李文靜,劉成勝,蒲愛香,張文嬌

(西安航天動力研究所,西安 710100)

0 引言

在航天器編隊飛行的過程中,多個航天器通過彼此間的信息交互形成特定的分布式空間系統(tǒng),從而可以完成單個航天器難以完成的編隊協(xié)同控制任務(wù)[1-3]。按照編隊成員之間信息的交互模式,可將現(xiàn)有的航天器編隊協(xié)同控制算法分為兩類:集中式和分布式[4]。前者結(jié)構(gòu)簡單易于實現(xiàn),但是系統(tǒng)的魯棒性較差。而在分布式的編隊協(xié)同控制算法中,多航天器系統(tǒng)由編隊成員及它們之間的通信拓?fù)涔餐M成。編隊中每個成員的控制輸入包含相鄰航天器的狀態(tài)信息,以此來提升編隊控制系統(tǒng)的魯棒性[5]。因此,為了確保編隊系統(tǒng)能夠順利地完成空間任務(wù),有必要合理利用編隊成員間的相對信息,即分布式的控制方式來實現(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下編隊的協(xié)同控制。同時,為了更好地完成空間任務(wù),對于航天器的推進精度有較高的要求,因此在推進器的選取中必須考慮任務(wù)的復(fù)雜性,對應(yīng)選取不同的發(fā)動機形式。

在多航天器控制領(lǐng)域,姿態(tài)協(xié)同控制作為航天器編隊控制的一個基本問題,在對地測量、深空探測以及交會對接等任務(wù)中具有重要的研究價值,已經(jīng)得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究[6-9]。交會對接是指兩航天器于同一時間在軌道中的同一位置以相同速度和姿態(tài)交會且在結(jié)構(gòu)上連成一個整體,是一項重要的空間任務(wù)。在此過程中航天器的姿態(tài)必須始終保持一致,因此姿態(tài)協(xié)同控制具有十分重要的研究價值。在航天器姿態(tài)動力學(xué)建模方面,經(jīng)過不斷的改進和發(fā)展,很多成熟的姿態(tài)動力學(xué)建模方法被相繼提出。如單位四元數(shù)法[6, 10]、修正Rodrigues參數(shù)法(MRPs)[11]和旋轉(zhuǎn)矩陣法[7,12]等。Xu等[6]針對基于單位四元數(shù)的航天器姿態(tài)協(xié)同控制系統(tǒng)提出分布式事件觸發(fā)算法,以減少編隊成員間不必要的通信頻次。基于MRPs的姿態(tài)描述方法,Zou等[11]提出了一種基于快速終端滑模的姿態(tài)協(xié)同控制算法,以實現(xiàn)航天器編隊系統(tǒng)的有限時間收斂和對干擾的魯棒性。然而,基于單位四元數(shù)和MRPs的姿態(tài)描述方法也都存在缺點。四元數(shù)的標(biāo)量存在雙目標(biāo)值,人為地忽略其中的一個,會使得航天器在進行姿態(tài)機動時能夠以小角度旋轉(zhuǎn)便可完成的任務(wù)卻需要轉(zhuǎn)動一個大于180°的角度來實現(xiàn),造成不必要的能量耗散。即上述兩種方法無法與航天器姿態(tài)一一對應(yīng),在航天器姿態(tài)控制過程中可能產(chǎn)生退繞現(xiàn)象對航天器系統(tǒng)造成影響[13-14],因此,在為航天器設(shè)計姿態(tài)控制器的過程中必須避免退繞現(xiàn)象的發(fā)生。在此背景之下,無退繞現(xiàn)象的旋轉(zhuǎn)矩陣建模方法應(yīng)運而生。Tan等[12]和Zhao等[15]分別基于旋轉(zhuǎn)矩陣提出了針對剛體和柔性航天器的自適應(yīng)控制方法?；谛D(zhuǎn)矩陣的描述方法使得航天器的姿態(tài)模型更為統(tǒng)一,且不存在姿態(tài)動力學(xué)中的退繞問題,因此其在航天器的單體控制和編隊的協(xié)同控制中都有著良好的適用性。

值得注意的是,大部分現(xiàn)有的協(xié)同控制算法只能實現(xiàn)編隊系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定,這意味著系統(tǒng)的收斂時間過長,無法實現(xiàn)編隊的快速機動[16-17]。為此,Zhang等[18]提出了一種新的非奇異快速終端滑模,解決了航天器編隊系統(tǒng)在有向和無向通信連接下的有限時間控制問題。Huang等[7]針對航天器姿態(tài)協(xié)同控制問題提出了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的自適應(yīng)有限時間控制策略。實際上,無論是漸進穩(wěn)定還是有限時間穩(wěn)定,系統(tǒng)收斂到誤差帶的時間總是正相關(guān)于系統(tǒng)初值,所以系統(tǒng)實際的收斂時間只能通過后驗的方式獲得,不可提前預(yù)知和設(shè)定。而近年來新提出的預(yù)設(shè)時間控制方法能夠?qū)κ諗繒r間進行預(yù)知,并在一些問題中得到了應(yīng)用[19-21]。Cao等[21]針對歐拉-拉格朗日系統(tǒng),提出預(yù)設(shè)時間控制策略,實現(xiàn)了編隊跟蹤控制。然而,航天器姿態(tài)協(xié)同控制與預(yù)設(shè)時間控制方法相結(jié)合的研究還較少。因此,探究如何實現(xiàn)航天器姿態(tài)協(xié)同控制系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時間穩(wěn)定有著重要的理論意義和工程實踐價值。

受到上述研究工作的啟發(fā),本文主要研究了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的預(yù)設(shè)時間編隊姿態(tài)協(xié)同控制問題。與大多數(shù)現(xiàn)有的航天器編隊控制相比,文中所提控制算法考慮了航天器系統(tǒng)的退繞、收斂時間和系統(tǒng)不確定性等問題,并通過理論分析與對比仿真驗證所提算法的有效性和優(yōu)越性。

1 準(zhǔn)備工作和相關(guān)模型

1.1 準(zhǔn)備工作

在編隊協(xié)同控制器的設(shè)計之前,首先給出以下推論、引理和假設(shè)等。

航天器編隊成員之間信息交互可通過代數(shù)圖論來描述,具體如下。

代數(shù)圖論:本文中將使用加權(quán)的有向圖G=(V,ε)來表示航天器之間的連接關(guān)系,其中V={υ1,υ2,…,υn}表示節(jié)點集,ε?υ×υ則為邊集。在有向圖中,對于任何相鄰節(jié)點有(i,j)≠(j,i),否則,稱圖G為無向圖。圖G的加權(quán)鄰接矩陣定義為C=[cij]n×n。對于所有i∈V,cii=0。若(i,j)∈ε,則cij>0,否則cij=0。進一步定義圖的拉普拉斯矩陣L=[lij]n×n為

(1)

其中Ni={j∈V|(i,j)∈ε}是節(jié)點i的鄰集,表示與i存在信息傳輸所有節(jié)點的集合。

引理1[22]:如果L是強連通圖G的拉普拉矩陣,則存在全部元素為正的列向量η=[η1,η2,…,ηn]T使得ηTL=01×n成立。

通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性的近似逼近,具體規(guī)則如下。

引理2[11]:在緊集Ω∈R中,對于任意連續(xù)函數(shù)f(x):Ω→R,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度地逼近f(x),即

f(x)=WTH(x)+σ, ?x∈Ω

(2)

其中WT∈Rl是理想權(quán)值矩陣;σ∈R表示逼近誤差;H(x)=col(h1(x),…,hl(x))是高斯基函數(shù),滿足

(3)

其中,l為神經(jīng)元節(jié)點的數(shù)量;δi和bi分別表示接受域的中心和高斯函數(shù)寬度。

接下來給出預(yù)設(shè)時間有關(guān)推論。

推論1：如果存在李雅普諾夫函數(shù)Ve∶Rn→R+∪{0}滿足

(4)

其中常數(shù)0

證明：根據(jù)文獻[23]可知,對于一個閉環(huán)控制系統(tǒng),如果存在李雅普諾夫方程

(5)

則可得計算得到系統(tǒng)的收斂時間滿足

(6)

式中,V0=V(x0),x0表示系統(tǒng)的初始狀態(tài)。對于式(4)中所示李雅普諾夫函數(shù),應(yīng)用上述結(jié)論可得系統(tǒng)收斂時間

(7)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)初值x0→∞時,T=Ts。因此推論1得成立。

此外,對于能量有限的外界干擾,存在如下假設(shè)。

1.2 基于旋轉(zhuǎn)矩陣的航天器姿態(tài)誤差模型

本文主要考慮含有n個航天器的編隊系統(tǒng)姿態(tài)協(xié)同控制問題。由于基于旋轉(zhuǎn)矩陣的航天器姿態(tài)描述方法不存在奇異點,且能夠與實際的航天器姿態(tài)一一對應(yīng),所以該方法可以避免四元數(shù)建模中存在的退繞現(xiàn)象。因此,本文采用旋轉(zhuǎn)矩陣來描述航天器的姿態(tài)。參考文獻[12],編隊系統(tǒng)中第i個航天器姿態(tài)角跟蹤誤差動力學(xué)模型表示如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中

(15)

(16)

2 預(yù)設(shè)時間編隊協(xié)同控制算法設(shè)計

首先,本章以推論1作為理論依據(jù)提出了一種預(yù)設(shè)時間滑模面,并在此基礎(chǔ)上完成了自適應(yīng)控制器的設(shè)計。此外,將系統(tǒng)狀態(tài)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,對系統(tǒng)未知項進行在線估計與補償。整體的航天器編隊控制系統(tǒng)設(shè)計流程如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The conceptual structure of the control system

2.1 預(yù)設(shè)時間滑模面

基于推論1,設(shè)計如下預(yù)設(shè)時間滑模面Si=[Sxi,Syi,Szi]T:

(17)

注釋1 滑模面的設(shè)計有很多種,其中以式(18)和(19)中的兩種滑模面較為常見。

(18)

(19)

Ei(Fi+τi+di)

(20)

其中

(21)

2.2 控制器設(shè)計

首先,為了提高控制系統(tǒng)對模型參數(shù)攝動的魯棒性,本節(jié)采用引理2中的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)的不確定性進行在線估計,具體表示如下[24-25]

(22)

考慮到外部干擾對系統(tǒng)的影響,根據(jù)假設(shè)1,有

(23)

(24)

接著,設(shè)計基于最小參數(shù)學(xué)習(xí)法的自適應(yīng)律

(25)

其中κ>0是自適應(yīng)增益。

2.3 穩(wěn)定性分析

為了說明前文中所設(shè)計編隊協(xié)同控制算法的有效性,現(xiàn)給出如下定理及證明過程。

(26)

結(jié)合式(20),可算得V1的導(dǎo)數(shù)為

(27)

將式(24)代入式(27),可得

(28)

(29)

(30)

代入自適應(yīng)律式可得

(31)

(32)

(33)

當(dāng)滑模面Si=0時,根據(jù)Si的定義可知

(34)

因此,可算得Vei的導(dǎo)數(shù)滿足

(35)

根據(jù)推論1可知,當(dāng)0

(36)

至此,完成了定理1的證明。

3 仿真與分析

考慮由4個航天器組成的編隊系統(tǒng),它們間的通信拓?fù)錇橛邢驁D,如圖2所示。

圖2 4顆航天器的通信拓?fù)銯ig.2 The interaction topology of 4 spacecrafts

注釋3 在實際航天器編隊飛行的過程中,編隊成員之間狀態(tài)信息的單向傳遞更為普遍。因此相比于無向連接圖,基于有向圖的連接方式更具有一般性,同時也能在一定程度上減小編隊成員間的通信負(fù)擔(dān),所以本節(jié)中擬采用圖1中所示的有向連接方式進行仿真實驗。

圖2中的通信拓?fù)渌鶎?yīng)的加權(quán)鄰接矩陣C可寫為

(37)

為了便于之后的仿真對比,航天器的轉(zhuǎn)動慣量Ji(單位:kg·m2),具體選取如式(38)所示。

(38)

初始狀態(tài)Ri(0)表示如下

(39)

航天器的期望角速度ωd(單位:rad/s)以及外部干擾di(單位:N·m)分別設(shè)置為

(40)

(41)

3.1 預(yù)設(shè)時間姿態(tài)協(xié)同控制算法仿真

系統(tǒng)的控制參數(shù)配置為:v1=0.32,v2=0.6,k1=2,κ=1。值得注意的是,這里v1,v2的值均滿足0

滑模面Si的變化曲線如圖3所示。不難看出,滑模面Si能夠在預(yù)設(shè)時間Ts內(nèi)收斂,且在外部干擾的作用下仍然有著較好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖3 滑模面Si的變化曲線Fig.3 The curves of sliding mode surface Si

圖4 姿態(tài)角誤差的變化曲線Fig.4 The curves of attitude error

圖5 角速度誤差的變化曲線Fig.5 The curves of attitude velocity error

圖6 自適應(yīng)參數(shù)的變化曲線Fig.6 The curves of adaptive parameter

圖7 航天器的控制力矩τiFig.7 Control torques τi of spacecraft

3.2 對比仿真

為了進一步說明本文中所提預(yù)設(shè)時間控制算法的優(yōu)越性,在航天器系統(tǒng)初值、模型參數(shù)和對應(yīng)控制參數(shù)相同的情況下,與文獻[12]的有限時間控制器做了相應(yīng)的對比仿真。文獻[12]中有限時間滑模面的設(shè)計如式(42)所示

(42)

式中滑模面的具體參數(shù)和符號定義可參考文獻[12]。具體的對比仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 與文獻[12]的對比仿真Fig.8 Comparative result with reference [12]

圖8中的虛線代表式中預(yù)設(shè)時間滑模面的變化曲線,實線代表式中有限時間滑模面的變化曲線。不難看出,在系統(tǒng)初值Ri(0)相同的情況下,本文中所提滑模面的初值Si(0)更小,進而使得系統(tǒng)在控制器的作用下具有較小的超調(diào)與較高的控制精度。同時,最為重要的是系統(tǒng)的收斂速度也相對較快且可以在合理的范圍內(nèi)任意設(shè)定,因此本文所設(shè)計的控制算法更具有理論價值和工程意義。

注釋4:由于滑模變量形式存在差異,計算出的滑模初值并不完全相同。鑒于本文提出的算法在實現(xiàn)過程中與文獻[12]選取相同的控制增益,實現(xiàn)了更好的收斂效果,仍可體現(xiàn)預(yù)設(shè)時間算法的優(yōu)勢。

4 結(jié)論

主要研究了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的航天器編隊預(yù)設(shè)時間控制問題,并得到如下結(jié)論:

1)基于旋轉(zhuǎn)矩陣對航天器姿態(tài)進行建模,從而使得系統(tǒng)可以避免由四元數(shù)建模導(dǎo)致的退繞現(xiàn)象。

2)針對系統(tǒng)參數(shù)攝動及不確定問題,文中通過基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最小參數(shù)學(xué)習(xí)法實現(xiàn)對不確定項的估計與補償,同時在一定程度上減小了系統(tǒng)的計算負(fù)擔(dān)。

3)為了實現(xiàn)系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時間穩(wěn)定,文中提出了一種基于滑模的預(yù)設(shè)時間控制算法。通過與現(xiàn)有的有限時間算法對比仿真可知,系統(tǒng)在所設(shè)計控制算法的作用下預(yù)設(shè)時間穩(wěn)定。

值得注意的是,在航天器編隊飛行過程中執(zhí)行器可能發(fā)生部分失效故障并且執(zhí)行器在輸入信號較大時會產(chǎn)生飽和現(xiàn)象,難以滿足任務(wù)需求,這些是未來的工作所需要解決的幾個主要問題。