謝瑋 王志紅 倪文妍 宋鴻雁

摘要：通過對(duì)兩道導(dǎo)數(shù)題命制過程的回顧，探析一類導(dǎo)數(shù)壓軸試題的命題思路，即從函數(shù)f（x）=xex出發(fā)，通過求導(dǎo)、變形、引入?yún)?shù)、構(gòu)造新函數(shù)，再通過GeoGebra數(shù)形結(jié)合控制函數(shù)不等式，在此基礎(chǔ)上驗(yàn)證得到的試題.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；試題命制

1 命題

題目 （原創(chuàng)題）已知函數(shù)f（x）=（x－a）ex+2，a∈R.

（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；

2 命題過程

下面我們一起探求上述原創(chuàng)題的命制過程.

如圖1所示：

我們知道，拐點(diǎn)處的切線有其特殊性，它是穿過函數(shù)圖象的一條直線.

從不等關(guān)系的角度來看，有：

從方程的角度來看，有：

為了使模型簡(jiǎn)潔化，我們將函數(shù)調(diào)整為f（x）=xex+2，此時(shí)，它的拐點(diǎn)為（－2，－2），

拐點(diǎn)處的切線方程為y=－x－4.

為了進(jìn)一步利用上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)圖象變換將不等號(hào)統(tǒng)一起來，我們?cè)賹⒑瘮?shù)圖象上平移兩個(gè)單位，得到y(tǒng)=xex+2+2，此時(shí)，它的拐點(diǎn)為（－2，0），拐點(diǎn)處的切線方程為y=－x－2.

如圖2所示：

從不等關(guān)系的角度來看，有：

當(dāng)x≤－2時(shí)，0≤xex+2+2≤－x－2；當(dāng)x≥－2時(shí)，xex+2+2≥－x－2.

從方程的角度來看，有：

對(duì)于方程xex+2+2=k（x+2），當(dāng)k≥0時(shí)，有兩個(gè)根；－1

至此，我們可以將方程根的個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)零點(diǎn)的問題命制一個(gè)小題.

題1 若函數(shù)f（x）=xex+2－kx－2k+2有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

再回到不等關(guān)系上來，我們知道，絕對(duì)值符號(hào)可以實(shí)現(xiàn)圖象的上下翻轉(zhuǎn)，從而可以統(tǒng)一不等號(hào)的方向，因此構(gòu)造這樣兩個(gè)函數(shù)：f（x）=|xex+2+2|，g（x）=|x+2|.兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖3所示.

因此，可以得到這樣一個(gè)不等關(guān)系：當(dāng)x≤0時(shí)，|xex+2+2|≤|x+2|.

通過這個(gè)不等關(guān)系，再添加參數(shù)可以命制如下一個(gè)大題：

題2 已知函數(shù)f（x）=xex+2+2，a∈R，

（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若x≤0時(shí)，|f（x）|≤ax+2，求a的取值范圍.

該問題從本質(zhì)上來說研究的是曲線與切線的位置關(guān)系，由這一方向入手不難想到一個(gè)常用的切線放縮模型ln x≤x－1，如果通過合適的圖象變換，可以利用切線放縮將ln x型函數(shù)引入到問題中來，也許可以使結(jié)構(gòu)有一定的對(duì)稱美.

因此做如下嘗試：

首先將函數(shù)f（x）=|xex+2+2|與函數(shù)g（x）=x+2的圖象向右平移兩個(gè)單位，重新構(gòu)造函數(shù)：f（x）=|（x－2）ex+2|與g（x）=x，使得模型的關(guān)鍵點(diǎn)由（－2，0）變?yōu)樽鴺?biāo)原點(diǎn). 如圖4所示.

再將對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象作適當(dāng)?shù)钠揭?、翻轉(zhuǎn)變換，可以得到這樣的結(jié)構(gòu)：

|（x－2）ex+2|≤－ln（－|x|+1），如圖5所示.

然而這一結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，且并不具有較好的簡(jiǎn)潔性，同時(shí)絕對(duì)值元素添加較多，與近幾年高考真題結(jié)構(gòu)相去較遠(yuǎn)，因此到這里就需要考慮重新調(diào)整思路.

讓我們重新回到函數(shù)f（x）=xex+2+2，它的拐點(diǎn)為（－2，0），拐點(diǎn)處的切線方程為y=－x－2.前面添加絕對(duì)值符號(hào)，是為了讓其實(shí)現(xiàn)凹凸翻轉(zhuǎn)，從而統(tǒng)一不等號(hào)方向.

當(dāng)重新思考這個(gè)問題的時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)切線的另一含義實(shí)際上是泰勒一階展開.從這個(gè)角度入手，將函數(shù)進(jìn)行五階泰勒展開，希望從中找到較好的命題入口.

這樣，利用上面得到的恒成立不等關(guān)系，添加合適的參數(shù)就得到了本文開頭給出的試題.

3 命題小結(jié)

本次命題重點(diǎn)對(duì)函數(shù)曲線在拐點(diǎn)處的切線進(jìn)行研究，通過相等關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過不等關(guān)系構(gòu)造恒成立問題.本題解法靈活多樣，可采用分類討論、分離參數(shù)、必要性探路等方法，具體解法再另文刊出.