■高紅霞

對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的基本初等函數(shù)之一,下面就對數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)和相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行舉例分析。

題型1:對數(shù)函數(shù)的概念

對數(shù)在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛且意義深刻,因此對數(shù)常被用來研究各種有關(guān)數(shù)的計算或證明問題。

例117世紀(jì),在研究天文學(xué)的過程中,為了簡化大數(shù)運(yùn)算,蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù),對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化成乘法和加法運(yùn)算,數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”。已知ln2=0.6931,ln3=1.0986,設(shè)N=45×2710,則N所在的區(qū)間為( )。

A.(e38,e39) B.(e39,e40)

C.(e40,e41) D.(e41,e42)

解:因為N=45×2710,所以lnN=ln45+ln2710=ln210+ln330=10ln2+30ln3=0.6931×10+1.098 6×30=39.889,所以N=e39.889∈(e39,e40)。應(yīng)選B。

點撥:解決這類問題要熟練掌握對數(shù)的概念與運(yùn)算性質(zhì),以及對數(shù)換底公式的應(yīng)用。

題型2:對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

解答這類問題,可利用所給信息畫出函數(shù)的大致圖像,通過圖像和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性和經(jīng)過的特殊點)來解決問題。

例2函數(shù)f(x)=x[ln(x+1)-ln(1-x)]的部分圖像大致是( )。

解:由可得-11-x>0,則ln(1+x)>ln(1-x),此時f(x)=x[ln(1+x)-ln(1-x)]>0,排除D。應(yīng)選C。

點撥:由對數(shù)函數(shù)的解析式,可求對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過的特殊點,通過底數(shù)a的值可判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

題型3:對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

這類問題主要考查對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的交匯應(yīng)用。

例3已知函數(shù)f(x)=b·ax(a,b為常數(shù),且a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過點A(1,6),B(3,24)。下列四個結(jié)論:①a=2;②b=4;③函數(shù)y=f(x)-5 僅有一個零點;④若不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為(-∞,5]。

其中正確結(jié)論的序號是____。

解:依題意得解得a=2(負(fù)根舍去),b=3,①正確,②錯誤。函數(shù)y=3·2x-5 在R 上遞增,當(dāng)x=0 時,y=3·20-5=-2<0,當(dāng)x=2時,y=3·22-5=7>0,所以函數(shù)y=3·2x-5在R 上有唯一零點,③正確。不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即m≤2x+3x在x∈[1,+∞)上恒成立,因為y=2x+3x在[1,+∞)上單調(diào)遞增,其最小值為21+31=5,所以m≤5,④正確。答案為①③④。

點撥:需要注意的是,函數(shù)不滿足f(a)·f(b)<0,也可能存在零點。