■向正銀

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究的基本初等函數(shù)之一,也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)。指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用很廣泛,下面就四個(gè)方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例分析。

一、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

評(píng)注:把y1,y2,y3化成同底數(shù)冪的形式,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性比較大小。

二、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例2已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1-2-x,則不等式的解集是( )。

A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

評(píng)注:奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性。

三、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值

例3函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則a等于( )。

當(dāng)a>1 時(shí),y=ax為 單 調(diào)遞增函數(shù),所以y=ax在[0,1]上的最值分別為ymax=a1=a,ymin=a0=1,所以a+1=3,即a=2。

當(dāng)0

評(píng)注:函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性與a的取值范圍有關(guān),需要對(duì)a分情況討論。

四、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例4若函數(shù)f(x)=2x-4x-m在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)____。

因?yàn)閒(x)=2x-4x-m在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),所以g(x)=2x-4x與y=m在[-1,1]上有交點(diǎn),即方程m=2x-4x有解。因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以

評(píng)注:根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)定義,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=2x-4x與y=m的圖像在[-1,1]上有交點(diǎn),求出g(x)的值域,即h(u)的值域,可得實(shí)數(shù)m的取值范圍。