楊鑫, 李星甫, 唐雁冰*, 李閩, Bernabé Yves,李晨曦, 趙金洲, 杜翔宇

1 西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室, 成都 6105002 美國麻省理工學(xué)院地球、大氣和行星科學(xué)系, 劍橋 021383 日本早稻田大學(xué)地球科學(xué)、資源與環(huán)境工程系, 東京 1698555

0 引言

研究多孔介質(zhì)中的流體流動規(guī)律對提高地下油氣采收率(Bikkina et al., 2016)、清理地下污染水層(Ji et al., 2008)和二氧化碳地質(zhì)封存(Bakhshian et al., 2020;呂鵬飛等,2023)等許多工程技術(shù)都具有重要意義.隨注入速度增加,一種流體驅(qū)替另一種黏度更大的流體時表現(xiàn)為毛管指進(jìn)向黏性指進(jìn)轉(zhuǎn)換,并且兩者之間存在一個大范圍、低驅(qū)替效率的過渡區(qū)(Rodríguez de Castro et al., 2015).指進(jìn)是毛管力、黏性力、重力和巖石表面潤濕性等因素的復(fù)雜相互作用導(dǎo)致的優(yōu)勢通道或指狀流動(Detwiler et al., 2009),可以被描述為不同流體之間相互作用的能量和無序系統(tǒng)的約束之間的競爭(Dias et al., 2012).指進(jìn)常常是一種不利的現(xiàn)象,例如在石油工業(yè)中,當(dāng)人們試圖通過將水泵入油藏(即注水驅(qū)替)來置換原油時,指進(jìn)會使得注入流體繞過和捕集原油,導(dǎo)致較早的突破(Chen et al., 2017).突破時的流體驅(qū)替效率常常會影響最終驅(qū)替效果(Xu et al., 2014),尤其是在非均質(zhì)性很強的儲層中,突破后很難再通過注水的方式大幅度提高原油采收率(Mosavat and Torabi, 2016).

流體驅(qū)替模式受孔喉微觀結(jié)構(gòu),流體與流體或流體與巖石的耦合機制影響,預(yù)測注入流體的驅(qū)替模式是十分困難的(Bultreys et al., 2016).Lenormand等(1988)用簡單的二維多孔介質(zhì)模型進(jìn)行實驗,繪制了毛管數(shù)Ca和兩相流體黏度比M的經(jīng)典相圖,劃分了緊湊型驅(qū)替(CD)、毛管指進(jìn)(CF)、黏性指進(jìn)(VF)和過渡區(qū)(CZ)等不同驅(qū)替模式所處的區(qū)域.不同驅(qū)替模式的驅(qū)替效率存在差異,研究人員可以根據(jù)相圖判斷不同流速條件下的驅(qū)替模式,從而調(diào)整合理的驅(qū)替速度來達(dá)到提高原油采收率的目的.研究人員利用實驗和數(shù)值模擬方法,結(jié)合分形理論等手段建立了不同條件下和經(jīng)典相圖類似的相圖,并分析了相圖中不同驅(qū)替模式的影響因素(Cottin et al., 2010; Yang et al., 2019).例如,在Lenormand等(1988)的基礎(chǔ)上,Chen等(2017)使用二維平板裂縫物理模型進(jìn)行水驅(qū)油實驗,將經(jīng)典相圖的適用范圍拓展至適用于復(fù)雜多孔介質(zhì).Holtzman和Segre(2015)、Zhao等(2016)和Lan等(2020)分析了不同注入毛管數(shù)情況下潤濕角θ對驅(qū)替模式的影響,并提出了用于區(qū)分不同驅(qū)替模式范圍的理論公式,從而建立了[Ca,θ]空間中發(fā)生毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和過渡區(qū)的相圖.同時,儲層巖石孔喉非均質(zhì)性也會對驅(qū)替模式產(chǎn)生影響(Toussaint et al., 2005),使得毛管指進(jìn)和黏性指進(jìn)在相圖中所處的區(qū)域和范圍發(fā)生變化.

上述研究中采用的被驅(qū)替相均為牛頓流體,而地下原油常常表現(xiàn)出非牛頓流體的特性(即由剪切應(yīng)力引起的黏度變化)(Wang et al., 2019;劉文山等,2021).Shah和 Yortsos(1993)的研究指出非牛頓流體(如Ellis流體和冪律流體)驅(qū)替也存在一個相圖,其中毛管指進(jìn),黏性指進(jìn),過渡區(qū)所處的區(qū)域均隨剪切流變性改變而發(fā)生不同程度的移動,但沒有明確給出不同驅(qū)替模式之間的分界線.Tian和Yao(1999)的研究表明,非牛頓流體的剪切流變性會影響驅(qū)替過程,但他們并沒有研究毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和過渡區(qū)的特征,也沒有比較牛頓流體和非牛頓流體性質(zhì)差異對不同驅(qū)替模式的影響.此外,儲層流體是可壓縮的,現(xiàn)有的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)是假設(shè)流量與壓力傳遞過程只發(fā)生在孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的喉道上,節(jié)點間的流動滿足基爾霍夫定律(Tang et al., 2020;王猛等,2022),多用于研究較小尺度模型中的油水兩相流(Zhao et al., 2021; Yang et al., 2022),未考慮油水的壓縮性,故而忽略了當(dāng)模型較大時,壓力波傳播和時間等因素對驅(qū)替過程的影響(Li et al., 2017).因此,此研究在以前的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型中引入適用于可壓縮流體的非穩(wěn)態(tài)滲流理論,即通過將穩(wěn)態(tài)滲流方法(Tang et al., 2021)中的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)換為與壓力波傳播和時間相關(guān)的非穩(wěn)態(tài)滲流的壓力擴(kuò)散方程,形成了非穩(wěn)態(tài)油水兩相孔隙網(wǎng)絡(luò)模擬方法.

本文提出了一種考慮了流體可壓縮性的非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模型,并在模型中增加了非牛頓流體的剪切流變性,用以模擬跨越多個數(shù)量級的毛管數(shù)以及不同黏度比條件下的水驅(qū)油過程.分析了毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和過渡區(qū)各自的特征,并采用特征前緣流量對各區(qū)域進(jìn)行量化.最后比較了被驅(qū)替相為牛頓流體和非牛頓流體時不同驅(qū)替模式的差異.這項工作為深入了解地下復(fù)雜流體黏性力和毛管力的作用機制提供了新思路,在石油工程應(yīng)用中具有實際意義.

1 數(shù)值模擬方法

1.1 構(gòu)建孔隙網(wǎng)絡(luò)模型

動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模擬方法的基本原理是假設(shè)能量耗散或熵產(chǎn)生過程(如黏性流與擴(kuò)散混合等流體流動行為)只發(fā)生在孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的喉道上,孔隙節(jié)點流量遵守質(zhì)量守恒定律,因此孔隙網(wǎng)絡(luò)模型可以看作是真實多孔介質(zhì)的簡化(David, 1993).而孔隙網(wǎng)絡(luò)模擬器結(jié)合數(shù)學(xué)、物理控制方程,可以合理地模擬再現(xiàn)流體在孔喉內(nèi)的流動(Blunt et al., 2002; Xiong et al., 2020).

本文根據(jù)Bernabé等(2011)和Li等(2015)研究中構(gòu)建孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的方法建立了圓盤狀模型,模型是由二維正方形網(wǎng)格組成的網(wǎng)絡(luò)(Seeburger and Nur, 1984),如圖1a所示.模型直徑方向節(jié)點數(shù)為301,每個節(jié)點i與相鄰四個節(jié)點j(j=1,2,3,4)由4個不同半徑的管道連接.管道長度l=300 μm,半徑r按對數(shù)均勻分布(如圖1b)隨機賦值,最小值和最大值分別為1.35 μm和78.65 μm,半徑分布標(biāo)準(zhǔn)差σ=20 μm,平均值〈r〉=19 μm,平均水力半徑rH=40 μm,賦值后的管道半徑均恒定不變.計算得到模型半徑R=4.5 cm,總孔隙體積Vp=0.1×10-6m3.通過上述步驟設(shè)置的模型,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點為孔隙,管道為喉道,其他部分均視為被固體顆粒充填.該模型常被用于研究非混相驅(qū)替過程中的黏性力與毛管力對流動的影響以及滲流過程中的臨界路徑和優(yōu)勢通道等現(xiàn)象(Tang et al., 2019, 2020).

圖1 (a) 多孔介質(zhì)中水驅(qū)油示意圖; (b) 孔隙網(wǎng)絡(luò)模型中喉道半徑分布頻率和累計曲線圖

1.2 非穩(wěn)態(tài)兩相流動

模型初始被潤濕相流體(原油,黏度為μo)充分飽和,模擬過程中,將非潤濕相流體(水,黏度為μw)以恒定的流量qin從中心注入,保持模型邊界出口端的壓力恒定為大氣壓(0.1 MPa),使注入流體由模型中心沿網(wǎng)絡(luò)向四周邊界流動(如圖1a所示).當(dāng)兩相流體存在同一喉道中時,存在如下假設(shè)條件:(1)所有的流體都被認(rèn)為包含在喉道和孔隙中,流體壓降只存在于孔隙之間的喉道中;(2)孔隙網(wǎng)絡(luò)喉道中的兩相流體間只存在一個界面(無擴(kuò)散);(3)喉道中只有活塞式驅(qū)替(Zhao et al., 2016).兩相流體界面引起的毛管壓力pcij=-2γcosθ/rij(Teige et al., 2006),其中γ為界面張力(20×mN/m),θ為潤濕角(150°).利用擴(kuò)展Hagen-Poiseuille方程(Aker et al., 1998)計算喉道內(nèi)體積流量qij:

qij=-gijeff(Δpij-pcij),

(1)

多孔介質(zhì)內(nèi)部流體是可壓縮的,每個控制體內(nèi)部的中心孔隙i與相鄰孔隙j(假設(shè)j的編號為1,2,3,4)之間的流動滿足(推導(dǎo)見附錄A):

(2)

其中Vp為孔隙i所代表的控制體總體積(控制體由孔隙i與相鄰四個長度一半的喉道組成),Δpi/Δt表示控制體的平均壓力隨時間的變化,Cρeff表示混合流體的有效壓縮系數(shù),其值與具體流體的性質(zhì)有關(guān),受溫度和壓力等因素的影響,本文研究對象為油水,設(shè)置為1×10-10Pa-1(He, 1994).用非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模型模擬了水驅(qū)油(牛頓流體),流體突破時的驅(qū)替形態(tài)和分形維數(shù)與Chen和Wilkinson(1985)的實驗與模擬結(jié)果吻合性很好(見附錄B).

(3)

參照Sadowski(1963)的對Ellis模型的實驗研究,τ1/2和α取值分別為3.5 Pa和2.4.

數(shù)值模擬計算過程中,式(1)中毛管壓力項可寫為:

(4)

(5)

從而將式(2)改寫為:

(6)

對式(6)進(jìn)行離散處理,同時增加匯源項Qi:

(7)

其中,t和t+Δt分別對應(yīng)流動狀態(tài)變化前后的時刻,式(7)可寫為:

(8)

(9a)

(9b)

在給定邊界條件時,未知數(shù)為各個孔隙處的流體壓力.通過上述步驟迭代求解更新壓力場,從而利用孔隙與孔隙間的壓力計算每個喉道中的流量,并通過驅(qū)替流體完全占據(jù)的喉道體積計算當(dāng)前時刻的飽和度.在每個時間步內(nèi),由于非牛頓流體黏度隨壓差變化,且兩相流體界面實時移動,每個時間步長內(nèi)都需要更新傳導(dǎo)率,對計算機算力有很高的要求.本文使用GPU加速算法(Naumov et al., 2015)進(jìn)行模擬以加快模擬速度.

采用注入流體的毛管數(shù)Ca和黏度比M這兩個無量綱數(shù)來表征流體驅(qū)替模式,并用以比較黏性力和毛管力的大小(Reynolds et al., 2017).Ca=uμw/γ(u=qin/Ad,Ad=4π〈r〉2),Ca的范圍設(shè)置為lgCa=-8.5～lgCa=-2.5;M=μw/μo,μw=1 mPa·s,μo被分別設(shè)置為1000、500、300、200、100、50 mPa·s.

2 結(jié)果與分析

2.1 流體驅(qū)替模式

模擬結(jié)果可觀察到不同黏度比M和大范圍變化的毛管數(shù)Ca在注入流體突破邊界時的流體驅(qū)替模式,如圖2a所示,用不同顏色表示注入流體占據(jù)的不同孔喉.

圖2 (a)不同黏度比M和毛管數(shù)Ca情況下注水突破時的驅(qū)替模式示意圖; (b) 毛管指進(jìn)示意圖(lgCa=-8.5); (c) 過渡區(qū)示意圖(lgCa=-3.5); (d) 黏性指進(jìn)示意圖(lgCa=-2.5)

毛管力與黏性阻力的相互作用機制會導(dǎo)致水驅(qū)油時產(chǎn)生不同形態(tài)的手指(Martys et al., 1991).低流速條件下,毛管力占據(jù)主導(dǎo)作用,兩種流體的黏性阻力很小,如圖2b為lgCa=-8.5,M=1/50時的侵入剖面圖,毛管指進(jìn)會產(chǎn)生較粗形態(tài)的手指,手指沿各個路徑方向生長(橫向生長(標(biāo)記1),向入口處生長(標(biāo)記2),形成圈閉(標(biāo)記3)捕集原油,圈閉數(shù)量和大小與網(wǎng)格非均質(zhì)性和模型尺度有關(guān)(Lenormand et al., 1988)).而在高流速條件下(lgCa>-3.5),原油黏性阻力占據(jù)主導(dǎo)作用,高注入壓力使得驅(qū)替流體在多個流動路徑中產(chǎn)生大量的“細(xì)手指狀”的指進(jìn),并向出口處不斷延伸,驅(qū)替模式表現(xiàn)為黏性指進(jìn)(如圖2d).黏性手指形態(tài)細(xì)窄,呈樹狀,且難以見到樹狀手指向入口處生長的現(xiàn)象.隨著Ca由lgCa=-7.5逐漸增加到-3.5,黏性力的影響逐漸增加.如lgCa=-4.5時,黏性力與毛管力的作用相當(dāng),在這種狀態(tài)下,多孔介質(zhì)中同時發(fā)生毛管指進(jìn)和黏性指進(jìn),流動路徑顯著減少(如圖2c),大量原油被滯留,波及效率(Holtzman and Segre, 2015)降低,這是流動狀態(tài)由毛管力主導(dǎo)向黏性力主導(dǎo)轉(zhuǎn)變的過渡區(qū).

2.2 過渡區(qū)的特征與劃分依據(jù)

圖3 計算分形維數(shù)示意圖

前人的研究表明(Lan et al., 2020),毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和過渡區(qū)處的Sw和D的大小均不一樣,過渡區(qū)中的Sw和D最小(Singh and Mohanty, 2003),驅(qū)油效率最低.通過模擬結(jié)果繪制了Sw和D隨毛管數(shù)Ca和黏度比M變化的關(guān)系圖(分別對應(yīng)圖4a和圖4b).結(jié)果表明,不同M時,隨Ca增加,D和Sw兩者都先減小后增加,在中間Ca處的值最小,這也表明非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模型能很好地模擬從毛管指進(jìn)到黏性指進(jìn)的過渡區(qū).

圖4 (a)、(b) 不同黏度比lgM和不同毛管數(shù)lgCa時驅(qū)替流體突破時的飽和度Sw和分形維數(shù)D的變化情況; (c) 飽和度Sw和分形維數(shù)D關(guān)系圖

使用不同材料與不同結(jié)構(gòu)的物理模型或注入不同類型的流體介質(zhì),也會使得過渡區(qū)處的分形維數(shù)和飽和度產(chǎn)生差異.例如,Wang等(2013)在多孔介質(zhì)中利用超臨界二氧化碳驅(qū)替鹽水,過渡區(qū)中,注入流體飽和度小于0.30.Zhao等(2016)認(rèn)為較高的Ca時(如圖4a過渡區(qū)左邊,lgCa>-4),D>1.62為黏性指進(jìn);較低的Ca時(如圖4a過渡區(qū)右邊,lgCa<-6),D>1.82為毛管指進(jìn).Chen等(2017)的研究中,過渡區(qū)處的D<1.62,Sw<0.25.由圖4a和圖4b可以得到如圖4c所示的不同Ca和M情況下D和Sw關(guān)系圖,表明D隨Sw增加而增加.結(jié)合圖3和圖4c,本文將分形維數(shù)D<1.61時的驅(qū)替模式劃分為過渡區(qū)(圖4c中陰影部分),劃分依據(jù)與Holtzman和Juanes(2010)的研究一致.過渡區(qū)內(nèi),飽和度Sw<0.10,該值更小是因為本文建立的模型非均質(zhì)性更強.陰影部分外的其他值均落在M?l?y等(1985)和King(1987)劃分的二維多孔介質(zhì)中經(jīng)典毛管指進(jìn)和黏性指進(jìn)的各自值范圍內(nèi).將劃分的不同驅(qū)替模式對應(yīng)于圖3a中,紅色框區(qū)域以下部分為毛管指進(jìn)區(qū),紅色框區(qū)域內(nèi)為過渡區(qū),紅色框區(qū)域以上部分為黏性指進(jìn)區(qū).

圖5為Lenormand等(1988)提出的經(jīng)典相圖,灰色區(qū)域表示毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和緊湊型驅(qū)替,空白處為這三者之間的過渡區(qū).圖中虛線部分為Zhang等(2011)提出的不同驅(qū)替模式之間的分界線,其過渡區(qū)范圍更小.結(jié)合分形維數(shù)和飽和度的大小,將模擬結(jié)果得到的毛管指進(jìn)(紅色圓圈)、過渡區(qū)(黑色菱形)和黏性指進(jìn)(藍(lán)色方形)對應(yīng)到相圖的位置并作比較,本文絕大部分預(yù)測給出的驅(qū)替模式與他們的相圖顯示出了良好的一致性.Lenormand等(1988)證明了過渡區(qū)的點滿足公式lgCa=lgM+c,其中c是與多孔介質(zhì)和流體性質(zhì)有關(guān)的系數(shù).過渡區(qū)處Sw最小,因此定義臨界毛管數(shù)Ca*為每個M情況下最低Sw時對應(yīng)的毛管數(shù).每個M情況下可以計算得到一個c值,利用6組(Ca*,M)(圖5中的菱形點中標(biāo)有紅色線)得到的不同的c值后取平均值,得到分界線(在圖5中用紅色線表示,其下部分表示毛管指進(jìn)向過渡區(qū)的轉(zhuǎn)變,其上部分表示過渡區(qū)向黏性指進(jìn)轉(zhuǎn)變)表達(dá)式:

圖5 lgCa-lgM平面相圖中不同驅(qū)替模式所處的位置

log10Ca*=log10M-2.3.

(10)

分界線斜率為1是由于使用了驅(qū)替流體定義的毛管數(shù).在注入速度恒定的情況下,更大黏度的被驅(qū)替相會產(chǎn)生更大的壓降,也可以使用基于壓力梯度(Δp/R)的毛管數(shù)來代表不同的驅(qū)替模式(Lenormand et al., 1988),如Chatzis和Morrow(1984)提出的Ca=(kw/γ)?(Δp/R),其中kw為驅(qū)替相滲透率.但為了與經(jīng)典相圖作比較,本文采用了保持統(tǒng)一定義的Ca來繪制圖表,這在Chen等(2018)的實驗研究中已經(jīng)得到了應(yīng)用.

2.3 不同驅(qū)替模式的飽和度和壓力特征

圖6 驅(qū)替流體飽和度Sw與歸一化前緣位置演化關(guān)系曲線

數(shù)值模擬結(jié)果也提供了流體突破時的壓力分布信息.如圖7所示,顯示了使用黏度比為1/200時,毛管指進(jìn)(圖7a)、過渡區(qū)(圖7b)和黏性指進(jìn)(圖7c)的壓力分布.當(dāng)毛管數(shù)非常小時(圖7a,lgCa=-8.5),壓力分布均勻且較低(不同的色條刻度表示不同大小的壓力),壓力梯度很小.參照壓力分布色帶,隨毛管數(shù)增加,壓力梯度增加(圖7b和圖7c).為觀察流體壓力在整個驅(qū)替過程中的演變,本文也繪制了注入壓力Pin隨歸一化驅(qū)替相飽和度Swin/Swmax(Swin為實時變化的飽和度,Swmax為最大飽和度)增加而變化的關(guān)系圖.在低毛管數(shù)情況下(圖7d),初始入口壓力的波動最大,這是因為以恒定速度注入時,必須不斷調(diào)整節(jié)點間的壓差以滿足克服孔徑差異引起的毛管壓力的變化.隨毛管數(shù)增加,毛管力的影響減弱,節(jié)點間的壓差調(diào)整頻率降低,入口壓力僅會出現(xiàn)偶爾的波動(圖7e),此時黏性阻力的主導(dǎo)優(yōu)勢逐步顯現(xiàn),達(dá)到可以和毛管力比較的級別,驅(qū)替流體需要同時克服毛管力和較大的黏性阻力.在高毛管數(shù)情況下,兩相流體快速流動會引起黏性阻力顯著增加,需要較高的初始入口壓力以滿足流動條件.此外,隨飽和度增加,注入壓力逐漸降低,快突破時,入口壓力快速下降(圖7f).這是因為隨兩相界面推進(jìn),流體前緣到出口的距離逐漸縮短,被驅(qū)替相飽和度降低,黏性阻力急劇減小.因此,還可以通過判斷壓差的波動規(guī)律和入口壓力是否大幅下降來定性區(qū)分不同的驅(qū)替模式.

圖7 (a)、(b)、(c) 毛管指進(jìn),過渡區(qū)和黏性指進(jìn)的壓力分布; (d)、(e)、(f) 毛管指進(jìn),過渡區(qū)和黏性指進(jìn)的中心注入壓力Pin和歸一化飽和度Swin/Swmax的演化關(guān)系; (g) 平均注入壓力Pm和不同毛管數(shù)lgCa的關(guān)系

圖7g為整個模擬過程中不同Ca和M情況下注入壓力的平均值Pm.相同Ca時,被驅(qū)替相黏度越大,黏性阻力越大,注入壓力越高.如lgCa=-2.5時,M=1/1000時的入口壓力明顯高于M=1/50時的入口壓力(6.5倍).高Pm導(dǎo)致中間Ca至高Ca情況下M=1/1000時的部分驅(qū)替效率比M=1/50時高,這與前人(Chen et al., 2017, 2018)在二維物理模型實驗中觀察到的現(xiàn)象一致.

2.4 驅(qū)替流體在多孔介質(zhì)中的占比

圖8為M=1/500,不同Ca時,侵入半徑小于平均半徑的總數(shù)(小喉道)和大于平均半徑的總數(shù)(大喉道)與占據(jù)總侵入喉道數(shù)比例.當(dāng)較小的孔喉充滿高黏度原油時,注入壓力難以克服小孔喉中的毛管力與黏性阻力,而更傾向于驅(qū)替阻力更小的大孔喉中的原油,故被驅(qū)替的路徑中大孔喉占比更多.由圖3可以看出,過渡區(qū)流體驅(qū)替路徑中的孔喉數(shù)量比毛管指進(jìn)和黏性指進(jìn)少,波及區(qū)域更小.而圖8表明,雖然過渡區(qū)的驅(qū)替路徑少,但是路徑中的大孔喉占比更多,這是因為隨Ca增加,所有孔喉中的黏性力阻力增加,除小孔喉外,注入壓力也無法克服中等孔喉中的毛管力與黏性力,流體更傾向于進(jìn)入注入壓力與阻力大小更接近的更大孔喉.同時,本文也繪制了突破時的飽和度Sw與所占據(jù)喉道的平均半徑〈rH〉的關(guān)系圖(如圖9所示),也表明〈rH〉在過渡區(qū)處(圖中灰色區(qū)域)具有較大值.

圖8 不同Ca時小喉道和大喉道占據(jù)總侵入喉道數(shù)的比例分布柱狀圖

圖9 平均侵入半徑〈rH〉與飽和度Sw的關(guān)系圖

2.5 驅(qū)替前緣的特征流量

(11)

其中t*是標(biāo)定時間,表示為t*=tqin/(AdR),t是注入時間,突破前的飽和度Sw與t的關(guān)系為Sw=tqin/Vp.

(12)

則由式(11)可得到:

(13)

(14a)

(14b)

(15)

式(15)表明,特征前緣流量與劃分的時間間隔與圓環(huán)數(shù)量無關(guān),而與多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)參數(shù)(即Ad,R,rH和Vp)相關(guān),其值隨飽和度減小而增加,隨侵入平均半徑的增加而增加.

圖10 (a) 平均的特征前緣流量和毛管數(shù)lgCa關(guān)系曲線;(b)和lg(Ca/Ca*)關(guān)系曲線

3 討論

圖11 (a)不同毛管數(shù)和黏度比時水驅(qū)牛頓流體剖面圖; (b) 不同流體注入壓力Pin與歸一化飽和度Swin/Swmax演化關(guān)系; (c) 牛頓流體與非牛頓流體過渡區(qū)比較圖

在低滲儲層中,注水驅(qū)替黏度普遍較高的具有非牛頓流體性質(zhì)的原油需要極大的注入壓力,對實驗設(shè)備要求高,難度大.本文通過對比前人的實驗結(jié)果,驗證了非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模型能用于水驅(qū)牛頓流體研究,并通過牛頓流體與非牛頓流體的注入壓力差異也表明了該模型能體現(xiàn)剪切流變性對驅(qū)替過程的影響,能解釋二者不同驅(qū)替模式所處范圍差異的原因.

4 結(jié)論

(1)非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模型能夠模擬再現(xiàn)由毛管力和黏性力的作用機制而產(chǎn)生的不同驅(qū)替模式,且不同驅(qū)替模式所處的區(qū)域與經(jīng)典相圖給出的各區(qū)域吻合.

(2)本文提出的特征前緣流量可以通過飽和度和平均侵入半徑計算得到,能用于區(qū)分不同黏度比與毛管數(shù)下的毛管指進(jìn)、黏性指進(jìn)和二者之間的過渡區(qū).

(3)非牛頓流體具有比牛頓流體更寬的過渡區(qū).

致謝感謝審稿人的寶貴意見和建議.

附錄A 兩相非穩(wěn)態(tài)模型

流體具有壓縮性,其密度ρ(kg·m-3)隨壓力p(Pa)變化滿足:

ρ=ρ0eCρ(p-p0),

(A1)

其中,p0和ρ0分別為初始壓力和密度,其值會在下一個時間步更新;Cρ為流體的壓縮系數(shù),單位為Pa-1.將公式(A1)按麥克勞林級數(shù)展開并取前兩項可得ρ≈ρ0[1+Cρ(p-p0)].

圖A1 控制體示意圖

流體在控制體中的流動過程遵循質(zhì)量守恒定律,即:

(A2)

(A3)

在控制體中:

(A4)

則控制體內(nèi)任意一個方向:

(A5)

所以:

(A6)

其中〈pij〉=(pi+pj)/2,表示連接相鄰節(jié)點的管道中間壓力,pj為節(jié)點j的壓力.在同一管道中:

(A7)

由式(A2)、(A4)、(A6)、(A7)得:

(A8)

控制體內(nèi)兩相流體流動同樣滿足公式(A2).任意圓管內(nèi),注入流體I和被驅(qū)替流體II的混合流體的密度計算式為:

(A9)

任意節(jié)點i為中心的控制體內(nèi),混合流體的密度計算式為:

(A10)

其中,ρI為注入流體I的密度,ρII為被驅(qū)替流體II的密度,VijI和VijII分別為節(jié)點i和j之間孔喉通道內(nèi)注入流體和被驅(qū)替流體的體積,ViI和ViII為以節(jié)點i為中心的控制體內(nèi)注入流體和被驅(qū)替流體的體積.由于油水密度差異較小,為簡化計算過程,認(rèn)為以節(jié)點i為中心的控制體內(nèi)混合流體的密度與節(jié)點i和j之間孔喉通道內(nèi)混合流體密度相近,則控制體內(nèi)混合流體的有效密度ρeff滿足:

ρij≈ρi=ρeff=ρISI+ρIISII,

(A11)

其中,SI和SII分別為以節(jié)點i為中心的控制體內(nèi)注入流體和被驅(qū)替流體的飽和度.任意控制體內(nèi)混合流體的壓縮系數(shù)滿足:

(A12a)

ρeff=ρeff0eCeffρ(p-p0),

(A12b)

Ceffρ=CISI+CIISII,

(A12c)

其中,Ceffρ為混合流體的有效壓縮系數(shù),ρeff0為初始條件下混合流體的密度,CI和CII分別為注入流體和被驅(qū)替流體的壓縮系數(shù).與非穩(wěn)態(tài)單相滲流模型推導(dǎo)中采用的方法類似,可以得到兩相滲流數(shù)學(xué)模型:

(A13)

其中,gijeff為兩相流體的等效傳導(dǎo)率,pcij為節(jié)點i和j之間孔喉中兩相流體的毛管力,μeff為節(jié)點i和j之間混合流體的有效黏度.

公式(A13)可適用于二維三角形、正方形和六邊形網(wǎng)絡(luò)模型以及三維的SC、FCC、BCC等規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型以及其他復(fù)雜不規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型.

附錄B 模型驗證

圖A2 非穩(wěn)態(tài)孔隙網(wǎng)絡(luò)模擬方法得到的模擬結(jié)果(a,d,g)與Chen和Wilkinson(1985)的實驗結(jié)果(b,e,h)和模擬結(jié)果(c,f,i)的對比圖

根據(jù)Chen和Wilkinson(1985)文獻(xiàn)中描述的物理模型特征,本文也構(gòu)建了λ=1/3和λ=0時孔徑分布相對均勻的孔隙網(wǎng)絡(luò)模型,并使用對應(yīng)的參數(shù)模擬了驅(qū)替過程,如圖A2所示,驅(qū)替形態(tài)呈十字形,具有更少手指和更少彎曲路徑的黏性指進(jìn),這與Tian和Yao(1999)的研究結(jié)果一致.