◆文/吳振奎

《美妙的數(shù)學(xué)》吳振奎 著/北京大學(xué)出版社/2022.10/69.00元

美是自然（確切地講是“自然的人化”）。數(shù)學(xué)作為“書(shū)寫宇宙的文字”（伽利略語(yǔ)）反映著自然，其中當(dāng)然存在著美。

“美”是一個(gè)哲學(xué)概念。對(duì)于山水、風(fēng)景、形體、相貌這類自然形成的事物，可以根據(jù)社會(huì)文明進(jìn)步程度、人類智力發(fā)展水平、大眾審美觀點(diǎn)的演化層次，再根據(jù)多數(shù)人的審美觀點(diǎn)直觀評(píng)判其美與否；然而對(duì)于文學(xué)、藝術(shù)、建筑、園林等等帶有人工雕琢痕跡的物件，人們?nèi)バ蕾p它時(shí)，美與不美便是一種抽象的思維、判斷過(guò)程了。比如欣賞藝術(shù)大師畢加索的晚年（立體主義抽象）畫(huà)作時(shí)，不僅需要觀賞者有較高的藝術(shù)修養(yǎng)，還要有抽象思維的能力，因?yàn)檫@類畫(huà)作是將自然物像分解成幾何塊面，從而從根本上擺脫傳統(tǒng)繪畫(huà)的視覺(jué)規(guī)律和空間概念（也有人認(rèn)為這是畫(huà)家在四維空間作畫(huà)，即將四維空間的物像用二維圖形表現(xiàn)出來(lái)）。因此，真正能夠讀懂畫(huà)作的人不會(huì)很多，有人會(huì)認(rèn)為畫(huà)作很美，但也有人認(rèn)為畫(huà)作不美甚至很丑（正如有人說(shuō)“美其實(shí)是一種感覺(jué)”），這正是“美學(xué)”這門學(xué)科所要研究的。

而數(shù)學(xué)美學(xué)研究的主要內(nèi)容也包括探求數(shù)學(xué)中的現(xiàn)實(shí)美、抽象美、美的感悟和美的創(chuàng)造。數(shù)學(xué)（特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)）作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)、工程技術(shù)的先導(dǎo)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)的工具，其本身就具有許多美的特性，它們中的某些是形象、生動(dòng)而具體的，比如數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性、抽象性、和諧性、奇異性等諸方面均展現(xiàn)著數(shù)學(xué)自身的美——這些一旦讓人覺(jué)知、被人認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)便有了新的希望與未來(lái)。數(shù)學(xué)正是在不斷追求完美的過(guò)程中孕育、創(chuàng)造并發(fā)展的。

把數(shù)學(xué)中，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，美的現(xiàn)象展示出來(lái)，再?gòu)拿缹W(xué)角度重新認(rèn)識(shí)，這不僅是對(duì)人們觀念的一種啟迪，還可以幫助人們?nèi)ニ季S、去探索、去研究、去發(fā)掘、去創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)中的一個(gè)結(jié)論（定理、公式、圖形）、一種證明、一項(xiàng)計(jì)算、一份解答，如果看上去很美（簡(jiǎn)練、和諧、巧妙、生動(dòng)……），差不多可以說(shuō)它是正確的。這就是說(shuō)：從美學(xué)角度探索數(shù)學(xué)中的一些現(xiàn)象，并揭示其中的某些規(guī)律，往往可以得到一些研究數(shù)學(xué)的方法。

簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)中的美需要被揭示、探討、挖掘，從而成為對(duì)美學(xué)乃至整個(gè)哲學(xué)的一種豐富；反過(guò)來(lái)，美學(xué)方法又可以指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究。

其實(shí)數(shù)學(xué)中的美的現(xiàn)象很早就為一些大數(shù)學(xué)家（如畢達(dá)哥拉斯、高斯等）所關(guān)注，并提出過(guò)不少精辟、獨(dú)到的見(jiàn)解，但遺憾的是他們未能有專門論著面世（我國(guó)古代數(shù)學(xué)家也從“趣味”角度探討過(guò)這類問(wèn)題，雖然美包含趣味，但“趣味”并不等于美）。

古希臘哲學(xué)家蘇格拉底認(rèn)為：最有益的即是最美的。因而，古希臘的美學(xué)是知識(shí)不可分割的一部分，這恰恰是由于當(dāng)時(shí)許多學(xué)科的幼芽尚未從人類知識(shí)這棵大樹(shù)上長(zhǎng)成獨(dú)立的枝干。當(dāng)時(shí)的哲人們還認(rèn)為：（現(xiàn)實(shí)）美和宇宙之美是統(tǒng)一的。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（請(qǐng)注意這是一個(gè)數(shù)學(xué)團(tuán)體）則認(rèn)為這個(gè)學(xué)派在研究音樂(lè)時(shí)最早使用了數(shù)學(xué)（他們?cè)噲D提出一個(gè)關(guān)于聲調(diào)對(duì)比關(guān)系的數(shù)學(xué)表述：八度音與基本音調(diào)之比為1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4，等等），這也是人們最早用數(shù)學(xué)方法研究美的實(shí)踐與創(chuàng)始。

至于數(shù)學(xué)，在當(dāng)今的科學(xué)分類研究中，許多學(xué)者稱哲學(xué)和數(shù)學(xué)是普遍科學(xué)，且認(rèn)為二者可應(yīng)用于任何學(xué)科和領(lǐng)域，其差別在于刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界時(shí)使用的方法和語(yǔ)言不同：哲學(xué)使用的是自然語(yǔ)言，數(shù)學(xué)使用的是人工語(yǔ)言（數(shù)學(xué)符號(hào)）；哲學(xué)使用的是辯證邏輯方法，而數(shù)學(xué)使用的是形式邏輯與數(shù)理邏輯方法。這樣哲學(xué)家有時(shí)可以“感覺(jué)到”思維的和諧，而數(shù)學(xué)家有時(shí)可以“感覺(jué)到”公式與定理的和諧，即美。

無(wú)論從哪個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)美都是一個(gè)值得探討的話題。德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺‥.E.Kummer）說(shuō)：一種特別的美統(tǒng)治著數(shù)學(xué)王國(guó)，這種美與藝術(shù)美的相似性不如與自然美的相似性那么大，它反映了具有抽象能力的思想，它也會(huì)得到人們的欣賞，這一點(diǎn)很像自然中的美。

古希臘的亞里士多德認(rèn)為：數(shù)學(xué)能促進(jìn)人們對(duì)美的特性——數(shù)值、比例、秩序等的認(rèn)識(shí)。

早在三十幾年前，筆者便在思考數(shù)學(xué)之美到底美在哪里，同時(shí)留意“數(shù)學(xué)美”的文字與資料，只是自嘆力有不逮，始終未敢妄動(dòng)。試想：這樣一個(gè)宏大的課題，要用不太多的文字、在不太長(zhǎng)的篇幅里將它全部（哪怕是一部分）展現(xiàn)出來(lái)，遠(yuǎn)非易事。正如古希臘哲人蘇格拉底所說(shuō)：美是許多現(xiàn)象所固有的一個(gè)唯一的東西，它有最普遍的具體性，但美是難以捉摸的。

“無(wú)知者無(wú)畏”，筆者曾斗膽撰寫了《數(shù)學(xué)中的美》。后來(lái)應(yīng)北京大學(xué)出版社之邀承擔(dān)此書(shū)的寫作，鑒于叢書(shū)的要求，一切必須推倒重來(lái)。這是一件極不情愿卻又無(wú)可奈何，而且遠(yuǎn)非輕松（也許會(huì)是費(fèi)力不討好）的事情，婉拒未果，只得硬著頭皮答應(yīng)。讀書(shū)、查資料，寫筆記……構(gòu)思良久，始得框架，遂試圖以數(shù)學(xué)實(shí)例揭示數(shù)學(xué)潛在規(guī)律的同時(shí)，探索運(yùn)用美學(xué)原理指導(dǎo)數(shù)學(xué)創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的途徑。

如前所說(shuō)，數(shù)學(xué)美的研究也是對(duì)美學(xué)自身的一種豐富。雖心里忐忑不安（因?yàn)橐磺幸獜牧汩_(kāi)始），但聊以自慰的是：我雖年邁但尚有精力和體力，而我會(huì)努力，且我在用心，加之還有北京大學(xué)出版社的鼎力支持，以及叢書(shū)的諸作者的勉慰，更有編輯陳靜的輔佐（書(shū)中不少圖片系她提供），成稿之余，筆者首先深深感謝他們。

如此一來(lái)，我的盡力縱然有瑕疵，即便是敗筆，一切也許能夠贏得讀者的理解與寬容。倘若如此，便沒(méi)有冷落我的勞動(dòng)，足矣。