劉洪濤，韓子俊，郭曉菲，周光東，韋晟杰，韓 洲，陳小港，程文聰

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 能源與礦業(yè)學(xué)院,北京 100083；2.煤炭行業(yè)巷道支護(hù)與災(zāi)害防治工程研究中心,北京 100083）

0 引言

在煤炭開采過程中，巷道頂板災(zāi)害防治依然是煤礦安全的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在2021 年全國(guó)煤礦事故統(tǒng)計(jì)中，頂板事故起數(shù)及遇難人數(shù)分別占煤礦事故總數(shù)的31%和32%。頂板災(zāi)害的發(fā)生是由于圍巖產(chǎn)生不同形式和范圍的破壞所致[1-2]。因此，研究巷道圍巖破壞范圍及塑性區(qū)分布規(guī)律對(duì)巷道圍巖的穩(wěn)定控制具有重要意義。

地下圍巖在自重應(yīng)力狀態(tài)下處于穩(wěn)定狀態(tài)，巷道開挖會(huì)使圍巖應(yīng)力產(chǎn)生重新分布，當(dāng)某一點(diǎn)的區(qū)域應(yīng)力集中程度大于其彈性界限值時(shí)，該點(diǎn)處巖體會(huì)產(chǎn)生屈服或破壞[3]。因此選用合理屈服與破壞準(zhǔn)則對(duì)研究地下工程問題是非常重要的。馬念杰、趙志強(qiáng)等[4-5]基于M-C 準(zhǔn)則，利用彈塑性力學(xué)理論推導(dǎo)出非均勻應(yīng)力場(chǎng)下的圓形巷道圍巖塑性區(qū)邊界八次隱性方程。尹光志等[6]通過對(duì)比M-C、Mises、D-P、MLC、SMP 準(zhǔn)則，對(duì)各種準(zhǔn)則的適用性進(jìn)行了評(píng)析，證明了MLC 準(zhǔn)則在真三軸應(yīng)力條件下的良好適用性。侯公羽等[7]基于Levy-Mises 本構(gòu)關(guān)系和Hoke-Brown 屈服準(zhǔn)則，推導(dǎo)出軸對(duì)稱圓孔在理想彈塑性條件下的塑性解。師皓宇等[8-9]基于平面應(yīng)變問題，結(jié)合三維應(yīng)力場(chǎng)下的M-C 準(zhǔn)則，闡述了中間主應(yīng)力作用下巷道圍巖的屈服破壞狀態(tài)及規(guī)律，并對(duì)不同應(yīng)力準(zhǔn)則下的蝶葉敏感性進(jìn)行了分析。

此外，地下工程破壞問題是彈性力學(xué)中的三維應(yīng)力問題[10]。諸多學(xué)者在研究該問題時(shí)采用平面應(yīng)變問題進(jìn)行處理，但研究表明，巷道軸向應(yīng)力對(duì)巷道圍巖的變形與破壞也具有重要影響[11]。趙洪寶等[12]對(duì)三向非等壓應(yīng)力場(chǎng)下的圍巖偏應(yīng)力及應(yīng)變能密度分布進(jìn)行了研究，并結(jié)合彈塑性理論推導(dǎo)出圓孔周邊最大、最小偏應(yīng)力的計(jì)算式。尹光志等[13-14]、施維成等[15]采用控制變量的方法通過真三軸試驗(yàn)研究了球應(yīng)力、偏應(yīng)力及Lode 角對(duì)巖石變形特性的影響。駱開靜等[16]以Lode 參數(shù)為指標(biāo)分析了中間主應(yīng)力對(duì)圍巖塑性區(qū)尺寸的影響，并表明中間主應(yīng)力會(huì)表現(xiàn)出“強(qiáng)烈區(qū)間性”。

綜上所述，眾多學(xué)者針對(duì)圍巖的塑性區(qū)邊界問題展開了大量研究，并基于不同巖體破壞準(zhǔn)則推導(dǎo)出圓形巷道塑性區(qū)半徑的彈塑性近似解，這些研究對(duì)分析巷道圍巖的塑性破壞問題具有重要意義。而在探究孔洞塑性區(qū)邊界問題過程中，大多數(shù)分析成果均忽略了巷道軸向應(yīng)力的影響，而上述眾多研究成果表明巷道軸向應(yīng)力對(duì)圍巖的穩(wěn)定性具有重要作用。因此，基于Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則，通過引入Lode角，推導(dǎo)出考慮軸向應(yīng)力作用的圓形巷道圍巖塑性區(qū)邊界隱性方程，得出不同三向應(yīng)力條件下的圍巖塑性區(qū)尺寸及形態(tài)，通過數(shù)值模擬進(jìn)一步說明了理論分析的可靠性，為巷道圍巖的塑性破壞分析及穩(wěn)定控制提供一定的理論指導(dǎo)。

1 圓形巷道圍巖彈塑性分析

1.1 圓形巷道圍巖應(yīng)力分析

在地下工程如巷道等長(zhǎng)洞型問題中，由于巷道軸向方向的尺寸遠(yuǎn)大于其橫截?cái)嗝娉叽?，故可將該類工程問題視為廣義平面應(yīng)變問題[17]。廣義平面應(yīng)變問題是將巷道周圍的應(yīng)力場(chǎng)簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變、面外剪切以及單軸壓縮的問題，簡(jiǎn)化模型示意圖如圖1所示，鄭雨天等[17]通過上述模型推導(dǎo)出極坐標(biāo)下巷道周邊任意一點(diǎn)的應(yīng)力表達(dá)式為

圖1 廣義平面應(yīng)變問題模型Fig.1 Generalized plane strain problem model

式中：σr、σθ、τrθ分別為巷道周邊任意一點(diǎn)的徑向應(yīng)力、切向應(yīng)力以及剪應(yīng)力；σx為垂直巷道幫部的水平應(yīng)力；σy為與巷道軸向平行的應(yīng)力；σz為巷道圍巖的鉛垂應(yīng)力；σv為巷道軸向的應(yīng)力；r、θ為巷道周邊任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)；v為巷道圍巖泊松比；R為巷道圍巖半徑。

極坐標(biāo)下圍巖任意一點(diǎn)的主應(yīng)力表達(dá)式為

式中：σ1、σ2、與σ3為圍巖任意點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，式中的σ1、σ3并非一定是圍巖的最大、最小主應(yīng)力。

1.2 三向應(yīng)力場(chǎng)下巷道塑性區(qū)邊界方程

在研究巷道圍巖的屈服與破壞時(shí)，需要建立使圍巖產(chǎn)生屈服與破壞的條件與準(zhǔn)則。M-C 強(qiáng)度準(zhǔn)則是目前應(yīng)用最為廣泛的強(qiáng)度準(zhǔn)則，其物理意義在于當(dāng)剪切面上的剪應(yīng)力與正應(yīng)力之比達(dá)到最大時(shí)，材料便會(huì)發(fā)生屈服與破壞。M-C 強(qiáng)度準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間的表述為

式中：C和φ分別為為屈服或破壞參數(shù)，即巖石的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

文獻(xiàn)[5]將極坐標(biāo)下任意一點(diǎn)的主應(yīng)力σ1、σ3的表達(dá)式代入式(3)推導(dǎo)出平面應(yīng)變問題下非均勻應(yīng)力場(chǎng)中的塑性區(qū)八次隱性方程式(4)，并基于式(4)對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)形態(tài)進(jìn)行深入研究，首次提出“蝶形塑性區(qū)”的概念，揭示了圓形巷道非對(duì)稱變形破壞的機(jī)理。

其中：η為最大圍壓與最小圍壓的比值。從式(4)可以看出，蝶形塑性區(qū)八次隱性方程是將平面應(yīng)變問題模型下的兩向圍壓定義為最大（最?。?、最?。ㄗ畲螅┲鲬?yīng)力，而未考慮巷道軸向應(yīng)力σy的情況。事實(shí)上，圓孔圍巖處于三向應(yīng)力場(chǎng)下，在X、Y、Z三個(gè)方向的應(yīng)力數(shù)值大小未知的情況下，無法判斷哪個(gè)坐標(biāo)方向的應(yīng)力為最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力。

根據(jù)巖土塑性力學(xué)可知，3 個(gè)方向應(yīng)力σx、σy、σz可以通過應(yīng)力不變量與Lode 角表示為式(5)：

將極坐標(biāo)下任意一點(diǎn)的應(yīng)力表達(dá)式式(1)代入主應(yīng)力表達(dá)式式(2)，得到的結(jié)果再分別代入偏應(yīng)力第二不變量J2、偏應(yīng)力第三不變量J3、應(yīng)力Lode 角θσ以及平均應(yīng)力σm各自的表達(dá)式，即可得各自的計(jì)算解析式，再將得到的計(jì)算解析式代入式(6)，即可得考慮軸向應(yīng)力的三維應(yīng)力場(chǎng)下的圓形巷道圍巖塑性區(qū)邊界隱性方程(7)：

由于該隱性方程的求解極其復(fù)雜，因此無法直接轉(zhuǎn)換成塑性區(qū)邊界解析式。可在三向應(yīng)力σx、σy、σz以及巷道半徑R、泊松比v、圍巖黏聚力C和內(nèi)摩擦角φ都給定的情況下，通過數(shù)學(xué)軟件Maple 即可計(jì)算出巷道圍巖的塑性區(qū)尺寸。

2 巷道塑性區(qū)尺寸及分布形態(tài)分析

在一般的地質(zhì)圍巖環(huán)境中，巷道所受圍壓比值為1～2，而在大埋深復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造帶、高構(gòu)造應(yīng)力以及疊合采動(dòng)應(yīng)力影響下，巷道圍壓比值表現(xiàn)為非常規(guī)性，最大圍壓比值可高達(dá)10 倍以上。為研究不同應(yīng)力場(chǎng)下圓孔的圍巖塑性區(qū)尺寸及形態(tài)，此處設(shè)定水平側(cè)壓η1與軸向側(cè)壓η2分別為式(8)和式(9)，且由于篇幅有限僅研究深埋煤層條件，取巷道埋深為800 m 的應(yīng)力環(huán)境，σz=20 MPa，黏聚力C=2 MPa，內(nèi)摩擦角φ=30°，泊松比v=0.25，巷道半徑為2 m。由于σx變化后的塑性區(qū)尺寸及形態(tài)與σz變化后旋轉(zhuǎn)90°結(jié)果完全一致，因此僅討論σx、σy的變化對(duì)孔洞圍巖塑性區(qū)尺寸及形態(tài)特征的影響。

2.1 水平側(cè)壓對(duì)巷道塑性區(qū)尺寸及形態(tài)影響

為探究水平側(cè)壓η1對(duì)巷道塑性區(qū)尺寸及形態(tài)的影響，此處固定軸向應(yīng)力σy=10 MPa，即固定軸向側(cè)壓將水平側(cè)壓η1從0.3 增加至1.8時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力代入計(jì)算式(7)，得到不同η1情況下巷道幫部(坐標(biāo)系0°)、翼角(45°)、頂?shù)装?90°)處的塑性區(qū)尺寸，如圖2 所示。

圖2 不同η1 情況下巷道不同位置塑性區(qū)深度及分區(qū)Fig.2 Size and partition of plastic zone in different position of roadway under different η1

分析圖2 可知：對(duì)于巷道頂?shù)装宥裕瑐?cè)壓系數(shù)η1在區(qū)間[0.3,1.3]時(shí)，塑性區(qū)變化范圍較小，塑性區(qū)尺寸僅增加0.69 m，說明σx的增加引起的曲線斜率變化較小，稱該區(qū)域?yàn)閼?yīng)力遲鈍區(qū)。在該區(qū)域內(nèi)，η1為0.4 時(shí)，頂?shù)装宀划a(chǎn)生塑性區(qū)；η1在區(qū)間[1.3,1.8]時(shí)，塑性區(qū)變化范圍較大，變化曲線呈指數(shù)型增長(zhǎng)，塑性區(qū)尺寸增加2.83 m，最大塑性區(qū)尺寸達(dá)3.54 m。

對(duì)于巷道翼角而言，η1在區(qū)間[0.3,0.7]內(nèi)處于應(yīng)力敏感區(qū)，該區(qū)域內(nèi)塑性區(qū)尺寸減少3.89 m；η1在區(qū)間[0.7,1.3]內(nèi)處于應(yīng)力遲鈍區(qū)，該區(qū)域內(nèi)塑性區(qū)尺寸變化僅0.03 m，η1=0.9 時(shí)翼角尺寸達(dá)到整個(gè)區(qū)域最小值0.07 m；η1在區(qū)間[1.3,1.8]內(nèi)處于應(yīng)力敏感區(qū)，塑性區(qū)范圍增加5.90 m，最大塑性區(qū)尺寸達(dá)6.58 m。

對(duì)于巷道兩幫而言，塑性區(qū)尺寸對(duì)η1的變化敏感性較差，在區(qū)間[0.3,1.8]內(nèi)，塑性區(qū)僅變化0.56 m，η1為1.8 時(shí)，塑性區(qū)尺寸達(dá)最大值1.17 m。

由式（7）可以看出，該隱式方程的求解在實(shí)際應(yīng)用時(shí)較為困難。為使巷道圍巖塑性區(qū)計(jì)算變得簡(jiǎn)單、快捷，采用Python 開發(fā)了“巷道圍巖塑性區(qū)求解軟件”系統(tǒng)，系統(tǒng)界面如圖3 所示。

圖3 巷道圍巖塑性區(qū)求解軟件操作界面Fig.3 Software operation interface for solving plastic zone of roadway surrounding rock

基于已開發(fā)的塑性區(qū)求解軟件，選取側(cè)壓系數(shù)η1為0.3、0.5、0.8、1.0、1.2、1.5 及1.8 共7 種情況，將對(duì)應(yīng)的應(yīng)力代入式(7)得不同水平側(cè)壓下的巷道塑性區(qū)形態(tài)如圖4、5 所示。

圖4 η1≤1 時(shí)圍巖塑性區(qū)形態(tài)演化規(guī)律Fig.4 Evolution law of plastic zone morphology of surrounding rock when η1 ≤ 1

由圖4 可以看出，當(dāng)η1=0.3 時(shí)，巷道塑性區(qū)輪廓呈四象限突出，坐標(biāo)軸處凹陷的蝶形形態(tài)，最大塑性區(qū)尺寸發(fā)生在象限角平分線附近；當(dāng)η1增加至0.8 時(shí)，巷道塑性區(qū)最大塑性區(qū)半徑發(fā)生在橫軸，最小塑性區(qū)半徑發(fā)生在縱軸，塑性區(qū)形態(tài)呈橫橢圓形態(tài)；當(dāng)η1為1 時(shí)，圓孔各處塑性區(qū)半徑一致，呈標(biāo)準(zhǔn)的圓形形態(tài)。

由圖5 可知，當(dāng)η1為1.2 時(shí)，巷道最大塑性區(qū)半徑在坐標(biāo)縱軸，最小塑性區(qū)半徑在坐標(biāo)橫軸，呈豎橢圓形態(tài)；隨著η1的繼續(xù)增大，最大塑性區(qū)半徑開始由縱軸向縱軸兩側(cè)擴(kuò)展，η1為1.5 時(shí)，塑性區(qū)形態(tài)呈類蝶形形態(tài)；當(dāng)η1為1.8 時(shí)，最大塑性區(qū)半徑發(fā)生在角平分線附近，塑性區(qū)形態(tài)呈蝶形形態(tài)。

圖5 η1＞1 時(shí)圍巖塑性區(qū)形態(tài)演化規(guī)律Fig.5 Evolution law of plastic zone morphology of surrounding rock when η1＞1

從上述分析可以看出：

1）固定軸向側(cè)壓η2的情況下，變化水平側(cè)壓η1時(shí)圍巖頂?shù)装寮耙斫翘幤茐臅?huì)分區(qū)域出現(xiàn)應(yīng)力敏感區(qū)和遲鈍區(qū)，而圍巖兩幫的塑性區(qū)尺寸對(duì)η1變化的敏感程度較小。

2）在η1從0.3 增大至1.8 的過程中，巷道塑性區(qū)形態(tài)會(huì)呈現(xiàn)蝶形→橢圓→圓形→橢圓→蝶形3 種形態(tài)的演化過程。

2.2 軸向側(cè)壓對(duì)巷道塑性區(qū)尺寸及形態(tài)影響

為探究軸向側(cè)壓η2對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)尺寸及形態(tài)的影響，取水平側(cè)壓η1為1、1.2、2 三種情況，對(duì)相同η1不同軸向側(cè)壓η2情況下的巷道塑性區(qū)尺寸及形態(tài)進(jìn)行分析，具體分析方案詳見表1 所示。需要說明的是，在方案三中，η2取0.3、0.4、0.5 時(shí)，圍巖產(chǎn)生的高偏應(yīng)力過大，根據(jù)式(7)知，巷道周圍已經(jīng)產(chǎn)生完全破壞，因此不對(duì)該3 種情況進(jìn)行討論。

將方案一中的σx、σz代入平面應(yīng)變問題下的塑性區(qū)邊界方程式(4)，得到不同軸向側(cè)壓條件下巷道頂?shù)装濉筒?、翼角處塑性區(qū)尺寸如圖5 中紅色線條所示，由于式(4)不考慮巷道軸向σy的影響，因此相同σx、σz情況下，變化η2時(shí)巷道不同位置的塑性區(qū)尺寸均不會(huì)發(fā)生變化，因此紅色線條恒為直線。將方案一中不同η2下的三向應(yīng)力代入式(7)，得到不同軸向側(cè)壓η2情況下的塑性區(qū)尺寸，如圖6 中紫色線條所示。

圖6 當(dāng)η1=1 時(shí)不同η2 情況下巷道不同位置塑性區(qū)尺寸及分區(qū)Fig.6 Size and partition of plastic zone in different position of roadway under different η2 when η1=1

由圖6 可知：①η1=1 時(shí)，圓形孔洞頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的圍巖塑性區(qū)尺寸隨η2的增加變化趨勢(shì)及數(shù)值完全一致，說明η1確定的情況下，η2的變化會(huì)使圍巖各個(gè)方向的塑性區(qū)等量增長(zhǎng)。②在區(qū)間0.5～1.5，兩種方程計(jì)算下的塑性區(qū)尺寸均為0.61 m，說明該區(qū)域內(nèi)σy的變化對(duì)圓孔的塑性區(qū)尺寸沒有影響，筆者將該區(qū)域定義為軸向應(yīng)力無影響區(qū)。在區(qū)間0.3～0.5 以及1.5～3.0 范圍內(nèi)，兩種方程計(jì)算下的塑性區(qū)尺寸存在差異，筆者將該區(qū)域定義為軸向應(yīng)力影響區(qū)。③在區(qū)間0.3～0.5 內(nèi)，塑性區(qū)尺寸呈負(fù)指數(shù)型下降，說明該區(qū)域塑性區(qū)尺寸對(duì)σy的變化十分敏感，最大塑性區(qū)尺寸達(dá)2.03 m；在區(qū)間1.5～3.0 內(nèi)，變化曲線呈指數(shù)型增長(zhǎng)，最大塑性區(qū)尺寸達(dá)3.89 m。

方案二中不同軸向側(cè)壓η2條件下的塑性區(qū)尺寸，如圖7 所示。由圖7 可知：①η1=1.2 時(shí)，隨著η2的增加，圓形巷道頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的圍巖塑性區(qū)尺寸的變化趨勢(shì)均呈現(xiàn)強(qiáng)烈的區(qū)間效應(yīng)。在區(qū)間0.3～0.5 內(nèi)均為軸向應(yīng)力影響區(qū)，塑性區(qū)尺寸曲線呈負(fù)指數(shù)型下降，最大塑性區(qū)尺寸分別為6.39、2.67、4.95 m。②圓孔頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的軸向應(yīng)力無影響區(qū)間分別為0.5～1.8、0.5～1.6、0.5～1.7，該區(qū)間內(nèi)塑性區(qū)尺寸分別恒定為0.68、0.57、0.65 m。③巷道頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的第二次軸向應(yīng)力影響區(qū)間分別為1.8～3.0、1.6～3.0、1.7～3.0，在該區(qū)間內(nèi)塑性區(qū)尺寸曲線斜率急劇增加，當(dāng)η2=3 時(shí)，最大塑性區(qū)尺寸分別達(dá)3.19、2.21、3.00 m。

圖7 當(dāng)η1=1.2 時(shí)不同η2 情況下巷道不同位置塑性區(qū)尺寸及分區(qū)Fig.7 Size and partition of plastic zone at different positions of roadway with different η2 when η1=1.2

方案三中不同軸向側(cè)壓η2條件下的塑性區(qū)尺寸，如圖8 所示。由圖8 可知：①η1=2.0 時(shí)，巷道的頂?shù)装?、兩幫以及翼角在?的變化下均呈現(xiàn)強(qiáng)烈的區(qū)間效應(yīng)。在區(qū)間0.6～0.7 內(nèi)均為軸向應(yīng)力影響區(qū)，該區(qū)域內(nèi)最大塑性區(qū)尺寸分別為1.58、0.79、3.33 m。②巷道頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的軸向應(yīng)力無影響區(qū)分別為0.7～2.8、0.7～1.6、0.7～2.3，該區(qū)間內(nèi)塑性區(qū)尺寸恒為0.91、0.44、1.45 m。③巷道頂?shù)装?、兩幫以及翼角處的第二次軸向應(yīng)力影響區(qū)間分別為2.8～3.0、1.6～3.0、2.3～3.0，該區(qū)間內(nèi)塑性區(qū)隨η2的增加而不斷增加，η2=3 時(shí)的最大塑性區(qū)尺寸分別為1.12、1.12、4.00 m。

圖8 當(dāng)η1=2 時(shí)不同η2 情況下巷道不同位置塑性區(qū)尺寸及分區(qū)Fig.8 Size and partition of plastic zone at different positions of roadway with different η2 when η1=2

在方案一和方案二中，選取軸向側(cè)壓η2為0.3、1.5、3.0，在方案三中，選取η2為0.6、1.5、3.0，將3 種方案下η1、η2所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力代入式(7)，得到不同側(cè)壓系數(shù)條件下的巷道塑性區(qū)形態(tài)如圖9 所示。

圖9 三種不同方案下塑性區(qū)形態(tài)演化規(guī)律Fig.9 Morphological evolution of plastic zone under three different schemes

由圖9 可知，在固定η1=1 變化η2情況下，巷道圍巖塑性區(qū)形態(tài)均為圓形形態(tài)，η2值的增加僅僅帶來塑性區(qū)尺寸的改變，而無形態(tài)的改變。同樣，當(dāng)η1=1.2 變化η2情況下，巷道圍巖塑性區(qū)形態(tài)為類“豎橢圓”形態(tài)。當(dāng)η1=2 變化η2情況下，孔洞圍巖的塑性區(qū)形態(tài)均為蝶形形態(tài)。

從上述3 種方案分析可以得到如下規(guī)律：

固定σx、σz變化軸向應(yīng)力σy的過程中，巷道頂?shù)装濉蓭?、翼角處的塑性區(qū)均隨著η2的增加呈現(xiàn)強(qiáng)烈的區(qū)間效應(yīng)，都會(huì)伴隨η2的增加呈現(xiàn)軸向應(yīng)力影響區(qū)、軸向應(yīng)力無影響區(qū)、軸向應(yīng)力影響區(qū)3 種區(qū)間效應(yīng)。在軸向應(yīng)力影響區(qū)間內(nèi)，軸向側(cè)壓的增加或減少對(duì)圍巖的塑性區(qū)尺寸影響都會(huì)很大。

結(jié)合2.1 的分析結(jié)果來看，巷道圍巖的塑性區(qū)形態(tài)由水平側(cè)壓η1決定，軸向側(cè)壓η2對(duì)巷道圍巖的塑性區(qū)形態(tài)影響較小，對(duì)尺寸影響較大。

2.3 數(shù)值模擬分析

為進(jìn)一步說明上述數(shù)學(xué)手段分析結(jié)果的合理性，采用有限差分軟件FLAC3D7.0 進(jìn)行數(shù)值模擬分析。本文建立X軸、Y軸、Z軸長(zhǎng)度分別為40、0.8、40 m的塊體模型，采用放射狀網(wǎng)格劃分方式共生成單元格101 600 個(gè)，模型六面均采用位移約束，運(yùn)算時(shí)間設(shè)置為自動(dòng)求解，不平衡率達(dá)到10-5時(shí)運(yùn)算停止。本構(gòu)模型采用Mohr-Coulomb，具體巖層力學(xué)參數(shù)與上文數(shù)學(xué)分析采用的參數(shù)完全一致。

由于篇幅有限，僅對(duì)上文中2.1 節(jié)與2.2 節(jié)的方案三進(jìn)行模擬結(jié)果分析。數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬的塑性區(qū)形態(tài)對(duì)比如圖10 所示。通過數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬的塑性區(qū)特征對(duì)比圖發(fā)現(xiàn)，2 種分析手段下的塑性區(qū)形態(tài)能夠較好的吻合，在不同的水平側(cè)壓及軸向側(cè)壓條件下，巷道圍巖塑性區(qū)的形態(tài)演化規(guī)律幾乎完全一致，均呈現(xiàn)圓形、橢圓形與蝶形3 種形態(tài)。計(jì)算頂?shù)装?、翼角及兩幫的?shù)據(jù)，與上文數(shù)學(xué)分析所得的數(shù)據(jù)對(duì)比圖如圖11a、圖11b所示。

圖10 數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬塑性區(qū)形態(tài)對(duì)比分析Fig.10 Mathematical analysis and numerical simulation of plastic zone morphology comparative analysis

圖11 數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬塑性區(qū)尺寸對(duì)比分析Fig.11 Mathematical analysis and numerical simulation of plastic zone size comparative analysis

為了得出數(shù)學(xué)與數(shù)值分析下不同位置塑性區(qū)尺寸變化的相關(guān)性，通過對(duì)比數(shù)學(xué)與數(shù)值模擬下不同位置的塑性區(qū)尺寸，采用擬合度R2指標(biāo)來衡量2 種分析手段的相關(guān)程度。

由圖11 可知，固定軸向側(cè)壓變化水平側(cè)壓的情況下，巷道兩幫、翼角及頂?shù)装宓臄M合度R2分別為0.97、0.93、0.90；固定水平側(cè)壓變化軸向側(cè)壓的情況下，巷道兩幫、翼角及頂?shù)装宓臄M合度R2分別為0.94、0.99、0.74。由相關(guān)性結(jié)果可以得出，6 組數(shù)據(jù)中前5 組數(shù)據(jù)的擬合程度都在0.9 之上，說明巷道頂?shù)装濉蓭?、翼角位置，?shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬分析所得數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)基本一致。最后一組數(shù)據(jù)頂?shù)装宓南嚓P(guān)性較低是由于數(shù)值模擬塑性區(qū)的計(jì)算取決于單元格大小，當(dāng)兩種η值所造成的破壞范圍差值小于單位單元格時(shí)，數(shù)值模擬默認(rèn)破壞范圍一致，即數(shù)值模擬的網(wǎng)格依賴性問題，因此會(huì)出現(xiàn)部分η增加而斜率不變的情況。

綜合圖10 和圖11 中數(shù)值模擬與理論分析形態(tài)及尺寸結(jié)果對(duì)比來看，當(dāng)巷道圍巖塑性區(qū)形態(tài)為圓形或橢圓形時(shí)，數(shù)值模擬與理論分析所得塑性區(qū)尺寸差值較??；當(dāng)巷道為蝶形塑性區(qū)形態(tài)時(shí)，2 種計(jì)算結(jié)果的差值較大。這是由于數(shù)值模擬考慮了高偏應(yīng)力場(chǎng)下應(yīng)力動(dòng)態(tài)調(diào)整過程中塑性區(qū)會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大的問題，而數(shù)學(xué)分析未能考慮該因素[19]。由此可以認(rèn)為，在工程實(shí)踐中，類似應(yīng)力場(chǎng)條件下巷道圍巖可能產(chǎn)生更大的破壞。

綜上分析可知，數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬分析在塑性區(qū)尺寸變化趨勢(shì)及形態(tài)演化規(guī)律上吻合程度較高，更進(jìn)一步證明了數(shù)學(xué)算法的準(zhǔn)確性。

3 巷道圍巖塑性區(qū)穩(wěn)定性因素分析

從式(7)可以看出，巷道圍巖塑性區(qū)尺寸除了會(huì)受到三向應(yīng)力環(huán)境的影響之外，還會(huì)不同程度地受圍巖黏聚力C、內(nèi)摩擦角φ、巷道半徑R以及泊松比v這幾個(gè)因素的影響，因此本節(jié)在上述已討論圍巖應(yīng)力對(duì)圍巖穩(wěn)定性影響的基礎(chǔ)上，分析C、φ、R、μ四個(gè)參數(shù)對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響規(guī)律。

3.1 黏聚力C 對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

為分析黏聚力C對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，設(shè)定σx=40 MPa，σy=12 MPa，σz=20 MPa，φ=30°，v=0.25，R=2 m，分別將C為1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0 MPa 代入式(7)，得不同黏聚力時(shí)的圍巖頂?shù)装?、翼角、兩幫塑性區(qū)尺寸以及塑性區(qū)形態(tài)，如圖12所示。

圖12 黏聚力對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性影響分析Fig.12 Analysis of the influence of cohesion on the stability of roadway surrounding rock

從圖12 左側(cè)點(diǎn)線圖可以看出，巷道頂?shù)装?、翼角以及兩幫的圍巖塑性區(qū)尺寸均與黏聚力呈負(fù)相關(guān)，而3 個(gè)位置的變化速率卻各不相同，隨著黏聚力的增加，頂?shù)装逅苄詤^(qū)尺寸的降幅分別為5.62%，5.66%，5.92%，6.29%，1.95%，2.16%，2.52%，翼角處的塑性區(qū)尺寸降幅分別為35.76%，21.19%，15.63%，12.03%，2.96%，2.82%，2.69%，兩幫的塑性區(qū)尺寸降幅分別為20.05%，10.97%，7.60%，5.55%，1.30%，1.24%，1.18%。由降幅可以看出，巷道3 個(gè)位置對(duì)黏聚力變化的敏感性有所差異，敏感性分別為翼角＞頂?shù)装澹緝蓭?。從極坐標(biāo)圖中可以看出，隨著黏聚力的增加，塑性區(qū)蝶葉的退化速率逐漸減小，塑性區(qū)形態(tài)逐漸由“蝶形”向“蝶形前態(tài)”轉(zhuǎn)變。因此，黏聚力較大時(shí)，巷道圍巖的工程隱患下降，蝶形冒頂風(fēng)險(xiǎn)降低。

3.2 內(nèi)摩擦角φ 對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

為分析內(nèi)摩擦角φ對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，設(shè)定σx=40 MPa，σy=12 MPa，σz=20 MPa，C=2 MPa，v=0.25，R=2 m，分別將φ為29°,30°,31°,32°,33°,34°,35°,36°代入式(7)，得不同內(nèi)摩擦角時(shí)的圍巖頂?shù)装?、翼角、兩幫塑性區(qū)尺寸以及塑性區(qū)形態(tài)如圖13所示。

圖13 內(nèi)摩擦角對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性影響分析Fig.13 Analysis of the influence of internal friction angle on the stability of roadway surrounding rock

從圖13 點(diǎn)線圖分析可知，巷道頂?shù)装?、翼角以及兩幫的圍巖塑性區(qū)尺寸與內(nèi)摩擦角呈反比關(guān)系。隨著黏聚力的增加，3 個(gè)位置的圍巖塑性區(qū)尺寸呈不同速率變化，頂?shù)装宓乃苄詤^(qū)尺寸減小幅值為20.92%，12.82%，9.48%，2.90%，1.68%，1.58%，1.49%，翼角處的塑性區(qū)尺寸減小幅值為31.21%，20.27%，15.72%，12.86%，2.86%，2.70%，2.54%，兩幫的塑性區(qū)尺寸減小幅值為3.23%，3.13%，3.04%，2.94%，2.85%，2.75%，2.65%。從減小幅值可以看出，隨著內(nèi)摩擦角的增大，3 個(gè)位置中翼角處敏感性最大，頂?shù)装宕沃?，兩幫最小。且同一?nèi)摩擦角下，三者之間的塑性區(qū)尺寸始終為翼角＞頂?shù)装澹緝蓭汀臉O坐標(biāo)圖中可以看出，內(nèi)摩擦角較小時(shí)，蝶葉隨著內(nèi)摩擦角的增加退化速率較快，內(nèi)摩擦角較大時(shí)，蝶葉退化速率逐漸減小。因此，內(nèi)摩擦角越大，圍巖的穩(wěn)定性越好。

3.3 半徑R 對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

為分析巷道半徑R對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，設(shè)定σx=40 MPa，σy=12 MPa，σz=20 MPa，C=2 MPa，φ=30°，v=0.25，分別將R為2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5 m代入式(7)，得不同巷道半徑時(shí)的圍巖頂?shù)装濉⒁斫?、兩幫塑性區(qū)尺寸以及塑性區(qū)形態(tài)如圖14 所示。

圖14 巷道半徑對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性影響分析Fig.14 Analysis of the influence of roadway radius on the stability of roadway surrounding rock

由圖14 左側(cè)點(diǎn)線圖可以看出，巷道頂?shù)装?、翼角以及兩幫的巷道圍巖塑性區(qū)尺寸與巷道半徑R呈正相關(guān)關(guān)系，且隨著半徑R 的增加，3 個(gè)位置處的敏感性大小排序?yàn)橐斫牵卷數(shù)装澹緝蓭?。頂?shù)装濉⒁斫翘?、兩? 個(gè)位置處的圍巖塑性區(qū)增幅均為25.00%，20.00%，16.67%，14.29%，12.50%。從極坐標(biāo)圖可以看出，隨著半徑R的增加，蝶葉塑性區(qū)形態(tài)呈均勻擴(kuò)展。因此，巷道斷面越大，圍巖的塑性破壞越大，頂板發(fā)生冒頂?shù)母怕示驮酱蟆?/p>

3.4 泊松比v 對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

由2.2 節(jié)分析可知，σy對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響區(qū)域可分為軸向應(yīng)力影響區(qū)和軸向應(yīng)力無影響區(qū)，在軸向應(yīng)力無影響區(qū)內(nèi)，圍巖塑性區(qū)尺寸與平面應(yīng)變下的蝶形破壞方程式(4)計(jì)算結(jié)果一致，由式(4)可知，泊松比v對(duì)巷道圍巖的塑性區(qū)邊界沒有任何影響，由此可知，在軸向應(yīng)力影響區(qū)域內(nèi)，泊松比v不會(huì)對(duì)圍巖的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。

在軸向應(yīng)力影響區(qū)內(nèi)，為分析泊松比對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，設(shè)定σx=40 MPa，σy=12 MPa，σz=20 MPa，C=2 MPa，φ=30°，R=2 m，分別將v為0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5 代入式(7)，得不同巷道泊松比時(shí)的圍巖頂?shù)装濉⒁斫?、兩幫塑性區(qū)尺寸以及塑性區(qū)形態(tài)如圖15 所示。

圖15 泊松比對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性影響分析Fig.15 Analysis of the influence of Poisson ' s ratio on the stability of roadway surrounding rock

由圖15 左側(cè)點(diǎn)線圖分析可知，巷道頂?shù)装?、翼角以及兩幫的巷道圍巖塑性區(qū)尺寸受泊松比影響會(huì)呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì)，隨著泊松比的不斷增加，頂?shù)装宓膰鷰r塑性區(qū)尺寸呈先急劇減小后緩慢下降，在v=0.4 和0.5 時(shí)塑性區(qū)尺寸均為2.91 m，兩幫的圍巖塑性區(qū)尺寸在v=0、0.1、0.2 時(shí)保持一致，均為2.44 m，從v=0.2 開始塑性區(qū)尺寸不斷增加，翼角處的塑性區(qū)尺寸不受泊松比的影響，塑性區(qū)值恒為5.33 m，是因?yàn)樵谑剑?）中，當(dāng)θ=45°時(shí)，余弦函數(shù)的值為0，軸向應(yīng)力僅受σy值的影響。由極坐標(biāo)圖分析可知，隨著泊松比的不斷增加，圍巖較小應(yīng)力（σz）方向的塑性區(qū)尺寸不斷減小，較大應(yīng)力（σx）方向的塑性區(qū)尺寸逐漸增加。因此，當(dāng)泊松比較小時(shí)，巷道冒頂?shù)母怕瘦^大，要特別注重對(duì)巷道頂板及翼角處的支護(hù)。

綜合文章的第2 章第3 部分的分析來看，側(cè)壓系數(shù)、黏聚力、內(nèi)摩擦角、巷道設(shè)計(jì)半徑、泊松比等因素對(duì)巷道圍巖的穩(wěn)定性不盡相同。當(dāng)側(cè)壓系數(shù)較小時(shí)，圍巖塑性區(qū)形態(tài)為圓形、橢圓形形態(tài)，側(cè)壓系數(shù)較大時(shí)圍巖塑性區(qū)形態(tài)會(huì)呈現(xiàn)蝶形形態(tài)，即側(cè)壓系數(shù)為影響巷道圍巖穩(wěn)定性的先決條件。內(nèi)摩擦角、黏聚力在合理參數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，巷道最大塑性區(qū)尺寸先呈指數(shù)型變化而后轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性變化；巷道半徑及泊松比在變化過程中最大破壞半徑呈線性變化。黏聚力C、內(nèi)摩擦角φ、泊松比v、巷道半徑R為影響巷道圍巖穩(wěn)定性的主要條件。

4 對(duì)工程實(shí)踐的指導(dǎo)

研究了軸向應(yīng)力對(duì)巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，當(dāng)水平側(cè)壓及軸向側(cè)壓較大（較?。r(shí)，圍巖的塑性破壞范圍較大。研究可從以下2 個(gè)方面指導(dǎo)工程實(shí)踐。

4.1 巷道取向判據(jù)

在深部開采條件下，巷道布置的方向?qū)鷰r的變形破壞具有很大影響，甚至在一定程度上超過支護(hù)本身造成的影響[20]。因此要依靠正確調(diào)整巷道方向與應(yīng)力場(chǎng)方向的關(guān)系，削減構(gòu)造應(yīng)力對(duì)圍巖穩(wěn)定的影響。

當(dāng)巷道旋轉(zhuǎn)一定角度后受力分析如圖16 所示。假設(shè)巷道沿Y軸布置，巷道初始軸向與σy平行，α為巷道旋轉(zhuǎn)角，即σy與巷道軸向的夾角為垂直巷道幫部的應(yīng)力為平行巷道軸向的應(yīng)力。

圖16 巷道軸向旋轉(zhuǎn)α 角度后受力分析Fig.16 Stress analysis chart of roadway after axial rotation α angle

因此在巷道掘進(jìn)前，可根據(jù)地應(yīng)力測(cè)試結(jié)果，依據(jù)三向應(yīng)力塑性區(qū)方程確定較優(yōu)的巷道布置方向，避免巷道布置在蝶形應(yīng)力環(huán)境區(qū)域。

4.2 巷道災(zāi)害預(yù)測(cè)及治理

可依據(jù)理論公式判斷某種三向應(yīng)力環(huán)境下的圍巖塑性區(qū)形態(tài)，若圍巖的塑性破壞產(chǎn)生蝶形塑性區(qū)，要對(duì)蝶葉擴(kuò)展部位進(jìn)行加強(qiáng)支護(hù)。此外當(dāng)巷道不可避免的布置在高偏應(yīng)力環(huán)境時(shí)，要通過工程手段如高應(yīng)力方向卸荷等來改善圍巖的應(yīng)力環(huán)境。

5 結(jié)論

1）在相同軸向側(cè)壓不同水平側(cè)壓條件下，巷道圍巖塑性區(qū)尺寸變化分為遲鈍區(qū)和敏感區(qū)，且不同水平側(cè)壓下圍巖的塑性破壞會(huì)呈現(xiàn)圓形、橢圓形及蝶形3 種形態(tài)。

2）在相同水平側(cè)壓不同軸向側(cè)壓條件下，圍巖的塑性區(qū)尺寸變化呈現(xiàn)強(qiáng)烈的區(qū)間效應(yīng)，基于平面應(yīng)變求解下的塑性區(qū)尺寸將影響區(qū)間分為軸向應(yīng)力影響區(qū)和軸向應(yīng)力無影響區(qū)，在軸向應(yīng)力影響區(qū)內(nèi)，軸向側(cè)壓隨圍巖的塑性區(qū)尺寸影響很大，充分說明了軸向應(yīng)力的重要性。

3）水平側(cè)壓對(duì)圍巖塑性破壞的尺寸影響較大，軸向側(cè)壓對(duì)塑性破壞的形態(tài)幾乎無影響，對(duì)塑性區(qū)尺寸影響較大。

4）巷道圍巖的黏聚力、內(nèi)摩擦角越大，圍巖各個(gè)位置的塑性區(qū)尺寸越小，冒頂風(fēng)險(xiǎn)越低。圍巖的塑性區(qū)尺寸會(huì)隨著巷道半徑的增加呈等差數(shù)列增長(zhǎng)。在軸向應(yīng)力無影響區(qū)內(nèi)，巷道圍巖的塑性區(qū)尺寸不會(huì)受到泊松比的影響，在軸向應(yīng)力影響區(qū)內(nèi)，翼角處的塑性區(qū)尺寸恒為定值，隨著泊松比的增加，圍巖塑性破壞向圍壓較大一側(cè)方向擴(kuò)展。