周毅鴻 周建玲 彭國(guó)富

新高考強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，在試題之間、考點(diǎn)之間、學(xué)科之間相互關(guān)聯(lián)，交織成網(wǎng)，對(duì)學(xué)生素質(zhì)進(jìn)行全面考查.通過(guò)對(duì)2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷考題的分析發(fā)現(xiàn)，考題在呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式上有所創(chuàng)新，打破了一些固有模式，以此考查學(xué)生解決問(wèn)題的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.如何引導(dǎo)學(xué)生建立起必備知識(shí)與關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值之間的緊密聯(lián)系，這需要教師高屋建瓴，善抓典型例習(xí)題、考題中的核心知識(shí)與方法并進(jìn)行融舊創(chuàng)新的改編，以培養(yǎng)學(xué)生在新情境下積極主動(dòng)地探索新方法解決問(wèn)題的創(chuàng)新能力.下面將重點(diǎn)以例1的第（3）問(wèn)為例，逆向論述一些常規(guī)解題與試題融舊創(chuàng)新的實(shí)踐研究.

1 試題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)要分析

例1 （2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第22題）

已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)n∈N*，證明：

分析：第（1）問(wèn)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大（?。┯?較易解決；第（2）問(wèn)是恒成立問(wèn)題，可分離參數(shù).由f（0）=-1，猜想它是一個(gè)端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，可試著分類討論.第（2）問(wèn)的具體解答過(guò)程如下.

解析：（2）求導(dǎo)，得f′（x）=eax（1+ax-ex-ax）（x>0）.

令φ（x）=1+ax-ex-ax，則φ′（x）=a+（a-1）＼5ex-ax，可得φ′（0）=2a-1.

當(dāng)a≥1時(shí)，φ′（x）>0，則φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

φ（x）>φ（0）=0，即f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）>f（0）=-1，不滿足題意.

0，即f′（x）<0，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，f（x）

關(guān)于第（2）問(wèn)的解法探究，常見的還有幾種，本文中不一一呈現(xiàn).下面重點(diǎn)探究例1的第（3）問(wèn).師生普遍感到第（3）問(wèn)很難，并且參考答案也有些突兀、難以理解.

2 破難尋質(zhì)

例1的第（3）問(wèn)巧妙地將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合在一起，體現(xiàn)了新高考以必備知識(shí)為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián)，同時(shí)也突出了問(wèn)題呈現(xiàn)方式的新穎性.在對(duì)第（3）問(wèn)的破題過(guò)程中，筆者聯(lián)想到了平時(shí)教學(xué)研究中的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn).

2.1 聯(lián)想一

首先聯(lián)想到了下面例2的第（2）問(wèn)：

例2 （2019年?yáng)|北四校聯(lián)考）若函數(shù)

f（x）=ex-ax-1（a>0）在x=0處取極值.

（1）求a的值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值；

2.2 聯(lián)想二

2020年人教A版新教材選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.3的第12題：

利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：

（1）ex>1+x（x≠0）;（2）ln x0）.

由此題的（1）（2）可推出以下基本模型.在教學(xué)中，也可引導(dǎo)學(xué)生畫如圖1所示的函數(shù)圖象，幫助學(xué)生更好地理解基本模型[1]：

①ex>1+x（x≠0）；

②ln x0）；

③ln x0，x≠1）；

④ln（x+1）

于是，可得到例2（2）的解題思路：

3 源質(zhì)破難

4 總結(jié)反思

綜觀例1第（3）問(wèn)的解題思路，雖然形式新穎，但萬(wàn)變不離其宗.在高考復(fù)習(xí)階段，教學(xué)中不僅要講清楚題目本身及其變式訓(xùn)練，還要引導(dǎo)學(xué)生“揭示問(wèn)題本質(zhì)”，通過(guò)“本質(zhì)”去編題、命題，打破機(jī)械刷題、機(jī)械套路.為了不讓學(xué)生盲目地刷題，教師要通過(guò)對(duì)試題的核心知識(shí)與方法的融舊創(chuàng)新，時(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題，在“生”中尋“熟”，靈活運(yùn)用各種知識(shí)與思想方法.真正通過(guò)數(shù)學(xué)教育，幫助學(xué)生形成理性思維、科學(xué)精神，促進(jìn)其個(gè)人智力發(fā)展，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科不可替代的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]周毅鴻，周建玲，洪竟雄.巧用基礎(chǔ)模型，拎起導(dǎo)數(shù)骨架[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（23）：64-65.