凌 勛,雷德文,楊萬祥,李小斌,閻建國

(1.中國石油天然氣股份有限公司新疆油田分公司,新疆克拉瑪依834000;2.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院,四川成都610059)

當(dāng)波通過地下含流體的巖石時,通常會產(chǎn)生速度頻散和能量衰減(簡稱頻散)。目前關(guān)于這種頻散效應(yīng)的機制,被廣泛接受的理論是波誘導(dǎo)流體流動(WIFF),發(fā)生在地震勘探頻段的頻散衰減機制主要是介觀流[1]。介觀尺度主要指遠小于人工地震波波長,并遠大于巖石孔隙大小的尺度,通常為厘米級。導(dǎo)致巖石出現(xiàn)介觀尺度的非均勻性的原因很多,裂縫是其中一個主要因素。另外,裂縫可能具有某種方向性,從而導(dǎo)致波的頻散和衰減還會具有各向異性?；谙嚓P(guān)的頻散巖石物理模型,分析其AVO頻變和與頻率相關(guān)的合成地震記錄,可以提供更多的參數(shù)或現(xiàn)象來描述地下巖石的流體和裂縫情況[2-3],因此具有重要意義,也是目前的研究前緣之一。

CHAPMAN[4-5]充分考慮了流體在介觀裂縫與等徑孔隙之間的流動,建立了流體、裂縫(裂隙)和孔隙共存的介質(zhì),能夠?qū)嶋H地層的地震波衰減、頻散和各向異性給出合理解釋,但其構(gòu)建的裂縫模型表達形式較復(fù)雜。GALVIN等[6-7]利用多重散射理論給出了裂縫介質(zhì)的法向頻變模量,然后采用分支函數(shù)近似方法[8]給出了定向排列裂縫介質(zhì)的全局頻變彈性模量。GUREVICH等[9]用分支函數(shù)的方法拓展了周期性平面裂縫、隨機間隔平面裂縫和硬幣狀裂縫3種情況下的P波頻散模型;GUO等[10-11]將裂縫形態(tài)從無限厚度拓展到有限厚度情況,并分析前述幾種裂縫結(jié)構(gòu)的全角度地震波頻散特征。近年來,對于介觀尺度的模型研究,很多學(xué)者考慮的模型細(xì)節(jié)趨于復(fù)雜,有研究不同孔隙壓力[12]、有研究裂縫正交情況[13-15]、有考慮多尺度的情況[16-17]或是考慮混流情況[18]等。模型的細(xì)節(jié)越復(fù)雜,所對應(yīng)的表達式參數(shù)越多,公式越復(fù)雜,這對模型的實際應(yīng)用特別是對反演等工作增加了難度。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,進一步改進和擴展了相關(guān)的頻散巖石物理模型,將松弛函數(shù)附加到裂縫參數(shù)上,構(gòu)建依賴頻率的裂縫柔度參數(shù)。這種改進便于構(gòu)建復(fù)雜頻散模型,同時所對應(yīng)的公式形式較原來模型的公式更簡潔。另一方面,地下巖石具有方位各向異性時,分析不同方位的AVO屬性,可以了解地下巖石的各向異性,是具有重要意義的研究問題之一。本文在Rüger公式中引入頻率參數(shù),使其能夠進行頻散模型下的頻變和方位AVO分析,并通過合成地震記錄分析得到了基于改進的介觀巖石物理模型的頻變地震響應(yīng)特征。介觀模型的頻散頻段主要發(fā)生在地震勘探頻段上,但隨著流體粘度或裂縫長度等相關(guān)參數(shù)的改變,頻散頻段即特征頻率發(fā)生變化,對地震勘探資料上頻散現(xiàn)象的影響程度也發(fā)生改變。通過數(shù)值模擬探討了模型的特征頻率、地震波主要頻段以及地震勘探資料上的頻散現(xiàn)象之間的關(guān)系。分析相關(guān)結(jié)果,進一步加深了對含流體裂縫型巖石的地震響應(yīng)特征的認(rèn)識,為地震頻散特征的實際應(yīng)用提供巖石物理模型構(gòu)建方面的指導(dǎo)。

1 原理和方法

1.1 依賴頻率的巖石物理模型

1.1.1 Galvin介觀裂縫模型

因本文巖石物理參數(shù)過多,在附錄A中,我們將本文常用的巖石物理參數(shù)整理出來,以供讀者查閱。

1.1.2 依賴頻率的裂縫柔度

在一個完整的波周期中,在壓縮期時,流體從軟的非均勻孔隙流到背景硬孔中,在膨脹期時,流體又從背景孔隙中流動到非均勻軟孔中[1]。當(dāng)頻率足夠低時,波的周期很長,流體在半周期內(nèi)有足夠的時間流動,使得巖石處處壓力均衡,這種狀態(tài)下稱為低頻極限狀態(tài);頻率足夠高時,波的周期很短,以致于流體在半周期內(nèi)幾乎沒有時間去流動,這種狀態(tài)稱為高頻極限狀態(tài)[1,7,19]。通過高頻和低頻的限制來約束動態(tài)模型的極限狀態(tài),結(jié)合裂縫模型垂直入射時的頻散關(guān)系,則整個介質(zhì)的中間頻率可以采用分支函數(shù)[7-8,11]或利用等效彈性張量的對稱性[20-21]來模擬。Galvin介觀裂縫模型的高頻極限采用的是飽和的背景介質(zhì)加上飽和的高頻裂縫參數(shù)來表示,低頻極限采用干背景介質(zhì)和干裂縫組合,然后通過Gassmann方程來描述。

流體飽和的任意各向異性巖石的低頻極限狀態(tài)可用各向異性Gassmann方程表示[22]：

依據(jù)Schoenberg線性滑動理論,含裂縫的干巖石柔度矩陣可以由干裂縫的附加柔度和干背景介質(zhì)的柔度求和得到。通過Gassmann方程添加流體,可以表征低頻極限狀態(tài)的飽和巖石的柔度矩陣,即將公式(8)代入到公式(5)中得到巖石低頻極限狀態(tài)的完整參數(shù)[23]。

式中：λ,μ為拉梅系數(shù);e=Na3/V為裂縫密度,其中,V為體積,N為裂縫數(shù)量。

由于裂縫孔隙度很小,相對于背景孔隙度來說可以忽略不計,即整個巖石的孔隙度等于背景孔隙度。因此在使用Gassmann方程添加流體時,可以不考慮裂縫空間所貢獻的流體影響。所以對于(8)式而言,將(8)式代入到Gassmann方程的作用是添加剩余流體的作用,即背景空隙空間含流體的影響。為便于描述,寫成下面形式：

然而當(dāng)高頻波通過巖石時,裂縫中的流體不能流動,這時流體會擠壓裂縫,改變裂縫的狀態(tài),整體上會使巖石變得“更硬”(巖石的速度增加)。在高頻極限時,采用一個相似的形式來描述(具體的推導(dǎo)過程見附錄B)：

(15)

其中頻率關(guān)系ffra(ω)由GALVIN等[6-7]和GUREVICH等[9]給出(見公式(2))。

用依賴頻率的裂縫柔度參數(shù),形式上將整個介質(zhì)的頻散關(guān)系映射到了裂縫參數(shù)隨頻率的變化,對于復(fù)雜裂縫模型的理論建模形式更簡潔。例如,對于HTI型裂縫介質(zhì),依賴頻率的附加柔度張量形式可以將動態(tài)裂縫參數(shù)代入到巖石的附加柔度矩陣中得到：

然后將依賴頻率的附加柔度ΔS(ω)與干背景介質(zhì)求和,求得依賴頻率的未松弛巖石柔度,最后再通過各向異性Gassmann方程添加剩余流體來求取完整的飽和介質(zhì)參數(shù)。

前文提到,本文方法的最大優(yōu)勢是便于構(gòu)建復(fù)雜模型,只要給出裂縫的分布表達式,就可以計算出相應(yīng)的附加柔度矩陣,如CHAPMAN[4-5]提出的兩組呈任意夾角的介觀裂縫組模型,我們用柔度組合的方式也能表達出來。對于裂縫呈現(xiàn)某種方向性的隨機排列模型,如裂縫呈現(xiàn)豎直排列,裂縫法向在水平面內(nèi)隨機分布,我們?nèi)匀豢梢越o出相應(yīng)的附加柔度矩陣：

關(guān)于具體的推導(dǎo)公式,或更多的模型附加柔度表達式,可以參照文獻[19]和文獻[29]。

綜上所述,我們給出模型的構(gòu)建流程：

1) 依據(jù)巖石中的裂縫密度,背景巖石剪切模量等相關(guān)參數(shù),按公式(10)和公式(11)計算出裂縫法向和切向柔度;

2) 依據(jù)流體體積模量、裂縫長度、流體粘滯系數(shù)等相關(guān)參數(shù),計算與頻率相關(guān)的松馳函數(shù)ffra(ω),然后計算出依賴頻率的裂縫法向柔度;

3) 按照裂縫的排列方式,計算出依賴頻率的附加柔度,如HTI型排列,可以用公式(16),豎直隨機排列,可以用公式(17);

5) 最后使用各向異性Gassmann方程添加剩余流體作用,求取完整的巖石頻變?nèi)岫葏?shù);

6) 若需要求取或使用巖石的頻變剛度系數(shù),可以對柔度矩陣求逆得到。

1.2 反射系數(shù)計算公式

若直接使用完整的剛度系數(shù)來描述巖石的彈性參數(shù),其物理意義并不直觀。Thomsen各向異性參數(shù)或類Thomsen參數(shù)可以更簡潔地描述巖石的各向異性。TSVANKIN[30]給出了HTI介質(zhì)的類Thomsen三參數(shù)：

式中：α,β,εHTI,γHTI,δHTI為HTI介質(zhì)的各向異性參數(shù);ρ為密度;c11,c22,c33,c44,c55,c66為剛度系數(shù)。

對于各向異性介質(zhì)界面的反射系數(shù)計算,如果直接求解Zoeppritz方程來獲得各向異性介質(zhì)分界面的反射系數(shù),過程非常復(fù)雜且結(jié)果不可靠,因為在各向異性介質(zhì)中,兩個橫波是分裂的,慢度面可能出現(xiàn)非凸面,且極化方向不一定垂直于傳播方向[31-32]。因此,在計算各向異性介質(zhì)反射系數(shù)時,本文采用了目前常用的一些簡化公式,并根據(jù)頻散巖石物理模型進行了必要的拓展。在HTI介質(zhì)的分界面上,RüGER[33]推導(dǎo)了P波反射系數(shù)RPP(ξ,θ)：

由于地震波的頻散效應(yīng),當(dāng)?shù)卣鸩ㄍㄟ^巖石時,彈性參數(shù)隨頻率發(fā)生變化。假設(shè)界面的反射系數(shù)隨頻率的變化是由于界面兩邊巖石的彈性參數(shù)隨頻率改變引起的[34-35],則對于HTI介質(zhì),與頻率相關(guān)的反射系數(shù)為：

1.3 合成地震記錄的計算

對于常規(guī)的地震道可以通過震源子波與反射系數(shù)序列卷積得到,當(dāng)反射系數(shù)與頻率相關(guān)時,很難在時間域進行卷積操作[36-37]。對于依賴頻率的反射系數(shù),需要在頻率域計算。整個合成地震記錄的計算流程如圖1所示。用本文拓展后的巖石物理模型建模,得到依賴頻率的彈性模量;然后使用剛度系數(shù)的實部計算出各向異性系數(shù),進一步代入反射系數(shù)公式得到界面的反射系數(shù);最后,在頻率域內(nèi),將頻變反射系數(shù)與子波相乘后,做傅里葉逆變換得到合成地震記錄。

圖1 合成地震記錄的計算流程

對于多層界面,假設(shè)在界面上有各種測井曲線可用,將目標(biāo)儲層看作由不同時間深度t0,t1,…,tk的界面組成(k為界面總數(shù)),則多界面的合成地震記錄公式[38-39]為：

(23)

2 頻變AVO數(shù)值模擬

2.1 模型設(shè)計

設(shè)計一個如圖2所示的兩層模型,模型分界面采用常見的泥砂分界面來表征。上層為致密泥巖,各向同性;下層為砂巖,含流體和裂縫,其中裂縫豎直定向排列(HTI型排列)。表1展示了泥巖參數(shù)和砂巖的背景參數(shù),除特殊說明外,背景參數(shù)恒定不變,按前述的相關(guān)方法進行數(shù)值模擬并分析裂縫和流體等參數(shù)對于地震響應(yīng)特征的影響。

表1 模型參數(shù)

圖2 兩層模型示意

對于巖石背景介質(zhì)的參數(shù)計算,可以采用相關(guān)經(jīng)驗公式來計算[40]：

K=(1-α0)Kg

(24)

μ=(1-α0)μg

(25)

式中：K,μ分別為含孔隙巖石體積模量和剪切模量;

Kg,μg分別為礦物顆粒的體積模量和剪切模量;φp為背景孔隙度;α0為耦合參數(shù)。

2.2 合成地震記錄分析

2.2.1 反射系數(shù)

表2給出了砂巖中裂縫流體參數(shù)。我們依據(jù)表1 和表2的參數(shù)進行了一系列的數(shù)值模擬。當(dāng)裂縫豎直定向排列,裂縫法向平行于x軸時,模型為HTI各向異性介質(zhì)模型。模擬不同頻率下的分界面反射系數(shù)與方位角和入射角之間的關(guān)系(圖3),方位角0°表示垂直于裂縫面,90°表示平行于裂縫面。

表2 砂巖中裂縫和流體參數(shù)

圖3 上層泥巖下層砂巖模型在低(1Hz)(a)、中(40Hz)(b)、高(105Hz)(c)頻率下反射系數(shù)隨入射角和方位角的變化

在圖3中可以看到,低、中、高頻率下,反射系數(shù)隨入射角和方位角的變化規(guī)律整體相似。圖3中,選取模型的衰減峰值頻率為中間頻率。在遠偏移距,不同方位之間的差異明顯,且垂直于裂縫方位反射系數(shù)大于平行于裂縫方位。

圖4展示了在不同方位角下反射系數(shù)與入射角和頻率之間的關(guān)系,可以看出,各個方位下,反射系數(shù)隨頻率和入射角的變化規(guī)律相近,但在90°方位大入射角度處,反射系數(shù)不再上升,開始出現(xiàn)下降的趨勢。在大方位角中,低頻和高頻之間的反射系數(shù)差異比例大于小方位角時的差異比例,但數(shù)值差異卻較小,這是因為平行于裂縫方向,qP波的頻散最弱,進而導(dǎo)致反射系數(shù)頻散現(xiàn)象也較弱。

圖4 上層泥巖下層砂巖模型在0°(a)、45°(b)、90°(c)方位角下反射系數(shù)隨入射角和頻率的變化

圖5展示了在不同入射角下反射系數(shù)與方位角和頻率之間的關(guān)系,可以看出,反射系數(shù)的形態(tài)在不同入射角下隨頻率和方位角的變化規(guī)律不再一致,且在遠偏移距處(圖5c)反射系數(shù)隨方位角變化更為敏感。

圖5 上層泥巖下層砂巖模型在0°(a)、20°(b)、40°(c)入射角下反射系數(shù)隨方位角和頻率的變化

2.2.2 合成記錄

研究頻散在地震剖面上的特征,我們只需改變頻率控制參數(shù),即由裂縫長度、流體粘滯系數(shù)以及背景滲透率等表征的特征頻率。若其余參數(shù)不變,僅是這些頻率控制參數(shù)變化,對于巖石來說,它的極限狀態(tài)沒有改變,改變的只是發(fā)生頻段的范圍,或改變了巖石的特征頻率。對于Galvin介觀裂縫模型而言,隨著裂縫長度增加,背景滲透率的降低,或流體粘度的增加,頻散頻段或特征頻率向低頻移動?？紤]頻散的綜合影響,我們設(shè)置3組參數(shù),其特征頻率從高到低,見表3。圖6展示了表3中3塊巖石的縱波隨頻率的衰減關(guān)系,其中衰減最大的點所對應(yīng)的頻率為巖石的特征頻率。給定雷克子波主頻為25Hz,時間間隔為1ms,按照圖1流程模擬出合成地震記錄,分析其AVO特征。

表3 砂巖裂縫和流體參數(shù)

圖6 編號為H、M和S砂巖的P波衰減隨頻率的變化

在垂直于裂縫的平面(即方位角為0°)進行數(shù)值計算,模擬出編號H、M、S砂巖和各向同性泥巖分界面的AVO特征,結(jié)果分別如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 編號為H的含裂縫砂巖和泥巖的分界面AVO分析結(jié)果a 反射系數(shù)隨入射角的變化; b 反射系數(shù)隨頻率的變化; c 合成地震記錄(其中,0.3s處結(jié)果為與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬結(jié)果,0.7s處結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限結(jié)果,最右側(cè)一道為角道集疊加后的結(jié)果); d 與頻率相關(guān)的疊加地震記錄波形; e 與頻率無關(guān)的疊加地震記錄波形

圖8 編號為M的含裂縫砂巖和泥巖的分界面AVO分析結(jié)果a 反射系數(shù)隨入射角的變化; b 反射系數(shù)隨頻率的變化; c 合成地震記錄(其中,0.3s處結(jié)果為與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬結(jié)果,0.7s處結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限結(jié)果,最右側(cè)一道為角道集疊加后的結(jié)果); d 與頻率相關(guān)的疊加地震記錄波形; e 與頻率無關(guān)的疊加地震記錄波形

圖9 編號為S的含裂縫砂巖和泥巖的分界面AVO分析結(jié)果a 反射系數(shù)隨入射角的變化; b 反射系數(shù)隨頻率的變化; c 合成地震記錄(其中,0.3s處結(jié)果為與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬結(jié)果,0.7s處結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限結(jié)果,最右側(cè)一道為角道集疊加后的結(jié)果); d 與頻率相關(guān)的疊加地震記錄波形; e 與頻率無關(guān)的疊加地震記錄波形

圖7a為反射系數(shù)隨入射角的變化;圖7b為反射系數(shù)隨頻率的變化;圖7c為合成地震記錄,其中,0.3s處的結(jié)果采用本文與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬,0.7s處的結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限,與頻率無關(guān),最后一道為角道集疊加后的結(jié)果;圖7d和圖7e 分別為與頻率相關(guān)和與頻率無關(guān)的角道集疊加道波形。

砂巖參數(shù)取編號H時,特征頻率約為158Hz,對應(yīng)頻率對數(shù)坐標(biāo)約為2.2,大于雷克子波的主頻25Hz。圖7a中1Hz到60Hz沒有明顯的反射系數(shù)頻散,分界面反射系數(shù)在垂直入射時為負(fù),隨著入射角增大,反射系數(shù)變?yōu)檎?進而繼續(xù)增大。在合成地震記錄中動態(tài)模型(圖7d)和Gassmann低頻極限結(jié)果(圖7e)幾乎一致。

砂巖參數(shù)取編號M時,特征頻率約為40Hz,對應(yīng)頻率對數(shù)坐標(biāo)約為1.6,與雷克子波的主頻相近。在圖8a中可以看到明顯的頻散現(xiàn)象。在圖8b中,入射角為40°時展現(xiàn)的頻散差異要大于小角度入射情況,在后續(xù)模擬中,也能觀察到同樣的現(xiàn)象。在合成地震記錄(圖8c)中,本文的動態(tài)模型和Gassmann低頻極限結(jié)果出現(xiàn)差異。在圖8d中,動態(tài)模型角道集疊加波形出現(xiàn)了畸變,波形不再對稱。

砂巖參數(shù)取編號S時,特征頻率約為2Hz,對應(yīng)頻率對數(shù)坐標(biāo)約為0.2。從圖9可以看出：在20Hz后反射系數(shù)的頻散不再明顯;在合成地震記錄中,動態(tài)模型和低頻極限靜態(tài)模型差異進一步增大;動態(tài)模型的角道集振幅值較小,且動態(tài)模型的近道和遠道振幅極性相反,疊加后相互抵消,疊加道振幅微弱(圖9d)。

模擬方位角為45°和90°時編號為M的砂巖與泥巖的分界面AVO結(jié)果,見圖10和圖11所示。從上一節(jié)的反射系數(shù)的變化來看,大的方位角(平行于裂縫方向)頻散差異的比例在增大,但從數(shù)值差異來看,是最小的。這是因為在垂直裂縫面入射時,頻散最強,平行于裂縫時頻散最弱;還可以觀察到,波形畸變現(xiàn)象隨方位角度的增大而減弱(圖10d和圖11d)。

圖10 編號為M的含裂縫砂巖和泥巖的分界面AVO分析結(jié)果(在45°方位模擬)a 反射系數(shù)隨入射角的變化; b 反射系數(shù)隨頻率的變化; c 合成地震記錄(其中,0.3s處結(jié)果為與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬結(jié)果,0.7s處結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限結(jié)果,最右側(cè)一道為角道集疊加后的結(jié)果); d 與頻率相關(guān)的疊加地震記錄波形; e 與頻率無關(guān)的疊加地震記錄波形

圖11 編號為M的含裂縫砂巖和泥巖的分界面AVO分析(在90°方位模擬)a 反射系數(shù)隨入射角的變化; b 反射系數(shù)隨頻率的變化; c 合成地震記錄(其中,0.3s處結(jié)果為與頻率相關(guān)的動態(tài)模型模擬結(jié)果,0.7s處結(jié)果為Gassmann方程模擬的低頻極限結(jié)果,最右側(cè)一道為角道集疊加后的結(jié)果); d 與頻率相關(guān)的疊加地震記錄波形; e 與頻率無關(guān)的疊加地震記錄波形

分析不同特征頻率下的合成地震記錄可知,當(dāng)特征頻率在地震子波主頻附近時,頻散作用在地震剖面上才明顯,主要體現(xiàn)在波形振幅差異和波形畸變。特征頻率越小,考慮頻散后的結(jié)果和使用傳統(tǒng)的Gas-smann方程靜態(tài)模型結(jié)果差異越大。對于這些特點,從理論分析中也能得到同樣的結(jié)論,但我們注意到,當(dāng)特征頻率大于地震勘探子波主頻約一個數(shù)量級時,頻散在地震剖面上的特征不明顯,此時可以忽略頻散作用。而在井震聯(lián)合方面,又必須考慮頻散作用。在定向HTI裂縫介質(zhì)中,隨著方位角度的增大,地震剖面上的頻散現(xiàn)象逐漸減弱,也就是說,在垂直于裂縫走向剖面中波形畸變現(xiàn)象最明顯。

3 結(jié)論

本文提出了一種改進的介觀尺度的巖石物理模型,構(gòu)建了頻率相關(guān)的裂縫參數(shù),通過依賴頻率的裂縫柔度參數(shù)重構(gòu)了Galvin介觀裂縫模型的極限狀態(tài)計算流程,并采用裂縫本身相關(guān)參數(shù)直接計算裂縫附加柔度。改進的巖石物理模型最主要的優(yōu)點是形式上的簡潔,同時具有很好的拓展性,便于構(gòu)建各種復(fù)雜的裂縫巖石物理模型并開展頻散特征分析?；谕卣购蟮哪Ｐ瓦M行數(shù)值模擬,分析了頻散AVO特征及方位AVO特征。當(dāng)模型特征頻率小于或接近于地震子波主頻時,地震剖面上才出現(xiàn)明顯的差異,地震波波形出現(xiàn)畸變,不再對稱。當(dāng)特征頻率約大于子波主頻一個數(shù)量級時,這種頻散作用可以忽略。從頻散敏感參數(shù)來說,隨著裂縫變長,流體粘度增加,或背景滲透率降低,地震剖面的動態(tài)模型結(jié)果和Gassmann靜態(tài)結(jié)果差異變大。研究成果對于地震頻散特征的實際應(yīng)用具有重要意義。

本次研究的不足是采用了傳統(tǒng)的反射系數(shù)計算公式,未能準(zhǔn)確描述地震頻變特征。但這并不影響本文得出的相關(guān)特征規(guī)律。在后續(xù)工作中,還可以進一步開展模型的實際應(yīng)用,通過構(gòu)建能夠表征實際情況的巖石物理模型指導(dǎo)實際的油氣儲層預(yù)測。

附錄A

本文方法涉及相關(guān)巖石物理概念較多,在表A1中我們列出了本文常用的相關(guān)符號的物理含義以及它們之間的關(guān)系。

表A1 常用巖石物理參數(shù)

附錄B

公式(B1)即是GALVIN等[7]使用的公式。文中,我們使用公式(B2)計算高頻參數(shù)。

我們需要證明的是將公式(B2)代入到Gassmann方程中得到的結(jié)果和公式(B1)的結(jié)果是一致的。

式中：帶角標(biāo)i,j的符號和公式(B2)中不帶角標(biāo)的符號意義相同,角標(biāo)意義為矩陣的展開;φp為背景孔隙度;ψi為柔度矩陣中第i列的前3個系數(shù)求和;φf為裂縫孔隙度。因為裂縫孔隙度遠小于背景孔隙度,所以忽略裂縫孔隙度,背景孔隙度φp即為整個介質(zhì)的孔隙度,即φp+φf≈φp。

公式(B4)和公式(B1)具有相同的形式,因此對于高頻極限狀態(tài),公式(B1)計算出的高頻彈性參數(shù)和公式(B2)代入Gassmann方程計算得到的結(jié)果一致。