徐魁文，侯莎莎，鄧皓千，蘇江濤，李文鈞

（杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院 射頻電路與系統(tǒng)教育部重點實驗室，杭州 310018）

0 引言

電磁逆散射問題是利用已知的入射場照射目標(biāo)，通過入射電磁波與未知目標(biāo)物體之間的相互作用，產(chǎn)生感應(yīng)電流，二次散射的數(shù)據(jù)被外圍的接收天線所接受，通過測量得到的散射場數(shù)據(jù)對未知目標(biāo)區(qū)域中散射體的幾何形狀和物理參數(shù)（介電常數(shù)、電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率等）進行重建。電磁逆散射由于可以對目標(biāo)進行定量的反演成像，廣泛應(yīng)用于石油勘探、衛(wèi)星遙感、生物醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域［1-3］。由于接收的天線傳感器數(shù)量遠遠小于被離散的未知數(shù)個數(shù)，所以電磁逆散射問題呈現(xiàn)出固有的病態(tài)性；同時電磁波在物體內(nèi)部的多次逆散射效應(yīng)導(dǎo)致嚴(yán)重的非線性，這些給問題求解帶來了極大的挑戰(zhàn)。

求解非線性逆散射問題主要有兩種方法，一種是將非線性問題線性化，如玻恩近似反演方法（Born Approximation inversion method，BA）［4］、直接采樣法（Direct Sampling Method，DSM）［5］、線性抽樣法（Linear Sampling Method，LSM）［6］等。這些方法適用于弱散射體，對于強散射體得到的結(jié)果較差。另一種方法是直接求解非線性方程，常用非迭代方法有后向傳播算法（Back-Propagation，BP［7］）、擴展波恩近似方法（Extended Born Approximation，EBA［8］）。非迭代方法與線性方法類似僅適用于弱散射問題。非線性的迭代方法是將逆散射問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題進行求解，主要包括對比源反演算法（Contrast Source Inversion，CSI）［9］、子空間優(yōu)化算（Subspace-based Optimization Method，SOM）［10］、基于SOM 方法提出的雙重子空間法（Two-fold SOM，TSOM）［11］和基于乘性正則化［12］和快速傅里葉的TSOM（a Fast Fourier Transform TSOM，F(xiàn)FT-TSOM）［13］。相比于線性算法，非線性算法的反演能力強很多，但當(dāng)未知目標(biāo)介電常數(shù)和電尺寸增大時，迭代時間較長且容易陷入最優(yōu)解導(dǎo)致反演失敗。

上述提到的各種算法，無論是線性的還是非線性的都是指發(fā)射天線和接收天線均勻圍繞在感興趣區(qū)域周圍的全口徑成像方法。而在實際應(yīng)用中，比如石油勘探、墻體檢測，很難實現(xiàn)天線均勻圍繞被測物體。為了拓展電磁反演成像的應(yīng)用，提出了有限口徑成像方法；即天線只分布在感興趣區(qū)域的某邊或某些角度。但是有限口徑會進一步增加電磁逆散射問題的非線性，目前基于有限口徑的電磁反演成像研究很少，多數(shù)是關(guān)于電子計算機斷層掃描（Computed Tomography，CT）成像［14-15］的研究。因此本文提出一種基于Rytov積分近似的方法用于實現(xiàn)有限口徑下高相對介電常數(shù)和大尺寸目標(biāo)物體的定量反演成像。

1 逆散射模型

基于有限口徑的二維電磁逆散射模型如圖1所示，圖中的矩形稱為感興趣區(qū)域（Domain Of Interest，DOI），目標(biāo)物體存在于DOI 內(nèi)，發(fā)射天線和接收天線均勻分布在DOI 兩側(cè)，圖中天線代表發(fā)射天線或者接收天線。

圖1 有限口徑下電磁逆散射成像模型Fig.1 Electromagnetic inverse scattering model under limited aperture

1.1 無相位Rytov 近似

當(dāng)DOI 內(nèi)沒有散射體時，設(shè)Ei(r)為DOI 內(nèi)某點r處的入射場，滿足自由空間亥姆霍茲方程，即

式中，k0=2π ∕λ為自由空間波數(shù)。當(dāng)DOI 內(nèi)放入散射體時，總場定義為Et(r)，滿足非均勻亥姆霍茲方程，其中n(r)為折射率，即

引入散射場的復(fù)相位函數(shù)φs(r)，表示與入射場的相位和對數(shù)振幅偏差，可將Rytov積分近似［16］表示為

由式（1）～（3）求得非線性微分方程

式中，E(r)=Ei(r)ln (Et(r)/Ei(r))。

將式（4）轉(zhuǎn)化為積分形式，得

式中，g(r，r')表示背景介質(zhì)的格林函數(shù)。

將式（5）乘以其共軛并兩邊取log10求得其無相位形式為

式中，A=20log10e

在傳統(tǒng)的Rytov積分近似中，由于式（6）的高度非線性通常省略?φs·?φs，當(dāng)散射體為弱散射體時，?φs·?φs的值很小，此時省略?φs·?φs的傳統(tǒng)Rytov 近似是有效的。當(dāng)散射體為高介電常數(shù)的強散射體時，?φs·?φs在反演過程中不能忽略，并且求解非線性方程式（5）極其困難，所以在低損介質(zhì)中使用高頻近似來獲得?φs·?φs的近似［17］。

1.2 低損耗介質(zhì)

在低損耗介質(zhì)中DOI 中某點r處的折射率n(r)和相對介電常數(shù)εr(r)變?yōu)閺?fù)數(shù)，即［18］

在低損耗介質(zhì)中εI?εR，根據(jù)折射率與相對介電常數(shù)之間的關(guān)系n2(r)=εr(r)［19］可求得折射率實部和虛部與介電常數(shù)實部和虛部之間的關(guān)系為

式中，δ(r)表示介質(zhì)的損耗正切角，通常定義為δ(r)=εI(r)/εI(r)。

2 高頻低損耗介質(zhì)的近似

2.1 有效折射率

如圖2所示為自由空間入射到有損介質(zhì)，入射場在界面處被部分反射和透射，折射到散射體中的局部電磁波是不均勻的，此時折射率為復(fù)數(shù)，由Snell 定理給出

圖2 自由空間入射到有損介質(zhì)Fig.2 Free space incident on lossy media

式中，θt和θi分別為折射角和入射角，如果折射率n(r)的虛部不為0，此時折射角θt是一個復(fù)數(shù)，不能通過傳統(tǒng)幾何光學(xué)解釋。通過引入有效折射率的概念［20］，入射場、反射場、透射場的電場矢量分量為

式中，NR和NI分別為有效折射率的實部和虛部；ei、er和et分別表示入射、反射和透射方向的單位向量。

入射場、反射場和透射場的相位應(yīng)在介質(zhì)界面切向匹配［17］。如圖2所示，設(shè)與界面相切的向量為m，可以得到

將式（15）中的電場矢量空間分量帶入到波動方程式（2），并使用式（16）和（17）求得有效折射率與實際折射率的關(guān)系為

求解得到有效折射率與實際折射率的關(guān)系為

當(dāng)介質(zhì)為低損耗時，通過1.2 節(jié)中折射率與介電常數(shù)的關(guān)系可以求得實際折射率與介電常數(shù)關(guān)系，即

2.2 ?φs·?φs 近似

使用2.1 節(jié)中得到的關(guān)系，結(jié)合圖2 沿射線方向（dr=dret），將透射場電場矢量方程表示為

對于折射率分段均勻分布的有損散射體，按照沿射線方向的路徑寫成積分形式，即

根據(jù)式（3）和入射場的電場矢量方程可求得φs為

從而得到

由圖2 可以看出ei·n1=cosθi，et·ei=cosθs，其中θs定義為散射角，可以把式（27）轉(zhuǎn)化為

2.3 對比度近似

由2.2 節(jié)中得到?φs(r)·?φs(r)的近似結(jié)果，求得不省略?φs(r)·?φs(r)的Rytov積分近似的對比度函數(shù)為

在高頻低損耗條件下，結(jié)合有效折射率、實際折射率、和介電常數(shù)三者之間的關(guān)系求得對比度函數(shù)為

由式（31）可以看出，對比度函數(shù)的虛部是入射角θi和介電常數(shù)實部和虛部的函數(shù)，對比度函數(shù)的實部是散射角θs和介電常數(shù)實，重建的虛部分量中的任何失真都與物體的介電常數(shù)無關(guān)［17］，所以在成像中僅使用虛部分量。為部的函數(shù)。入射角θi只是物體形狀的函數(shù)不隨介電常數(shù)的變化而變化，散射角θs取決于θi和物體的介電常數(shù)，由于θi的存在了使虛部分量易于成像，通過取各種照射方向的平均值來去除虛部分量對入射角的依賴性，可得成像中使用的對比度函數(shù)的最終形式為

3 仿真示例

設(shè)置工作頻率為2.4 GHz，感興趣區(qū)域（DOI）選擇為3 m×3 m 的矩形區(qū)域，區(qū)域中心與原點重合。在DOI 左右兩側(cè)的邊界處分別放置20 個天線，這些天線既可作為發(fā)射天線也可作為接收天線。計算前向問題時，都將感興趣區(qū)域剖分為240×240 個小網(wǎng)格，在逆問題中，將感興趣區(qū)域剖分為120×120 個小網(wǎng)格。在逆問題求解中使用增強拉格朗日和交替方向算法的TV 最小化（TV AL3）的正則化方法［21］。

3.1 示例1

工作頻率設(shè)置為2.4 GHz，在感興趣區(qū)域中心處放置半徑為2λ的圓，如圖3所示，X軸Y軸單位為m，分別選擇4 組不同介電常數(shù)值，弱散射體（εR≈1，εR?εI）（第一行，εR=1.1，εI=0.11，Im (χ)=0.088 6）；中等散射體（εR＞1，εR?εI）（第二行，εR=5，εI=0.5，Im (χ)=0.147 6）；強散射體（εR?1，εR?εI）（第三行，εR=15，εI=1.5，Im (χ)=0.249 4；第四行，εR=50，εI=5，Im (χ)=0.451 7）。

圖3 有限口徑與全口徑成像對比Fig.3 Limited aperture versus full aperture reconstruction images

如圖3所示，當(dāng)目標(biāo)為弱散射體時，有限口徑可以比較準(zhǔn)確地重建出對比度的虛部。將介電常數(shù)提高到εR=5，εI=0.5，此時目標(biāo)為中等散射體，雖然重建結(jié)果的幅值有小幅度衰減，但是可以提供精確的形狀重建；當(dāng)目標(biāo)為強散射體時，重建結(jié)果的幅值衰減是可以預(yù)估的，在求對比度近似時當(dāng)介電常數(shù)實部和虛部非常大時，近似引起的誤差也被放大，這會影響重建的結(jié)果。圖3 結(jié)果表明，有限口徑下的Rytov積分近似算法可以實現(xiàn)高介電常數(shù)和大尺寸物體形狀的精準(zhǔn)重建，但當(dāng)介電常數(shù)太大時，重建結(jié)果的幅度會有衰減；這種幅值的衰減在全口徑時也無法避免。

3.2 示例2

在中等散射（εR=5，εI=0.5）條件下，圖4 中第一行是與之前不同的散射體形狀，邊長為5λ的矩形；第二行散射體為半徑為5λ的圓形。由仿真結(jié)果可以看出圖4 中矩形也有很好的重建結(jié)果。從圖3 和圖4 不同形狀和不同尺寸的重建結(jié)果可以看出，在中等散射條件下該算法也有很好的重建結(jié)果。

圖4 中等散射體不同形狀重建結(jié)果Fig.4 Reconstruction results for different shapes of medium scatterers

3.3 示例3

在示例1 的基礎(chǔ)上，再次反演中等散射(εR=5，εI=0.5)和強散射目標(biāo)(εR=15，εI=1.5)，向測量數(shù)據(jù)中加入高斯白噪聲來驗證算法的魯棒性。圖5 可以清楚地看到，在加入10%噪聲情況下，重建結(jié)果與圖3 相比幾乎沒有影響。

圖5 加入高斯白噪聲后的重建結(jié)果Fig.5 Reconstruction images after adding Gaussian white noise

3.4 示例4

在本實例中選擇圓形目標(biāo)，如圖6所示，在示例1 的基礎(chǔ)上減少天線的數(shù)目，左右兩邊各擺放10 個天線，反演中等散射(εR=5，εI=0.5)和強散射目標(biāo)(εR=15，εI=1.5)；當(dāng)天線數(shù)目減少后仍然可以重建出目標(biāo)的形狀。如圖7，減少天線數(shù)目為左右兩邊各擺放5 個天線，反演中等散射(εR=5，εI=0.5)和強散射(εR=15，εI=1.5)目標(biāo)，由重建結(jié)果可以看出當(dāng)天線數(shù)目過少時無法分辨出目標(biāo)形狀。如圖8，改變工作頻率設(shè)置，選擇中等散射(εR=5，εI=0.5)目標(biāo)，頻率為1.5 GHz 和3 GHz，由重建結(jié)果可以看出，增加工作頻率和降低工作頻率后仍然可以重建出目標(biāo)形狀。

圖6 減少天線數(shù)目為左右兩邊各10 個的重建結(jié)果Fig.6 Reconstruction results after reducing the number of antennas to 10 on each left and right side

圖7 減少天線數(shù)目為左右兩邊各5 個的重建結(jié)果Fig.7 Reconstruction results after reducing the number of antennas to 5 on each left and right side

圖8 改變頻率后的重建結(jié)果Fig.8 Reconstruction results for changing frequency

3.5 示例5

在本示例選擇正方形目標(biāo)，圖9 為多目標(biāo)物體重建結(jié)果。分別選擇中等散射(εR=5，εI=0.5)和強散射目標(biāo)(εR=15，εI=1.5)，天線數(shù)目為左右兩邊各20 個。當(dāng)重建目標(biāo)變復(fù)雜時，該算法也能大致重建出目標(biāo)形狀。如圖10，改變天線布局為L 型擺放，圖11 為弱散射條件下L 型天線擺放重建結(jié)果，改變天線布局后弱散射條件下可以較好地重建目標(biāo)。

圖9 多目標(biāo)物體重建結(jié)果Fig.9 Multiple target object reconstruction results

圖10 重構(gòu)天線布局Fig.10 Modified antenna layout

4 結(jié)論

本文基于Rytov積分近似，提出了一種有限口徑下高介電常數(shù)和大尺寸目標(biāo)的電磁定量反演方法。通過近似估計散射體內(nèi)部散射場，以及利用梯度對傳統(tǒng)Rytov 近似進行數(shù)學(xué)上修正，產(chǎn)生無相位條件下Rytov積分近似模型。仿真結(jié)果表明該算法在有限口徑下對高介電常數(shù)和大尺寸目標(biāo)的中等散射體目標(biāo)提供了對比度函數(shù)虛部分量較好的定量重建結(jié)果；也可對強散射體的對比度函數(shù)虛部分量提供形狀的精確重建。此外該方法還具有較好的抗噪聲能力，有望在醫(yī)療成像、無損檢測以及探地雷達中得到廣泛的應(yīng)用，在后續(xù)工作中擬針對三維目標(biāo)的快速反演進行探索，為工程應(yīng)用提供技術(shù)支撐。