廣東省汕頭市潮南區(qū)礪青中學(xué)(515135)鄭燦基

一、高考對“數(shù)列”的考查要求

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要知識模塊之一, 是考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 修訂)》對數(shù)列進(jìn)行了具體要求:“了解數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律,建立通項公式和前n項和公式;能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用;了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會數(shù)學(xué)的整體性.”2023 年高考全國卷數(shù)列試題以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向,以常規(guī)題為主,注重基礎(chǔ)性、綜合性,突出關(guān)鍵能力的考查,重點考查等差數(shù)列和等比數(shù)列、數(shù)列的通項和求和、數(shù)列與其它知識的融合等,考查基本方法的運用以及邏輯思維能力、運算求解能力以及分析問題和解決問題的能力.

二、2023 年高考全國卷中數(shù)列試題的統(tǒng)計分析

筆者選取了2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)ⅠⅠ卷、全國甲卷文理科和全國乙卷文理科進(jìn)行分析,數(shù)列試題的分布如下表:

2023 年全國卷高考數(shù)列試題的考查特征統(tǒng)計

從上表可以發(fā)現(xiàn),具有如下特征:

(1)全國卷中對數(shù)列試題的考查,分值有10 分、12 分和17 分這三類,其中全國甲卷文科和全國乙卷理科的分值都為10 分,以選擇題和填空題的形式進(jìn)行命制;全國乙卷文科的分值為12 分,以解答題的形式進(jìn)行命制;全國卷甲卷文科、全國卷甲卷理科以及新高考Ⅰ卷和新高考ⅠⅠ卷的分值都為17 分,以選擇題和解答題的形式進(jìn)行命制.

(2)大多數(shù)數(shù)列試題屬于常規(guī)題目,難度較易或中等.個別題目如全國乙卷理科第10 題綜合性大,難度較大.

三、2023 年全國卷中數(shù)列試題的評析

1.立足等差和等比模型,重視對雙基的考查

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 修訂)》指出:在數(shù)學(xué)高考命題中,考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線,聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、方法的理解和應(yīng)用,強調(diào)基礎(chǔ)性;注重數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性解法.在數(shù)列版塊中,等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個基本的數(shù)列模型,其通項公式和求和公式是考查的重點,可以有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2023 年全國卷對數(shù)列的考查基本圍繞這一特征進(jìn)行設(shè)計,涉及的比例比較大.

(1)等差數(shù)列基本量的運算和等差數(shù)列的基本性質(zhì)

例1(2023 年高考全國甲卷文科第2 題) 記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=( )

A.25 B.22 C.20 D.15

解法1設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,首項為a1,依題意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8= (a1+3d)(a1+7d) = 45,解得:d= 1,a1= 2,所以.故選C.

解法2a2+a6= 2a4= 10,a4a8= 45,所以a4= 5,a8=9,從而,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.故選C.

例2(2023 年高考全國乙卷文科第18 題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=11,S10=40.

(1)求{an}的通項公式;

(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

解析(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為, 由題意可得即解得所以an=13-2(n-1)=15-2n;

點評例1 和例2 主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì), 前n項和公式, 難度不大, 注重對雙基的考查.其解題策略一般是通過建立關(guān)于a1和d的方程組, 即可求出a1和d, 進(jìn)而可得{an}的通項公式.例2 第(2) 問中, 由于|an| = |15-2n|含有絕對值,需對n分類討論,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng).

例3(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d> 1.令,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.

解析(1) 因為3a2= 3a1+a3, 所以3d=a1+ 2d,解得a1=d, 所以S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d, 又,所以,即2d2- 7d+ 3 = 0, 解得d= 3 或(舍去), 所以an=a1+(n-1)·d=3n.

(2) 因為{bn}為等差數(shù)列, 所以2b2=b1+b3, 即, 所以, 即, 解得a1=d或a1= 2d, 因為d> 1,所以an> 0,又S99-T99= 99,由等差數(shù)列性質(zhì)知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1,所以,即,解得a50=51 或a50=-50(舍去).當(dāng)a1= 2d時,a50=a1+49d= 51d= 51,解得d= 1,與d>1 矛盾,舍去;當(dāng)a1=d時,a50=a1+49d=50d=51,解得.

點評本題第(2)問中,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),注重考查函數(shù)與方程和分類整合思想方法,對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等要求較高.

(2)等比數(shù)列基本量的運算和等比數(shù)列的基本性質(zhì)

例4(2023 年高考全國乙卷理科第15 題)已知{an}為等比數(shù)列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,則a7=____.

解析設(shè){an}的公比為q(q0),則a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,顯然an0,則a4=q2,即a1q3=q2,則a1q=1,因為a9a10= -8, 則a1q8·a1q9= -8, 則q15=(q5)3=-8 = (-2)3,則q5= -2,則a7=a1q·q5=q5= -2,故答案為-2.

例5(2023 年高考全國甲卷理科第5 題) 設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和Sn,若a1=1,S5=5S3-4,則S4=( )

解析由題知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4= 4q+ 4q2, 即q3+q2- 4q- 4 = 0, 即(q- 2)(q+ 1)(q+ 2) = 0.由題知q> 0, 所以q= 2.所以S4=1+2+4+8=15.故選C.

點評例4 和例5 主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,通過建立關(guān)于a1和q的方程組,即可求出a1和q,進(jìn)而解決問題.

例6(2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷第8 題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=( )

A.120 B.85 C.-85 D.-120

解法1設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 首項為a1, 若q= 1, 則S6= 6a1= 3×2a1= 3S2, 與題意不符, 所以q1;由S4=-5,S6=21S2可得,,

由①可得,1+q2+q4=21,解得:q2=4,所以故選C.

方法2設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 因為S4= -5,S6= 21S2, 所以q-1, 否則S4= 0, 與題設(shè)不符.從而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比數(shù)列,所以(-5-S2)2=S2(21S2+5), 解得S2= -1 或.當(dāng)S2= -1 時,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6, 即為-1,-4,-16,S8+ 21,易知,S8+21 = -64, 即S8= -85; 當(dāng)時,S4=a1+a2+a3+a4= (a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2> 0,與S4=-5 矛盾,舍去.故選C.

點評本題滲透方程和分類討論等思想方法,對計算的要求很高,有效考查了數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

2.依托通項和求和題型,彰顯數(shù)列常態(tài)

遞推數(shù)列的通項與求和問題是歷年高考數(shù)列大題的?？伎键c,是考查抽象概括、推理論證、運算求解等關(guān)鍵能力的重要載體.

例7(2023 年高考全國甲卷理科第17 題)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=1,2Sn=nan.

(1)求{an}的通項公式;

解析(1)因為2Sn=nan, 當(dāng)n= 1 時, 2a1=a1, 即a1= 0;當(dāng)n= 3 時,2(1+a3) = 3a3,即a3= 2,當(dāng)n≥2時, 2Sn-1= (n-1)an-1, 所以2(Sn-Sn-1) =nan-(n-1)an-1= 2an,化簡得: (n-2)an= (n-1)an-1,即當(dāng)n≥3 時,.所以

當(dāng)n=1,2 時都滿足上式.所以an=n-1.

兩式相減得:

點評例7 的第(1)問涉及含有an和Sn的關(guān)系式,通過消去Sn得到,再利用累乘法求出an.第(2)問涉及錯位相減法求和.一般地,若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時常采用錯位相減法求和.

3.數(shù)列與其它知識有機整合

(1) 數(shù)列與常用邏輯用語

例8(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第7 題) 記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則( )

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析甲:{an}為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}的首項a1,公差為d,即,則, 因此為等差數(shù)列, 即甲是乙的充分條件; 反之, 乙:為等差數(shù)列, 即, 即Sn=nS1+n(n- 1)D,Sn-1= (n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 當(dāng)n≥2 時, 上兩式相減得:Sn-Sn-1=S1+ 2(n- 1)D, 當(dāng)n= 1 時,上式成立, 于是an=a1+ 2(n- 1)D, 又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數(shù),因此{(lán)an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件.

點評本題利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義, 再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答,要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f明兩者的等價關(guān)系,需要學(xué)生扎實的數(shù)學(xué)功底和邏輯推理、數(shù)學(xué)計算等核心素養(yǎng).

(2)數(shù)列與不等式

例9 (2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷第18 題)已知{an}為等差數(shù)列,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項和,S4=32,T3=16.

(1)求{an}的通項公式;

(2)證明: 當(dāng)n>5 時,Tn>Sn.

解析(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 而則b1=a1- 6,b2=2a2= 2a1+ 2d,b3=a3- 6 =a1+ 2d- 6, 于是解得a1= 5,d= 2,an=a1+ (n- 1)d= 2n+ 3, 所以數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+3.

當(dāng)n>5 時,

因此Tn>Sn.當(dāng)n為奇數(shù)時,

因此Tn>Sn.綜上,當(dāng)n>5 時,Tn>Sn.

點評本題以分段數(shù)列的形式考查數(shù)列的核心知識.本題第(1)問用a1,d表示Sn及Tn,建立方程組即可求出a1,d,求出通項an=2n+3.第(2)問利用(1)的結(jié)論求出Sn,bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn,并利用不等式中比較兩數(shù)大小常用方法——作差法,即將Tn與Sn作差比較大小.本題著重考查了學(xué)生分類整合的能力,對學(xué)生的素養(yǎng)提出了較高的要求.

(3) 數(shù)列與集合、三角函數(shù)

例10(2023 年高考全國乙卷理科第10 題) 已知等差數(shù)列{an}的公差為, 集合S={cosan|n∈N?}, 若S={a,b},則ab=( )

解析依題意,等差數(shù)列{an}中,,顯然函數(shù)的周期為3,而n∈N?,即cosan最多3 個不同取值,因此只需研究cosa1,cosa2,cosa3這三個值.又{cosan|n∈N?}={a,b},因此作如下分析:

①若cosa1=cosa2,則,即.

當(dāng)k為偶數(shù)時,,cosa3= -1,滿足題意, 所以, 所以; 當(dāng)k為奇數(shù)時,,cosa3= 1, 滿足題意, 所以,所以.

③若cosa1= cosa3,即.仿照(1)的做法,當(dāng)k為偶數(shù)時,;當(dāng)k為奇數(shù)時,,所以.

點評本題將等差數(shù)列、集合、三角函數(shù)有機結(jié)合一起,呈現(xiàn)方式比較新穎,考查了學(xué)生對概念的認(rèn)識,綜合分析問題和解決新問題的能力,深入考查學(xué)生探究新問題的能力.

四、備考復(fù)習(xí)建議

1.研讀高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高考真題,把脈高考命題方向

立足高中課程標(biāo)準(zhǔn),研究高考真題,把脈高考命題方向是每位高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行高三復(fù)習(xí)迎考的一項重要工作.從近幾年的高考數(shù)列考查內(nèi)容和方向來分析,變化不大,保持了較高的穩(wěn)定性.建議在數(shù)列復(fù)習(xí)教學(xué)中,以數(shù)列的基本概念、相關(guān)性質(zhì)、通項公式與求和為中心,準(zhǔn)確把握高考命題方向,切記忽略基礎(chǔ)題型的訓(xùn)練.

2.夯實基礎(chǔ),提高數(shù)學(xué)運算能力

高考數(shù)列試題常以等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及綜合運用為主.要熟練掌握求數(shù)列通項公式的常用方法; 會用“基本量思想”求解等差、等比數(shù)列的通項公式;能由具有特定特征的遞推關(guān)系式求解通項公式(如累加法、累乘法等),并會通過“構(gòu)造新數(shù)列”(如加常數(shù)、取倒數(shù)等)研究數(shù)列的通項公式;會利用an與Sn的關(guān)系求通項公式;會用歸納猜想的方法研究數(shù)列的通項公式,并能用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.同時,要理解與掌握求數(shù)列前n項和的方法.會熟練使用公式法、錯位相減、裂項相消、分組求和、奇偶分析和并項求和等方法研究數(shù)列的前n項和.另外,應(yīng)重視運算能力的訓(xùn)練,解題過程中常需通過建立方程求解未知量,因此需要熟練掌握一些常見計算技巧(如因式分解、配方法).若涉及錯位相減求和、奇偶分析和并項求和等方法,計算量會增加,極易出錯,往往需要分析錯因,加強總結(jié).

3.從函數(shù)的角度認(rèn)識數(shù)列,加強數(shù)列與其它知識的聯(lián)系和訓(xùn)練

數(shù)列本身是一個特殊的函數(shù),而且是離散的函數(shù),因而從函數(shù)的角度認(rèn)識和理解數(shù)列是非常有必要的.在解題過程中,可將數(shù)列看成函數(shù)(如將等差數(shù)列的前n項和看成關(guān)于n的二次函數(shù)),這樣就可以利用函數(shù)的思想與方法來處理數(shù)列問題.數(shù)列與其它知識如不等式、三角函數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系也越來越密切,要加強數(shù)列與其它內(nèi)容的綜合訓(xùn)練,注重方法技巧的積累.