臧冬冬，曾朝辰，張 洋，朱初初

（1.中國礦業(yè)大學力學與土木工程學院，江蘇 徐州 221116；2.河南能源集團永煤公司 城郊煤礦，河南 永城 476600）

0 引言

巷道開挖后，如果集中應(yīng)力小于巖體強度，那么圍巖將處于彈塑性穩(wěn)定狀態(tài)，當應(yīng)力超過圍巖強度之后，巷道周邊圍巖將首先破壞，并逐漸向深部擴展，直至在一定深度取得三向應(yīng)力平衡為止，此時圍巖已過渡到破碎狀態(tài)。董方庭等人[1-2]經(jīng)過長期研究，將巷道圍巖中產(chǎn)生的松弛破碎帶稱為圍巖松動圈，其力學特性表現(xiàn)為應(yīng)力降低，并于1985 年系統(tǒng)地提出圍巖松動圈巷道支護理論。巷道開挖后，地應(yīng)力與圍巖的相互作用會產(chǎn)生圍巖松動圈，而松動圈范圍越大，支護越困難；在目前的技術(shù)條件下，支護對松動圈的影響并不明顯；松動圈擴展過程中產(chǎn)生的碎脹力及其所造成的有害變形是巷道支護的主要對象。以上3 點是圍巖松動圈巷道支護理論的核心內(nèi)容，是分析錨桿作用機理及指導錨桿支護設(shè)計的有效理論依據(jù)，在煤炭行業(yè)以及各類地下工程中得到了廣泛的應(yīng)用。圍巖松動圈是地下工程中普遍存在的實際物理力學狀態(tài)，從最初董方庭等人通過大量的模型試驗和現(xiàn)場測試所驗證，后續(xù)又經(jīng)過宋宏偉、靖洪文等多位學者通過聲發(fā)射法、鉆孔攝像、地質(zhì)雷達等多種測試方法對松動圈進行實測驗證和分析[3-10]，劉剛等人采用ANSYS、FLAC3D、MIdas/GST 等數(shù)值模擬軟件對松動圈進行模擬，并結(jié)合實際工程進行驗證分析[11-12]。本文采用解析方法，分析影響圍巖松動圈范圍大小的敏感因素，是對圍巖松動圈支護理論的補償和完善。

1 巷道圍巖的彈塑性分析

為簡化問題且便于討論，假設(shè)巷道為圓形，其半徑為a。對應(yīng)巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線的彈性、塑性和破裂狀態(tài)，圍巖中依次產(chǎn)生松動圈（破裂區(qū)）、塑性區(qū)和彈性區(qū)[14]，如圖1 所示。

圖1 分析模型Fig.1 Analytic model

考慮平面應(yīng)變情形，徑向、環(huán)向應(yīng)力和應(yīng)變分別用極坐標σr、σθ和εr、εθ表示；位移用u 表示；原始地應(yīng)力為p0，支護力為pi；采取Mohr-Coulomb 屈服準則，即：

其中，塑性區(qū)：

松動圈（破裂區(qū)）：

各區(qū)應(yīng)力滿足平衡方程：

幾何方程為:

邊界條件和接觸條件為:

聯(lián)立式（1）和式（2），得：

此式為松動圈與塑性區(qū)應(yīng)力分布通式，其中D為積分常數(shù)，B=c cotφ。

用式（4）中第一式，得：

令Ac=D，則松動圈應(yīng)力

由于塑性區(qū)和彈性區(qū)交界處應(yīng)力既滿足屈服準則又符合彈性條件，即r=Rp時：

將式（5）代入，求得積分常數(shù)D，得到塑性區(qū)應(yīng)力。

彈性區(qū)應(yīng)力利用拉梅解答，有

至此，各區(qū)應(yīng)力均已求出，由此可計算各區(qū)位移。彈性區(qū)位移可根據(jù)物理方程和幾何方程得出：

塑性區(qū)位移包含彈性位移和塑性位移兩部分。塑性位移的計算可以利用圍巖為剛塑性體的假設(shè)，即塑性區(qū)圍巖不可壓縮，體積不變，塑性區(qū)圍巖的體積變形僅有彈性變形；松動圈圍巖的體積變形包括彈性變形和碎脹變形，并引進碎脹擴容系數(shù)k，用于描述松動圈圍巖的擴容情況。

式中：V0為未破裂巖石的體積；V' 為破裂后的體積。

對于塑性區(qū)，體積僅有彈性變形。

將式（9）代入：

積分得：

積分常數(shù)Dp可利用式（4）中第四式獲得。

對于松動圈，體積變形包括彈性變形和擴容變形。

積分可得：

至此，各區(qū)應(yīng)力和位移均已求出，利用塑性區(qū)和松動圈接觸條件即式（4）中第三式，得

根據(jù)上式中第一式可將第二式簡化，有

積分系數(shù)Dc和Dp取決于Rc和Rp，但Rc和Rp還未確定。至此，所有的邊界條件和接觸條件都已利用，必須補充一個附加條件才能確定Rp和Rc。

由彈性理論知，只要滿足所有的基本方程、邊界條件和接觸條件，應(yīng)力應(yīng)變的解答就是正確的。這樣，通過給定不同的松動圈范圍Rc就會得到不同的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。而在實際情況中，巖體力學參數(shù)、原巖應(yīng)力和巷道尺寸一定的情況下，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)是唯一的。蔣斌松等[3]認為塑性變形不能無限發(fā)展，變形達到一定程度巖體就要破裂進入破裂狀態(tài)，由此建立圍巖破裂的變形條件，即在塑性區(qū)與破裂區(qū)的交界處徑向應(yīng)變相等。將進入塑性狀態(tài)的巖體假設(shè)為剛塑性體，體積不可壓縮，體積變形僅有彈性變形，而彈性變形所產(chǎn)生的應(yīng)變是連續(xù)的，自然滿足塑性區(qū)與破裂區(qū)交界處徑向應(yīng)變相等的條件?？梢越魄蟪鏊苄詤^(qū)和松動圈的徑向位移：

利用幾何方程可以得到徑向應(yīng)變：

上式在塑性區(qū)和松動圈內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)，自然滿足變形限制條件，補充條件無效，無法確定松動圈范圍的大小。所以，若將進入塑性狀態(tài)的巖體假設(shè)為剛塑性體，利用此變形條件無法確定松動圈范圍的大小。

對于圖1 所示簡化模型，根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準則可計算出巖石在塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)時的強度，由彈性參數(shù)可求出彈性應(yīng)變，而塑性應(yīng)變發(fā)展到什么程度后試件破裂進入破裂狀態(tài)卻無法確定。假如對試件施加圍壓同樣可求出塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)下的強度，而試件破裂時的塑性應(yīng)變無法計算。對于巷道開挖的情況，利用Mohr-Coulomb 屈服準則可以求得各區(qū)應(yīng)力，由于缺少可以確定巖石材料破裂時塑性應(yīng)變大小的條件，也就無法判斷不同位置處的圍巖是否破裂，并無法確定圍巖松動圈范圍的大小。因此，若要計算松動圈Rc的范圍，須從其它方面著手。

2 圍巖松動圈范圍的計算

由塑性理論可知，塑性變形是可以自由發(fā)展的，而實際工程中并非如此。從能量角度分析可知，圍巖除了本身內(nèi)部儲存的彈性應(yīng)變能以外，還有因巷道開挖產(chǎn)生的變形使得外力對其做的功，這些能量在巷道開挖后逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥詰?yīng)變能和塑性應(yīng)變能。巷道開挖致使圍巖由三向受力變?yōu)槎蚴芰?，承載能力減弱，圍巖所能儲存的極限彈性應(yīng)變能大大減少，能量向塑性能轉(zhuǎn)變；而塑性能首先用于產(chǎn)生不可恢復的塑性變形，微觀上即是晶格位錯；若能量繼續(xù)向塑性能轉(zhuǎn)變，巖體中則出現(xiàn)微裂紋，進而裂紋貫通出現(xiàn)宏觀破裂面，圍巖進入破裂狀態(tài)。在這一狀態(tài)，巖石材料已發(fā)生破壞或局部破壞，失去或部分失去承載力，所能儲存的極限彈性應(yīng)變能又將減少，巖體繼續(xù)破壞，直至穩(wěn)定。沿徑向方向，較遠部位巖體應(yīng)力狀態(tài)得到改善，極限彈性能增加，相應(yīng)的塑性破壞能減少；總會存在某一位置，在這里塑性能恰好完全消耗于晶格位錯，沒有產(chǎn)生裂紋，巖石材料的強度也沒有損失。這一位置就是圍巖松動圈與塑性區(qū)的分界線。

因此，若要確定松動圈的范圍可以嘗試從兩個方面著手：一是強度差值條件，找出在圍巖松動圈和塑性區(qū)交界處切向應(yīng)力之間關(guān)系；二是塑性應(yīng)變條件，求出塑性應(yīng)變并確定巖石塑性應(yīng)變發(fā)展到什么程度時破裂。

首先，從強度差值條件著手。由巖石三軸應(yīng)力－應(yīng)變曲線可知，隨著圍壓的增大，巖石材料將由脆性逐漸向塑性轉(zhuǎn)變，塑性變形逐漸增大，巖石破壞時的強度差σp-σc逐漸減小，當圍壓增加到一定程度時巖石的強度隨著應(yīng)變的發(fā)展不會降低，巖石不會破裂。由此可知：巖石由于破裂產(chǎn)生的強度差值隨著圍壓的增加逐漸減少至零。圍巖中松動圈和塑性區(qū)的σr是隨著r 的增大逐漸增大的，所以，強度差值△σθ隨著r 的增大逐漸減小。若將松動圈內(nèi)巖體的力學參數(shù)假設(shè)為恒定，那么，根據(jù)Mohr-Coulomb 屈服準則求出的巖石破裂前后強度差值△σθ=(Np-Nc)σr+(Sp-Sc)是隨著σr的增大而逐漸增大的，這與三軸壓縮試驗是矛盾的。因此，松動圈內(nèi)巖體的力學參數(shù)是變量。這是由于圍壓增加巖體強度的同時也增加了巖體內(nèi)的彈性應(yīng)變能、減少了破裂時巖體消耗的塑性能，當圍壓改變時，巖體破裂損傷程度也隨之改變。

假設(shè)在松動圈內(nèi)N、S 為線性增加，即：

將上式代入平衡方程并積分，得：

所以：

上式為Rp和Rc之間的關(guān)系，但仍然無法確定其值。

其次，從塑性應(yīng)變條件著手。由于塑性應(yīng)變不可能無限發(fā)展，達到一定量時巖石進入破裂狀態(tài)，破裂狀態(tài)的巖體已經(jīng)歷過塑性狀態(tài)，材料已經(jīng)受到損傷，強度有一定幅度的下降，塑性應(yīng)變已經(jīng)超過區(qū)分塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)的臨界塑性應(yīng)變。那么，松動圈圍巖的應(yīng)變必定大于或等于這一臨界塑性應(yīng)變與彈性應(yīng)變之和，而在松動圈和塑性區(qū)的交界處總應(yīng)變必然相等，即若是可以確定這部分塑性應(yīng)變的大小，也就可以確定巖石在什么狀態(tài)下破裂。由塑性位勢理論即正交流動法則可知：

式中：f 為應(yīng)力空間中的屈服面，λ 為塑性應(yīng)變。塑性位勢理論確定了塑性變形的方向，但不能確定其大小，其大小可由變形協(xié)調(diào)條件確定。由幾何方程可得到變形協(xié)調(diào)方程：

利用Mohr-Coulomb 屈服準則建立塑性勢φ=σθ-ασr，求得塑性應(yīng)變：

式中：塑性區(qū)αp=(1+sinφp)/(1-sinφp)，松動圈αc=(1+sinφc)/(1-sinφc)，φ為破裂角。

將塑性應(yīng)變與彈性應(yīng)變相加，可得松動圈和塑性區(qū)的應(yīng)變。

塑性區(qū)：

松動圈：

若α=1 則塑性應(yīng)變之和為零，即εrp+εθp=0，此時巖體即為剛塑性體，破裂角為零。

上述應(yīng)變代入變形協(xié)調(diào)方程即式（29），得：

解此微分方程得：

式中：D 為積分常數(shù)。

將式（31）和式（32）代入，得：

塑性區(qū)：

松動圈：

根據(jù)幾何方程ur=εθr 并利用位移接觸條件可得(r=Rc)，由此可以確定積分常數(shù)：

再由附加條件[12]εrp=εθc(r=Rc)可得：

聯(lián)立式（19）第一式，可解出Rp和Rc。

位移也可以確定：

3 圍巖松動圈敏感因素分析

現(xiàn)采用MATLAB 軟件，利用控制變量法分析各參數(shù)對Rc的影響程度。按深部巷道考慮，取圍巖彈性模量E=20 GPa，泊松比μ=0.25，粘聚力cp=5.31 MPa、cc=2.0 MPa，內(nèi)摩擦角φp=38°，φc=15°，破裂角αp=αc=30°，原巖應(yīng)力p0=20 MPa，支護力p1=0 MPa，根據(jù)式（39）可求出Rc/a=1.35、Rp/a=1.43。改變各參數(shù)的大小，得出各參數(shù)與Rc/a 之間的關(guān)系，如圖2 所示。

圖2 各參數(shù)對松動圈范圍的影響曲線Fig.2 Influence curve of each parameter on the range of loose circle

分析圖2 各曲線圖可知：

（1）塑性區(qū)巖體的力學參數(shù)即原巖力學參數(shù)對Rc的影響是顯著的，Rc關(guān)于原巖力學參數(shù)近似成一階線性關(guān)系。塑性區(qū)的內(nèi)摩擦角對松動圈范圍Rc的影響較松動圈的內(nèi)摩擦角和破裂角大，且松動圈內(nèi)摩擦角的取值范圍較小，增大到一定程度Rc沒有實數(shù)解。塑性區(qū)巖體的粘聚力對Rc的影響較松動圈巖體粘聚力的影響大，且Rc對松動圈的粘聚力在一定范圍內(nèi)（cc≤1.5 MPa）較敏感，超出這一范圍影響不大。

（2）在松動圈巖體的力學參數(shù)中，粘聚力的改變對松動圈范圍的影響雖然沒有原巖力學參數(shù)明顯，但也不容忽視。在松動圈粘聚力由1.0 MPa 增加到2.0 MPa 時松動圈范圍減少了22%，由2.0 MPa 增加到3.0 MPa 時，松動圈范圍減少了11%，繼續(xù)提高粘聚力對松動圈范圍影響越來越小。對松動圈圍巖進行注漿加固可有效提高破裂圍巖的粘聚力和殘余強度，進而可在有限限度內(nèi)減少松動圈的范圍，抑制圍巖的繼續(xù)破壞。

（3）支護力與Ro的關(guān)系也近似為一階線性關(guān)系，但對Rc的影響范圍較小，與破裂角類似。在支護力由0 增加到0.4 MPa 時松動圈范圍減少7.4%，由0.4 MPa 增加到0.8 MPa 時松動圈范圍減少了6.4%。而現(xiàn)有的支護技術(shù)所能提供的支護力一般在0.2～0.6 MPa。因此，在現(xiàn)有支護條件下，試圖通過支護或提高支護強度來阻止圍巖的松動破壞，不會產(chǎn)生明顯的效果。這與圍巖松動圈巷道支護理論的核心內(nèi)容是一致的，即支護對松動圈的影響工程上可忽略不計。

（4）原巖壓力對Rc的影響較大，這是因為原巖壓力的取值范圍較大，實際上，Rc-pi曲線較Rcp0曲線更陡。但由于支護力的大小范圍有限，原巖應(yīng)力對松動圈范圍的影響較支護力更為顯著。

圖3 和圖4 分別為塑性區(qū)范圍與松動圈范圍關(guān)系曲線和徑向位移分布曲線。分析圖3 和圖4 可知：①塑性區(qū)范圍與松動圈范圍近似成反比例關(guān)系，即松動圈范圍越大塑性區(qū)范圍相應(yīng)越小，總范圍也越來越大，且塑性區(qū)范圍在總范圍中所占比例越來越??；②根據(jù)文獻[14]由塑性位勢理論求得的位移與理想彈塑性條件下的位移相比較大。

圖3 塑性區(qū)范圍-松動圈范圍曲線Fig.3 Curve of plastic zone range-loosening zone range

圖4 位移分布曲線Fig.4 Distribution curve of displacement

綜上所述，松動圈范圍的敏感因子為原巖力學參數(shù)和原巖應(yīng)力，其次是松動圈內(nèi)圍巖的粘聚力和支護力。其中，在粘聚力增加到一定程度后對松動圈范圍的影響變微小，且由于支護力的取值有限，對松動圈范圍的影響也是有限的。支護對破碎圍巖的維護作用，表現(xiàn)在松動圈發(fā)展變形過程中維持破碎巖塊相互嚙合不垮落，通過提供支護阻力限制破裂縫的過度擴張，從而減少巷道的收斂變形。

4 結(jié)論

本文分析討論了巷道圍巖進入破裂狀態(tài)后圍巖內(nèi)的應(yīng)力分布以及松動圈范圍的計算方法，在此基礎(chǔ)上，分析了影響松動圈范圍大小的敏感因素。

（1）在理想彈塑性情況下，是無法確定松動圈范圍的大小。利用塑性位勢理論求出塑性應(yīng)變并補充徑向應(yīng)變在松動圈與塑性區(qū)交界處相等的條件就可以確定松動圈范圍的大小。

（2）影響松動圈范圍的敏感因素是原巖力學參數(shù)和原巖應(yīng)力，而支護力和松動圈內(nèi)圍巖的粘聚力對松動圈范圍的影響較弱，但粘聚力的影響不容忽視。

（3）松動圈內(nèi)圍巖的粘聚力在有限范圍內(nèi)對松動圈范圍影響顯著，繼續(xù)增大粘聚力對松動圈范圍的影響越來越小。注漿加固可有效提高圍巖的粘聚力，進而可在有限限度內(nèi)減少松動圈范圍。

（4）支護力對松動圈范圍的影響較小，在支護力由0 增加到0.4 MPa 時松動圈范圍減少7.4%，由0.4 MPa 增加到0.8 MPa 時松動圈范圍減少了6.4%。因此，現(xiàn)有支護條件下，支護力對松動圈范圍的影響很小，工程上可忽略不計。