■易麗華

指數(shù)冪的運(yùn)算與對(duì)數(shù)的運(yùn)算這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),既是學(xué)習(xí)和研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),也是高考的必考知識(shí)之一,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中應(yīng)給予足夠的重視。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù),它們的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)都與底數(shù)的取值有密切的聯(lián)系,所以在底數(shù)的取值不確定時(shí),一定要注意進(jìn)行分類討論。

考點(diǎn)一:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域問題

求指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域主要通過構(gòu)建不等式(組)來求解,有時(shí)解不等式(組)時(shí)需要借助于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。涉及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題有兩個(gè)類型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函數(shù),先要求出f(x)的值域,再利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解,二是形如y=f(ax)和y=f(logax)的函數(shù),要根據(jù)ax和logax的取值范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)求解。

考點(diǎn)二:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題

例2當(dāng)時(shí),4x

解答這類問題要熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),以及冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)。對(duì)于方程與不等式問題,可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,也可利用數(shù)形結(jié)合法解決,對(duì)于含參數(shù)的問題,要進(jìn)行分類討論,同時(shí)還要注意參數(shù)本身的取值范圍,以免出現(xiàn)增根。

考點(diǎn)三:比較大小問題

例3(1)若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,則( )。

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

A.a

C.c

解:(1)由a=20.2>1>b=log43.2>0>c=log20.5,可得a>b>c。應(yīng)選A。

比較大小的常用方法有單調(diào)性法,圖像法,中間搭橋法,作差法、作商法等。當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí),可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較大小。

考點(diǎn)四:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題

例4若不等式(x-1)2

解:設(shè)函數(shù)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2

當(dāng)01時(shí),畫出圖像,如圖1所示。

圖1

當(dāng)x∈(1,2)時(shí),要使f1(x)=(x-1)2的圖像在f2(x)=logax的圖像下方,只需滿足f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,所以loga2≥1,所以a≤2,所以1

解決對(duì)數(shù)函數(shù)的參數(shù)取值范圍問題應(yīng)注意的三個(gè)方面:對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的運(yùn)用,也就是我們常說的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;分類討論思想的運(yùn)用,如果對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)是參數(shù)a,一般要分a>1和0

考點(diǎn)五:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題

例52022年6月5日神舟十四號(hào)載人飛船在長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭的托舉下點(diǎn)火升空,成功進(jìn)入預(yù)定軌道。我國在航天領(lǐng)域取得的巨大成就,得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)。根據(jù)火箭理想速度公式v=v0·,可以計(jì)算理想狀態(tài)下火箭的最大速度v(單位:m/s),其中v0(單位:m/s)是噴流相對(duì)速度,m(單位:kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量,M(單位:kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和,稱為總質(zhì)比。已知A型火箭噴流相對(duì)速度為800m/s,根據(jù)以上信息,回答下列問題。

(1)當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí),求A型火箭的最大速度。

(2)若經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后,A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到原來的2 倍,總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?若要使火箭的最大速度至少增加800m/s,求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值。(所有結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):ln2≈0.693,ln5≈1.609,e≈2.718)

解:(1)當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí),A型火箭的最大速度v=800ln50=800(2ln5+ln2)≈800(2×1.609+0.693)=3 128.8 ≈3129(m/s)。

故在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為68。

本題以實(shí)際生活為背景,考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算與解對(duì)數(shù)不等式問題。在閱讀理解題意的基礎(chǔ)上,方可尋找解題的突破點(diǎn),體現(xiàn)了運(yùn)算求解能力,以及分析問題、探究問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。