su}，其中Su表示一個(gè)陣列中陣元的實(shí)際位置[18]；和聯(lián)合陣列定義為一個(gè)陣列中任意元素與另一個(gè)陣列中任意元素之間所有不同的和，用公式可以表示為Ssc={u1+u2,u1∈S1;u2∈S2}，其中S1和S2分別表示收發(fā)陣列中陣元的實(shí)際位置[18]。MIMO 雷達(dá)的一個(gè)重要優(yōu)勢(shì)就是可以利用和差聯(lián)合陣列來擴(kuò)展陣列結(jié)構(gòu)，提高自由度。

如圖1(a) 所示，考慮一個(gè)稀疏布陣的MIMO 雷達(dá)，它的發(fā)射陣元數(shù)N=3，陣元間距為半波長(zhǎng)，接收陣元數(shù)M=2，陣元間距為3 倍的半波長(zhǎng)，并且收發(fā)陣列相近放置，所以遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)相對(duì)于收發(fā)陣列的角度是相同的。假設(shè)空間中有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相干目標(biāo)，第k(k=1,2,···,K) 個(gè)目標(biāo)的角度為θk，發(fā)射與接收目標(biāo)的角度集合分別為ST和SR，其中，ST={dt1,dt2,···,dtN，SR={dr1,dr2,···,drM}。

圖1 稀疏陣列MIMO 雷達(dá)以及產(chǎn)生的虛擬陣列Figure 1 Sparse array MIMO radar and its virtual array

MIMO 雷達(dá)的回波信號(hào)模型可以表示為[13]

式中：s(t)=[s1(t),s2(t),···,sK(t)]T∈CK×1，sK(t) 是第K個(gè)目標(biāo)的反射系數(shù)；n(t)∈CMN×1是接收信號(hào)中的加性高斯白噪聲，高斯白噪聲均值為0，方差為；A=At⊙Ar，At=[at(θ1),at(θ2),···,at(θk)]，Ar=[ar(θ1),ar(θ2),···,ar(θk)]，?和⊙分別表示Kronecker 積和Khatri-Rao 積，at(θk) 和ar(θk) 分別為第k個(gè)目標(biāo)的發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量，具體可以表示為

式中：λ為波長(zhǎng)。根據(jù)式(1)，矩陣A=At⊙Ar的虛擬陣元位置由收發(fā)陣列的和陣組成，如圖1(b) 所示，可以用集合P表示，P={nMd0+mNd0|0 ≤n≤N-1,0 ≤m≤M-1}，d0為陣元間的單位間距。

接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣可以表示為[2]

式中：I表示單位矩陣；Rs=E[s(t)sH(t)]=為目標(biāo)協(xié)方差矩陣；diag()表示對(duì)角化；σ2K為第k個(gè)目標(biāo)的信號(hào)能量。實(shí)際中，通常通過L個(gè)有限的快拍數(shù)獲得協(xié)方差矩陣

向量化協(xié)方差矩陣Rx可得[13]

式中：k=1,2,···,K。

根據(jù)協(xié)方差矩陣的性質(zhì)可知，矩陣A0=A?⊙A的虛擬陣元位置由集合P的差陣組成，可以用公式表示為：SP={u-u′|u,u′∈P}。因?yàn)榧螾代表了收發(fā)陣列的和聯(lián)合陣列，所以結(jié)合式(7) 可知集合SP代表了收發(fā)陣列產(chǎn)生的和差聯(lián)合陣列，如圖1(c) 所示，即MIMO雷達(dá)最終能夠產(chǎn)生的虛擬陣列的位置。

2 展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)

2.1 展開增廣互質(zhì)陣列

互質(zhì)陣是由陣元數(shù)和陣元間距均互質(zhì)的兩個(gè)稀疏線陣組成的[8]，它的優(yōu)勢(shì)在于存在閉式解，互耦效應(yīng)比嵌套陣更小，缺點(diǎn)是差聯(lián)合陣列得到的連續(xù)虛擬陣列數(shù)目少，即連續(xù)自由度低。增廣互質(zhì)陣是在互質(zhì)陣的基礎(chǔ)對(duì)一個(gè)稀疏線陣的陣元間距進(jìn)行壓縮或者將一個(gè)稀疏線陣的陣元數(shù)加倍，其他條件不變，保持陣元數(shù)和陣元間距的互質(zhì)關(guān)系[12]。增廣互質(zhì)陣可以提高連續(xù)自由度，提高角度分辨率，但是增大了一些互耦影響。兩者DOA 估計(jì)的性能相近，圖2給出了陣元數(shù)為6 時(shí)互質(zhì)陣和增廣互質(zhì)陣的結(jié)構(gòu)，陣列的孔徑大小均為9。

圖2 互質(zhì)陣和增廣互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)Figure 2 Structure of co-prime array and augmented co-prime array

展開增廣互質(zhì)陣實(shí)際上就是將傳統(tǒng)互質(zhì)陣的兩個(gè)子陣按照相反方向展開排序[19]，展開增廣互質(zhì)陣不僅增大了陣列的物理孔徑，而且有效解決了子陣交錯(cuò)的問題，降低了互耦的影響，但同時(shí)也降低了陣列的連續(xù)自由度，所以不能用常規(guī)的子空間算法直接進(jìn)行DOA 估計(jì)。圖3給出了陣元數(shù)為6 時(shí)展開增廣互質(zhì)陣的結(jié)構(gòu)，它的陣列孔徑進(jìn)一步擴(kuò)大達(dá)到13。根據(jù)之前的介紹，MIMO 雷達(dá)的重要優(yōu)勢(shì)是可以利用和差聯(lián)合陣列擴(kuò)展虛擬陣列的結(jié)構(gòu)提高自由度，因此將展開增廣互質(zhì)陣與MIMO 雷達(dá)結(jié)合，能夠兼顧低互耦和高自由度，充分利用展開增廣互質(zhì)陣低互耦的優(yōu)點(diǎn)，并且利用MIMO 雷達(dá)的特點(diǎn)彌補(bǔ)了其自由度低的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[2] 將擴(kuò)展因子α引入到了發(fā)射陣列中，充分利用了陣列的稀疏性，進(jìn)一步提高了DOA 的自由度。在此基礎(chǔ)上，本文同樣引入了擴(kuò)展因子α，并且將擴(kuò)展因子同時(shí)引入到了發(fā)射陣列和接收陣列中，進(jìn)一步提高了自由度降低了互耦。

圖3 展開增廣互質(zhì)陣結(jié)構(gòu)Figure 3 Structure of unfolded augmented co-prime array

2.2 展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)

如圖4 所示，考慮一個(gè)單基地展開增廣互質(zhì)陣列MIMO 雷達(dá)。展開增廣互質(zhì)陣列由2 個(gè)子陣組成，子陣1 包含N個(gè)陣元，子陣2 包含2M個(gè)陣元，兩者互不交叉，并且共用一個(gè)陣元，所以收發(fā)陣列均由2M+N-1 個(gè)陣元組成，其中，M和N為互質(zhì)數(shù)，且M

圖4 展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)結(jié)構(gòu)示意圖Figure 4 Configuration of unfolded augmented co-prime MIMO radar

若將互質(zhì)陣2 個(gè)子陣的共用陣元記為原點(diǎn)，則發(fā)射陣列的陣元位置集合Lt為

同樣，接收陣列的陣元位置集合Lr為

根據(jù)以上分析，單快拍接收矢量z的虛擬陣元的集合SDCSC可以表示為

這里，SDCSC通過收發(fā)陣列差陣的和聯(lián)合陣列計(jì)算得到的。集合SDCSC具有如下性質(zhì)[2]：

性質(zhì)1

1）lt-和lr-是對(duì)稱的，因此，SDCSC也是對(duì)稱的。

2）lt-的差值包含兩個(gè)子陣各自的自差(Mn-MnorαMn-αNm) 和兩個(gè)子陣間的互差±(αNm+Mn)。因?yàn)樽圆钍前诨ゲ钪械?，所以我們可以使用?αNm1+Mn1)來表示lt-；同樣，我們也可以使用±(Nm2+αMn2) 來表示lr-，其中，0 ≤n1，n2≤N-1，0 ≤m1，m2≤2M-1。

最終，集合SDCSC還可表示為

2.3 展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)的自由度

因?yàn)榧蟂DCSC具有對(duì)稱性，所以下文以正向虛擬陣元為例，來證明雷達(dá)能夠?qū)崿F(xiàn)的自由度，令集合L1={α(Nm1+Mn2)+(Mn1+Nm2)|0 ≤m1,m2≤2M-1,0 ≤n1,n2≤N-1}，其中M，N是互質(zhì)數(shù)，α=2MN是擴(kuò)展因子，L1具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)2

1）集合L1的連續(xù)虛擬陣元的范圍為[2MN(MN-M-N+2),(2MN)2-1]。

2）集合L1中大于(2MN)2的非連續(xù)虛擬陣元數(shù)在M>2 時(shí)，為(2MN+1)[(M-2)(N-1-/)+2]，·表示向上取整，在M=2 時(shí)為(2MN+1)。

證明：

首先，證明Nm+Mn，滿足0 ≤m≤2M-1，0 ≤n≤N-1，M和N是互質(zhì)數(shù)，具有如下性質(zhì)。

①有2MN個(gè)不同的整數(shù)，因?yàn)镸和N的互質(zhì)性使得m和n不同時(shí)，Nm+Mn的值必然不同。

②0 ≤Nm+Mn≤3MN-M-N。

③不存在距離相差2MN的兩個(gè)點(diǎn)，即不存在m1,m2∈[0,2M-1]，n1,n2∈[0,N-1]，使得Nm1+Mn1-(Nm2+Mn2)=±2MN。

假設(shè)存在m1,m2和n1,n2使得Nm1+Mn1-(Nm2+Mn2)=2MN。將等式兩端同時(shí)除以M，得N(m1-m2)/M+(n1-n2)=2N，其中N(m1-m2)/M只有當(dāng)m1-m2取到±M時(shí)的值為整數(shù)，即±N。那么(n1-n2)=-N，3N，這與n1-n2∈[1-N,N-1] 相矛盾，所以不存在相距2MN的兩個(gè)點(diǎn)。

④Nm1+Mn1在[MN-M-N+1,2MN-1]連續(xù)，(-2MN+Nm2+Mn2)∪(Nm1+Mn1) 在[0,2MN-1] 連續(xù)。

由③可以推斷出mod(Nm+Mn,2MN) 也具有2MN個(gè)不同的整數(shù)，所以mod(Nm+Mn,2MN)包含從0 到2MN-1 的所有整數(shù)，mod(·)表示取余數(shù)。說明Nm+Mn中所有在[2MN,3MN-M-N] 的數(shù)都可以減去2MN來填補(bǔ)Nm+Mn自身在[0,2MN-M-N]范圍中所有的孔洞，即(-2MN+Nm2+Mn2)∪(Nm1+Mn1) 在[0,2MN-1] 連續(xù)。同樣也說明，Nm+Mn在[MN-M-N+1,2MN-1] 上是連續(xù)的。

⑤M>2 時(shí)，有(M-2)(N-1-/)+2 個(gè)大于2MN的數(shù)，M=2 時(shí)，僅有1 個(gè)大于2MN的數(shù)。

圖5 中三角形陰影區(qū)域S1為直線Nm+Mn=2MN,n=N-1 和m=2MN-1圍成的區(qū)域，陰影部分代表了在0 ≤m≤2M-1，0 ≤n≤N-1 的前提下，所有滿足Nm+Mn>2MN的數(shù)的集合，實(shí)際中我們只需要考慮其中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)。A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(N/M,2M-1)、(N-1,2M-1)、(N-1,M+M/N)，由于M和N的互質(zhì)性，所以三角形的對(duì)角線上不存在整數(shù)點(diǎn)，陰影區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn)的數(shù)目Snum可以將線段AB和線段BC向下取整后利用面積求得[13]，當(dāng)陰影面積為不為0 時(shí)Snum為線段AB和線段BC向下取整后的長(zhǎng)度之積加2，即Snum=(M-2)(N-1-/)+2，若陰影面積為0，則Snum為線段AB和線段BC向下取整后的長(zhǎng)度之和，即M=2 時(shí)，Snum=1。

圖5 三條直線所圍成的陰影區(qū)域S1Figure 5 Shaded region S1 surrounded by three lines

因?yàn)榧螸1={α(Nm1+Mn2)+(Mn1+Nm2)}，根據(jù)④可知，L1在[α(MN-M-N+2),α(2MN-1)+2MN-1] 上是連續(xù)的，即集合L1的連續(xù)虛擬陣元的范圍為[2MN(MN-M-N+2),(2MN)2-1]。根據(jù)⑤可知，在M>2 時(shí)陰影面積不為0，集合L1中大于(2MN)2的虛擬陣元數(shù)為(2MN+1)[(M-1)(N-1-/)+2]，當(dāng)M=2 時(shí)，集合L1中大于(2MN)2的虛擬陣元數(shù)為(2MN+1)。證畢

令集合L2={α(Nm1-Mn2)-(Nm2-Mn1)|0 ≤m1,m2≤2M-1,0 ≤n1,n2≤N-1}，L2具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)3集合L2的連續(xù)虛擬陣元范圍為[0,2MN(MN+M-1)]。

證明：

首先，Nm-Mn即為互質(zhì)陣的差陣，滿足0 ≤m≤2M-1，0 ≤n≤N-1，M和N是互質(zhì)數(shù)，具有如下性質(zhì)[8]。

①有2MN個(gè)不同的整數(shù)；

②-M(N-1)≤Nm-Mn≤N(2M-1)；

③在[-(N-1),MN+M-1] 連續(xù)；

④(Nm2-Mn2)+2MN ∪(Nm1-Mn1) 在[0,2MN-1] 連續(xù)。

因?yàn)榧螸2={α(Nm1-Mn2)-(Nm2-Mn1)}，根據(jù)③和④可知，L2在[0,α(MN+M-1)] 上是連續(xù)的，即集合L2的連續(xù)虛擬陣元的范圍為[0,2MN(MN+M-1)]。證畢

最終可以得到SDCSC=±L1±L2，SDCSC具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)4

1）集合SDCSC的連續(xù)自由度為2(2MN)2+1。

2）集合SDCSC的自由度為

證明：

因?yàn)?MN(MN+M-1)≥2MN(MN-M-N+2)，即2M+N≥3 是顯然成立的，所以集合SDCSC=±L1∪±L2的連續(xù)虛擬陣元的范圍為[-((2MN)2-1),(2MN)2-1]，連續(xù)自由度即為2(2MN)2+1。集合SDCSC中大于(2MN)2和小于-(2MN)2的虛擬陣元數(shù)相同，當(dāng)M>2 時(shí)，集合SDCSC共有8M2N2-1+(2MN+1)(M-1)(N-1-/) 個(gè)不同的虛擬陣元，當(dāng)M=2 時(shí)，集合SDCSC共有8M2N2-1+(2MN+1) 個(gè)不同的虛擬陣元，集合中虛擬陣元的個(gè)數(shù)即為陣列能夠達(dá)到的總的自由度。證畢

3 性能分析

本節(jié)將本文設(shè)計(jì)的展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)與展開互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)[1]和增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)[2]進(jìn)行比較，從自由度、互耦率和克拉美羅界（cramér-rao bound,CRB）這3 個(gè)方面對(duì)比得出本文所設(shè)計(jì)雷達(dá)的優(yōu)勢(shì)。

3.1 自由度

表1 給出了所提出的展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)與展開互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)和增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)自由度和連續(xù)自由度方面的閉式表達(dá)式。為了方便分析與控制變量，取3 種MIMO 雷達(dá)的總陣元數(shù)均為12，因此取展開互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的M=3,N=4，發(fā)射陣元和接收陣元的位置為{-8,-4,0,3,6,9}；取增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的M=2,N=3，發(fā)射陣元位置為{0,30,45,60,90,135}，接收陣元位置為{0,2,3,4,6,9}；取展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)的M=2,N=3，圖6 給出了該MIMO 雷達(dá)的結(jié)構(gòu)。圖7 給出了這3 種MIMO 雷達(dá)最終實(shí)現(xiàn)的虛擬陣列。

表1 不同互質(zhì)陣列雷達(dá)結(jié)構(gòu)的比較Table 1 Comparison of different co-prime array radar structures

圖6 M=2,N=3 時(shí)展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的結(jié)構(gòu)Figure 6 Configuration of unfolded augmented co-prime MIMO radar when M=2,N=3

圖7 3 種MIMO 雷達(dá)產(chǎn)生的虛擬陣列Figure 7 Virtual arrays generated by three kinds of MIMO radars

表2 列出了在總陣元數(shù)為12 時(shí)，這3 種MIMO 雷達(dá)實(shí)現(xiàn)的自由度，從表中可以看出，展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的自由度更高。

表2 陣元數(shù)為12 時(shí)不同雷達(dá)的自由度Table 2 DOF of different radars when the total number of radar is 12

3.2 互耦率

陣列的互耦率定義為[20]

式中：c為互耦矩陣，可近似為B帶的Toeplitz 矩陣；I是與c同維度的單位矩陣

式中：cij為矩陣c的第i行第j列元素，且1=c0>|c1|>···>|cB|>|cB+1|=0；并且接收陣列與發(fā)射陣列的聯(lián)合耦合系數(shù)矩陣為C=Ct?Cr，Ct和Cr分別表示發(fā)射陣列和接收陣列的互耦矩陣[21]。由式(13) 可知，?越小，表示陣列受到的互耦影響越低，角度估計(jì)的性能會(huì)越好。

現(xiàn)假設(shè)互耦矩陣中的元素滿足c0=1，c1=0.5 ejπ/4，c2=0.5 ej0.5π/2，c3=0.5 ej0.5π/4，c4=0.5 ej0.5π/4，B=4。表3 列出了3 種MIMO 雷達(dá)權(quán)重函數(shù)中w(1)、w(2)、w(3)、w(4)的值，表4 列出了在此條件下，3 種MIMO 雷達(dá)收發(fā)陣列各自及聯(lián)合的互耦率。從表中可以看出，展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的互耦率更低，其主要原因是因?yàn)槭瞻l(fā)陣列均采用展開的互質(zhì)陣，權(quán)重函數(shù)的w(1)=0，w(2)=2，有效避免了相近陣元所帶來的高互耦的影響，并且隨著陣元數(shù)的增多，展開互質(zhì)陣陣元間的間距會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大，優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。

表3 雷達(dá)權(quán)重值的比較Table 3 Comparison of radar weight values

表4 雷達(dá)互耦率的比較Table 4 Comparison of mutual coupling rates of radars

3.3 克拉美羅界

克拉美羅界為任意無偏估計(jì)量的方差確定了一個(gè)下限，意味著無偏估計(jì)量的方差只能無限逼近CRB，而不會(huì)小于它，因此為無偏估計(jì)量的性能提供了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。DOA 估計(jì)的CRB模型已經(jīng)研究發(fā)展了數(shù)十年，包括了單基地MIMO 和雙基地MIMO 模型，單徑和多徑信道模型，非相干信號(hào)、相干信號(hào)到混合信號(hào)模型等各種條件下的CRB 模型，根據(jù)文獻(xiàn)[16] 的證明推導(dǎo)出的CRB 模型，圖8 中給出了3 種MIMO 雷達(dá)在信噪比從-15～15 dB 時(shí)的CRB曲線。從圖中可以看出展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的CRB 曲線比其他兩種MIMO 雷達(dá)的曲線對(duì)應(yīng)的值更小，所以理論上本文設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)的DOA 誤差更小，性能更好。

圖8 3 種MIMO 雷達(dá)的CRB 曲線Figure 8 CRB curves of three kinds of MIMO radars

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)使用經(jīng)典的空間平滑多重信號(hào)分類MUSIC 算法[3]進(jìn)行DOA 估計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)的場(chǎng)景設(shè)定與上文相同，收發(fā)陣元數(shù)皆為6，總陣元數(shù)為12，實(shí)驗(yàn)過程中保持接收陣列的信號(hào)功率為16 dBm，發(fā)射信號(hào)為高斯信號(hào)，信道的噪聲模擬為加性高斯白噪聲，并且不考慮陣元間互耦的影響。

MUSIC 算法是上世紀(jì)80 年代提出的一種經(jīng)典高分辨率的方DOA 估計(jì)方法[22]，它通過在空間域內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索來確定信號(hào)源的方向。具體來說，MUSIC 算法的基本原理是導(dǎo)向矢量(θ) 與噪聲子空間具有正交性，其大致步驟為：首先對(duì)協(xié)方差矩陣Rx進(jìn)行特征值分解；然后按特征值的大小排序，將與信號(hào)個(gè)數(shù)相等的K個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量看成信號(hào)子空間，把剩下的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量看成噪聲子空間，噪聲子空間記為UN；最后，利用式構(gòu)造出MUSIC 算法的空間譜函數(shù)。

接下來，我們對(duì)MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)的空間譜、均方根誤差（root mean square error,RMSE）隨信噪比（signal to noise rate,SNR）、角度分辨力進(jìn)行比較與分析。

4.1 空間譜

圖9 給出了3 種MIMO 雷達(dá)多目標(biāo)DOA 估計(jì)的空間譜。假設(shè)空間存在71 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)非相干目標(biāo)，角度范圍為[-70o: 2o: 70o]，SNR 為10 dB，快拍數(shù)為500，搜索范圍為[-80o,80o]，步長(zhǎng)為0.01o。從圖中可以看出本文設(shè)計(jì)的MIMO 雷達(dá)可以估計(jì)遠(yuǎn)超出物理陣元總數(shù)的非相干目標(biāo)，而且相較于其他兩種MIMO 雷達(dá)，空間譜更加尖銳整齊。

圖9 K=71 時(shí)獲得的空間譜Figure 9 Spatial spectrum obtained with K=71

4.2 均方根誤差

假設(shè)空間中存在8 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相干目標(biāo)[-40o,-30o,-20o,-10o,10o,20o,30o,40o]，均方根誤差的計(jì)算公式為

圖10 給出了不同MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)得到的RMSE 隨信噪比的變換情況，其中快拍數(shù)為500；圖11 給出了不同MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)得到的RMSE 隨快拍數(shù)的變化情況，其中SNR 為0 dB。由圖10 和11 可知，隨著信噪比和快拍數(shù)的增加，角度估計(jì)的誤差逐漸減小，在相同條件下，本文提出的展開增廣互質(zhì)陣MIMO 雷達(dá)的精確度更高，性能更好。

圖10 RMSE 隨SNR 的變化關(guān)系Figure 10 Variation relationship of RMSE with SNR

圖11 RMSE 隨快拍數(shù)的變化關(guān)系Figure 11 Variation relationship of RMSE with the number of snapshots

4.3 角度分辨力

圖12 對(duì)比了3 種MIMO 雷達(dá)的角度分辨力，其中2 個(gè)臨近目標(biāo)位置為5.0o和5.5o，SNR為0 dB，快拍數(shù)為100，搜索范圍為[3o,8o]，步長(zhǎng)為0.01o，黑色虛線表示真實(shí)角度。從圖12可以看出，展開互質(zhì)陣無法分辨鄰近的目標(biāo)，而增廣互質(zhì)陣和展開增廣互質(zhì)陣可以分辨兩個(gè)相鄰0.5o的目標(biāo)，并且展開增廣互質(zhì)陣的空間譜的譜峰更加尖銳，峰值也更加接近真實(shí)的角度估計(jì)。圖13 給出了3 種MIMO 雷達(dá)在快拍數(shù)為500 時(shí)，隨著信噪比的變化能夠分辨出臨近目標(biāo)位置為5.0o和5.5o的概率，根據(jù)文獻(xiàn)[23] 的描述，將滿足的估計(jì)結(jié)果視為能夠分辨出兩個(gè)臨近目標(biāo)。從圖中可以看出，展開增廣互質(zhì)陣在相同信噪比的情況下，能夠分辨出相鄰目標(biāo)的概率更高，并且當(dāng)信噪比大于-5 dB 時(shí)，能夠有效分辨出相鄰目標(biāo)。

圖12 兩個(gè)空間相鄰目標(biāo)的空間譜Figure 12 Spatial spectra for two closely spacing sources

圖13 3 種MIMO 雷達(dá)對(duì)相鄰目標(biāo)的分辨概率Figure 13 Resolution probability of three kinds of MIMO radars to adjacent targets

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)結(jié)構(gòu)。首先，通過引入稀疏擴(kuò)展因子擴(kuò)展展開增廣互質(zhì)陣列中子陣的陣元間隔，獲得了展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)的閉式表達(dá)式。然后通過對(duì)展開增廣互質(zhì)陣列MIMO 雷達(dá)的廣義和差聯(lián)合陣列進(jìn)行分析，推導(dǎo)了連續(xù)自由度和總自由度的閉式解。相比其他互質(zhì)MIMO 雷達(dá)，展開增廣互質(zhì)MIMO 雷達(dá)具有更低的互耦率和更多的連續(xù)自由度。仿真結(jié)果表明，本文提出的互質(zhì)MIMO 雷達(dá)結(jié)構(gòu)在DOA 估計(jì)性能與角度分辨力上具有一定優(yōu)勢(shì)。