王雄

摘要：平行線分線段成比例是學(xué)習(xí)相似的基礎(chǔ)，學(xué)好平行線分線段成比例可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)相似及相似三角形.基于此，本文中先分別敘述平行線分線段成比例定理與推論的內(nèi)容，然后分析二者之間的聯(lián)系，最后通過幾道例題說明平行線分線段成比例定理及其推論在解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：平行線分線段成比例；推論；解題

平行線分線段成比例定理一直是學(xué)生初學(xué)與相似有關(guān)內(nèi)容的一道關(guān)卡，在沒有充分理解定理與推論的情況下，解題是非常困難的[1].因此，理解平行線分線段成比例定理及其推論，是應(yīng)用它們解題的重要前提[2].作為一線教師有必要認(rèn)清這一點(diǎn)，且要想方設(shè)法改變教學(xué)方式，讓學(xué)生更深入理解這一內(nèi)容.基于此，本文中先分別敘述定理與推論的內(nèi)容，然后分析二者之間的聯(lián)系，最后通過例題分析展示如何將其應(yīng)用于解題中.

1 平行線分線段成比例定理及推論

1.1 定理

平行線分線段成比例指的是“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”.如圖1所示，直線l1，l2，l3截直線a，b，且l1∥l2∥l3，則可得到：

ABBC=DEEF，

ABAC=DEDF，

BCAC=EFDF.

在應(yīng)用過程中，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

（1）這里的一組平行線指的是三條兩兩平行的直線，如圖1中的l1，l2，l3.

（2）截線和被截直線不一樣.截線通常指兩兩平行的直線，如圖1中的三條l1，l2，l3；被截線通常是指兩條直線，如圖1中的直線a，b，這兩條直線可能平行，也可能不平行.

（3）所有的成比例線段都是指被截直線上的線段，如圖1中的AB，BC，AC，DE，EF，DF，與平行線上的線段無關(guān)，例如不是圖1中的AD，BE，CF.

（4）利用平行線分線段成比例寫比例式時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段寫在對(duì)應(yīng)的位置上.教學(xué)時(shí)，可按照如下方法指導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的位置：將ABBC=DEEF，ABAC=DEDF，BCAC=EFDF中的AB，DE的位置看成“上”，將BC，EF的位置看成“下”，將AC，DF的位置看成“全”，所以比例式轉(zhuǎn)化為上下=上下，上全=上全，下全=下全.這樣一來，學(xué)生在遇到這類問題時(shí)，只需利用“上下=上下，上全=上全，下全=下全”就可迅速找到對(duì)應(yīng)線段之比.

1.2 推論

所謂平行線分線段成比例的推論，指的是“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例”.如圖2所示，在△ACF中，如果BE∥CF，那么可得到：

ABBC=AEEF，

ABAC=AEAF，

BCAC=EFAF.

在應(yīng)用推論的過程中，

應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

（1）推論中包括和“兩邊的延長(zhǎng)線”相交，

“兩邊的延長(zhǎng)線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線.

（2）成比例線段不涉及平行線上的線段，即

不包括圖2中的BE，CF.

（3）當(dāng)兩條被截直線相交時(shí)，其交點(diǎn)處可看作含一條隱形的平行線.

2 定理和推論之間的關(guān)系

對(duì)比圖1和圖2，不難發(fā)現(xiàn)，定理和推論之間存在一定的聯(lián)系.可以確定的是，推論是在定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)、演變而來.所以，定理是基礎(chǔ)，推論是拓展.那么如何理解這種演變，是教師引導(dǎo)學(xué)生在三角形中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定理的關(guān)鍵.

為此，筆者將從“當(dāng)兩條被截直線相交時(shí)，其交點(diǎn)處可看作含一條隱形的平行線”出發(fā)，著力體現(xiàn)這一變化過程.

現(xiàn)對(duì)圖1做如下處理：

如圖3所示，過點(diǎn)D作AC的平行線，分別交l2，l3于點(diǎn)H，N，此時(shí)就出現(xiàn)了如圖2的△DNF.

在圖3中，易證得四邊形ABHD和四邊形BCNH是平行四邊形，所以AB=DH，BC=HN.于是，可將圖3中的比例式變式為圖4中的比例式.簡(jiǎn)而言之，只要按照這種方法，將A和D兩個(gè)點(diǎn)通過平移的方法形成一個(gè)點(diǎn)，繼而就可將圖1中的比例式轉(zhuǎn)化成圖2中的比例式，這就是定理向推論的轉(zhuǎn)變.

3 例題分析及反思

3.1 例題分析

例? 如圖5，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)E在AC邊上，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥AB，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（? ）.

A.AEEC=EFCD

B.EFCD=EGAB

C.AFFD=BGGC

D.CGBC=AFAD

解析：在△ABC中，GE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例的推論，按照“上下=上下，上全=上全，下全=下全”的思路，可得CEAE=CGBG，CEAC=CGBC，AEAC=BGBC.同理，在△ADC中，也可得AFDF=AEEC，AFAD=AEAC，DFAD=ECAC.

于是AFDF=AEEC，CEAE=CGBG.

即AFDF=AEEC，AEEC=BGGC.

所以AFFD=BGGC

故選答案：C.

3.2 反思

從例題的解法中不難看出，利用平行線分線段成比例定理是基礎(chǔ)，且在兩個(gè)不同三角形中應(yīng)用推論，從而找到“AFDF=AEEC，AEEC=BGGC”中的“橋梁”——AEEC，繼而得到AFFD=BGGC.解題思路比較靈活，如果學(xué)生沒有學(xué)會(huì)平行線分線段成比例定理及其推論，將很難解決本題.

另外，學(xué)生在根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式時(shí)很容易犯“未對(duì)應(yīng)”的錯(cuò)誤.“對(duì)應(yīng)”是學(xué)習(xí)與應(yīng)用平行線分線段成比例定理時(shí)非常重要的前提，是邏輯思維與幾何直觀在該知識(shí)點(diǎn)上的體現(xiàn).其實(shí)，這一點(diǎn)與全等三角形類似，全等三角形也需要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊.因此，教師不妨根據(jù)糾正全等三角形中對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤的思路去糾正列比例式時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，從而幫助學(xué)生找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，逐步解決邏輯思維混亂的問題.

由此說明，作為一線教師，在講授新知識(shí)時(shí)一定要體現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系[3].只有在舊知識(shí)上不斷啟發(fā)學(xué)生的思維，才能讓學(xué)生更容易理解新知，才能將新知理解和應(yīng)用得更好[4].

總而言之，平行線分線段成比例定理及其推論可以是原型與變式之間的關(guān)系，也可以是基礎(chǔ)與拓展之間的關(guān)系，同時(shí)也可以看成是新舊知識(shí)相互銜接和滲透的關(guān)系.這就要求一線教師在日常教學(xué)中，要注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系，以此讓學(xué)生不斷深化對(duì)知識(shí)的理解，為日后的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]謝裕宏.重視教材“探究活動(dòng)”，專業(yè)自主增設(shè)課時(shí)——李庾南老師“平行線分線段成比例”課例賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（8）：32-33.

[2]陳建均.微話題研討：尋找素材，追求和諧——以“平行線分線段成比例的基本事實(shí)”的探究為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（6）：21-23.

[3]胡孟.讓學(xué)生體會(huì)“基本事實(shí)”的合理性——以“平行線分線段成比例”基本事實(shí)的探究為例[J].湖南教育（C版），2019（3）：46-47.

[4]蔡鳳玲.利用“三同一不同”法巧記《平行線分線段成比例定理及推論》[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：初中，2002（7）：16-17.