周 盼 姚建濤,2 朱坤明 張軒浩

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室, 秦皇島 066004;2.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室, 秦皇島 066004)

0 引言

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的特點要求農(nóng)業(yè)機器人具有適應(yīng)非工作環(huán)境和抓取非合作目標能力。與傳統(tǒng)剛性連桿機器人相比,連續(xù)型機器人具有更好的靈活性、柔順性和人機安全性,在非結(jié)構(gòu)化環(huán)境作業(yè)和非合作目標操作方面具有顯著的性能優(yōu)勢,可應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)[1-2]、微創(chuàng)手術(shù)[3-11]、核反應(yīng)裝置維修[12]、搜索與救援[13-14]和空間探測[15-17]等領(lǐng)域。目前,其結(jié)構(gòu)主要包括單骨干[1,2,6,8-10,18-22]、同心管[7,23]和多骨干形式[5,24-29]。驅(qū)動方式主要為氣動人工肌肉[14,24,30-33]、繩索驅(qū)動[1,2,6,8-10,12,19,20]、桿驅(qū)動[3,5,26-28]、電活性聚合物[4,17,34-39]、形狀記憶合金[1,21,40-47]和磁驅(qū)動[11,48-51]。其中,繩索驅(qū)動的單骨干連續(xù)型機器人具有結(jié)構(gòu)緊湊、驅(qū)動精度高以及負載能力較大等優(yōu)點,可應(yīng)用于農(nóng)業(yè)采摘、醫(yī)療檢查、微創(chuàng)手術(shù)以及復(fù)雜腔體設(shè)備的檢測[1,2,8-10]。

單骨干連續(xù)型機器人的骨干結(jié)構(gòu)與其建模難度、運動靈巧度、輕量性以及負載能力緊密相關(guān)。從中間骨干的結(jié)構(gòu)形式出發(fā),與經(jīng)典的周向分布一系列圓盤的圓形彈性體的結(jié)構(gòu)形式不同,提出了由多個剛?cè)彳涶詈辖Y(jié)構(gòu)的仿生魚骨單元垂直交叉串聯(lián)而成的中間骨架構(gòu)成的連續(xù)型機器人[52]。該機器人結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、靈活性高,具有更精確的理論模型以及規(guī)則和可控的變形。前期進行了結(jié)構(gòu)設(shè)計、樣機制作、運動學(xué)分析以及應(yīng)用演示。

基于常曲率假設(shè)的建模方法常用于分析連續(xù)型機器人沒有外部載荷時的變形情況。對于連續(xù)型機器人被繩索驅(qū)動并且受到外部負載時,應(yīng)探索可變曲率連續(xù)型機器人模型來提高建模精度。目前,基于近似的方法包括分段恒定曲率模型[19,53-55]、Bézier曲線擬合[6]和偽剛體模型[56]等。這些模型使用有限數(shù)量的變量近似模擬連續(xù)型機器人的形狀,以降低形狀的維數(shù)。另外,GRAVAGNE等[57-59]為受平面內(nèi)載荷的平面連續(xù)機器人的靜力學(xué)和動力學(xué)提供了一個基于能量的綜合模型。Cosserat桿理論顯示出具有作為描述連續(xù)體機器人變形的通用工具的潛力,已用于預(yù)測肌腱驅(qū)動的連續(xù)機器人[60]和預(yù)彎曲的同心管[61]中心骨干的形狀。本文不僅考慮連續(xù)型機器人與繩索連接點處力矩,還考慮連接點力和繩索沿骨干長度對其施加的分布力和分布力矩,以及外部負載和外部力矩,對仿生魚骨連續(xù)型機器人進行靜力學(xué)分析。建立仿生魚骨連續(xù)型機器人運動模塊的Cosserat-rod模型與驅(qū)動繩索的Cosserat-string模型,將兩種模型進行耦合,考慮剛性魚骨片、柔性彈性片以及軟繩索之間的耦合作用,得到運動模塊受到不同繩索驅(qū)動力和不同外部載荷時的變形。

1 仿生魚骨單元的Cosserat-rod模型

為了描述仿生魚骨連續(xù)型機器人在三維空間的變形,首先基于Cosserat理論建立仿生魚骨單元的運動學(xué)以及靜力學(xué)模型,然后用本構(gòu)方程將運動學(xué)變量與力學(xué)參數(shù)相關(guān)聯(lián),進而可得到仿生魚骨單元在不同驅(qū)動力和不同尖端載荷下的彎曲變形。

1.1 仿生魚骨單元運動學(xué)模型

仿生魚骨單元由外側(cè)布置有十字形薄板的純軟套內(nèi)嵌彈性片組成[52]。為了描述仿生魚骨單元的的Cosserat-rod模型,把仿生魚骨單元看作是均勻的片狀結(jié)構(gòu),如圖1所示,其上任意一點的位置可表示為

p(s)=x(s)e1+y(s)e2+z(s)e3

(1)

定位的材料點s其方向由系在其上的正交單位向量d2和d3共同給出。d1=d2d3垂直于橫截面,但由于剪切變形的影響d1不一定平行于中心曲線的切線。

引入旋轉(zhuǎn)矩陣R(s)∈SO(3),則仿生魚骨單元的位姿可以描述為

(2)

以仿生魚骨單元無限小的微元部段為研究對象,本地坐標平移變化和方位變化描述為

(3)

(4)

全局坐標下速度向量和角速度向量為

v(s)=R(s)v(l)(s)

(5)

u(s)=R(s)u(l)(s)

(6)

由速度和位移關(guān)系可得

(7)

(8)

由于角速度可引起方位的改變,可得

(9)

(10)

其中

且定義仿生魚骨單元變形前的位姿為g*(s),相關(guān)運動學(xué)參數(shù)為R*(s)、v*(s)、u*(s)、v(l)*(s)和u(l)*(s)。

1.2 仿生魚骨單元靜力學(xué)模型

選取仿生魚骨單元點c與點s之間的σ段進行分析,受力示意圖如圖2所示。n(s)表示仿生魚骨單元的遠端部段(從點s到其尾端)對σ段的力,n(c)表示仿生魚骨單元的近端部段對σ段的力(從初始端到點c)。同理,存在力矩m(s)和m(c)。f(σ)和l(σ)表示作用在點集σ上的分布力和分布力矩。則力/力矩平衡方程為

圖2 仿生魚骨單元的受力示意圖Fig.2 Force diagram of bioinspired fishbone unit

(11)

(12)

式(11)、(12)兩邊對s求導(dǎo)得

(13)

(14)

1.3 運動學(xué)變量與力學(xué)參數(shù)映射規(guī)律

n(s)=R(s)Kse(s)(v(l)(s)-v(l)(s))

(15)

m(s)=R(s)Kbt(s)(u(l)(s)-u(l)*(s))

(16)

其中

Kse(s)=diag(ke1,ks1,ks2)
Kbt=diag(kt1kb1kb2)ke1=EAT
ks1=ks2=GATkt1=GJ
kb1=EI1kb2=EI2

式中Kse——剪切和拉伸剛度矩陣

Kbt——彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度矩陣

1.4 等式構(gòu)建與變換

將式(15)代入式(13)得

?s(R(s)Kse(s)(v(l)(s)-v(l)(s)))+f(s)=0

(17)

通過求解得

(18)

將式(8)、(15)、(16)代入式(14)得

?s(RKbt(u(l)-u(l)*))+
Rv(l)×RKse(v(l)-v(l)*)+I=0

(19)

通過求解得

(20)

2 驅(qū)動繩索Cosserat-string模型

驅(qū)動繩索Cosserat-string模型的建立基于以下兩個假設(shè):假設(shè)繩索與機器人上的繩索導(dǎo)向孔之間為無摩擦接觸。假設(shè)繩索位于繩索導(dǎo)向孔中間位置并保持不變。

作用在仿生魚骨單元上的分布力f和分布力矩l可分為由真正的外部載荷引起的分布力fa和分布力矩la以及由繩索約束所引起的分布力fb和分布力矩lb,則

f=fa+fb

(21)

l=la+lb

(22)

為了推導(dǎo)fb和lb,首先建立驅(qū)動繩索的運動學(xué)模型。

2.1 驅(qū)動繩索運動學(xué)模型

如圖3所示,繩索穿過仿生魚骨單元的十字形薄板上的導(dǎo)線孔,沿著機器人長度方向布置。通過描述導(dǎo)線孔的位置即可定義繩索的路徑?？芍趇個驅(qū)動繩的導(dǎo)向孔在局部坐標系下位置可表示為

圖3 仿生魚骨單元驅(qū)動繩的受力示意圖Fig.3 Force diagram of driving cable of bioinspired fishbone unit

(23)

進一步,可得到仿生魚骨單元未變形時,第i個驅(qū)動繩的導(dǎo)向孔在全局坐標系下的位置為

(24)

則仿生魚骨單元在驅(qū)動繩索的作用下產(chǎn)生變形時,第i個驅(qū)動繩的導(dǎo)向孔在全局坐標系下的位置為

pi=Rri+p

(25)

2.2 驅(qū)動繩索靜力學(xué)模型

參考式(13),可得驅(qū)動繩索的內(nèi)力導(dǎo)數(shù)公式為

(26)

式中fi(s)——魚骨單元在第i個繩索上的分布力

ni(s)——驅(qū)動繩索內(nèi)力

O——零矩陣

繩索只能承受張力,用ti(s)來表示,其內(nèi)力方向始終平行于繩子曲線pi(s)處的切線,則得

(27)

其中由于模型建立基于無摩擦接觸假設(shè),ti(s)在沿繩方向上大小不變。

將式(27)代入式(26),整理可得作用在繩索上的分布力為

(28)

3 仿生魚骨單元與驅(qū)動繩索耦合模型

3.1 耦合模型隱式表達

根據(jù)推導(dǎo)的繩索上的分布力,可得驅(qū)動繩索作用在仿生魚骨單元上的分布力fb和分布力矩Ib。首先根據(jù)式(28),可得

(29)

驅(qū)動繩索作用在仿生魚骨單元主干形心處的分布力矩是每個力臂與每個分布力的交叉乘積之和。因此

(30)

如圖3所示,在本樣機中,仿生魚骨單元的主干與繩索同步彎曲,pi-p與fi的方向平行,所以Ib=0。

將式(28)代入式(29)可得

(31)

為了用運動單元的運動學(xué)變量v(l)、u(l)、R和p來表示分布力fb和分布力矩Ib,將式(28)兩邊對s進行求導(dǎo)得到

(32)

(33)

將式(32)、(33)代入式(31),然后將結(jié)果經(jīng)過式(21)代入式(18),并將Ib=0經(jīng)式(22)代入式(20),即可得一組隱式微分方程來表示仿生魚骨單元與驅(qū)動繩索的耦合模型。

3.2 耦合模型顯式表達

為了得到仿生魚骨單元與驅(qū)動繩索的耦合模型的顯式表達,將式(32)、(33)寫成局部坐標下的形式,則得到

(34)

(35)

根據(jù)式(31)fb可以表示為

(36)

其中

將式(36)和Ib=0代入式(18)、(20),并對其進行整理得到

(37)

(38)

(39)

(40)

進而仿生魚骨單元與驅(qū)動繩索的耦合模型的顯式表達為

(41)

4 運動模塊靜力學(xué)分析

運動模塊由兩級仿生魚骨單元垂直交叉串聯(lián)而成,在布置時第一級仿生魚骨單元執(zhí)行左右彎曲以減少由其重量引起的自身結(jié)構(gòu)的變形,對兩級仿生魚骨單元進行分步分析。

4.1 第1級仿生魚骨單元靜力學(xué)分析

首先對第1級仿生魚骨單元進行分析。全局坐標系和局部坐標系的建立如圖4所示?；谝陨蠈Ψ律~骨單元的分析,很容易得到

圖4 運動模塊的空間位姿描述Fig.4 Spatial position and posture of motion module

p1(s)=x1(s)e1+y1(s)e2+z1(s)e3

(42)

(43)

(44)

(45)

第1級彎曲單元尖端的位置O2為

O2=T1(S1)D1

(46)

其中

式中d1——第1級彎曲單元尖端連接件厚度

如圖4所示,第1級仿生魚骨單元靜力學(xué)分析的邊界條件為

(47)

(48)

n1(S1)=N1(S1)

(49)

m1(S1)=M1(S1)

(50)

N1(S1)為第1級仿生魚骨單元尖端所受的力,包括兩項:一項是其末端所受的繩索的拉力,記為F1;另1項為其尖端連接件與第2級仿生魚骨單元以及其尖端負載的重力和,記為G1。M1(S1)為第1級仿生魚骨單元的末端所受力矩。

4.2 第2級仿生魚骨單元靜力學(xué)分析

對運動模塊的第2級仿生魚骨單元進行分析,可得

p2(s)=x3(s)e1+y3(s)e2+z3(s)e3

(51)

(52)

(53)

(54)

其中

式中t2i——第2級魚骨單元尖端所受繩子拉力

S2——第2級魚骨單元彎曲部分的長度

運動模塊尖端位置為

O4=T2(S2)D2

(55)

其中

式中d2——第2級彎曲單元尖端連接件厚度

如圖4所示,第2級仿生魚骨單元靜力學(xué)分析的邊界條件為

(56)

R2(0)=R1(S1)

(57)

n2(S2)=N2(S2)

(58)

m2(S2)=M2(S2)

(59)

式中N2(S2)——第2級仿生魚骨單元尖端所受的力,包括兩項,一項是其末端所受的繩索拉力,記為F2;另一項為其尖端連接件與第2級仿生魚骨單元重力和,記為G2

M2(S2)——第2級魚骨單元末端所受力矩

5 連續(xù)體機器人靜力學(xué)模型實驗驗證

如圖5a所示,仿生魚骨單元外側(cè)為布置有十字形薄板的純軟套,內(nèi)側(cè)嵌有柔性彈性片。內(nèi)嵌彈性片的材料為65Mn,彈性模量E=210 GPa,泊松比ν=0.3,剪切模量G=E/(1+ν),魚骨單元彎曲部分的長度S1=S2=50 mm,寬b和厚度h分別為 23 mm 和0.3 mm。橫截面AT=bh=6.9 mm2,截面二次軸矩I11=304.175 mm4,I12=0.051 75 mm4,極慣性矩J1=304.226 75 mm4,截面二次軸矩I21=0.051 75 mm4,I22=304.175 mm4,極慣性矩J2=304.226 75 mm4。

圖5 仿生魚骨連續(xù)型機器人樣機以及操作實驗Fig.5 Prototype and operation experiment of bioinspired fishbone continuum robot

實驗過程中,將仿生魚骨單元水平放置,依次在其尖端掛50、150、250、350、450、550 g砝碼,其尖端連接件質(zhì)量為15.46 g,通過兩組裝有激光定位器的可移動電子尺模塊來記錄其彎曲形狀,如圖6所示。與理論模型所得到的彎曲形狀進行比較,如圖7所示。實驗數(shù)據(jù)沿著整個機器人長度接近模型預(yù)測,并且誤差沿著機器人長度逐漸增加,因此機器人尖端誤差可以用來衡量模型精確度。計算式為

圖6 運動模塊的測量裝置Fig.6 Measuring device of motion module

圖7 一節(jié)仿生魚骨單元彎曲曲線實驗值與理論值對比Fig.7 Experimental and theoretical comparison of bending curves of bioinspired fishbone unit

(60)

式中pt1(s)——第1節(jié)仿生魚骨單元彎曲曲線s處的理論位置坐標

pe1(s)——第1節(jié)仿生魚骨單元彎曲曲線s處的實驗位置坐標

通過長度方向的誤差對比可得,隨著仿生魚骨單元尖端的負載增加,理論模型結(jié)果的誤差也隨之增加,最大誤差為1.07 mm。可得單節(jié)仿生魚骨單元的形狀模型精度較高,在尖端負載為565.46 g時,誤差為仿生魚骨單元總長度的2.13%。

在實驗過程中,在對第1級仿生魚骨單元一側(cè)驅(qū)動繩索依次施加5、10 N的拉力情況下,對第2級仿生魚骨單元的一側(cè)驅(qū)動繩索依次施加3、6、9 N 的拉力,其尖端連接盤的質(zhì)量為15.46 g,然后用如圖6所示的裝置來記錄運動模塊的彎曲曲線,并與理論模型結(jié)果進行對比,如圖8所示?？梢钥闯?運動模塊的變形曲線理論與實驗結(jié)果一致性也很高。隨著驅(qū)動繩索的驅(qū)動力的增加,理論值誤差也隨之增加。第2級仿生魚骨單元的預(yù)測變形誤差需大于第1級仿生魚骨單元的預(yù)測變形誤差。原因是由于在第2級仿生魚骨單元的變形分析中,起始坐標為第1級仿生魚骨單元的尖端預(yù)測坐標,與實際位置坐標存在著誤差,故導(dǎo)致第2級仿生魚骨單元的預(yù)測變形誤差增加。最大誤差為1.5 mm,為運動模塊總長度的1.2%。

圖8 運動模塊的彎曲曲線實驗值與理論值對比Fig.8 Experimental and theoretical comparison of bending curves of motion module

如圖5b、5c所示,仿生魚骨連續(xù)型機器人由控制系統(tǒng)與機械臂組成,而機械臂由2個運動模塊垂直交叉串聯(lián)而成。將機器人安裝于移動小車上可擴大其運動空間。該機器人具有良好的靈活性,如 圖5d 所示,其可以靈活地完成繞球運動。

6 結(jié)束語

基于Cosserat理論對剛?cè)彳涶詈辖Y(jié)構(gòu)的仿生魚骨連續(xù)型機器人進行了靜力學(xué)建模。所建立的理論模型考慮了連續(xù)型機器人的剛性魚骨片、柔性彈性片、與軟繩索之間的耦合作用和自身重力,得到了機器人在繩索的拉力,繩索對仿生魚骨單元骨干作用的分布力和分布力矩,以及外部負載和力矩作用下的變形。并且實驗驗證了所建立模型的準確性。模型誤差隨著魚骨單元變形變大而增加,隨著仿生魚骨單元的節(jié)數(shù)的增加,模型的預(yù)測誤差也隨之增加。兩節(jié)垂直交叉布置的魚骨單元串聯(lián)而成的運動模塊的尖端坐標的預(yù)測誤差,最大為1.5 mm,為運動模塊總長度的1.2%。