馬 駿

（渤海大學(xué)，遼寧 錦州 121013）

0 引言

對(duì)于非荷載因素對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)影響的研究，到目前為止已經(jīng)有很多成熟的方法和理論，大部分都已作為知識(shí)點(diǎn)編入教材。而這些方法理論中有些傳統(tǒng)經(jīng)典，也有些新穎易用。如李增福等[1]研究的超靜定結(jié)構(gòu)如何求解位移，其方法是先將具有多余約束的超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成無(wú)多余約束的靜定結(jié)構(gòu)，這樣就把問(wèn)題通過(guò)傳統(tǒng)的思維方法化繁為簡(jiǎn)。李忠芳等[2]對(duì)溫度應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行深度剖析，融合重組成一個(gè)關(guān)于構(gòu)件會(huì)自由膨脹的靜定問(wèn)題和關(guān)于裝配應(yīng)力的超靜定問(wèn)題。王樹(shù)范等[3]在解決支座移動(dòng)給超靜定結(jié)構(gòu)帶來(lái)的影響時(shí)，通過(guò)等效思維，將支座的移動(dòng)作用等效成外部荷載，然后再求解超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。本文利用力法原理分析非荷載因素（溫度、支座移動(dòng)等）在超靜定結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)的力學(xué)特性。

1 力法原理求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力公式

力法是超靜定結(jié)構(gòu)求解方法中最基本的方法。例如溫度改變后，求超靜定的內(nèi)力，可以把典型方程中的Δip改成由于溫度差所引起的、與多余約束未知力Xip相對(duì)應(yīng)的位移Δit即可。這時(shí)典型方程就變?yōu)椋?/p>

上面式子各系數(shù)算法與傳統(tǒng)方法基本一致。其不同點(diǎn)在于Δit的求解，還有對(duì)位移協(xié)調(diào)方程等式中右邊的位移Δi的注意。其中Δit是關(guān)于靜定結(jié)構(gòu)因溫度變化而發(fā)生的位移，可通過(guò)下式解決：

式中：

α——材料的線膨脹系數(shù)。

后者Δit則要看上述公式是用于哪種非荷載因素情況。當(dāng)然，此處是溫度荷載，其在建立力法的基本結(jié)構(gòu)中不產(chǎn)生位移，故而取0。以上為力法求解溫度荷載在超靜定結(jié)構(gòu)中的影響，力法對(duì)于求解支座移動(dòng)對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)中所產(chǎn)生的影響同樣可以利用上式[4-5]。只是此時(shí)的Δit是在支座移動(dòng)情況下產(chǎn)生的位移，其求解方法利用如下公式：

而方程右端的Δi則不再是0，而是條件中對(duì)應(yīng)處的實(shí)際位移。非荷載因素下超靜定結(jié)構(gòu)的求解問(wèn)題，溫度因素和支座移動(dòng)因素是非荷載因素的典型代表，本文主要針對(duì)這兩種因素的影響給予說(shuō)明。當(dāng)然，因制造帶來(lái)的誤差而導(dǎo)致的影響也重要。其位移可以通過(guò)位移求解的一般公式得到，公式如下：

上式通用于超靜定與靜定，使用時(shí)根據(jù)實(shí)際情況對(duì)應(yīng)代入，無(wú)則取零。

除了力法可以解決非荷載因素的問(wèn)題，位移法、能量法等也可以。本文主要例舉利用力法原理介紹非荷載因素（溫度、支座移動(dòng)等）在超靜定結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)的力學(xué)特性。

2 溫度變化

圖1(a)所示為一跨剛架，剛架內(nèi)側(cè)溫度+10℃，外側(cè)+20℃。求解其彎矩并繪出彎矩圖。截面為矩形，高度h=l/10，線膨脹系數(shù)為α[6]。

圖1 溫度荷載作用下的剛架

求解過(guò)程如下：

（1）首先由圖1(a)可知此結(jié)構(gòu)溫度的分布和結(jié)構(gòu)體都是對(duì)稱(chēng)的。所以利用這個(gè)特點(diǎn)對(duì)其簡(jiǎn)化，得圖1（b）。此時(shí)半結(jié)構(gòu)中只剩下未知力X1和X2。

（2）列力法基本方程：

δ11X1+δ12X2 +Δ1t =0

δ21X1+δ22X2 +Δ2t =0

（3）求系數(shù)。由圖1(c)、(d)通過(guò)圖乘得：

按照?qǐng)D1(a)計(jì)算自由項(xiàng)：

（4）最后將上述值對(duì)應(yīng)回代方程，有：

2 支座移動(dòng)

如圖2(a)所示，一根超靜定梁，A端下沉距離a，試?yán)L制其彎矩內(nèi)力圖[7]。

圖2 支座移動(dòng)作用下的剛架

求解過(guò)程如下：

對(duì)原結(jié)構(gòu)圖觀察，此梁有一個(gè)多余約束，其基本結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示，列方程為：

δ11X1+Δ1c=Δ1

根據(jù)已知條件，梁A端的轉(zhuǎn)角Δ1=φ；X1=1作用下基本結(jié)構(gòu)的相應(yīng)轉(zhuǎn)角可由圖2(c)求得，即A端轉(zhuǎn)角由剛體位移關(guān)系求得。Δ1c也可按照?qǐng)D2(c)，利用單位荷載法求得。

將上述所求的常數(shù)項(xiàng)和相應(yīng)的系數(shù)代入力法基本方程，從而解得：

綜上繪制彎矩圖，如圖2（d）所示。

3 支座移動(dòng)與溫度變化同時(shí)作用

前文介紹了利用力法原理求解非荷載因素下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，這里介紹利用能量原理的辦法解之。如圖3(a)所示為一根等截面梁高h(yuǎn)，材料為線性彈性體，材料線膨脹系數(shù)α。試用余能原理解其內(nèi)力[8-9]。

圖3 支座移動(dòng)作用下的剛架

求解過(guò)程如下：

（1）確定靜力可能內(nèi)力，由圖3(b)、(c)得：

（2）求結(jié)構(gòu)余能Ec：

（3）應(yīng)用余能駐值條件：

因此：

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上例題推演，可以發(fā)現(xiàn)，在非荷載因素作用的情況下，超靜定結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。靜定結(jié)構(gòu)沒(méi)有多余約束，即它的自由度剛好為零，其上所有約束都參與維持它的平衡狀態(tài)。所以無(wú)論哪個(gè)約束移動(dòng)，結(jié)構(gòu)都會(huì)隨之移動(dòng)從而去實(shí)現(xiàn)自平衡，這樣就沒(méi)有結(jié)構(gòu)構(gòu)件的變形，自然也就不會(huì)產(chǎn)生自?xún)?nèi)力。而超靜定結(jié)構(gòu)有多余約束，約束之間相互牽制，無(wú)論哪一個(gè)都是不能隨便移動(dòng)的，除非讓構(gòu)件產(chǎn)生變形。而有變形就會(huì)有力，所以無(wú)論是溫度改變也好、支座移動(dòng)也好，亦或者是制造誤差、材料收縮等，只要能使超靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生形變的因素，均可使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自?xún)?nèi)力。這樣，材料的強(qiáng)度在結(jié)構(gòu)投入使用之前就已經(jīng)被消耗一部分了。若從此角度來(lái)看，某些情況下，靜定結(jié)構(gòu)反而會(huì)更加適合某種嚴(yán)格控制自?xún)?nèi)力工程的應(yīng)用。但一般工程都是超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)橐ＷC它的安全儲(chǔ)備，不可以被輕易毀壞。因此這也給工程師們尤其是施工人員一個(gè)重要的提示，為了避免工程結(jié)構(gòu)自?xún)?nèi)力的產(chǎn)生，在施工過(guò)程中一定嚴(yán)格把好施工質(zhì)量關(guān)，對(duì)于建筑基礎(chǔ)、構(gòu)件的制造等要格外注意。