周生通, 謝陽泉, 肖 乾, 陳道云, 朱海燕

(1.華東交通大學 載運工具與裝備教育部重點實驗室,南昌 330013;2.華東交通大學 軌道交通基礎(chǔ)設施性能監(jiān)測與保障國家重點實驗室,南昌 330013)

近年來,隨著我國高速鐵路的快速發(fā)展,國內(nèi)動車組列車的營運速度已普遍提速到300 km/h左右,部分線路實現(xiàn)了常態(tài)化350 km/h高標運營,而最新研制的復興號高速綜合檢測列車更是在2022年4月21日濟南至鄭州高鐵濮陽至鄭州段跑出了單列435 km/h的速度,為我國400 km/h等級的高速動車組列車順利研制提供重要支撐。作為車輛最終承力部件,動車輪對不但像拖車輪對一樣承受來自車體、轉(zhuǎn)向架傳遞來的全部靜動載荷,確保車輛沿鋼軌安全走行,還要傳遞來自牽引驅(qū)動裝置的驅(qū)動力矩,是一個典型的同時存在彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向變形的高速轉(zhuǎn)子部件,具有復雜的彎扭軸振動特性。事實上,在高速運行環(huán)境下,動力輪對系統(tǒng)持續(xù)受到來自輪軌接觸、齒輪嚙合以及軸箱軸承等產(chǎn)生的高頻沖擊振動作用,然而這些高頻激勵在傳統(tǒng)的忽略柔性的輪對剛體模型中是難以被有效考慮的[1]。另一方面,高速帶來的輪對轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn),使得動力輪對系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)陀螺效應變得更加顯著,系統(tǒng)模態(tài)信息也更加豐富[2,3]。因此,在高速列車動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性研究中,充分考慮輪對的柔性、旋轉(zhuǎn)陀螺效應及其約束彈性對準確把握其動力學特性具有重要意義。

列車在軌道上高速行駛時,構(gòu)成動力輪對系統(tǒng)的輪對、齒輪、軸承等零部件均承受著從車體、鋼軌等各方面?zhèn)鬟f過來的靜、動作用力,動力輪對系統(tǒng)從本質(zhì)上形成了一個復雜的具有彈性變形的動力學系統(tǒng),而全面把握這一系統(tǒng)的動力學行為,要求能夠正確建立充分反映輪對振動特性的精細動力學模型。在傳統(tǒng)軌道車輛系統(tǒng)動力學中,輪對通常被模擬為剛體,但剛性輪對僅適用于低頻范圍(0～30 Hz)內(nèi)的動力學研究[4,5]。然而,研究發(fā)現(xiàn)自下而上傳遞的輪軌相互作用力中還包含大量的高頻激勵,相較于傳統(tǒng)的剛性輪對動力學模型,考慮輪對柔性的動力學模型更符合高速列車的實際運行情況[6]。目前,關(guān)于柔性輪對的建模方法主要有集總參數(shù)法[7]、連續(xù)體法[8]、傳遞矩陣法[9]、假設模態(tài)法[10]等。但這些輪對建模方法都對模型進行了較大程度上的簡化和等效,無法保證模型的完整性和分析的準確性。事實上,隨著有限元技術(shù)的發(fā)展和成熟,適用于復雜結(jié)構(gòu)和邊界的有限單元法在輪對建模中逐漸被關(guān)注和應用。當前,構(gòu)建輪對的有限元模型主要有實體模型與梁模型兩種。其中實體模型多是借助有限元軟件以實體單元離散,然后導入多體動力學軟件(如SIMPACK、UM等)中進行輪對剛?cè)狁詈隙囿w動力學仿真研究[11],但實體模型計算成本昂貴且在軟件仿真時難以考慮輪對旋轉(zhuǎn)陀螺效應。相比之下,梁單元模擬在滿足計算精度的同時還具有計算效率高的特點,在考慮其他因素時單元整合也更為簡便。因此,以梁單元模擬輪對的方式也得到了不少學者的青睞。在基于梁理論的輪對建模方面,Liu等[12]以有限元實體模型結(jié)果為參照,對比研究了基于歐拉伯努利梁和鐵木辛柯梁的傳遞矩陣方法,發(fā)現(xiàn)考慮剪切效應的鐵木辛柯梁能更好地反映輪對的動力學固有特性。另一方面,針對高速運行下的輪對陀螺效應,楊柳[13]、王滋昊等[14]基于轉(zhuǎn)子動力學有限元理論以梁單元方式構(gòu)建了輪對的有限元模型,并分別針對機車牽引傳動系統(tǒng)的振動模態(tài)分析、偏心狀態(tài)下輪對轉(zhuǎn)子動力學響應等問題開展研究。不過,現(xiàn)有基于梁理論的輪對轉(zhuǎn)子動力學特性研究中,輪對梁轉(zhuǎn)子模型大多止步于描述彎曲振動的四自由度梁模型,但能夠同時描述彎扭、彎軸和彎扭軸等耦合振動特性的五自由度和六自由度梁模型采用較少,使得全自由度下輪對動力學特性研究不足。

此外,高速運行的動力輪對轉(zhuǎn)子受到來自輪軌接觸和軸箱軸承的彈性約束作用。在非線性瞬態(tài)動力學研究中,這些約束彈性的作用大多被簡化為非線性激勵力予以考慮[15],但在振動特性研究中則需合理等效線性化為彈簧阻尼元件[16]。例如:王滋昊等在模擬某輪對-車軸系統(tǒng)時就將軸承所在的彈性支承簡化為了彈簧阻尼單元,但在固有特性和臨界轉(zhuǎn)速研究中未考慮輪軌接觸彈性的影響;楊柳等[17]則采用有限元思想將非線性的輪軌作用力和軸承約束力轉(zhuǎn)化為相應的彈簧阻尼單元矩陣。不過,在輪軌接觸彈性約束方面,現(xiàn)有研究大多僅考慮了輪軌接觸對車輪法向(即垂直于車軸方向)的彈性限制,忽略了車輪踏面錐度引起的軸向接觸彈性。

綜上所述,本文聚焦現(xiàn)有輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在振動特性建模與仿真中的不足,在充分考慮輪對柔性、陀螺效應和約束彈性的基礎(chǔ)上,以典型高速列車動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象,建立基于鐵木辛柯梁轉(zhuǎn)子有限元理論的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭軸有限元模型,推導出模擬輪軌約束彈性的線性化有限單元,并詳細探討動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向振動特性規(guī)律以及典型外部激勵作用下動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振穩(wěn)定性問題。

1 動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型

1.1 動力輪對結(jié)構(gòu)離散與方程建立

如圖1所示,高速列車動力輪對轉(zhuǎn)子部分主要由左右車輪(含輪盤)、車軸和牽引大齒輪組成,并通過位于左右兩側(cè)的輪軌關(guān)系和軸箱軸承分別與鋼軌和轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)相接。為了研究動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性,將軸箱軸承外圈和鋼軌視作固定約束,以梁轉(zhuǎn)子有限元思想進行結(jié)構(gòu)離散,其中,車軸結(jié)構(gòu)離散為梁轉(zhuǎn)子單元,并在軸肩、車輪、軸承、齒輪等位置離散網(wǎng)格;車輪和齒輪結(jié)構(gòu)等效為剛性圓盤單元,附在對應位置節(jié)點上;輪軌接觸和軸箱軸承的約束彈性則以線性化的彈簧阻尼單元模擬。離散后的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型如圖2所示,其中OXYZ為整體坐標系,Z軸沿輪對軸線方向、Y軸沿輪對垂向、X沿輪對縱向。

圖1 動力輪對結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of power wheelset

圖2 動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.2 Finite element model of power wheelset rotor system

將各單元矩陣組裝成整體矩陣,可得動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學微分方程為

(1)

式中,M,C,K,G和F分別為系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、單位轉(zhuǎn)速下的陀螺矩陣以及外力列向量。其中M,G矩陣主要由模擬車軸的梁轉(zhuǎn)子單元以及模擬車輪和齒輪的剛性圓盤單元貢獻;K矩陣則除了由車軸貢獻外,還包括輪軌接觸約束和軸箱軸承約束的彈性貢獻;Ω為輪對轉(zhuǎn)速。考慮到本文僅研究動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎扭軸模態(tài)特征,故直接令外力向量F=0,且忽略阻尼矩陣C,則可得如下自由振動狀態(tài)空間方程

(2)

1.2 基于等效圓錐踏面的線性化輪軌接觸單元

輪軌接觸彈性是影響輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的關(guān)鍵因素。為了方便推導線性化的輪軌接觸單元矩陣,這里對輪軌接觸關(guān)系作一定的簡化處理:①車輪踏面被等效為錐角為2α的錐面;②忽略車輪和鋼軌的本體彈性以及輪軌切線接觸彈性,僅考慮輪軌法向接觸彈性;③鋼軌接觸表面為連續(xù)外凸曲面,與車輪等效錐面始終保持單點接觸。按照赫茲非線性彈性接觸理論,輪軌法向作用力可表達為

(3)

式中:G為輪軌接觸常數(shù);δ(t)為輪軌法向接觸壓縮量。顯然,輪軌接觸法向作用力是一個非線性函數(shù)。為了研究輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性,將非線性輪軌法向力線性化,可獲得線性化的輪軌法向接觸剛度

(4)

特別地,如圖3(a)所示,在任意軸重載荷W作用下,輪軌接觸點B將產(chǎn)生法向作用力Fn,若假設相應的輪軌法向接觸壓縮量為δ0,即δ(t) =δ0,那么由式(3)和式(4)即可得車輛軸重平衡狀態(tài)下的輪軌法向作用力和線性化接觸剛度分別為

圖3 車輪軸向位移下的力學分析Fig.3 Mechanical analysis of wheel under axial displacement

(5)

(6)

顯然,該平衡狀態(tài)下的輪軌接觸彈性可由圖3(a)中接觸點B1和B2間的線性化彈簧阻尼元件(kn0,cn0)表達。但受到接觸位置和方位的影響,該等效線性化元件無法直接集成到輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方程。

1.2.1 右輪軌接觸單元

為了將上述輪軌法向接觸彈性引入輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元方程,這里以右側(cè)輪軌接觸為分析對象,定義如圖3(b)所示的右輪軌接觸單元。其中,節(jié)點1位于車輪滾動圓中心,具有六個自由度并定義節(jié)點位移向量δ1=[u1,v1,w1,θ1,φ1,ψ1]T;節(jié)點2位于鋼軌截面質(zhì)心,同樣具有六個自由度且位移向量為δ2=[u2,v2,w2,θ2,φ2,ψ2]T,但由于本文假設鋼軌底面固結(jié)且不考慮鋼軌本體彈性,因此節(jié)點2等效于接地,自由度為0。相應地,該輪軌接觸單元剛度矩陣是一個6×6矩陣,經(jīng)推導,單元矩陣形式為

(7)

可以看到單元矩陣中僅在車輪沿y軸沉浮(v)、沿z軸橫移(w)和繞x軸側(cè)滾(θ)三個自由度上存在元素,這是由于該單元僅考慮了輪軌法向接觸彈性,而該彈性僅在平面oyz內(nèi)提供剛度貢獻。下面分別利用剛度影響系數(shù)法和能量法推導該右輪軌接觸單元矩陣。

1.2.2 基于剛度影響系數(shù)法的單元剛度矩陣計算

按照剛度影響系數(shù)法,若使剛體車輪在第j個自由度上產(chǎn)生單位位移而相應在車輪第i個自由度上所施加的力或力矩即為輪軌接觸單元矩陣的元素kij。為此,如圖4所示,在局部坐標系oxyz下,令車輪沿z向橫移自由度發(fā)生單位位移w=1,那么由于剛性鋼軌約束限制,車輪受到的附加輪軌接觸法向反力為

圖4 基于剛度影響系數(shù)法的右輪軌受力分析Fig.4 Force analysis of right wheel-rail based on stiffness influence coefficient method

(8)

(9)

式中,lOA為局部坐標系原點到接觸點法線的距離,大小表達為

lOA=lOBsin(α+β)

(10)

式中,lOB為原點到接觸點B的距離;β為OB與y軸的夾角。

同理,使車輪沿y軸和繞x軸分別產(chǎn)生垂向和側(cè)滾方向上的單位位移,即v= 1和θ= 1,同樣會在接觸點B引起附加輪軌接觸法向反力,即

(11)

(12)

顯然,由于單位位移v=1和θ=1是減少輪軌接觸法線壓縮程度的,所以產(chǎn)生的附加反力與w=1時存在一個負號差異。相應地,可得右輪軌接觸單元的其余元素

kvv=-Fyv=-Fnvsin(π/2+α)=kncos2α,
kwv=-Fzv=-Fnvcos(π/2+α)=-knsinαcosα,
kθv=-Mxv=-FnvlOA=knlOAcosα

(13)

(14)

此外,若令沿x軸伸縮(u)、繞y軸搖頭(φ)和繞z軸點頭(ψ)三個自由度分別產(chǎn)生單位位移,即u=1,φ=1和ψ=1,可以看到:由于僅考慮輪軌單點接觸的法向彈性,使得這三個方向上的位移并不產(chǎn)生附加的輪軌法向作用力,故而這三個自由度所對應的矩陣元素全為零。

綜上,用前述計算的表達式重寫右輪軌單元矩陣,同時為簡化書寫僅保留含非零元素的列與行,有

(15)

1.2.3 基于能量法的單元剛度矩陣計算

若利用能量法推導輪軌接觸單元剛度矩陣,則需首先表達出單元勢能,進而代入拉格朗日方程實現(xiàn)單元剛度矩陣的推導。如圖3(a)所示,輪軌法向接觸特性被等效線性化為一個彈簧阻尼元件,因此可按彈簧原理表達單元勢能,即

(16)

式中,δn為輪軌相對運動在接觸點B處引起的法向壓縮量,可由車輪側(cè)接觸點B1和鋼軌側(cè)接觸點B2的相對位移在法線上的投影計算得到?？紤]到本文假設鋼軌底面固結(jié)且不考慮其本體彈性,于是依據(jù)剛體上任意一點的位移關(guān)系,利用單元節(jié)點1的位移表達出接觸點B1的位移

(17)

式中,參數(shù)b和c分別為接觸點B距離單元坐標系y軸和z軸的距離。進一步將位移分解到法線方向,可得由單元節(jié)點位移δ1=[u1,v1,w1,θ1,φ1,ψ1]T引起的輪軌接觸方向壓縮量

δn=wB1sinα-vB1cosα=

(w1-bθ1)sinα-(v1+cθ1)cosα=Tδ1

(18)

將式(18)代入式(16)獲得由單元節(jié)點位移表達的勢能,進一步按照拉格朗日方程可得到單元剛度矩陣

(19)

結(jié)果表明式(19)的矩陣運算結(jié)果與式(15)相同,即所采用的剛度影響系數(shù)法和能量法的推導結(jié)果一致。

1.2.4 左輪軌接觸單元矩陣

左輪軌接觸單元矩陣可采用前述同樣方法推導,如圖5所示。不過,觀察發(fā)現(xiàn):左右輪軌在結(jié)構(gòu)上存在鏡像關(guān)系,即角度α和β在左、右兩輪中的方位恰好是相反的,因此只需將右輪軌接觸單元計算公式中的α和β分別用-α和-β替換即可得左輪軌接觸單元矩陣,于是

圖5 基于剛度影響系數(shù)法的左輪軌受力分析Fig.5 Force analysis of left wheel-rail based on stiffness influence coefficient method

(20)

需要指出的是,雖然前述線性化輪軌接觸單元是在等效圓錐車輪踏面基礎(chǔ)上推導的,但單元矩陣表達式同樣適用于車輪真實踏面,應用時僅需利用諸如跡線法等將輪軌接觸點B的實際位置確定,并提取接觸點的位置信息(如lOB或lBD)和輪軌接觸角代入單元矩陣表達式,即可獲得對應狀態(tài)下的線性化輪軌接觸單元矩陣。

2 模型求解與結(jié)果驗證

以某型高速動車組列車的動力輪對為研究對象,按照前述方法建立其梁轉(zhuǎn)子有限元模型。其中車輪質(zhì)量為393 kg,直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量分別為27.3 kg·m2和53.7 kg·m2;大齒輪質(zhì)量為76 kg,直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量分別為1.56 kg·m2和3 kg·m2;軸箱軸承剛度為1×108N/m;車軸彈性模量為205.8 GPa,密度為7 850 kg/m3。在估算輪軌接觸單元剛度矩陣時,取軸重15 t,車輪半徑0.46 m,等效錐形踏面斜度1 ∶10,輪軌接觸點B與車輪質(zhì)心平面的水平距離lBD=10 mm(見圖5)?？紤]到我國高速列車還有提速的空間,取假設的車輛行駛速度為400 km/h,換算為動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為Ω=2 298.9 r/min。注:后續(xù)凡未明確轉(zhuǎn)速信息的模態(tài)結(jié)果均是指Ω=2 298.9 r/min時的計算結(jié)果。

在前述已知的模型數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上,利用自編的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)MATLAB有限元程序,計算轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖、模態(tài)振型以及前4階臨界轉(zhuǎn)速。同時,為了驗證結(jié)果正確性,借助ANSYS轉(zhuǎn)子動力學功能模塊,添加自定義的輪軌接觸單元,建立等價的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)ANSYS有限元模型,計算模態(tài)結(jié)果。兩種模型結(jié)果如圖6、圖7和表1所示。注: B1和F1分別為第1階反渦動和正渦動彎曲振型;T1和A1分別為第1階扭轉(zhuǎn)振型和軸向振型。

圖6 兩種模型的坎貝爾圖對比Fig.6 Comparison of Campbell diagram between two models

圖7 兩種模型的模態(tài)信息對比Fig.7 Comparison of modal information between two models

從圖6、圖7和表1可以看出,MATLAB模型得到的坎貝爾圖及其前4階彎曲模態(tài)(振型和固有頻率)和ANSYS模型吻合度較好,且前4階臨界轉(zhuǎn)速也相符合,最大誤差僅0.139 %。因此,驗證了所編制的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)MATLAB有限元程序的正確性。

3 彎扭軸模型下模態(tài)結(jié)果分析

為了更詳細地分析0～300 Hz內(nèi)動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎扭軸模態(tài)變化規(guī)律,這里進一步設計四種不同自由度的模態(tài)模型,即四自由度的彎曲模型(模型1)、五自由度的彎扭模型(模型2)、五自由度的彎軸模型(模型3)以及六自由度的彎扭軸模型(模型4,亦即全自由度模型)。考慮到模型4結(jié)果的完備性和篇幅限制,這里僅列出模型4在400 km/h下的模態(tài)數(shù)據(jù)且模態(tài)階數(shù)亦按該數(shù)據(jù)編號,如表2所示。

表2 400 km/m下的模態(tài)數(shù)據(jù)(模型4)

同時,將模型1、模型2和模型3分別得到的坎貝爾圖繪制在圖8,結(jié)合模型4的坎貝爾圖(見圖6),可以發(fā)現(xiàn):相比僅具有彎曲自由度的彎曲模型1,彎扭模型2的坎貝爾圖在所關(guān)注的0-300 Hz頻率范圍內(nèi)新增了一根70.71 Hz的扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)頻率線,而彎軸模型3的坎貝爾圖則是新增了一根63.3 Hz的軸向振動模態(tài)頻率線,其余模態(tài)頻率線則是三種模型所共有的彎曲振動模態(tài)。進一步,對比圖8與圖6,可以看到具有全自由度的模型4的頻率線涵蓋了前三種模型出現(xiàn)的所有頻率線,即包含了全部的彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向模態(tài)信息,并且具有的固有頻率和振型數(shù)據(jù)也基本保持一致。因此,后續(xù)的模態(tài)分析均以彎扭軸(模型4)的結(jié)果展開討論。

圖8 三種自由度模型坎貝爾圖對比Fig.8 Campbell diagram comparison of three degree of freedom models

3.1 彎曲模態(tài)的渦動軌跡及振型分析

首先,分析動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲模態(tài)的渦動軌跡。圖9繪制了左輪(節(jié)點5)、右輪(節(jié)點22)和大齒輪(節(jié)點18)位置處的前4階彎曲振型渦動軌跡。結(jié)合圖7和圖9可以看到,動力輪對轉(zhuǎn)子的彎曲振型均呈現(xiàn)橢圓狀,而且前2階彎曲振型(B1和B2)還整體表現(xiàn)出了嚴重的“扁平”狀(即橢圓長半軸顯著大于短半軸)。究其原因主要是由于輪軌接觸約束彈性的存在造成動力輪對轉(zhuǎn)子在垂向(y向)的支承剛度遠大于縱向(x向)支承剛度,形成了顯著各項異性的支承特性,而且由于左右車輪所在節(jié)點位置較大地參與了第1和第2階彎曲振型(B1和B2),從而使得前2階彎曲振型的渦動軌跡呈現(xiàn)嚴重“扁平”狀。相比起來,左右車輪位置距離第3和第4階彎曲振型(B3和B4)的振節(jié)較近(見圖7),使得輪軌接觸剛度引起的支承剛度各項異性影響變?nèi)?相應的渦動軌跡扁平化現(xiàn)象也相應地變?nèi)?。結(jié)合圖7和圖9可以發(fā)現(xiàn),當外界激勵頻率能夠激發(fā)B1和B2兩階彎曲振型時,動力輪對勢必將產(chǎn)生較大的縱向主振動,易出現(xiàn)車輪打滑現(xiàn)象,致使踏面磨損嚴重;而B3和B4振型激發(fā)下,雖然車輪處振動較小,但兩端的軸箱軸承位置振動垂向較大,易傳遞給車體而引起車體垂向的劇烈振動。

圖9 模型4下前4階彎曲振型渦動軌跡Fig.9 The swirling trajectory of the first four bending modes under model 4

圖10 模型4第9階振型(F1)Fig.10 The 9th mode shape of model 4 (F1)

圖11 模型4第11階振型(F2)Fig.11 The 11th mode shape of model 4 (F2)

此外,觀察圖10和圖11中F1和F2彎曲振型包含的扭轉(zhuǎn)和軸向振動情況,可以發(fā)現(xiàn)軸向振動(量級在10-6)明顯大于扭轉(zhuǎn)振動(量級在10-17或10-18),更接近彎曲振動(量級10-5),這一現(xiàn)象同樣出現(xiàn)在其他階振型中,表明實際中彎軸振動耦合將會明顯高于彎扭振動耦合。這一現(xiàn)象可以解釋為:因為輪軌接觸存在一定傾角,使得輪軌接觸垂向和軸向剛度存在較大耦合關(guān)系,當車輪受到垂向力的作用下,通過接觸傾角產(chǎn)生軸向的分力,進而引起軸向的振動,因此,軸向和彎曲振型的同時出現(xiàn)符合實際情況,而扭振則難以伴隨彎曲、軸向振動一起出現(xiàn)。此外,不難推斷出,由于輪軌接觸剛度的垂向和軸向耦合關(guān)系,使得振型的彎軸振動耦合明顯,同時具有較大的軸向(即對應車體橫向)和垂向振動,這勢必將影響車輛的抗傾覆穩(wěn)定性、蛇形穩(wěn)定性等性能評估。

3.2 模態(tài)頻率線匯交處的振型分析

從圖6可以看到,當動力輪對轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速處在2 000 r/min附近時,模型4的第9階振型和第10階振型對應的頻率線發(fā)生交匯,這種情況同樣存在于模型1～3(見圖8)中。由于該位置所處的車輛實際行駛速度與當前我國350 km/h十分接近,即接近列車實際的復雜高頻運行環(huán)境,因此有必要對交匯位置附近的輪對轉(zhuǎn)子振型作深入分析。

圖12展示了模型4中轉(zhuǎn)速在2 000 r/min附近動力輪對轉(zhuǎn)子的第9、第10階振型演變情況。理論上講,兩者應在頻率交叉點處發(fā)生振型交換,但從圖12中可以看到,隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提升,在1 881～1 991 r/min內(nèi),原本處于第10階的1階正渦動彎曲(F1)消失,使得4階正渦動彎曲振型(F4)同時存在于第9、10階振型。此時,1階彎曲振型僅剩1階反渦動彎曲振型(B1)存在于第2階,而4階彎曲則由于交匯的影響同時出現(xiàn)在3階振型中(即第8階的四階反渦動彎曲振型和第9、第10階的4階正渦動振型)。由于消失的1階正渦動彎曲共振主要表現(xiàn)在垂向上(見圖12(b)),易加劇車輛垂向振動,而加倍出現(xiàn)4階正渦動彎曲共振在兩車輪處主要表現(xiàn)在縱向渦動,使得車輪更易磨損。因此,可以預測在該交匯頻率范圍內(nèi)若存在高頻激勵激發(fā)相應共振,則車輪踏面損傷的可能性將會顯著增加。

圖12 頻率匯交處振型變化情況Fig.12 The change of vibration mode at frequency intersection

3.3 扭轉(zhuǎn)和軸向模態(tài)的振型分析

作為傳遞驅(qū)動力矩和確保列車沿鋼軌走行的關(guān)鍵部件,動力輪對轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)和軸向振動模態(tài)對高速列車動力學性能同樣存在著重要影響,應避免正常工況下可能存在的共振問題。圖13和圖14分別繪制了模型4的扭轉(zhuǎn)振型以及軸向振動振型,結(jié)合圖6和表2可以發(fā)現(xiàn):該動力輪對轉(zhuǎn)子的軸向振型和扭轉(zhuǎn)振型出現(xiàn)的階次非常接近,基本上是在一前一后兩個相鄰的振型,例如T1(70.71 Hz)在A1(63.3 Hz)之后的1階振型出現(xiàn),A2(588.78 Hz)在T2(568.47 Hz)之后出現(xiàn),但到T5(第32階振型,3 370.32 Hz)和A5(第41階振型,4 695.21 Hz)時不再出現(xiàn)這種情況。

圖13 模型4的扭轉(zhuǎn)振型Fig.13 Torsional mode shapes of model 4

圖14 模型4的軸向振型Fig.14 Axial mode shapes of model 4

由扭轉(zhuǎn)振型圖13可知,T1在左右車輪兩側(cè)的振型較大,車軸中間部位的振型最小,在經(jīng)過左右車輪節(jié)點位置以及大齒輪節(jié)點位置時,均出現(xiàn)振型幅值突變的情況(幅值減小或增幅減緩)。扭轉(zhuǎn)振幅突變同樣出現(xiàn)在T2,T3,T4及T5,這表明扭振的傳遞會被具有較大轉(zhuǎn)動慣量的元件(如車輪、大齒輪等)所阻礙,甚至阻斷[18]。其中,T2在大齒輪節(jié)點處出現(xiàn)最大振幅,而在車輪兩側(cè)振幅相對小的多,若該振型被激發(fā)則極易引起齒輪嚙合不平穩(wěn);T3和T4的振動形態(tài)則主要被限制在左右車輪之間的車軸部位;T5的扭轉(zhuǎn)振動主要出現(xiàn)在左右車輪的外伸軸段部分,其中右側(cè)車輪的外伸軸段扭振幅度遠大于左側(cè),若該振型被激發(fā)則易引起右端軸箱軸承的扭振波動,加劇內(nèi)、外圈和滾子的接觸疲勞,同時也易使得車軸在右車輪處發(fā)生扭振疲勞。

由軸向振型圖14可知,在具有大質(zhì)量的車輪和齒輪部位也呈現(xiàn)軸向振動幅值突變的現(xiàn)象,但明顯程度略低于扭轉(zhuǎn)振型。其中:A1(63.3 Hz)的振幅波動非常小(實際計算出的最大振幅(4.89×10-4m)及最小幅值(4.85×10-4m)相差也很小),在無量綱化振型圖中幾近一條直線,表明該振型是動力輪對轉(zhuǎn)子在軸向約束彈性限制下沿軸向作整體運動的振型,因此該振型中的動力輪對可看作剛體;A2(588.78 Hz)的最大振幅位于左右兩側(cè)車輪的外側(cè)軸段,整個車軸呈現(xiàn)向兩側(cè)的對稱拉壓運動,該振型下易造成車輪輪緣外側(cè)與鋼軌擠壓,進而加劇車輪踏面的磨損;A3(1 895.52 Hz)最大振幅位置出現(xiàn)在車軸軸身中心部位;A4(3 017.4 Hz)最大振幅位置出現(xiàn)在軸身中心以及大齒輪等效集中質(zhì)量部位,在大齒輪處達到最大振幅后出現(xiàn)反轉(zhuǎn),振幅迅速呈下降趨勢,此時軸向大振幅下引起的擠壓易使斜齒輪嚙合面法向受壓迫,加速齒面磨損;A5(4 695.21 Hz)最大振幅位置出現(xiàn)在車軸靠近左車輪的一端,向右出現(xiàn)振幅不規(guī)律的波動,整體呈現(xiàn)向右側(cè)的軸向振動。

3.4 輪軌接觸點位置對模態(tài)結(jié)果的影響

考慮到輪軌接觸點B的初始位置會因車輪橫向運動或鋼軌軌底坡等原因而發(fā)生變化,如圖15所示。本小節(jié)以點B到車輪質(zhì)心平面的距離lBD為參數(shù)(圖5所示),討論不同lBD值下動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動模態(tài)的變化規(guī)律。

圖15 車輪橫移或軌底坡引起的輪軌接觸位置變化Fig.15 Wheel rail contact position change caused by wheel lateral movement or rail bottom slope

為此,選取lBD∈[0, 0.02]m內(nèi)的不同值計算系統(tǒng)固有頻率,在統(tǒng)計前20階固有頻率變化后,發(fā)現(xiàn)隨著lBD值的改變,第2～5、第12及第14～20階模態(tài)的固有頻率變化均在1 Hz以內(nèi),可見較低和較高階模態(tài)固有頻率受輪軌接觸點位置的改變影響非常有限。相比之下,中間模態(tài)(即第6～11及第13階)的固有頻率則受輪軌接觸點位置的改變影響更大一些,如表3所示。注:變化中“↑”“↓”分別表示固有頻率值上升或下降超過1 Hz,“↗”“↘”分別表示固有頻率值上升或下降低于1 Hz,“-”表示固有頻率值不變。

表3 模型4模態(tài)頻率隨lBD值變化情況

由表3可以發(fā)現(xiàn),第6(B3)、第7(F3)、第11(F2)和第13階(F5)模態(tài)的頻率隨著lBD取值增大而增大;第8(B4)、第9(F1)和第10階(F4)模態(tài)的固有頻率隨著lBD取值增大而減小。此外,動力輪對的軸向模態(tài)頻率受lBD的影響較于彎曲模態(tài)小很多,而扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率則完全不受lBD的影響?？傮w來說,動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率受輪軌接觸點位置的影響較小(模態(tài)頻率變化最大值僅8.28 Hz)。

4 考慮故障激勵的動力輪對共振模態(tài)分析

在實際運行中,動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不斷受到輪軌接觸、軸箱軸承力、齒輪嚙合力、車輪損傷、軌道不平順等外部復雜激勵的持續(xù)作用,激勵頻率不但范圍寬,而且異常豐富,特別是存在故障時[19-22]。顯然,在復雜的激勵頻率下,高速運行的柔性動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)極易產(chǎn)生振動穩(wěn)定性問題,誘發(fā)共振模態(tài)。

按照振動穩(wěn)定性設計準則,假設當激勵頻率處于系統(tǒng)固有頻率的5%以內(nèi)便認為系統(tǒng)存在共振問題。表4列出了前述幾種典型故障激勵下本算例中動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能被激發(fā)的共振模態(tài)信息。其中,v=400 km/h為列車運行速度;R=0.46 m為車輪半徑;f1=93.36 Hz為電機軸轉(zhuǎn)頻;f2=38.44 Hz為輪軸轉(zhuǎn)頻;fm=3267.6 Hz為齒輪嚙合頻率(大齒輪數(shù)為85,小齒輪數(shù)為35);Z=19為軸承滾子數(shù);d=26 mm為滾動體直徑;α=10°為軸承接觸角;dm=183.93 mm為軸承節(jié)徑。

表4 典型外部激勵下動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振模態(tài)

可以看到,在400 km/h的高速列車運行環(huán)境下,這些典型激勵頻率很容易落入動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振頻率范圍內(nèi),特別是車輪損傷故障頻率。當考慮軌道不平順激勵時,其短波、中波和長波下的激勵頻率通過輪軌接觸作用傳遞到輪對系統(tǒng),則更易誘發(fā)系統(tǒng)共振。因此,面對越來越高速的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng),在全面掌握其彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向振動特性的同時,應注重抗共振模態(tài)設計。不過,需要特別注意的是,雖然動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中與齒輪和軸承相關(guān)的故障激勵頻率存在達到模態(tài)共振條件的情形,但考慮到與其相關(guān)的故障激勵誘發(fā)的振動能量通常很小,尤其是諸如齒輪裂紋、軸承保持架等振動能量極小的故障激勵,往往是無法誘發(fā)相對應的系統(tǒng)共振模態(tài)的,最多是加劇輪對系統(tǒng)或零件自身的局部振動,在抗共振模態(tài)設計和制定維護策略時應與輪軌故障激勵區(qū)分對待。

5 結(jié) 論

聚焦現(xiàn)有高速列車動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的研究不足,在充分考慮輪對的柔性、陀螺效應和約束彈性基礎(chǔ)上,推導了一種基于等效圓錐踏面的線性化輪軌接觸單元,建立了基于鐵木辛柯梁轉(zhuǎn)子有限元理論的動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方程,詳細討論了輪軌接觸彈性和軸箱軸承彈性約束下高速列車動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲、軸向和扭轉(zhuǎn)振動特性。主要研究結(jié)論如下:

(1) 利用剛度影響系數(shù)法和能量法分別推導了輪軌接觸單元,且兩種方法結(jié)果一致;所推導的輪軌接觸單元不但適用于圓錐踏面車輪,還可推廣至具有真實車輪踏面的場合,僅需根據(jù)實際情況獲得輪軌接觸點位置和接觸角即可。

(2) 通過與ANSYS模型結(jié)果作對比,驗證了自編MATLAB模型程序的正確性;基于自編MATLAB程序設計的四種模態(tài)模型中具有全自由度的模型4的模態(tài)結(jié)果涵蓋了其他三種自由度模型的所有頻率和振型。

(3) 詳細分析了全自由度模型4的彎扭軸模態(tài)規(guī)律及其與輪對宏觀振動特性關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn)——①受輪軌接觸剛度的影響,一方面使得反渦動彎曲模態(tài)(B1和B2)的渦動軌跡沿縱向呈現(xiàn)嚴重的扁平狀,該振型激發(fā)狀態(tài)下易加劇車輪踏面的磨損;另一方面將正渦動彎曲模態(tài)(F1和F2)推遲出現(xiàn)在了更高階的頻率段;②由于推導的輪軌接觸單元考慮了垂向和軸向的剛度耦合關(guān)系,使得耦合下的軸向和彎曲振動量級接近(見F1和F2),對車輛運行抗傾覆性、蛇形穩(wěn)定性等性能評估將產(chǎn)生影響;③具有較大等效轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量的車輪和齒輪零件使得對應車軸位置處的扭轉(zhuǎn)和軸向振動顯著減小;④輪軌接觸點位置對動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性存在影響,但影響程度較小。

(4) 在典型外部激勵下動力輪對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在共振失穩(wěn)的可能性,尤以車輪損傷故障激勵可能激發(fā)的系統(tǒng)模態(tài)階數(shù)較多,實際中應開展合理化模態(tài)設計。