高新　葉楠　周坤　陶友瑞

摘要：針對現(xiàn)有的多階段Wiener退化建模與可靠性分析中，大多忽略測量誤差且未考慮退化過程中變點(diǎn)差異性的問題，建立了一種考慮測量誤差的兩階段Wiener模型。將極大似然估計法和多維搜索算法相結(jié)合求出測量誤差的估計值?？紤]到變點(diǎn)的差異性，基于BIC最小準(zhǔn)則估計出變點(diǎn)區(qū)間，同時根據(jù)變點(diǎn)位置確定漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的估計值，再利用SSE最小準(zhǔn)則求出變點(diǎn)的估計值，給出了基于變點(diǎn)分布區(qū)間的可靠性評估方法。最后，基于所建模型對RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)進(jìn)行了實例分析?？紤]測量誤差及變點(diǎn)位置對退化建模的不確定性影響，進(jìn)一步提高了產(chǎn)品的可靠性評估精度，能對產(chǎn)品的壽命做出更精準(zhǔn)的預(yù)測。

關(guān)鍵詞：多階段退化；測量誤差；Wiener過程；變點(diǎn)分布區(qū)間；壽命預(yù)測

中圖分類號：TB114.3

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.09.007

Two Stage Wiener Modeling and Reliability Analysis Considering Measurement Errors

GAO Xin1，2 YE Nan1，2 ZHOU Kun1，2 TAO Yourui1，2

Abstract： In the existing multi-stage Wiener degradation modeling and reliability analysis， most of them ignored the measurement errors and did not consider the differences of change points in the degradation processes. Considering measurement errors， a two-stage Wiener model was established and the maximum likelihood estimation method and multidimensional search algorithm were combined to obtain the estimated values of measurement errors. Considering the differences of change points， the change point interval was estimated based on BIC minimum criterion， at the same time， the estimated values of drift coefficient and diffusion coefficient were determined according to the positions of change points， and then the estimated values of change points were obtained by using SSE minimum criterion. A reliability evaluation method was given based on the distribution interval of change points. Finally， based on the established model， an example of RV reducer transmission accuracy degradation data was analyzed. Considering the uncertainty impacts of measurement errors and change point positions on degradation modeling， the reliability evaluation accuracy of the products is further improved and the life of the products may be predicted more accurately.

Key words： multi-stage degradation; measurement error; Wiener process; change point distribution interval; lifetime prediction

0 引言

隨著制造業(yè)水平的提高，在工業(yè)機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域出現(xiàn)了許多高可靠性、長壽命的產(chǎn)品，它們結(jié)構(gòu)復(fù)雜、維修費(fèi)用高，所以這類產(chǎn)品的可靠性評估和壽命預(yù)測是工程領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題［1-2］。產(chǎn)品可靠性的提升使傳統(tǒng)的壽命試驗在有限的時間和成本下很難獲得足夠的失效數(shù)據(jù)，但很多產(chǎn)品的關(guān)鍵性能參數(shù)在使用過程中會緩慢發(fā)生退化，達(dá)到一定閾值后認(rèn)定產(chǎn)品失效，這些性能退化數(shù)據(jù)提供了大量的可靠性分析信息，因此利用性能退化信息對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評估成為了一種有效便捷的途徑［3-5］。

在內(nèi)部機(jī)理和外部環(huán)境作用下，產(chǎn)品的性能退化過程會呈現(xiàn)出隨機(jī)不確定性，因此基于這種隨機(jī)退化過程的可靠性建模方法備受歡迎［6-7］，其中，Wiener退化模型對這種隨機(jī)退化過程具有良好的適應(yīng)性，在各種領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［8-10］。在產(chǎn)品的退化建模過程中測量誤差會對退化模型的不確定性造成影響，目前已有很多學(xué)者在產(chǎn)品的建模中引入了測量誤差。WHITMORE［11］最早將測量誤差引入退化模型中，假設(shè)測量誤差服從正態(tài)分布，并用數(shù)值分析方法驗證了模型的可行性。PENG等［12］設(shè)測量誤差和不同個體退化速率都服從高斯分布，提出了更一般化的帶有測量誤差的Wiener退化模型。文獻(xiàn)［13-15］建立了線性和非線性的Wiener退化模型且考慮了隨機(jī)效應(yīng)和測量誤差對退化模型的不確定性影響。但是，對于退化過程呈現(xiàn)多階段的產(chǎn)品［16-19］，退化建模和可靠性分析中往往都忽略了測量誤差的存在，且由于不同階段的退化過程不同，每個階段可能存在不同的測量誤差。

在產(chǎn)品的多階段退化過程中存在一個變點(diǎn)［20］，在該時刻產(chǎn)品的退化過程發(fā)生了改變，變點(diǎn)位置的確定是否合理也會對退化模型的不確定性造成影響。對于產(chǎn)品退化過程中的變點(diǎn)，大多數(shù)多階段退化建模中忽略了變點(diǎn)位置的個體差異性［21-22］，鄢偉安等［19］基于LCD退化數(shù)據(jù)建立了兩階段的線性Wiener模型，但是假設(shè)變點(diǎn)位于同一位置，即產(chǎn)品在相同測試時刻發(fā)生階段性變化，忽視了產(chǎn)品個體的差異性，且沒有考慮測量誤差對退化建模的不確定性，會影響退化建模的準(zhǔn)確性。

考慮到測量誤差及變點(diǎn)對退化建模的不確定性影響，本文建立了一種考慮測量誤差的兩階段Wiener退化模型，利用極大似然估計法和多維搜索算法對模型參數(shù)進(jìn)行估計，而且考慮到退化過程中變點(diǎn)的差異性，基于BIC和SSE最小準(zhǔn)則對變點(diǎn)區(qū)間及變點(diǎn)值進(jìn)行了合理估計，然后進(jìn)一步根據(jù)3σ原則建立變點(diǎn)分布區(qū)間，給出了基于變點(diǎn)分布區(qū)間的可靠性評估和壽命預(yù)測的方法。最后，對RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)進(jìn)行實例分析，與考慮變點(diǎn)的兩階段Wiener可靠性建模方法進(jìn)行了比較。

1 考慮測量誤差的兩階段Wiener過程建模

1.1 模型描述

一些產(chǎn)品在退化過程中呈現(xiàn)出兩階段甚至多階段的退化現(xiàn)象，即在退化軌跡中的某一時刻（稱為變點(diǎn)）產(chǎn)品退化過程由某一階段進(jìn)入另一階段，在變點(diǎn)前后產(chǎn)品服從不同的退化過程。例如在某些半導(dǎo)體激光器的退化過程中，開始一段時間內(nèi)退化速度很快，當(dāng)退化到某一時刻（變點(diǎn)），退化速度明顯變緩［20］。目前大多數(shù)建模只考慮單一階段的退化過程而忽視了產(chǎn)品的內(nèi)部失效機(jī)理和外部環(huán)境的變化，很多產(chǎn)品可能會呈現(xiàn)多階段的退化規(guī)律，所以可以先利用數(shù)值工具對產(chǎn)品的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行軌跡擬合，觀測是否具有明顯的多階段特征，然后考慮是否應(yīng)該建立多階段的退化模型。

2.2 壽命評估

對第一階段、過渡階段和更新后第二階段的可靠度函數(shù)分別進(jìn)行積分再求和可求得產(chǎn)品的平均壽命：

剩余壽命的α-分位點(diǎn)qα（t）是工程上的重要指標(biāo)，它表示產(chǎn)品在某一時刻正常工作的前提下能夠以概率1-α繼續(xù)正常工作的時間，可以用來預(yù)測產(chǎn)品的剩余壽命。qα（t）與可靠度函數(shù)R（t）之間的關(guān)系為

R（t+qα（t））=（1－α）R（t）（28）

qα（t）=R－1（（1－a）R（t））－t（29）

當(dāng)t=0，α=0.5時，q0.5（0）為產(chǎn)品的中位壽命；當(dāng)t=0，α=0.1時，q0.1（0）為產(chǎn)品的0.1-分位點(diǎn)壽命。

3 實例分析

為了驗證本文方法的合理性與有效性，按照上述模型參數(shù)估計及可靠性評估方法對文獻(xiàn)［26］中RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)進(jìn)行實例研究。3臺RV減速器傳動精度退化量隨時間的變化情況見圖2，可以看出，在1500～2000 h減速器傳動精度退化量小幅下降，之后傳動精度退化量又開始上升，傳動精度退化數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出兩階段的退化特征。設(shè)定RV減速器傳動精度退化量的失效閾值D=20″。

針對每臺樣本，首先假設(shè)變點(diǎn)所在區(qū)間為［t1，t2），…，［tki，tki+1），…，［tmi-1，tmi），然后應(yīng)用BIC準(zhǔn)則計算相應(yīng)的BIC值。不失一般性，以樣本1為例進(jìn)行說明，表1列出了樣本1相應(yīng)的BIC值，可以看出BIC（6）=42.17最小，所以樣本1中存在變點(diǎn)，且變點(diǎn)區(qū)間為［1738.9，2035.8）。

表2給出了每臺樣本變點(diǎn)函數(shù)的系數(shù)，由變點(diǎn)函數(shù)的系數(shù)可知，變點(diǎn)δ在區(qū)間［tki，tki+1）上的SSEi值是遞增的，所以在t=tki處SSEi值取最小值。

表3給出了每臺樣本變點(diǎn)所在區(qū)間及其估計值，由表3可得變點(diǎn)分布參數(shù)的估計值μ^δ=1738.9，σ^2δ=34.6。

本文方法全部參數(shù)估計結(jié)果見表4，可以看出第一、第二階段的漂移系數(shù)μ和擴(kuò)散系數(shù)σ差異比較大，這會引起第一、第二階段的退化速率有

所不同，也會引起第一、第二階段的測量誤差有所差別，所以分段能更好地擬合性能退化數(shù)據(jù)曲線。

將本文參數(shù)的全部估計結(jié)果代入式（20）～式（26）可以得到減速器的失效概率密度函數(shù)圖和可靠度函數(shù)圖，見圖3和圖4?？梢钥闯?，在3500 h以后減速器的失效概率密度函數(shù)值顯著增大，可靠度函數(shù)值的下降速率也開始加快，可以初步判斷此時減速器開始進(jìn)入了磨損加劇階段。從圖3紅色框線處可以看出，在退化第一、第二階段的變點(diǎn)處，失效概率密度函數(shù)曲線呈現(xiàn)小幅度下降趨勢；由圖4的局部放大圖可以看出，變點(diǎn)分布區(qū)間內(nèi)的可靠度函數(shù)值下降速度變緩，且可靠度函數(shù)值下降速率遠(yuǎn)小于第一階段末端200 h內(nèi)的下降速率，這是因為減速器經(jīng)過了磨合期，即浴盆曲線［27］的早期故障時期，減速器的傳動精度得以小幅回升。

為了驗證本文方法的有效性與適用性，以RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)為例，引用文獻(xiàn)［19］中考慮變點(diǎn)的兩階段Wiener退化模型為參考，為了方便，記本文中模型為M0，文獻(xiàn)［19］中的模型為M1，模型M1的全部參數(shù)估計結(jié)果見表5。

為了進(jìn)一步直觀地對比兩種模型的可靠性建模效果，兩種模型的減速器可靠度函數(shù)曲線對比見圖5?？梢钥闯觯瑑煞N模型得到的減速器可靠度曲線趨勢大體相同，但模型M0相比模型M1利用了變點(diǎn)分布區(qū)間，更平緩地過渡了一、二階段退化過程，且可靠度函數(shù)曲線進(jìn)入大幅度下降的時間相比模型M1更提前，這是因為考慮到了變點(diǎn)位置及每階段測量誤差的不確定性對模型的影響。

為了比較模型M0和模型M1的可靠度曲線擬合效果，給出了極大對數(shù)似然函數(shù)log-LF值和AIC值兩個量化指標(biāo)， AIC值的定義為

AIC=－2（log-LF）+2p（30）

其中，p為模型參數(shù)的個數(shù)，log-LF為模型的極大似然函數(shù)值。由AIC值的定義可知， log-LF越大、AIC值越小，模型的擬合效果越好。

表6給出了模型擬合的對數(shù)似然函數(shù)值（log-LF）和AIC值，可以看出，模型M0的log-LF值和AIC值均優(yōu)于M1，說明模型M0對描述樣本的兩階段退化過程有更好的擬合效果，在分析產(chǎn)品可靠性方面更準(zhǔn)確。

為了進(jìn)一步對比分析兩種模型對RV減速器的壽命預(yù)測效果，分別采用模型M0和M1預(yù)測了減速器的平均壽命以及中位壽命、分位點(diǎn)壽命q0.5（0）、q0.1（0）、q0.5（3500）和q0.1（3500），結(jié)果見表7?？梢钥闯?，模型M0對RV減速器的壽命預(yù)測結(jié)果比M1更保守，這是因為模型M1假設(shè)各個樣本變點(diǎn)位于同一測試時刻，未考慮變點(diǎn)位置的個體差異性，且忽視了測量誤差的存在，而本文方法建立了兩階段的退化模型，不僅考慮到變點(diǎn)位置的個體差異性，還考慮了因為退化過程的不同會呈現(xiàn)出不同的測量誤差。所以，采用模型M1的兩階段Wiener可靠性建模方法可能會導(dǎo)致危險的壽命預(yù)測結(jié)果，產(chǎn)品可能在預(yù)期的使用壽命前發(fā)生失效，從而可能影響到相關(guān)任務(wù)的順利完成。

隨機(jī)選取一組RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)，每隔500 h設(shè)置一個監(jiān)測點(diǎn)，記錄其精度退化量，利用本文計算失效概率密度函數(shù)和壽命預(yù)測的方法模擬出本文模型和考慮變點(diǎn)的兩階段模型在各個監(jiān)測點(diǎn)的剩余壽命概率密度函數(shù)，與產(chǎn)品在各個監(jiān)測點(diǎn)的真實壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得出兩種模型對產(chǎn)品剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確程度。模型M0和M1在RV減速器傳動精度退化數(shù)據(jù)下的剩余壽命概率密度函數(shù)和剩余壽命預(yù)測結(jié)果見圖6。

由圖6可以看出，兩種模型的剩余壽命概率密度函數(shù)都能覆蓋目標(biāo)產(chǎn)品的剩余壽命真實值，且兩種模型的剩余壽命概率密度函數(shù)隨著時間的推移逐漸變窄，說明預(yù)測的不確定性越來越小，但本文模型的剩余壽命概率密度函數(shù)曲線在每一個監(jiān)測點(diǎn)相比模型M1更加窄而尖銳，有助于減少預(yù)測結(jié)果的不確定性，在壽命預(yù)測方面具有更高的精度。為了進(jìn)一步量化兩種模型的預(yù)測結(jié)果，本文采用可靠性領(lǐng)域常用的性能指標(biāo)：絕對誤差（absolute error， AE）和相對誤差（relative error， RE）指標(biāo)來比較兩種模型預(yù)測剩余壽命的準(zhǔn)確程度。

兩種模型剩余壽命預(yù)測的絕對誤差見圖7，可見，在設(shè)備運(yùn)行的初始階段，剩余壽命的估計值與剩余壽命的真實值之間有一定的偏差，這是由于產(chǎn)品的歷史壽命數(shù)據(jù)較少而導(dǎo)致的不準(zhǔn)確，而隨著設(shè)備的運(yùn)行，監(jiān)測的運(yùn)行數(shù)據(jù)不斷增加，剩余壽命的估計值不斷向剩余壽命真實值逼近，即估計精度不斷提高。模型M0在各個監(jiān)測時刻的絕對誤差始終小于模型M1，其預(yù)測結(jié)果更為精確。

兩種模型不同監(jiān)測點(diǎn)相對誤差比較結(jié)果見表8，可以看出在不同監(jiān)測點(diǎn)，模型M0的相對誤差均小于模型M1的相對誤差，本文方法可以有效減少剩余壽命預(yù)測的相對誤差，進(jìn)而提高剩余壽命預(yù)測的精度，尤其在設(shè)備運(yùn)行的最后監(jiān)測時刻，本文方法剩余壽命預(yù)測的相對誤差僅4.7％。綜上，本文模型相比傳統(tǒng)的兩階段Wiener退化模型在產(chǎn)品可靠性評估和壽命預(yù)測方面的平均精度提高了5.94%，具有更好的預(yù)測能力。

綜上所述，本文模型不僅充分考慮了產(chǎn)品的退化特點(diǎn)，而且考慮了測量誤差和變點(diǎn)對退化模型的不確定性，能夠提高產(chǎn)品的可靠性壽命預(yù)測精度，具有一定的適用性，可為產(chǎn)品的維修、替換等提供理論依據(jù)。

4 結(jié)論

（1）在退化建模中引入不同階段的測量誤差，利用極大似然估計法和多維搜索算法結(jié)合得到了測量誤差的估計值，考慮了每階段的測量誤差對可靠性建模的不確定影響，提高了建模的精度。

（2）多階段退化過程中會出現(xiàn)變點(diǎn)，因為產(chǎn)品個體的差異性，變點(diǎn)可能會出現(xiàn)在不同的測試時刻之間，在考慮測量誤差對建模不確定性的前提下也考慮了變點(diǎn)位置的不確定性，利用BIC最小準(zhǔn)則和SSE最小準(zhǔn)則相結(jié)合，合理地估計出變點(diǎn)的位置，提高了變點(diǎn)估計的準(zhǔn)確性。

（3）考慮到變點(diǎn)位置的個體差異性，利用正態(tài)分布3σ原則確定了變點(diǎn)分布區(qū)間，給出了基于變點(diǎn)分布區(qū)間的分段可靠性分析方法，提高了產(chǎn)品的可靠性評估和壽命預(yù)測的精度。

本文方法在性能退化建模中考慮了測量誤差及變點(diǎn)位置的個體差異性對退化建模的不確定性影響，但對于性能退化過程隨著時間變化有著固有不確定性的產(chǎn)品，還可以引入自適應(yīng)漂移項等指標(biāo)，實現(xiàn)對模型參數(shù)的自適應(yīng)估計和在線更新；考慮時變效應(yīng)等多元不確定性對產(chǎn)品可靠性建模和壽命預(yù)測的影響，基于多元參數(shù)實現(xiàn)對產(chǎn)品可靠性的評估和剩余壽命的預(yù)測，這樣就能更好地評估產(chǎn)品的可靠性。多元不確定性對退化建模的影響涉及多個變量之間的相關(guān)性計算，有待進(jìn)一步研究。

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（編輯 陳 勇）

作者簡介：

高 新，男，1996年生，碩士研究生。

葉 楠（通信作者），男，1986年生，講師。研究方向為工業(yè)機(jī)器人及核心零部件可靠性、結(jié)構(gòu)動態(tài)力學(xué)性能等。E-mail：yenan@hebut.edu.cn。

收稿日期：2022-05-31

基金項目：國家重點(diǎn)研發(fā)計劃（2017YFB1301300）；河北省教育廳基金重點(diǎn)項目（ZD2020180）