南京市燕子磯中學(xué)(210038)盧榮亮

江蘇省南京市教學(xué)研究室(210001) 龍艷文

筆者認(rèn)為內(nèi)容單一的試題已經(jīng)承載不了高考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的考察使命.高考數(shù)學(xué)未來(lái)的命題趨勢(shì)定是把多個(gè)模塊的內(nèi)容綜合在一道試題里,因?yàn)檫@樣更有助于選拔具有數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新型人才.筆者最近在學(xué)習(xí)與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的內(nèi)容時(shí),發(fā)現(xiàn)近些年高考數(shù)學(xué)關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)方面的試題常與函數(shù)或數(shù)列進(jìn)行結(jié)合,這恰恰佐證了上述觀點(diǎn).

那么接下來(lái)的問(wèn)題自然而然就是關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)方面的命題如何與其它內(nèi)容進(jìn)行融合呢? 筆者做了一點(diǎn)嘗試,現(xiàn)在與大家分享.

1.融合數(shù)列的概率統(tǒng)計(jì)命題思考

高中概率統(tǒng)計(jì)的命題工作于筆者而言,一開始最大的難點(diǎn)是它的背景到哪里找? 為了命出一點(diǎn)新意,筆者并沒(méi)有打算參照以往的?？荚囶},而是直接從書本里尋找.這么多概率統(tǒng)計(jì)方面的書,到底選哪幾本呢? 由于筆者打算通過(guò)自己命制的試題提升學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣, 于是選擇了與“趣味”有關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)方面的書籍進(jìn)行學(xué)習(xí).筆者在學(xué)習(xí)文[1]時(shí),發(fā)現(xiàn)能夠檢驗(yàn)數(shù)據(jù)真假的本福特定律,并覺(jué)察到這一塊內(nèi)容可以下放到高中試題里,從而命制了下面一道題.

題目1(原創(chuàng))美國(guó)物理學(xué)家本福特于1938 年對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中來(lái)自各個(gè)領(lǐng)域的20229 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:設(shè)X 為數(shù)據(jù)中的首位數(shù)字,它的分布列為

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

其中{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn= lg(n+ 1),n=1,2,··· ,9.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的數(shù)學(xué)期望E(X).(結(jié)果精確到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

解析(1)由Sn= lg(n+1)得a1= lg 2; 又當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1= lgn,所以;經(jīng)檢驗(yàn),n=1 時(shí)符合上式;綜上,.

在命制這道題的過(guò)程中,剛開始實(shí)際上只有一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列,然后求E(X).這里面就有兩個(gè)問(wèn)題,其一是這個(gè)數(shù)學(xué)期望好求嗎? 其二是這個(gè)問(wèn)題過(guò)于單薄,不足以支撐一道試題.為了豐富題目的內(nèi)涵,于是筆者嘗試將條件變得含蓄一點(diǎn),通過(guò)Sn= lg(n+1)間接得出,這就考察了與數(shù)列相關(guān)的知識(shí).由于在求期望的過(guò)程中,關(guān)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的要求比較高,于是就出了較為簡(jiǎn)單一點(diǎn)的第(2)問(wèn),這樣一來(lái),題目有了梯度,各個(gè)層次的學(xué)生都有相應(yīng)難度的題與之對(duì)應(yīng).

本道試題還可以有下面的變式:

題目1A(變式)美國(guó)物理學(xué)家本福特于1938 年對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中來(lái)自各個(gè)領(lǐng)域的20229 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律: 設(shè)X為數(shù)據(jù)中的首位數(shù)字,它的分布列為

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

(1)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的數(shù)學(xué)期望E(X).(結(jié)果精確到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

注本福特定律是指從實(shí)際生活中得出的大量數(shù)據(jù), 符合如下規(guī)律: 首位數(shù)字n出現(xiàn)的概率可以用函數(shù)擬合,其中數(shù)據(jù)的量越大、范圍越廣,擬合的效果越好.這一結(jié)論雖尚未被嚴(yán)格證實(shí),但在諸多生活實(shí)踐中,均是正確的.為此我們常用本福特定律檢驗(yàn)一些數(shù)據(jù)是否造假,如股票市場(chǎng)分析、檢驗(yàn)選舉投票欺詐行為等.

2.融合函數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)命題思考

筆者在學(xué)習(xí)文[2]和文[3]中的拿錯(cuò)信封問(wèn)題: 有n個(gè)人,每人寫一封信,均勻混合在一起,再隨機(jī)取一封,求拿到別人寫的信的情況,并結(jié)合研究2021 年高考全國(guó)Ⅱ卷第21題的心得,命制出下面一道試題:

題目2(原創(chuàng))4 人參加考試,在考試前要求把手機(jī)放入考場(chǎng)外的手機(jī)袋中.手機(jī)袋編號(hào)為1,2,3,4,而4 位考生的編號(hào)也為1,2,3,4.4 個(gè)人隨機(jī)地把手機(jī)放入4 個(gè)袋子中,一個(gè)袋子里只能放一部手機(jī),若第i號(hào)考生將手機(jī)放入i號(hào)袋子中,稱為一個(gè)配對(duì).記an為有且僅有n個(gè)配對(duì)成功的概率(n=0,1,2,3,4),P為方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x的一個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求4 個(gè)人中至少配對(duì)成功一個(gè)的概率;

(2)記隨機(jī)變量X為配對(duì)成功的個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(3)求證方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一的實(shí)數(shù)根,并求P.

解析(1)設(shè)4 個(gè)人中至少配對(duì)成功一個(gè)為事件A, 則.

(2)X= 0,1,2,4,,則

X 0 1 2 3 4 P 3 8 1 3 1 4 0 1 24

(3) 構(gòu)造g(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4-x,注意到a3= 0,則g(x) =a0+a1x+a2x2+a4x4-x,即g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1.

注意到g(1) = 0,g(0) =a0> 0,g′(1) = 0.則當(dāng)x≤0時(shí),g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1<0,所以g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,因此g(x)≥g(0)>0.

當(dāng)x>0 時(shí),g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,即g(x)在(0,1)上g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x) > 0,即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=0.

綜上,方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一實(shí)根1.據(jù)題設(shè)得知P=1.

這道試題是經(jīng)典的裝錯(cuò)信封問(wèn)題,但考察數(shù)學(xué)期望以往并沒(méi)有出現(xiàn)過(guò),原本試題到這里就可以結(jié)束了,可考慮到要和函數(shù)結(jié)合,于是就出了第(3)問(wèn),這一問(wèn)的靈感來(lái)自2021年高考全國(guó)Ⅱ卷第21 題,由于E(X)恰好等于1,利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),發(fā)現(xiàn)其只能有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)根.美中不足的是這個(gè)方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的實(shí)際意義尚未發(fā)現(xiàn),不過(guò)如果要把4 個(gè)人推廣到n個(gè)人,該方程的根就有一定的實(shí)際意義,考慮如下變式:

題目2A(變式)有n人參加某場(chǎng)考試,在考試前要求把手機(jī)放入考場(chǎng)外的手機(jī)袋中.手機(jī)袋編號(hào)為1,2,3,··· ,n,而n個(gè)考生的編號(hào)也為1,2,3,··· ,n.n個(gè)人隨機(jī)地把手機(jī)放入n個(gè)袋子中,一個(gè)袋子里只能放一部手機(jī),若第i號(hào)考生將手機(jī)放入i號(hào)袋子中,稱為一個(gè)配對(duì),記f(n)為一個(gè)都沒(méi)有配對(duì)成功的情況數(shù),an為有且僅有n個(gè)配對(duì)成功的概率.當(dāng)n足夠大時(shí),至少有一個(gè)沒(méi)有配對(duì)成功的概率為P,且P為方程a0+a1x+a2x2+···+akxn=x的一個(gè)正實(shí)數(shù)根.

(1)求an-1,an;

(2)記隨機(jī)變量X為配對(duì)成功的個(gè)數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.

(3)求證方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的正實(shí)數(shù)根是唯一的,并求P.

解析(1)an-1=0,.

(2)X=0,1,2,··· ,n

X 0 1 2 3···n-2 n-1 n P a0 a1 a2 a3···an-2 an-1 an

我們知道n-1 個(gè)考生,對(duì)應(yīng)n-1 個(gè)袋子的所有排列情況是(n-1)!,下面把其分成n類: 有0 個(gè)配對(duì),有1 個(gè)配對(duì),有2 個(gè)配對(duì),···,有n-3 個(gè)配對(duì),有n-2 個(gè)配對(duì)(該種情況不可能),有n-1 個(gè)配對(duì),即

(3)構(gòu)造g(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn-x,則g′(x)=a1+2a2x+···+nanxn-1-1.

注意到g(1)=0,g′(1)=a1+2a2+···+nan-1=0,又g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1),g′(x) < 0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈(1,+∞) 時(shí),g′(x) > 0, 即g(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增, 所以g(x) 的最小值為g(1) = 0, 從而方程a0+a1x+a2x2+ ··· +anxn=x有唯一正實(shí)根1.依題設(shè)得知P=1.

把4 個(gè)人推廣到n個(gè)人,求數(shù)學(xué)期望的過(guò)程中用到了組合數(shù)的性質(zhì),這道題既與函數(shù)結(jié)合,又與組合數(shù)性質(zhì)結(jié)合,這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度.筆者給出的證法有一定新意,比文[3]中的方法更簡(jiǎn)單.實(shí)際上這道題還可以求隨機(jī)變量的方差,難度更大,證明方法源自于文[3],筆者做了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化.

題目2B(變式)在題目2A(2)的基礎(chǔ)上,求隨機(jī)變量X的方差.

解析由文[3]得知:

所以Tn-1=n-2,因此E(X2)=n-(n-2) = 2,從而D(X)=E(X2)-E2(X)=1.

3.融合向量的概率統(tǒng)計(jì)命題思考

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的命題除了和數(shù)列或函數(shù)結(jié)合外,能否與向量進(jìn)行結(jié)合呢? 為什么會(huì)有這樣的想法? 因?yàn)楦怕实姆秶窃?,1 之間,而解三角形中的“雞爪模型”恰恰用到了這樣的數(shù),再結(jié)合文[2]第61 頁(yè)中有關(guān)“烽火戲諸侯”的內(nèi)容,命制下面一道試題:

題目3(原創(chuàng)) 周幽王“烽火戲諸侯”, 失去一個(gè)國(guó); 放羊娃“狼來(lái)了”,丟掉一條命.現(xiàn)在讓我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察這兩句話.設(shè)周幽王可信的概率為P(A), 不可信的概率為P(), 可信的周幽王說(shuō)謊的概率為0.1,不可信的周幽王說(shuō)謊的概率為0.7;其中;

(1)求P(A)和P(ˉA);

(2)周幽王說(shuō)謊的概率為多少?

(3)說(shuō)慌后的周幽王可信度為多少?

解析(1) 因?yàn)?所以P(A)=0.9,P()=0.1.

(2)設(shè)周幽王可信為事件A,說(shuō)謊為事件B,則P(B) =P(B|A)P(A)+P(B|)P()=0.09+0.07=0.16.

這道題里P(A) = 0.9,P() = 0.1,本來(lái)可以直接給出,但是筆者并沒(méi)有這樣做,而是通過(guò)“雞爪模型”間接給出,這樣一方面增加了題目的一點(diǎn)新意,一方面也增加題目的難度.

從以上的命題過(guò)程中,我們不難發(fā)現(xiàn)融合其它內(nèi)容的概率統(tǒng)計(jì)試題,要么在題目條件中直接融合,要么在問(wèn)題中間接融合.在條件中融合,我們可以把信息變換一種方式給出,如“P(A) = 0.9,P() = 0.1”,這一結(jié)論是由雞爪模型得出.在問(wèn)題中融合,我們可以在問(wèn)題中涉及與題目條件高度相關(guān)的“函數(shù)梯度”、“數(shù)列梯度”,如本文中的前兩模塊的內(nèi)容.

概率統(tǒng)計(jì)命題還可以與哪些內(nèi)容進(jìn)行融合呢? 與基本不等式、與立體幾何、與空間向量、與復(fù)數(shù)等等.這些融合只是局限在學(xué)科內(nèi)部,概率統(tǒng)計(jì)命題還可以與其它學(xué)科試題進(jìn)行融合嗎? 每一個(gè)點(diǎn)都值得探究,篇幅所限,本文就探究到這里,有興趣的讀者朋友,有機(jī)會(huì)一起繼續(xù)探究.