胡吉振，陳嘉倩，孔莉雅，馬素玲（麗水學(xué)院教師教育學(xué)院，浙江 麗水 323000）

一、問(wèn)題提出

中國(guó)古代錢(qián)幣的幾何形狀在一定程度上能夠反映我國(guó)古代錢(qián)幣的數(shù)學(xué)文化，也能在一定程度上反映中國(guó)古人的數(shù)學(xué)美學(xué)觀。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)的會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的觀點(diǎn)[1]，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講，中國(guó)古代不同朝代的錢(qián)幣是可以抽象出共同的本質(zhì)特征—除了個(gè)別不規(guī)則的錢(qián)幣，如西漢末年王莽發(fā)行的“刀幣”和個(gè)別的圓形貨幣之外。大多數(shù)中國(guó)古代錢(qián)幣都是用金屬制造的，而且都是在圓形的錢(qián)幣中間挖去一個(gè)四方形的孔（也就是正方形），學(xué)術(shù)上將中國(guó)古代的這種錢(qián)幣稱(chēng)為“方孔圓錢(qián)”[2]。這個(gè)名字是根據(jù)錢(qián)幣的幾何形狀進(jìn)行定義的，逼真形象，讓人們很容易理解。方孔圓錢(qián)是中國(guó)古代社會(huì)對(duì)錢(qián)幣幾何形狀的一種直觀描述。從春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期燕國(guó)的“明化”錢(qián)開(kāi)始，我國(guó)出現(xiàn)了方孔圓錢(qián)這種固定的錢(qián)幣形式，隨之沿用了兩千年之久，并且影響到了周邊鄰國(guó)的錢(qián)幣制作樣式。古代的日本、朝鮮、安南等東亞國(guó)家紛紛效仿中國(guó)古代貨幣，直到清末時(shí)期銅元的興起，方孔圓錢(qián)才逐漸退出了歷史舞臺(tái)。

大多數(shù)中國(guó)古代錢(qián)幣從幾何學(xué)研究的對(duì)象之一形狀的角度來(lái)講都是有共性的，這個(gè)共性就是“外圓內(nèi)方”，具有統(tǒng)一美和簡(jiǎn)潔美的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵。錢(qián)幣的大小也是錢(qián)幣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但是此性質(zhì)與錢(qián)幣的幾何形狀相比，在蘊(yùn)含的文化思想層面而言要略次一些，也就是說(shuō)，錢(qián)幣的幾何形狀蘊(yùn)含的文化內(nèi)涵要比錢(qián)幣的大小蘊(yùn)含的文化內(nèi)涵更為豐富一些。因此，本文主要強(qiáng)調(diào)錢(qián)幣的幾何形狀以及所蘊(yùn)含的文化內(nèi)涵。大多數(shù)中國(guó)古代錢(qián)幣在幾何形狀上都是外圓內(nèi)方，這體現(xiàn)了中華民族與其他民族不同的數(shù)學(xué)文化審美觀。

二、錢(qián)幣蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化美學(xué)思想

（一）“外圓內(nèi)方”蘊(yùn)含著中國(guó)人的宇宙觀

相比于中國(guó)古代“外圓內(nèi)方”的錢(qián)幣，古希臘時(shí)期流通的錢(qián)幣在外形上基本是圓形的，中間沒(méi)有正方形的小孔。為什么中國(guó)錢(qián)幣是“外圓內(nèi)方”，而古希臘錢(qián)幣卻是圓形的呢？其實(shí)這與中希文化的不同有著密切聯(lián)系。古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯強(qiáng)調(diào)圓是最美的平面圖形[3]。這一美學(xué)觀對(duì)西方社會(huì)影響深遠(yuǎn)，反映在古希臘這個(gè)民族制造錢(qián)幣的時(shí)候，一般把錢(qián)幣制造成圓形的。圓形的金屬錢(qián)幣符合他們的文化審美觀念，具有民族審美意義，同時(shí)也代表他們對(duì)宇宙天體的一種認(rèn)識(shí)。那么在中國(guó)古代為什么沒(méi)有像古希臘民族一樣，把貨幣制造成圓形呢？

開(kāi)元通寶 銀質(zhì)

在中國(guó)古代，先民們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)年累月的觀察，認(rèn)識(shí)到了天是圓的形狀，而地有四個(gè)方位或方向。中國(guó)古人強(qiáng)調(diào)的“四方”最初并不是指大地是正方形，而是指東南西北四個(gè)方位。后來(lái)古人才認(rèn)識(shí)到了中國(guó)古代大地的四周都是海，這就是所謂的“四?！薄：Ｊ谴蟮氐倪吘?，但是海上仍然有天的存在，這時(shí)候中國(guó)古人就認(rèn)為大地是方形的，天是圓形的，這種認(rèn)識(shí)逐漸演化為中國(guó)古人的宇宙觀。有學(xué)者認(rèn)為“天圓地方”宇宙觀由“蓋天說(shuō)”提出，得到了“渾天說(shuō)”?！疤靾A地方”是早期的“蓋天說(shuō)”[4]。《呂氏春秋·季春紀(jì)第三》記載：“天道圜（圓），地道方，圣王法之，所以立上下?！盵5]這句話(huà)與錢(qián)雖然沒(méi)有關(guān)系，但是提出了天與地、圓與方等基本概念。這些概念都屬于中國(guó)古代數(shù)學(xué)的概念或者說(shuō)屬于中國(guó)古代天文學(xué)的概念，體現(xiàn)了人們用最簡(jiǎn)單的，也是自己喜歡的幾何形體描述或表達(dá)當(dāng)時(shí)人們所認(rèn)識(shí)的宇宙。西晉魯褒在《錢(qián)神論》中說(shuō)：“錢(qián)之為體，有坤有乾，內(nèi)則其方，外則其圓?！盵6]雖然這是魯褒譏諷金錢(qián)崇拜的文章，但是這種觀點(diǎn)反映了文化與錢(qián)幣的密切聯(lián)系，這句話(huà)是對(duì)中國(guó)古代錢(qián)幣幾何形狀的一種描述，“方孔”一詞源于此文。這同時(shí)也說(shuō)明了中國(guó)古代貨幣雖小，但蘊(yùn)含著一個(gè)大乾坤世界。

在中國(guó)傳統(tǒng)文化中經(jīng)常講“天地人為三才”?！巴鈭A內(nèi)方”的中國(guó)古代金屬錢(qián)幣外層的圓代表了天，天是圓的；內(nèi)層的方（孔）代表著大地。所以中國(guó)古代的錢(qián)幣是“外圓內(nèi)方”而不是“內(nèi)圓外方”，那么人在哪里呢？人在天地間，因此，在中國(guó)古代的金屬錢(qián)幣上，圓與方的中間一般都有四個(gè)字。例如“大觀通寶”，其中的“大觀”是北宋徽宗趙佶的年號(hào)，這四個(gè)字代表錢(qián)幣的制作時(shí)間，也在一定程度上反映了貨幣鑄造的時(shí)代背景。中國(guó)古人樸素的宇宙觀被寫(xiě)在了錢(qián)幣之上，對(duì)后人來(lái)講就是一種錢(qián)幣的數(shù)學(xué)文化，也在一定程度上反映了古人的審美觀。說(shuō)中國(guó)古代錢(qián)幣具有數(shù)學(xué)文化美學(xué)思想，就是因?yàn)樗N(yùn)含了兩種數(shù)學(xué)元素，一種是“方”，另一種是“圓”，而且中國(guó)人對(duì)“圓”與“方”這兩種圖形有一種審美上的偏好。

（二）“方孔圓錢(qián)”的屬性：文化性與簡(jiǎn)潔性

有人說(shuō)中國(guó)古代錢(qián)幣之所以制成“外圓內(nèi)方”的樣式，是因?yàn)閺氖止?fù)雜程度來(lái)講，圓形的制造工藝技術(shù)要簡(jiǎn)單一些。這種觀點(diǎn)雖然有一定的道理，但是文化有時(shí)候不考慮成本，或者說(shuō)不能簡(jiǎn)單從經(jīng)濟(jì)學(xué)資源配置的角度探討錢(qián)幣工藝技術(shù)操作的難易程度及成本問(wèn)題。錢(qián)幣文化屬性的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它經(jīng)濟(jì)屬性的重要性。中國(guó)古代“外圓內(nèi)方”的錢(qián)幣在使用時(shí)比西方純粹的圓形錢(qián)幣具有更多的優(yōu)越性。首先，中國(guó)錢(qián)幣中部是一個(gè)正方形的方孔，這樣節(jié)省了制作的金屬材料，也就是節(jié)省了金屬資源。其次，由于中國(guó)古代錢(qián)幣中間有方形的孔，這樣就可以把很多錢(qián)幣用一根繩子穿成串，這樣可使錢(qián)幣便于攜帶和使用。但是古希臘錢(qián)幣由于是圓形而不是“外圓內(nèi)方”的，因此很難用繩子把很多錢(qián)幣穿起來(lái)形成串，也不方便攜帶。以上說(shuō)明不同民族錢(qián)幣的幾何形狀受到本民族文化審美觀的影響。需要強(qiáng)調(diào)的是，在中國(guó)古代，乃至古希臘時(shí)代，錢(qián)幣都不是按照勤儉持家的經(jīng)濟(jì)方式制作的，而是按照民族文化屬性去制作的。

北宋 大觀瑞寶 銀質(zhì)小平

有人問(wèn)，中國(guó)古代錢(qián)幣中為什么不是三角形呢?三角形不是更簡(jiǎn)單嗎？事實(shí)上并非如此。首先，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中就沒(méi)有角的概念，而且三角形在中國(guó)古代數(shù)學(xué)，乃至文化中從審美的角度來(lái)講并不是人們喜歡的一種形狀；其次，如果從制造難易程度的角度來(lái)講，三角形的制造難度是很高的，即使是等邊三角形，制造工藝難度也很高，因?yàn)榈冗吶切蔚娜齻€(gè)角是60°，這是很難制造的，尤其在科技落后的古代社會(huì)；從現(xiàn)代社會(huì)的角度來(lái)講，三角形沒(méi)有正方形制造簡(jiǎn)單，因?yàn)檎叫嗡臈l邊相等，四個(gè)角都是直角，是最簡(jiǎn)單的；最后，三角形的錢(qián)幣更容易受到磨損，不便于攜帶，尤其是金屬貨幣。鋒利的角在攜帶的時(shí)候可能會(huì)對(duì)人產(chǎn)生傷害。圓形錢(qián)幣在很多情況下受損害的程度是最小的，尤其是錢(qián)幣與人的身體相撞或相擠壓的情況下。如果把中國(guó)古代的錢(qián)幣制造成正方形也是存在問(wèn)題的，四個(gè)角容易對(duì)人造成傷害，當(dāng)然如果是紙幣的話(huà)人們是可以接受的。正五邊形（鄰邊的夾角度數(shù)雖然是一個(gè)常數(shù)，但在制造中不太好控制），正六邊形等邊數(shù)越多、圖形越復(fù)雜，制造或使用起來(lái)越不方便，從制造技術(shù)的角度來(lái)看，難度也是逐漸增大的。以上一方面說(shuō)明正多邊形不是中國(guó)古代甚至古希臘民族選擇的貨幣形狀；另一方面也說(shuō)明中西方對(duì)“圓”都是情有獨(dú)鐘的，這可能就是中西文化的相通性，這在一定程度上說(shuō)明他們的審美觀決定了錢(qián)幣的幾何形狀。審美本身也是一種文化，而且中國(guó)古人在金屬錢(qián)幣的設(shè)計(jì)中秉承的是一種簡(jiǎn)潔為美的數(shù)學(xué)審美觀。

（三）現(xiàn)代的紙幣矩形美學(xué)和硬幣圓形美學(xué)

在中國(guó)古代社會(huì)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與科技的進(jìn)步，尤其是紙張的發(fā)明，人們逐漸認(rèn)識(shí)到紙質(zhì)錢(qián)幣的重要性，也就是強(qiáng)調(diào)了用紙幣來(lái)替代具有含金量的金屬錢(qián)幣的重要性，而且這種紙幣也方便人們生活中的商品交易活動(dòng)。紙幣是什么形狀的呢？現(xiàn)在我們知道全世界的紙幣在形狀上都是以長(zhǎng)方形幾何形狀呈現(xiàn)的，而一般不再是正方形?？梢?jiàn)長(zhǎng)方形的錢(qián)幣是符合人們的數(shù)學(xué)審美原理或者說(shuō)符合大多數(shù)人的數(shù)學(xué)審美觀。為什么紙幣不制造成三角形的甚至五邊形的？當(dāng)然五邊形以上的復(fù)雜幾何圖形我們就不作探討，四邊形可能是最簡(jiǎn)單的。從角度的視角來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)方形要比三角形簡(jiǎn)單得多，因?yàn)殚L(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，而且三角形的三個(gè)角還是很鋒利的，即使三角形三個(gè)角都是60°，也不是太美觀。裝在褲子的衣兜里或放在錢(qián)夾里也不太方便，三角形紙幣易于磨損，會(huì)降低使用壽命，在折疊方面沒(méi)有四邊形方便。因此，人類(lèi)把紙幣制作成長(zhǎng)方形的，為管理錢(qián)幣或使用錢(qián)幣提供便利，當(dāng)然其中也蘊(yùn)含著人類(lèi)的一種數(shù)學(xué)文化審美觀，認(rèn)為長(zhǎng)方形的物體也是美的。以上也在一定程度上說(shuō)明了簡(jiǎn)潔就是美的思想在錢(qián)幣的制作中得到廣泛的應(yīng)用。長(zhǎng)方形的紙幣在人們現(xiàn)實(shí)生活中雖然已成定式，但是有人不免要問(wèn)，為什么紙幣不能是正方形的呢？如果依靠直覺(jué)來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題就是，正方形雖然是特殊的長(zhǎng)方形，也符合人們的審美觀。但是長(zhǎng)方形可能有更多的優(yōu)勢(shì)，也可能是古代紙幣在形狀上就是長(zhǎng)方形的，這是一種習(xí)慣沿襲，而且長(zhǎng)方形紙幣更易于點(diǎn)鈔、防偽手段的制作等等，很多的理由我們都可以歸結(jié)為文化的原因。

世界上各個(gè)國(guó)家的硬幣最終都以圓形的金屬為載體，而紙幣作為一種符號(hào)化的貨幣，其幾何形體最終落到長(zhǎng)方形上。這就說(shuō)明了人們最常用的兩個(gè)幾何形狀就是圓與長(zhǎng)方形。在人類(lèi)的錢(qián)幣史上，早期的貝殼或鵝卵石作為交換媒介的錢(qián)幣其實(shí)也是符合數(shù)學(xué)美學(xué)原理的。貝殼的形狀雖然是多種多樣，但是最常見(jiàn)的是扇形、圓形和螺旋形等。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講鵝卵石是橢圓形或橢球體，扇形是圓一部分，即使是螺旋形其實(shí)也蘊(yùn)含著圓形這一要素。這在一定程度上說(shuō)明了以圓為代表的曲線和中西審美文化的相通性。人類(lèi)的數(shù)學(xué)審美或數(shù)學(xué)美學(xué)觀在一定程度上決定了錢(qián)幣的幾何形狀。各個(gè)民族都是把自己喜歡的幾何圖形雕刻在錢(qián)幣上當(dāng)作自己追求的價(jià)值觀念，這就是錢(qián)幣的審美價(jià)值，或者說(shuō)錢(qián)幣能夠給人一種愉悅感，使人身心清爽。

以上強(qiáng)調(diào)的是中西方古代錢(qián)幣的幾何形狀，但是近現(xiàn)代世界各國(guó)的錢(qián)幣形狀又有哪些發(fā)展呢？隨著中西文化的融合，中國(guó)古代“外圓內(nèi)方”的錢(qián)幣就把中間保留兩千多年的“內(nèi)方”去掉了，變成與古希臘錢(qián)幣一樣，基本上是圓形的錢(qián)幣。中國(guó)古代錢(qián)幣中“內(nèi)方”的消失其實(shí)也很好理解的。在“西學(xué)東漸”之后，中國(guó)人逐漸認(rèn)識(shí)到大地不是方的，而是一個(gè)球體的表面。貨幣幾何形狀的文化要與現(xiàn)實(shí)世界相吻合，也要與時(shí)俱進(jìn)，于是“內(nèi)方”的文化就逐漸地消失，“外圓”被保留下來(lái)了，體現(xiàn)在錢(qián)幣上就不再出現(xiàn)那個(gè)“內(nèi)方”，而是一個(gè)圓形的金屬錢(qián)幣。20世紀(jì)中國(guó)改革開(kāi)放以前在中國(guó)發(fā)行的一分、二分、五分、五角和一元的硬幣都是圓形的，而不再是“外圓內(nèi)方”的錢(qián)幣。其實(shí)在民國(guó)時(shí)期我們的錢(qián)幣就是圓形的，而不再是外圓內(nèi)方的幾何形狀。這可能是中西文化匯通之后，受到西方錢(qián)幣幾何形狀的影響所導(dǎo)致的，這說(shuō)明了數(shù)學(xué)文化審美對(duì)錢(qián)幣幾何形狀的演化具重要的影響。

三、與時(shí)俱進(jìn)的錢(qián)幣數(shù)學(xué)文化

目前人類(lèi)的錢(qián)幣形態(tài)已經(jīng)進(jìn)入了多元化時(shí)代，有紙幣、硬幣，甚至還有電子錢(qián)幣等。錢(qián)幣的電子化時(shí)代似乎脫離了數(shù)學(xué)，但事實(shí)并非如此。錢(qián)幣的電子化時(shí)代說(shuō)明了錢(qián)幣與數(shù)學(xué)的關(guān)系更加密切了。一方面錢(qián)幣本身的量化，另一方面這也是錢(qián)幣的抽象化。具體的實(shí)物錢(qián)幣（金屬錢(qián)幣和紙幣）在人們的經(jīng)濟(jì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中大大地減少，而在微信、支付寶等各種媒體中無(wú)形的電子貨幣交易成了新常態(tài)，這就說(shuō)明了錢(qián)幣在交易中有一種抽象化的發(fā)展趨勢(shì)。其實(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展也是像錢(qián)幣一樣，從無(wú)到有，從有形到無(wú)形，從算籌、算盤(pán)到在今天中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的阿拉伯?dāng)?shù)字和計(jì)算器，標(biāo)志著人類(lèi)數(shù)學(xué)在逐步地從具體走向抽象，從有形走向無(wú)形；而人類(lèi)錢(qián)幣的形態(tài)也是由具體的、有形的，走向抽象的、無(wú)形的觀念，錢(qián)幣的發(fā)展形態(tài)與數(shù)學(xué)的發(fā)展具有相似性。數(shù)學(xué)與錢(qián)幣的發(fā)展過(guò)程其實(shí)也見(jiàn)證了人類(lèi)思維的發(fā)展過(guò)程，人類(lèi)的思維也是由具體的形象思維發(fā)展到抽象思維。整個(gè)錢(qián)幣的演化過(guò)程其實(shí)也標(biāo)志著人類(lèi)思維方式的進(jìn)化過(guò)程。

以上闡釋的是錢(qián)幣的幾何性質(zhì)—形狀的發(fā)展演化過(guò)程遵循數(shù)學(xué)審美思想的變化，當(dāng)然這種變化是漫長(zhǎng)的，也是細(xì)微的。其實(shí)從重量的角度來(lái)講，錢(qián)幣在發(fā)展中是越來(lái)越輕的，輕到便于人類(lèi)的攜帶和交易，甚至輕到?jīng)]有重量的電子貨幣。1秒左右的時(shí)間，北京市某人微信中的錢(qián)就可以轉(zhuǎn)到?？谑心橙宋⑿派稀．?dāng)然錢(qián)幣的數(shù)學(xué)化還是有很多的其他內(nèi)容的，例如不同錢(qián)幣之間的換算，由單一錢(qián)幣逐漸地走向多元錢(qián)幣，其錢(qián)幣的支付單位具有任意性?，F(xiàn)在的元、角、分，甚至更大的錢(qián)幣單位，它們之間的換算蘊(yùn)含一定的數(shù)學(xué)思想，至少包含人類(lèi)很早就發(fā)明的十進(jìn)制思想。錢(qián)幣是有價(jià)值的，我們不僅要定性地描述價(jià)值的大小，更應(yīng)該量化。一個(gè)東西的價(jià)值比另一個(gè)東西的價(jià)值大，不僅要有一種定性的描述，還須有量的區(qū)分，這個(gè)量的區(qū)分就是錢(qián)幣的量化。以上說(shuō)明了中西方錢(qián)幣文化有相同的數(shù)學(xué)審美觀點(diǎn)，但是在數(shù)學(xué)審美上也存在巨大差異。例如中國(guó)古代“內(nèi)方”的錢(qián)幣文化，西方錢(qián)幣文化中是沒(méi)有的。錢(qián)幣既是經(jīng)濟(jì)價(jià)值的載體，也是人類(lèi)數(shù)學(xué)文化審美的一種重要標(biāo)志。