文/趙維坤
同學(xué)們,代數(shù)發(fā)展的歷史經(jīng)歷了三個主要階段:公元3 世紀(jì)之前,人們主要用文字描述來表示數(shù);接著,古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖首次引進(jìn)縮寫字母來代表未知的量,這個階段可以稱為半符號化階段;數(shù)學(xué)真正進(jìn)入符號代數(shù)階段,始于“代數(shù)學(xué)之父”法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)的創(chuàng)新,他系統(tǒng)地使用字母表示已知量、未知量,讓字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運算,這才是代數(shù)的真正開始。
下面,我們通過動手操作、觀察、猜想、推理、歸納等活動,在形象感知的基礎(chǔ)上,找出規(guī)律、列出代數(shù)式,感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性。
連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。如圖1 所示的四邊形,我們可以畫出2條對角線。
圖1
同學(xué)們可以嘗試畫出五邊形、六邊形,并分別畫出五邊形、六邊形的所有的對角線。
猜想七邊形對角線的條數(shù),然后畫出七邊形,并畫出它所有的對角線,驗證你的猜想。
隨著多邊形邊數(shù)的增加,其對角線的條數(shù)也在變化。請同學(xué)們嘗試寫出多邊形的邊數(shù)n與其對角線的條數(shù)m之間的關(guān)系。
如圖2,請同學(xué)們按照前4 個圖形中棋子的擺放規(guī)律,依次在后兩個圖形上擺放棋子。
圖2
照此擺法,九邊形圖形中棋子總數(shù)是多少?我們可以通過畫出九邊形來驗證自己的猜想。那么,n邊形呢?
如圖3,每個圖形都是由邊長為1 的單位長度的小正方形按照某種規(guī)律排列組成的。
圖3
請同學(xué)們手腦并用,做如下操作:
(1)按上述畫圖方式畫出第4個圖形;
(2)猜想:第5 個圖形中小正方形的個數(shù);
(3)思考:第n個圖形由多少個小正方形組成?
同學(xué)們,用字母表示數(shù)量關(guān)系更具有一般性,能給我們解決問題帶來便利。正如著名天文學(xué)家、物理學(xué)家開普勒所說,“數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系”,希望同學(xué)們帶著數(shù)學(xué)的眼光繼續(xù)打開“代數(shù)”知識的大門。