劉文璽，王曉瑋，唐永壯，呂曉軍，譚 路

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院,湖北武漢 430033)

0 引言

加肋圓柱殼是潛艇等水下航行器的基本結(jié)構(gòu)，研究加肋圓柱殼的振動(dòng)特性對(duì)于降低水下航行器的振動(dòng)，提高水下潛器的隱蔽性在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中顯得極為重要。

傳統(tǒng)的加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的肋骨是等間距布置的，把相鄰2 個(gè)肋骨間環(huán)形殼板看作一個(gè)結(jié)構(gòu)單元，那么，整個(gè)圓柱殼是由多個(gè)結(jié)構(gòu)單元沿軸向依次連接構(gòu)成的，這樣的結(jié)構(gòu)可以稱為周期結(jié)構(gòu)。在工程實(shí)際和理論研究中，周期性結(jié)構(gòu)廣泛存在，如耦合振子鏈系統(tǒng)、耦合多跨梁、耦合質(zhì)量擺模型、肋骨周期布置的加筋板等，學(xué)者們對(duì)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了大量的研究[1–2]，結(jié)果表明：周期結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)幅值在某些頻帶較大，這些頻帶被稱為“通頻帶”，在通頻帶內(nèi)，整體振動(dòng)能量大；通頻帶之間為“止頻帶”。結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)能量小，結(jié)構(gòu)的通頻帶與止頻帶交替出現(xiàn)[3–4]。從振動(dòng)控制的角度分析，振動(dòng)能量在止頻帶不能遠(yuǎn)距離傳播，被限制于激振源附近[5–6]。因此，為控制周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，應(yīng)盡可能使振動(dòng)頻率處于止頻帶[7–8]。

對(duì)周期結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行不規(guī)則擾動(dòng)，就形成非周期結(jié)構(gòu)。由于非周期結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)單元是隨機(jī)、不規(guī)則分布，因此，結(jié)構(gòu)波在傳播過(guò)程中會(huì)發(fā)生不規(guī)則反射[9]。當(dāng)結(jié)構(gòu)單元分布的不規(guī)則程度達(dá)到一定水平[10]，并且相鄰結(jié)構(gòu)單元的耦合度等參數(shù)滿足一定條件，那么，無(wú)論是在通頻帶還是止頻帶，不規(guī)則反射會(huì)很明顯，能量會(huì)因反射作用而被限制于激振源附近。

對(duì)于非周期結(jié)構(gòu)的一維振動(dòng)，如耦合振子鏈系統(tǒng)、耦合多跨梁等的振動(dòng)，從波動(dòng)的角度看，這些模型都是一維波傳播模型，動(dòng)力學(xué)表達(dá)比較簡(jiǎn)單，主要采用解析法確定振動(dòng)衰減程度[1,9]。對(duì)于非周期結(jié)構(gòu)的二維振動(dòng)以及其他復(fù)雜振動(dòng)，如肋骨非周期布置的加筋板和加肋圓柱殼、封閉的不規(guī)則結(jié)構(gòu)等的振動(dòng)，主要采用數(shù)值模擬、模型試驗(yàn)等方法進(jìn)行研究。對(duì)圓柱殼，主要研究肋骨間距非周期布置對(duì)圓柱殼振動(dòng)的控制作用。結(jié)果表明，肋骨位置的改變主要影響和控制結(jié)構(gòu)在高頻的振動(dòng)，對(duì)低頻振動(dòng)的影響很小，其原因主要是肋骨間的結(jié)構(gòu)波是短波，結(jié)構(gòu)短波主要影響圓柱殼高頻振動(dòng)[10–11]。然而，對(duì)實(shí)際的水下大型潛器，如潛艇等，需要降低結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)[12]。

艙段間的結(jié)構(gòu)波是長(zhǎng)波，結(jié)構(gòu)長(zhǎng)波主要影響圓柱殼在低頻段的振動(dòng)。因此，本文以前述肋骨非周期布置圓柱殼振動(dòng)特性研究為基礎(chǔ)，用大肋骨將圓柱殼分成多個(gè)小段，并且各個(gè)小段軸向長(zhǎng)度的布置是非周期的。研究大肋骨非周期布置圓柱殼的振動(dòng)特性，以及通過(guò)將圓柱殼沿軸向分成多個(gè)軸向長(zhǎng)度非周期分布的小段對(duì)長(zhǎng)圓柱殼低頻振動(dòng)的控制作用，為工程實(shí)際提供參考。

1 基本理論

1.1 非周期耦合振子鏈系統(tǒng)振動(dòng)衰減計(jì)算方法

耦合振子鏈系統(tǒng)如圖1 所示，當(dāng)耦合彈簧剛度kc=0時(shí)，各彈簧振子之間沒(méi)有耦合作用。各振子的質(zhì)量均為m，第i個(gè)振子的對(duì)地彈簧剛度為ki=km+αi，αi是小量，表示各對(duì)地彈簧剛度在平均剛度km基礎(chǔ)上的變化量。當(dāng)耦合彈簧剛度kc≠0時(shí)，用傳遞關(guān)系表示耦合振子鏈系統(tǒng)的動(dòng)力關(guān)系[13]為：

圖1 耦合振子鏈系統(tǒng)Fig.1 Coupled oscillator chain system

或

式中：xi為第i個(gè)振子質(zhì)量的位移復(fù)數(shù)幅值；ω為圓頻率；i為振子編號(hào)，i∈(-∞,+∞)，Xi=(xi-1,xi)T為第i個(gè)單元的狀態(tài)，它由第i-1個(gè) 振子和第i個(gè)振子的位移復(fù)數(shù)幅值共同表示，第i個(gè)單元的狀態(tài)通過(guò)狀態(tài)傳遞矩陣Ti變 換為第i+1個(gè) 單元的狀態(tài)Xi+1。

Kissel 等[13–15]對(duì)非周期耦合振子鏈系統(tǒng)的研究表明，當(dāng)各對(duì)地彈簧剛度ki相同，即 αi=0，ki=km時(shí)，系統(tǒng)是周期系統(tǒng)。此時(shí)，當(dāng)圓頻率 ω處于通頻帶內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入的能量能以不衰減的波的形式沿系統(tǒng)傳播，其中波數(shù)k和圓頻率 ω滿足如下關(guān)系式：

式中：ω0為解耦振子的固有頻率，V被稱為耦合系數(shù)，計(jì)算公式為，

其中，通頻帶頻率滿足

如果對(duì)地彈簧剛度受到不規(guī)則擾動(dòng)，即 αi≠0，那么系統(tǒng)成為非周期系統(tǒng)。此時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入系統(tǒng)的能量以指數(shù)衰減形式沿系統(tǒng)傳播。將第1 個(gè)振子的能量用e1表示，能量傳遞到第N個(gè)振子時(shí)變?yōu)閑N，那么振動(dòng)能量衰減率 γN可表示為：

式中，γN稱為振動(dòng)能量衰減率，表示非周期系統(tǒng)中相鄰單元對(duì)輸入能量的的平均指數(shù)衰減率。當(dāng)N→∞時(shí)，振動(dòng)能量衰減率為[13–15]：

1.2 圓柱殼模型的振動(dòng)等效參數(shù)

將加肋圓柱殼的徑向振動(dòng)等效為耦合振子鏈的振動(dòng)，獲得振動(dòng)等效參數(shù)以及圓柱殼的振動(dòng)能量衰減率計(jì)算公式。

首先，構(gòu)造周期和非周期圓柱殼模型。

加肋圓柱殼模型如圖2 所示。用大肋骨將圖2 所示的模型沿軸向等分成盡量多的小段，本文取24 段，如圖3 所示。每個(gè)大肋骨的截面形狀和尺寸相同，如圖4 所示。圓柱殼的主尺度、板厚、環(huán)向肋骨及材料參數(shù)如表1 所示。

表1 圓柱殼模型主要尺度Tab.1 framed cylindrical shell model main dimensions

圖2 圓柱殼模型Fig.2 Ribbed cylindrical shell model

圖3 用大肋骨等分Fig.3 Devide into 20 equal parts by big frames

圖4 大肋骨截面形狀Fig.4 Big frame model

如圖3 所示，圓柱殼模型的相鄰大肋骨的間距l(xiāng)為常數(shù)，記作 ?l，?l=3.8 m。保持大肋骨數(shù)量不變，改變每個(gè)大肋骨的軸向位置，改變量是小量并使相鄰大肋骨之間的軸向距離分布是不規(guī)則的、隨機(jī)的。

改變量服從均勻概率分布，其中第g號(hào)大肋骨的軸向位置xg滿足概率密度函數(shù)：

式中：P(xg) 為隨機(jī)變量xg的概率密度函數(shù)；?x/2為大肋骨軸向位置的最大改變量，其具體取值是根據(jù)相鄰大肋骨之間的平均距離以及研究問(wèn)題的需要等因素確定。相鄰大肋骨之間的軸向距離l=xg+1-xg是隨機(jī)變量，其平均值等于上述的 ?l，標(biāo)準(zhǔn)方差σ2(l)=(?x)2/6[11]。

為了研究振動(dòng)沿圓柱殼軸向的衰減規(guī)律，在圓柱殼端部的一根環(huán)形肋骨上施加簡(jiǎn)諧激振力，激振力沿著圓柱殼截面的徑向作用在肋骨上的一點(diǎn)，激振力的頻率范圍是1～1000 Hz。

將周期圓柱殼的振動(dòng)進(jìn)行分解并獲得振動(dòng)等效參數(shù)。用有限元法分析圓柱殼在激振力作用下的響應(yīng)，得到圓柱。

殼的徑向振動(dòng)速度場(chǎng)v(θ,x,f)。其中，x表示圓柱殼軸向位置；θ表示周向位置；f表示激振力頻率。用波數(shù)分析法對(duì)徑向振動(dòng)速度場(chǎng)進(jìn)行分解。文獻(xiàn)[16]對(duì)波數(shù)分析法進(jìn)行了詳細(xì)地闡述。將v(θ,x,f)分解為系列行進(jìn)波疊加，即

式中：Vc和Vs表示各行進(jìn)波分量的復(fù)數(shù)幅值；每一分量的頻率、軸向波數(shù)、周向振動(dòng)模式和對(duì)稱模式分別用f，kx，n和上標(biāo)c，s 表示。Vc和Vs的具體表達(dá)式為：

當(dāng)激振力頻率為f、圓柱殼截面周向振動(dòng)模式為n時(shí)，軸向波數(shù)是kx的行進(jìn)波具有的振動(dòng)能量計(jì)算如下：

將W(n,kx,f) 對(duì)kx積分，得到頻率為f時(shí)圓柱殼截面以周向振動(dòng)模式n振動(dòng)的總能量：

截面周向振動(dòng)模式n一定時(shí)，截面振動(dòng)能量沿軸向的分布用計(jì)算式為：

做出一定周向振動(dòng)模式下的En～f曲線，n=2 時(shí)的En～f曲線如圖5 所示。將每個(gè)通頻帶的振動(dòng)等效為耦合振子鏈的振動(dòng)[11]，根據(jù)式（2）～式（4）可知，通頻帶的下限頻率相當(dāng)于解耦彈簧振子的固有頻率，等效耦合系數(shù)由通頻帶的帶寬、中心頻率確定。對(duì)一個(gè)具體的通頻帶，如果其上、下限頻率分別是ω+=2πf+、ω-=2πf-，那么相應(yīng)的振動(dòng)等效參數(shù)分別為：

圖5 n=2 時(shí)的 En ～f曲線Fig.5 En ～f curve for n=2

將圓頻率 ω 用頻率f表示，則有：

式中：ωc，fc為通頻帶中心頻率；?ω=ω+-ω-或?f=f+-f-為通頻帶的帶寬。

將圓頻率 ω用頻率f表示，則有，

由式（15）可知，要計(jì)算 γ(f)，先要確定周期圓柱殼某一周向振動(dòng)模式n下的通頻帶的帶寬 ?f、中心頻率fc、下限頻率f-（即f0），以及非周期圓柱殼大肋骨布置的不規(guī)則程度 ?x/?l等參數(shù)，然后就可計(jì)算通頻帶內(nèi)不同頻率時(shí)的 γ(f)。

2 圓柱殼振動(dòng)能量衰減率的理論計(jì)算

本文主要研究大肋骨非周期布置對(duì)圓柱殼在低頻段的振動(dòng)控制作用，因此，要確定對(duì)低頻振動(dòng)貢獻(xiàn)大的周向振動(dòng)模式，分析圓柱殼振動(dòng)衰減率與大肋骨間距布置不規(guī)則程度之間的關(guān)系等。

首先要獲得圖3 所示的周期圓柱殼振動(dòng)等效參數(shù)。采用有限元法，以1Hz 為步長(zhǎng)，計(jì)算頻率f在1～1 000 Hz 范圍內(nèi)變化時(shí)周期圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)，以此為基礎(chǔ)，采用波數(shù)分析法，分別獲得周向振動(dòng)模式n=0，1，……，15 時(shí)的En～f曲線，確定對(duì)低頻振動(dòng)貢獻(xiàn)大的周向振動(dòng)模式。然后根據(jù)式（14）獲得低頻段范圍內(nèi)各通頻帶等效參數(shù)f0和V。圖6 為周期圓柱殼各周向振動(dòng)模式的能量以及圓柱殼總的振動(dòng)能量隨頻率的變化規(guī)律?？芍诘皖l段，如120 Hz 以下，對(duì)總振動(dòng)貢獻(xiàn)大的是n=2，3，4 階周向振動(dòng)模式，并且在低頻段，n=2，3，4 的En～f曲線只有一個(gè)通頻帶。在獲得通頻帶等效參數(shù)f0和V后，對(duì)大肋骨布置不規(guī)則程度參數(shù) ?x/?l取一系列的值，也就獲得了一系列非周期圓柱殼模型。用式（15）分別計(jì)算各個(gè)非周期圓柱殼的振動(dòng)能量衰減率。如圖7 所示，?x/?l=4 0%時(shí)，周向振動(dòng)模式n，分別取2，3，4 的振動(dòng)能量衰減率在通頻帶內(nèi)隨頻率變化的規(guī)律。

圖6 各周向振動(dòng)模式下的 En ～f曲線（頻率范圍）Fig.6 En ～f curves of some typical circumferential modes

圖7 振動(dòng)能量衰減率隨頻率的變化曲線（?x/?l=40%）Fig.7 Vibration attenuation rate as a function of frequency（?x/?l=40%）

由圖7 可知，在與各周向振動(dòng)模式相應(yīng)的通頻帶內(nèi)，振動(dòng)能量衰減率 γ隨頻率的增大而減小，并且隨著頻率的增大，振動(dòng)衰減變慢，振動(dòng)衰減程度變小。因此，大肋骨不規(guī)則布置控制的是圓柱殼的低頻振動(dòng)。

根據(jù)式（15），當(dāng)激振力頻率f一定時(shí)，振動(dòng)能量衰減率與 ?x/?l的平方成正比，為了直觀地顯示?x/?l對(duì)振動(dòng)能量衰減率的影響規(guī)律，做出通頻帶中心頻率處振動(dòng)能量衰減率隨 ?x/?l變化的曲線，如圖8 所示。可以看出，無(wú)論在哪個(gè)周向振動(dòng)模式下，?x/?l的增大將導(dǎo)致振動(dòng)能量衰減率迅速增大。因此，為了增強(qiáng)振動(dòng)控制，應(yīng)適當(dāng)增大 ?x/?l。

圖8 振動(dòng)能量衰減率隨 ?x/?l的變化曲線Fig.8 Vibration attenuation rate curve as a function of?x/?l in pass band

3 振動(dòng)衰減的數(shù)值模擬

通過(guò)數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證大肋骨間距非周期布置對(duì)圓柱殼振動(dòng)傳遞的控制效果。

?x/?l由小到大取一系列的值，對(duì)于每一個(gè) ?x/?l值，按照式（8）用隨機(jī)函數(shù)確定大肋骨在圓柱殼軸向的位置，建立非周期圓柱殼有限元模型，如圖9 所示。

圖9 非周期圓柱殼有限元模型Fig.9 FE model of disordered cylindrical shell

采用有限元法、波數(shù)分析法分析非周期圓柱殼的振動(dòng)特性，并與周期圓柱殼進(jìn)行比較。圖10（a）、10（b）、10（c）分別為n=2，3，4 階時(shí)，周期與非周期圓柱殼的En～f曲線的對(duì)比圖。可以看出，在通頻帶，尤其是頻帶中部，大肋骨非周期布置使圓柱殼振動(dòng)衰減，而且衰減程度隨著 ?x/?l值的增大而增強(qiáng)。

圖10 En ～f曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of En ～f curves

為了直觀顯示振動(dòng)從振源開(kāi)始沿圓柱殼軸向向遠(yuǎn)離振源方向的傳遞特性，根據(jù)式（13）計(jì)算圓柱殼截面的振動(dòng)能量，從而得到截面振動(dòng)能量沿軸向的變化規(guī)律。以周向振動(dòng)模式n=3、激振力頻率f等于通頻帶下限頻率60Hz 為例，分別做出 ?x/?l=30%、35%、40%、45%、50%時(shí)，截面振動(dòng)能量隨截面軸向位置變化的曲線，如圖11 所示。振動(dòng)能量呈震蕩特征，但是，從軸向看，隨著距離振源的距離的增大，振動(dòng)能量呈衰減分布。式（15）是采用理論推導(dǎo)的方法得到γ的解析式，γ表示振動(dòng)能量在空間的衰減率。因此，可以做出與 γ相對(duì)應(yīng)的振動(dòng)能量衰減線，衰減線是傾斜直線，斜率等于 γ。由震蕩曲線和傾斜直線的對(duì)比可知，通過(guò)理論方法能夠較準(zhǔn)確地確定圓柱殼振動(dòng)能量沿著軸向的衰減規(guī)律。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)大肋骨將圓柱殼分成多個(gè)軸向長(zhǎng)度隨機(jī)分布的小段艙段，研究大肋骨的不規(guī)則布置對(duì)圓柱殼振動(dòng)傳遞的控制作用，得出如下結(jié)論：

1）可以用耦合振子鏈系統(tǒng)振動(dòng)能量衰減率理論公式計(jì)算圓柱殼的振動(dòng)能量衰減率。將圓柱殼的徑向振動(dòng)等效為不同周向振動(dòng)模式的一維振動(dòng)的疊加，將一維振動(dòng)等效為耦合振子鏈的振動(dòng)，從而就可以用耦合振子鏈系統(tǒng)振動(dòng)能量衰減率理論公式計(jì)算圓柱殼的振動(dòng)能量衰減率。通過(guò)與數(shù)值模擬的結(jié)果比較可知，可以采用上述方法研究圓柱殼振動(dòng)能量衰減特性。

2）在低頻段，圓柱殼振動(dòng)能量衰減率隨頻率增大而減小，隨 ?x/?l的增大而增大。在低頻段的通頻帶，在頻率下限振動(dòng)能量衰減率最大，隨著頻率的增大，振動(dòng)能量衰減率迅速減小，然后緩慢減小，在頻率上限處振動(dòng)能量衰減率最小。當(dāng)其他參數(shù)不變，圓柱殼的振動(dòng)能量衰減率與 ?x/?l的平方成正比，并且當(dāng)n較大時(shí)，振動(dòng)能量衰減率隨 ?x/?l的增大程度比n較小時(shí)更明顯。

3）用大肋骨將圓柱殼分成多個(gè)軸向長(zhǎng)度隨機(jī)分布的小段，可以構(gòu)造非周期圓柱殼結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)能夠控制振動(dòng)沿著圓柱殼軸向向遠(yuǎn)離振源方向的傳遞，從而達(dá)到減弱圓柱殼整體振動(dòng)水平的目的。