李宗勛

（上海市城市建設(shè)設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海200125）

1 引言

粗差探測(cè)與剔除不僅是理論和算法問(wèn)題， 而且具有重要的實(shí)用價(jià)值。 參與GNSS 控制網(wǎng)平差的基本觀測(cè)量是由基線(xiàn)解算得到的三維基線(xiàn)向量，因此，基線(xiàn)的3 個(gè)分量是一個(gè)不可分離的整體， 應(yīng)該按照整體特性構(gòu)造粗差探測(cè)的統(tǒng)計(jì)量。 然而， 目前的粗差探測(cè)理論并未考慮GNSS 基線(xiàn)向量的這一特性，因此，取得的理論成果也可用于其他測(cè)量方案的優(yōu)化，以及其他各類(lèi)觀測(cè)值的粗差探測(cè)[1-2]。 研究成果和開(kāi)發(fā)的相應(yīng)子程序可嵌入GNSS 數(shù)據(jù)處理軟件系統(tǒng)， 廣泛地用于實(shí)際的GNSS 控制測(cè)量工作。

2 GNSS 基線(xiàn)向量的粗差探測(cè)算法

測(cè)量中的平差問(wèn)題是測(cè)量中有了多余觀測(cè)而產(chǎn)生的，因而使待估參數(shù)的解不定，而為了求得參數(shù)的唯一解，需要引入一個(gè)附加準(zhǔn)則，我們稱(chēng)之為最小二乘準(zhǔn)則。 當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)， 在這個(gè)準(zhǔn)則下進(jìn)行的平差將使我們不僅能夠得到唯一的，更是具有最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量。 但是當(dāng)觀測(cè)值當(dāng)中不僅含有偶然誤差而且還包含粗差時(shí)， 將對(duì)觀測(cè)值改正數(shù)以及平差結(jié)果造成影響。

在研究粗差時(shí)，將粗差歸入函數(shù)模型，在國(guó)內(nèi)外應(yīng)用最為廣泛的是Baarda 提出的單個(gè)粗差的探測(cè)方法——數(shù)據(jù)探測(cè)法（Data Snooping）[3]，當(dāng)觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)，Baarda 給出的檢測(cè)粗差的統(tǒng)計(jì)量為：

以上為單位權(quán)方差已知時(shí)，在沒(méi)有粗差的情況下，檢驗(yàn)量Wi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 當(dāng)單位權(quán)方差未知時(shí)可構(gòu)造t 分布檢驗(yàn)量：

式中，ti為構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量；vi為第i 個(gè)觀測(cè)值殘差；qvii為殘差向量的協(xié)因數(shù)陣；n 為觀測(cè)值總數(shù)；u 為參數(shù)個(gè)數(shù)；V 為觀測(cè)值殘差矩陣；P 為其權(quán)陣；r 為多余觀測(cè)數(shù)。

在給出顯著性水平α 之后，若實(shí)際檢驗(yàn)量大于臨界值，則認(rèn)為該觀測(cè)值可能含有粗差。

Baarda 粗差探測(cè)法每次只能檢驗(yàn)出一個(gè)粗差， 當(dāng)存在幾個(gè)粗差時(shí)，只有進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，即首先剔除超過(guò)臨界值最大的那個(gè)觀測(cè)值，然后進(jìn)行下一次平差求出殘差，仿照前述方法再一次進(jìn)行粗差探測(cè)，依次繼續(xù)下去。 此外，該算法是在假定各個(gè)觀測(cè)值彼此之間不相關(guān)時(shí)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的，在大多數(shù)實(shí)際情況中，觀測(cè)值彼此之間是相關(guān)的，比如說(shuō)，GNSS基線(xiàn)向量觀測(cè)值的3 個(gè)分量是同時(shí)出現(xiàn)且彼此相關(guān)的。

3 按基線(xiàn)整體探測(cè)模型

同一條基線(xiàn)向量的3 個(gè)分量是同時(shí)出現(xiàn)且誤差相關(guān)的，利用以上單分量模型進(jìn)行粗差探測(cè)與剔除時(shí)， 往往一個(gè)基線(xiàn)分量沒(méi)有通過(guò)檢驗(yàn)，而將整條基線(xiàn)向量剔除。 考慮到GNSS 基線(xiàn)向量的這個(gè)特點(diǎn)， 我們考慮將基線(xiàn)的3 個(gè)分量看成是一個(gè)整體進(jìn)行檢驗(yàn)，然后直接剔除含有粗差的基線(xiàn)向量。

由式（3），假設(shè)第i 個(gè)觀測(cè)值存在粗差，當(dāng)單位權(quán)方差未知時(shí)，則可構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量[4]：

對(duì)于GNSS 觀測(cè)來(lái)說(shuō)， 同一條基線(xiàn)向量的3 個(gè)觀測(cè)值分量是同時(shí)出現(xiàn)而且彼此相關(guān)， 因此在構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量時(shí)應(yīng)該將整條基線(xiàn)看作是一個(gè)整體， 找出這個(gè)整體統(tǒng)計(jì)量在空間中的投影最大值，從而達(dá)到高效準(zhǔn)確探測(cè)粗差的目的。

假設(shè)第i 條基線(xiàn)向量存在粗差，該基線(xiàn)向量的3 個(gè)觀測(cè)分量改正數(shù)分別為ViX、ViY、ViZ。 設(shè)在空間中投影方向，水平方向?yàn)棣粒?≤α≤2π），天頂距為z（0≤z≤π），當(dāng)對(duì)第i 條基線(xiàn)向量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)， 設(shè)該基線(xiàn)向量的3 個(gè)分量在空間中投影方向的單位向量為ni=[sinzcosα sinzsinα cosz]，則將式（5）中的替換ei為：

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

式中，ti為構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量；Ci假設(shè)第i 條基線(xiàn)向量存在粗差時(shí)構(gòu)造的單位向量。

則按基線(xiàn)整體探測(cè)的基本思想為：

1）依次假設(shè)每條基線(xiàn)存在粗差，按照式（7）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，尋找該統(tǒng)計(jì)量在空間中的最大值timax作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。求出最大值方向即水平方向α 以及天頂距z。

2）在一定的置信水平α 下，如果timax≤tα/2，則說(shuō)明該條基線(xiàn)不存在粗差，若timax＞tα/2，則說(shuō)明該條基線(xiàn)含有粗差，剔除該條基線(xiàn)。 重復(fù)以上步驟，依次對(duì)其他基線(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，直到網(wǎng)中所有粗差都被剔除，精度達(dá)到要求為止，最后結(jié)果為上一次平差結(jié)果。

4 GNSS 控制網(wǎng)的粗差探測(cè)分析實(shí)例

為了驗(yàn)證以上整體探測(cè)模型的有效性， 本文采用上海某GNSS 控制網(wǎng)為實(shí)例進(jìn)行計(jì)算。 該控制網(wǎng)由17 個(gè)GNSS 控制點(diǎn)組成，共包含37 條獨(dú)立基線(xiàn)。 其網(wǎng)圖如圖1 所示。

圖1 上海某GNSS 控制網(wǎng)網(wǎng)形圖

對(duì)該GNSS 控制網(wǎng)進(jìn)行無(wú)約束平差， 以佘山IGS 跟蹤站的ITRF97 框架（歷元為2000.00）下的坐標(biāo)作為起始值，平差后三維空間坐標(biāo)的精度如圖2 所示。

圖2 平差之后各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)精度

無(wú)約束平差后37 條基線(xiàn)向量的111 個(gè)坐標(biāo)分量的改正數(shù)中小于1 cm 有84%，在1～2 cm 的占14%，在2～3 cm 的只有1 個(gè)， 超過(guò)3 cm 的一個(gè)最大的改正數(shù)為-3.13 cm，是S006～S009 基線(xiàn)的Y 方向改正數(shù)。 因此，若采用檢驗(yàn)粗差的經(jīng)典方法3σ 準(zhǔn)則，則認(rèn)為觀測(cè)值是符合要求的。 下面比較采用單分量模型探測(cè)粗差和按基線(xiàn)整體模型探測(cè)粗差結(jié)果。

4.1 單分量模型探測(cè)粗差

按照基線(xiàn)向量的各個(gè)分量分別構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量探測(cè)粗差，結(jié)果如圖3 所示。

圖3 單分量探測(cè)模型構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量與臨界值比較

取置信水平α=0.005，自由度為36，查表可得tα/2=2.719 5，由圖2 可知第20 條基線(xiàn) （S002—S016） 和第24 條基線(xiàn)（S012—S016）的X 方向分量未能通過(guò)檢驗(yàn)，但是這兩條基線(xiàn)的另外兩個(gè)分量能通過(guò)檢驗(yàn)，則認(rèn)為這兩個(gè)觀測(cè)值存在粗差，應(yīng)該將兩條基線(xiàn)剔除。 其余各觀測(cè)值均未達(dá)到臨界值，通過(guò)檢驗(yàn)。

4.2 按基線(xiàn)整體模型探測(cè)粗差

將整條基線(xiàn)的3 個(gè)分量看成一個(gè)整體，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，并求得該統(tǒng)計(jì)量在空間中投影的最大值，計(jì)算結(jié)果如圖4 所示。

圖4 按基線(xiàn)整體模型構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量與臨界值比較

同樣，取置信水平α=0.005，自由度36，臨 界 值tα/2=2.719 5， 由 圖4 可 知， 第1（S002—S007）、20 （S002—S016）、24（S012—S016）這3 條基線(xiàn)超過(guò)臨界值，未能通過(guò)檢驗(yàn)，其中，第一條基線(xiàn)向量在采用傳統(tǒng)單分量模型探測(cè)時(shí)未能在3 個(gè)分量中探測(cè)出粗差。 因此，按基線(xiàn)整體模型探測(cè)粗差是能夠有效探測(cè)出某條基線(xiàn)是否含有粗差的。 并且，有些在采用單分量探測(cè)時(shí)不能發(fā)現(xiàn)的粗差，在采用整體探測(cè)模型時(shí)能夠探測(cè)出來(lái)。

5 結(jié)語(yǔ)

比較兩種探測(cè)粗差構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的方法可以發(fā)現(xiàn)，采用按基線(xiàn)整體構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的探測(cè)模型，由于尋找到了該條基線(xiàn)構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量在空間中的最大值，因此，更加容易探測(cè)出不易發(fā)現(xiàn)的粗差，此外，按照基線(xiàn)逐條探測(cè)相比較于逐個(gè)基線(xiàn)分量觀測(cè)值探測(cè)工作量大幅減少，效率更高。