安徽省濉溪縣第二中學(xué)(235100)陳勇 祝峰

“基礎(chǔ)性”是高考數(shù)學(xué)學(xué)科的考查要求之一,與“綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性、”共為“一核四層四翼”中的“四翼”.突出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、通用性和工具性,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),是數(shù)學(xué)高考的總體考查要求.由于基礎(chǔ)知識的理解、基本能力的發(fā)展、基本態(tài)度和價值觀的養(yǎng)成,共同構(gòu)筑了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展的基礎(chǔ),所以“基礎(chǔ)性”是數(shù)學(xué)科高考最核心的考查要求.下文以2023 年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第20 題為例,體會試題從強化學(xué)科共同基礎(chǔ),加強基礎(chǔ)知識、基本能力的考核;加強核心概念的考查;加強科學(xué)方法的考查;三個側(cè)面彰顯“基礎(chǔ)性”考查要求.以便更準(zhǔn)確感悟新課標(biāo)、新教材、新高考背景下高中數(shù)學(xué)課程的基本理念.并以此為契機,進(jìn)一步理解考試評價改革、高中育人方式改革的相關(guān)要求.以期形成正確的教學(xué)理念,規(guī)范教學(xué)行為,嚴(yán)格依標(biāo)施教,助推高中數(shù)學(xué)育人方式改革的深入開展.

1 試題及評析

題目(2023 年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第20 題) 在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點.

(1)證明:BC⊥AD;

(2)點F滿足求二面角D-AB-F的正弦值.

試題背景熟悉,題設(shè)簡潔,親切自然.圍繞空間元素位置關(guān)系、空間幾何量,兩立體幾何主線內(nèi)容設(shè)置.問題圍繞立體幾何的內(nèi)容本質(zhì),注重“四基”考查,聚焦通性通法,淡化解題技巧.

圖1

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的基本組成部分,必修與選擇性必修課程均有設(shè)置.必修課程中,“立體幾何初步”位于主題三,幾何與代數(shù).要求學(xué)生能夠通過直觀圖理解空間圖形,掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征,解決簡單的實際問題.能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果.能夠證明簡單的幾何命題(平行、垂直的性質(zhì)定理),并會簡單應(yīng)用.選擇性必修課程中,“空間向量與立體幾何”位于主題二,幾何與代數(shù).要求學(xué)生能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用;能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力;掌握空間向量基本定理,體會其作用,并能簡單應(yīng)用;能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題,體會用向量解決一類問題的思路.重點發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

這道試題嚴(yán)格依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容,注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.問題以學(xué)生熟悉的三棱錐為背景,D點發(fā)出的三條棱長相等,兩兩夾角已知,確定了該幾何體的基本特征.這一特征為“綜合幾何法”及“向量法”解決問題均提供了諸多可能.

試題從加強主干知識、思想方法、關(guān)鍵能力考查三方面體現(xiàn)“基礎(chǔ)性”考查要求.首先,第(1)問證明線線垂直、第(2)問求二面角,分別圍繞“空間元素位置關(guān)系的判定”、“空間量的求解”兩主干知識設(shè)置.要求學(xué)生整體把握問題本質(zhì),深入理解相關(guān)概念,充分應(yīng)用知識蘊含的方法思想解決問題.通過對主干知識的深入考查,實現(xiàn)“基礎(chǔ)性”考查要求.其次,以二面角求解為例,問題求解視角多維,可“綜合幾何法”,也可“向量幾何法”,亦可兩種方法綜合,且每類方法又有著不同的思維方式.以問題的靈活性,考查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識的深刻性,通過思想方法考查,實現(xiàn)“基礎(chǔ)性”考查要求.

最后,關(guān)鍵能力方面,這道試題在新穎且較為復(fù)雜的情境中展開,考查學(xué)生在面對綜合性較強的問題時,是否具有一定的探究能力和創(chuàng)新精神.通過對空間想象、邏輯推理和運算求解等關(guān)鍵能力的考查,達(dá)成試題“基礎(chǔ)性”的考查要求.

2 探究

首先考慮第(1)問線線垂直的證明.

證法一(綜合幾何法) 圖2 所示,連AE,DE.DB=DC,E為BC中點,所以BC⊥DE.又DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,所以所以AB=AC,E為BC中點,故BC⊥AE.所以BC⊥平面ADE,故BC⊥AD.

圖2

評述空間基本元素的垂直關(guān)系包括線線、線面以及面面垂直．三種垂直關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化,有著內(nèi)在聯(lián)系,如圖3所示.要證明線線垂直,結(jié)合題設(shè),由線線垂直:BC⊥DE、BC⊥AE,得線面垂直BC⊥平面ADE,進(jìn)而獲得線線垂直:BC⊥AD.

圖3

證法二(基底法)所以

注意到,DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,所以所以故BC⊥AD.

評析三向量不共面、兩兩夾角已知、模相等.基于這三點,以為基底,借助向量運算來解決問題.空間向量基本定理是基底法、基底思想的依據(jù),必需真正理解空間向量基本定理的“基本性”才能很好地領(lǐng)悟這種思想和方法.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會,三個線性無關(guān)的向量可以生成一個向量空間,雖然空間向量是無窮的,但它們都可以表示為三個不共面向量為基底的線性組合,這是空間向量運算化歸為數(shù)的運算的基礎(chǔ).

以下考慮第(2)問的解法.

解法一(建系,坐標(biāo)運算)不妨設(shè)DA=DB=DC=2.BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°所以AC=AB=2.可得所以EA⊥ED,結(jié)合(1)得EA⊥ED⊥EB.基于此,以E為原點,EA、EB、ED所在直線為坐標(biāo)軸,建立圖4 所示空間直角坐標(biāo)系.

圖4

令x=1,得n1=(1,1,1).同理,平面ABF的法向量n2=(0,1,1).則所以二面角D-AB-F的正弦值為

評析空間向量的直角坐標(biāo)運算,是單位正交基底下,基底法的特例.直角坐標(biāo)運算下,空間距離、角的求解變的“簡單化”、“程序化”.實際教學(xué)中存在著“向量法會削弱空間想象力發(fā)展”的觀點,這是對向量法理解的一種偏見.完整的向量法是:先用幾何的眼光觀察,分析清楚幾何圖形的基本元素、基本位置關(guān)系,然后再選擇適當(dāng)?shù)幕?進(jìn)一步利用基底表示出相應(yīng)的幾何元素和基本關(guān)系,然后再進(jìn)行運算.“用幾何的眼光觀察”是向量法的前提,需要空間想象、幾何直觀能力.發(fā)現(xiàn)EA⊥ED⊥EB,是建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵,也是問題解決的難點所在.

解法二(基底法,向量運算)圖5 所示,不妨設(shè)DA=DB=DC=2,c.則a·b=a·c=2,b·c=0.取AB中點G,則題設(shè)易知

圖5

圖6

評析基底思想下,回到二面角概念,在兩半平面內(nèi),分別求作與二面角棱AB垂直的兩個向量借助向量的自由性,結(jié)合二面角平面角的概念,把二面角問題轉(zhuǎn)化為兩向量夾角問題.與坐標(biāo)法比較,這樣求解能夠清晰判斷向量夾角與二面角之間的關(guān)系.

解法三(轉(zhuǎn)換為兩個二面角) 不妨設(shè)DA=DB=DC=2.解法一知DE⊥面ABC,所以DE//AF,所以AF⊥面ABC,所以平面ABF⊥平面ABC,即二面角C-AB-F為直二面角.記二面角D-AB-F為α,二面角D-AB-C為β,則所以取AB中點G,連DG、EG.易證DG⊥AB,EG⊥AB,所以∠DGE=β.在所以即二面角D-AB-F的正弦值為

注記二面角D-AB-C的余弦值也可以直接用ΔEAB與ΔDAB的面積比直接求解,即

此法即一般意義上所謂的“射影法”求二面角,本質(zhì)上是二面角概念的應(yīng)用.

評析二面角D-AB-F是鈍二面角,原幾何體中求作二面角平面角有一定困難,若將其視為直二面角C-AB-F與銳二面角D-AB-C之和,此時只需解決銳二面角D-AB-C的余弦值即可.銳二面角D-AB-C在一個特殊三棱錐中,利用定義,可得其二面角在一個直角三角形中.

解法四(置于長方體中,利用補角求解)圖7 所示,不妨將已知幾何體置于底面邊長為2,高為的正四棱柱中,其中G為棱的中點.注意到二面角H-AB-D與二面角D-AB-F互補.過H作DG的垂線HO,垂足為O,正四棱柱中,易知HO⊥平面ABDG.連OA,注意到HA⊥AB,所以O(shè)A⊥AB,所以RtΔHOA中,∠HOA為二面角H-AB-D的二面角.

圖7

即二面角D-AB-F的正弦值為

評析典型的圖形具有模型作用,在立體幾何問題的解決過程中,借助長方體、正四面體、正方體背景,能夠增強問題的直觀性,幫助學(xué)生更好發(fā)揮空間想象能力,獲得問題解決的更多思路.

3 變式

試題變式能夠從不同視角揭示問題本質(zhì),防止僅停留在淺層的問題分析上.恰當(dāng)?shù)膯栴}變式能夠更好促進(jìn)學(xué)生思維靈活性、系統(tǒng)性、深刻性、自覺性的有效發(fā)展.原問題情境下,本題可作下述變式.

變式1在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點.

(1)證明:DE⊥AC;

(2)點F滿足求直線DC與平面ABF所成角的正弦值.

變式2在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足則多面體DABCF的表面積為____.

變式3在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足,則多面體DABCF的體積為____.

變式4在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足當(dāng)A,B,C,D,F五點在同一球面上時,λ=____.

變式5在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足則三棱錐D-ABC與F-ABC外接球的體積比為____.

變式6在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足三棱錐D-ABC的外接球與BF、CF分別交于點M、N,則球面上M、N兩點所對應(yīng)劣弧的長度為____.

變式7(多選題)在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E為線段BC的中點,點F滿足則()

A.平面BCD⊥平面AEF

B.平面ABF⊥ABC

C.A,B,C,D,F在同一球面上

D.二面角D-AB-F的余弦值為

4 啟示

這道試題背景熟悉、問題常規(guī),與考前模擬卷中立體幾何試題的“幾何體不規(guī)則”、“難以建系”、“無法上手”、“探究性問題”、“存在性問題”等形成鮮明對比.清晰闡釋了高考“基礎(chǔ)性”考查要求,給立體幾何新授課及高考備考復(fù)習(xí)課帶來下述明確啟示:

(1)聚焦“主干知識”,防止迷失于“枝節(jié)末梢”

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征、空間基本元素位置關(guān)系、空間量,是立體幾何的主干知識.它們是直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的最有力支撐.垂直關(guān)系為例,其概念、判定、性質(zhì)的產(chǎn)生和發(fā)展過程,有著思想的連續(xù)性、過程的探究性及方法的創(chuàng)造性.教學(xué)實踐中,只有引導(dǎo)學(xué)生強化對這一主干知識的深層認(rèn)知,厘清知識發(fā)生和發(fā)展的脈絡(luò),把握它們的內(nèi)在關(guān)聯(lián),才能真正掌握其蘊含的核心思想方法,才能在千變?nèi)f化的問題情境中自信有效地解決問題.這就要求教師要努力提高對所教內(nèi)容的理解水平,提升辨別能力,對哪些重要、哪些次要,什么是根本、什么是枝節(jié)末梢,做到心中有數(shù).只有引領(lǐng)學(xué)生聯(lián)系基礎(chǔ)、洞察本質(zhì),才能防止迷失于枝節(jié)末梢,才能真正落實數(shù)學(xué)課程的育人功能.

(2)倡導(dǎo)“概念+思想方法”,反對“題型+技巧”

概念是數(shù)學(xué)思維推進(jìn)的最小單位,問題解決過程中,概念最有力量.解題教學(xué)中,教師把精力放在“題型”及其技巧總結(jié)上的現(xiàn)象司空見慣.誤把題型作為規(guī)律、技巧視為思想方法.常又采用直接告知的方式灌輸給學(xué)生,再找對應(yīng)的題型加以訓(xùn)練.結(jié)果在全新的情境中,由于沒有扎實的概念理解和思想方法支撐,技巧常常會失靈.這道試題的兩問中,無論是第(1)問線線垂直的證明,還是第(2)問二面角的求解,均需回到基本概念,結(jié)合概念所蘊含的類比、轉(zhuǎn)化、模型等基本思想解決問題.題型僅現(xiàn)于一個具體問題,技巧也僅能解決一個問題,概念及其蘊含的思想方法才能解決一類問題.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深化概念的理解和應(yīng)用,讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣;讓學(xué)生明白,技巧是不可靠的,解題的靈活性來自于概念、原理的實質(zhì)性聯(lián)系,而非題型和技巧套用.

(3)關(guān)鍵能力為本,杜絕機械刷題

高考試題以能力立意、用素養(yǎng)導(dǎo)向.要求學(xué)生在面對綜合性較強的問題與較為復(fù)雜的情境時,應(yīng)具有必要的探究能力與創(chuàng)新精神,具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和優(yōu)秀的思維品質(zhì).DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°三個相對抽象、密切關(guān)聯(lián)的條件下,學(xué)生需冷靜分析問題,正確應(yīng)用線線、線面、面面垂直的相關(guān)概念、性質(zhì)、判定,結(jié)合直觀想象、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等思想方法,恰當(dāng)選擇綜合幾何法或向量法來解決問題.條件的加入,使本來熟悉的三棱錐背景變得較為復(fù)雜,怎樣結(jié)合二面角概念,運用科學(xué)方法分析、解決問題,與學(xué)生的思維方式及數(shù)學(xué)素養(yǎng)密不可分.值得關(guān)注的是,這樣的能力和素養(yǎng),僅靠“機械刷題”是難以達(dá)成的.以“刷”代“思”,忽視關(guān)鍵能力提升的“刷題”行為,過程痛苦,收效甚微,磨滅興趣,挫敗信心,與“雙減”要求背道而馳.數(shù)量代替質(zhì)量、難度代替能力的扭曲解題目的,是導(dǎo)致“刷題”現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因.樹立夯實“四基”、學(xué)會思考、發(fā)展能力、查缺補漏、培養(yǎng)習(xí)慣的正確解題價值追求,是杜絕“機械刷題”行為的有效之舉.