廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454)梁世鋒

“課程標(biāo)準(zhǔn)”將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,是新教材數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容,有明確的教學(xué)課時(shí)要求和任務(wù).新教材從內(nèi)容設(shè)置、屬性規(guī)模、數(shù)學(xué)抽象、有層次地設(shè)置各類數(shù)學(xué)建模素材資源及深厚的數(shù)學(xué)育人價(jià)值等信息資源.根據(jù)新教材中對(duì)數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行劃分如下:

建?；顒?dòng) 問題求解問題數(shù)學(xué)化結(jié)果解釋建構(gòu)與簡(jiǎn)化結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化合計(jì)數(shù)量/項(xiàng)32241186485百分比/% 37.728.212.99.47.14.7100.0

如表所示,新教材中的35 個(gè)任務(wù)共考察了85 次建模活動(dòng),其中問題求解是新教材中考察最多的活動(dòng),占總活動(dòng)量的37.7%,數(shù)學(xué)化次之,占28.2%,總的來(lái)說,新教材中所涉及的建?；顒?dòng)覆蓋較全面,注重模型的應(yīng)用能力.但在教學(xué)實(shí)踐中受限于教學(xué)課時(shí)、課堂實(shí)效、建模素材選取的便利性、考題導(dǎo)向以及數(shù)學(xué)建模教學(xué)定位與價(jià)值認(rèn)識(shí)模糊等因素,在教學(xué)實(shí)踐中存在不少現(xiàn)實(shí)困境.如何編制有利于建模教學(xué)的習(xí)題或試題是值得探究的問題.

1 關(guān)于維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”的理論概述

維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論的基本觀點(diǎn)是學(xué)生發(fā)展有兩種水平: 一是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平,表現(xiàn)為學(xué)生具備獨(dú)立解決問題的智力水平;二是他可能達(dá)到的發(fā)展水平.

在這種水平下學(xué)生需要借助導(dǎo)師引導(dǎo)、幫助,才能解決問題.這兩種發(fā)展水平之間的距離定義為最近發(fā)展區(qū).我們可以用圖1 來(lái)形象地說明這個(gè)隱喻性的概念.坐標(biāo)軸的方向表示思維水平的層次,當(dāng)問題的思維水平要求在C以遠(yuǎn),則即使有幫助,該生也不能解決這問題.從坐標(biāo)軸上形象地看,教學(xué)過程就是最近發(fā)展區(qū)AB的移動(dòng)過程.正是由于這樣的移動(dòng),使得原本處于最近發(fā)展區(qū)里的問題,被置于現(xiàn)有發(fā)展水平(區(qū))里.本文試圖從最近發(fā)展區(qū)的理念作為切入點(diǎn),結(jié)合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)發(fā)展水平,選取新教材的數(shù)學(xué)問題或經(jīng)典習(xí)例題開展數(shù)學(xué)模型習(xí)題編制.以案例分析為背景,按照以下框架(圖2)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模問題的編制.

圖1

圖2

2 同源改編,從教材及試題中取材

一般來(lái)說,直接構(gòu)建源于現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)建模問題有難度.實(shí)踐結(jié)果表明,立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)水平,選取課本習(xí)題適當(dāng)內(nèi)容為載體改編成數(shù)學(xué)建模習(xí)題或試題,有利于深化學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解,減輕教師的工作量,是提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果的一種較高效策略,筆者認(rèn)為可從下面的視角改編.

2.1.關(guān)系改編,將定量關(guān)系改編為變量關(guān)系

題源: 人教版新教材必修1若用模型y=ax2來(lái)描述汽車緊急剎車后滑行的距離v與剎車時(shí)的速度x的關(guān)系,而某種型號(hào)的汽車在速度為60 km/h 時(shí),緊急剎車后滑行的距離為20 m,在限速為100 km/h 的高速公路上,一輛這種型號(hào)的車緊急剎車后滑行的距離為50 m,問這輛車是否超速行駛?

數(shù)學(xué)建模問題當(dāng)前交通繁忙,馬路上車水馬龍,怎么保持在公路上安全剎車已經(jīng)成為越來(lái)越重要的問題,那么應(yīng)該怎樣規(guī)范才能使人們?cè)诎踩臈l件下駕駛汽車,請(qǐng)同學(xué)們自由選擇品牌車型,研究汽車的剎車距離模型,并進(jìn)一步為使用該車型里的車主提供安全的駕駛建議.

對(duì)各種影響因素進(jìn)一步分析,初步建立較為完整的數(shù)學(xué)模型.

假設(shè)一.道路狀況、天氣、車輛正常行駛、車輪與路面摩擦系數(shù)等外界條件一致;

假設(shè)二.駕駛員反應(yīng)時(shí)間t1為常數(shù),車輛在反應(yīng)階段作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為v;

假設(shè)三.車輛在制動(dòng)剎車做勻減速直線運(yùn)動(dòng),加速度只與車型相關(guān)(即加速度為常數(shù),制動(dòng)所做的功全部用于車輛動(dòng)能消耗);

假設(shè)四.剎車距離d=反應(yīng)車輛行駛距離d1+車輛制動(dòng)距離d2;

假設(shè)五.制動(dòng)距離d2: 由制動(dòng)器作用力F、車的質(zhì)量m、車速v(制動(dòng)時(shí)的初速度)、道路狀況、天氣狀況相關(guān);

假設(shè)六.剎車時(shí)間用最大動(dòng)力F,F作的功等于汽車動(dòng)能的改變,且F與車的質(zhì)量m成正比.

用現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)公式: 根據(jù)查閱資料,摩擦系數(shù)u與多種因素有關(guān),一般為0.8 左右,雨天可降至0.2 以下,冰面就更低了,假設(shè)u=0.8,車速與剎車距離表(表3)如下:

表3

可以得出該車型車速在20km/h～100 km/h, 剎車距離與車速正相關(guān),當(dāng)然也與制動(dòng)效果、天氣、地面、摩擦系數(shù)等有相關(guān)關(guān)系,可進(jìn)一步研究,描出車速與剎車距離的散點(diǎn)圖,擬合回歸方程,估算出相應(yīng)的剎車時(shí)長(zhǎng).

車速與剎車距離散點(diǎn)圖

2.2.條件改編,放寬約束條件或隱去限制條件

教材中不少習(xí)例題或已有試題中的應(yīng)用題是給定條件和確定數(shù)據(jù)的,通過調(diào)整數(shù)據(jù),減少或增加條件,放寬約束條件,隱去限制條件可以編制成數(shù)學(xué)建模問題.

題源: 模擬考題某單位有10000 名職工, 想通過驗(yàn)血方式篩查乙肝病毒攜帶者, 假設(shè)攜帶病毒的人占5%, 如果對(duì)每個(gè)人逐一化驗(yàn), 就需要化驗(yàn)10000 次, 統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法; 隨機(jī)地按5 人一組分組, 然后將各組5人的血液混合再化驗(yàn), 如果混合血液呈陰性, 說明這5 個(gè)人全部陰性; 如果血樣呈陽(yáng)性, 說明至少有一人的血樣呈陽(yáng)性, 就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次, 按照這種化驗(yàn)方法, 平均每人需要化驗(yàn)____次.(結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.735,0.957≈0.6983)

混管采樣檢測(cè)是學(xué)生有生活真實(shí)體驗(yàn)感受的,下面構(gòu)建篩查樣本的真實(shí)情境,作以下假設(shè):

假設(shè)一.采樣總樣本為n份,采用k份血液樣本混管檢驗(yàn);

假設(shè)二.每次檢測(cè)的時(shí)間和成本相同,人人與之間相互獨(dú)立,不傳染;

假設(shè)三.方案一,逐個(gè)檢驗(yàn);方案二,平均分成兩組,再將每組樣本混合檢驗(yàn);方案三,四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn).

假設(shè)四.以檢測(cè)次數(shù)的期望衡量方案的優(yōu)略.

數(shù)學(xué)建模問題新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒,篩查該病毒的一種方式是檢驗(yàn)血液樣本中相關(guān)指標(biāo)是否為陽(yáng)性,對(duì)于n份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方法: 一是逐份檢驗(yàn),則需檢驗(yàn)n次.二是混合檢驗(yàn),將其中k份血液樣本分別取樣混合在一起,若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,那么這k份血液全為陰性,從而檢驗(yàn)一次就夠了;如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份血液中究竟哪些為陽(yáng)性,就需要對(duì)它們?cè)僦鸱輽z驗(yàn),此時(shí)n份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為k+1 次.某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4 份血液樣本,考慮以下三種檢驗(yàn)方案: 方案一,逐個(gè)檢驗(yàn);方案二,平均分成兩組,再將每組樣本混合檢驗(yàn);方案三,四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的,且每份樣本是陰性的概率為p.

(1)求兩份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率;

(2)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越優(yōu).那么三種方案中哪個(gè)最優(yōu)? 請(qǐng)說明理由.(以下略,請(qǐng)有興趣讀者自行完成)

進(jìn)一步研究,若取得為4k(k∈N?)份血液樣本,情況如何?

2.3.情境改編,將數(shù)學(xué)探究問題置于真實(shí)情境

注重構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知的真實(shí)情境或次真實(shí)的情境,有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,常見的真實(shí)情境包括生活情境、文化情境、科學(xué)情境、社會(huì)情境,將抽象的數(shù)學(xué)背景置于真實(shí)情境,有利于學(xué)生建模素養(yǎng)的發(fā)展.

題源: 2019 年高考全國(guó)Ⅰ卷第4 題古希臘時(shí)期, 人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(,稱為黃金分割比例), 著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是( )

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

數(shù)學(xué)建模問題維納斯身高與黃金分割的關(guān)系,是數(shù)學(xué)在生活場(chǎng)景中的應(yīng)用.問題遷移,在現(xiàn)實(shí)生活中,不少女孩子穿著高跟鞋時(shí),顯得腿修長(zhǎng)美觀,那如何選配鞋跟高度才是合理的呢? 你能給出一個(gè)合理的建議方案么? 其實(shí),這是一個(gè)具有探究現(xiàn)實(shí)真實(shí)情景的數(shù)學(xué)建模問題,具備現(xiàn)實(shí)研究?jī)r(jià)值.

假設(shè)一: 定義“美”的模型: 古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(,稱為黃金分割比例)即采用黃金分割比例作為標(biāo)準(zhǔn).

假設(shè)二: 女孩身高為lcm,肚臍至足底的長(zhǎng)度dcm,鞋跟高度為xcm;

假設(shè)三: 正常比例范圍的人群范圍中采集數(shù)據(jù),也可模擬真實(shí)正常數(shù)據(jù).

身高l肚臍至足底的長(zhǎng)度d原始比值(近似值)鞋跟高度為x調(diào)整比值(近似值)160cm 97cm 0.649cm 2cm 0.636cm 160cm 97cm 0.649cm 3cm 0.630cm 160cm 97cm 0.649cm 4cm 0.624cm 160cm 97cm 0.649cm 5cm 0.618cm 160cm 97cm 0.649cm 6cm 0.612cm

注高跟鞋的鞋跟高度可作以下分類: 1.低高跟鞋一般是4 厘米以下;2.中跟高跟鞋一般是5-10 厘米;3.超高跟鞋一般高度為11 厘米以上;4.日常最低的高跟鞋一般是4 厘米以下,通常是5-10 厘米居多.

從數(shù)學(xué)的理性視角是選擇5 cm 鞋跟,當(dāng)然根據(jù)個(gè)人舒適度選擇4 或6 厘米的鞋跟接近黃金分割比例,也是不錯(cuò)的選擇.此類模型,貼近生活,有現(xiàn)實(shí)意義、數(shù)學(xué)工具和模型符合學(xué)生認(rèn)知.

2.4.性態(tài)改編,將靜態(tài)模型轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)模型

新教材中的習(xí)例題或課外習(xí)題的應(yīng)用探究題大多屬于靜態(tài)模型,通過將模型中的質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)質(zhì)點(diǎn),對(duì)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模假設(shè),構(gòu)建出更符合真實(shí)情境的動(dòng)態(tài)模型.考慮到運(yùn)算的便利性,有時(shí)可以改編為次真實(shí)情境的動(dòng)態(tài)模型.

題源: 人教版選擇性必修1 例題改編在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),以臺(tái)風(fēng)中心為中心,半徑為20 km的圓形區(qū)域內(nèi)將受到臺(tái)風(fēng)影響.已知城市位于臺(tái)風(fēng)中心正西40 km 處,該城市的港口位于城市中心正北30 km 處,如果臺(tái)風(fēng)沿北偏西45?的直線行進(jìn),那么港口是否會(huì)有受到臺(tái)風(fēng)影響?

構(gòu)建臺(tái)風(fēng)影響城市的次真實(shí)情境,作以下假設(shè):

假設(shè)一.臺(tái)風(fēng)沿向西偏北β方向勻速直線運(yùn)動(dòng);

假設(shè)二.臺(tái)風(fēng)的影響面積是圓形面積,初始半徑為r0km且半徑是勻速v2km/h 變大;

假設(shè)三.臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖4)的東偏南θ方向d0km.

圖4

數(shù)學(xué)建模問題在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng), 據(jù)監(jiān)測(cè), 當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的東偏南θ方向d0km 的海面P處,并以v1km/h 的速度向西偏北β方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域, 當(dāng)前半徑為r0km,并以v2km/h 的速度不斷增大.問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?

若建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正向.此時(shí),臺(tái)風(fēng)中心(P(ˉx,ˉy))的坐標(biāo)為臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是(x-)2+ (y-) ≤[r(t)]2, 其中r(t) =v2t+r0, 若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲, 則有(0-)2+(0-)2≤(v2t+r0)2.不妨賦值如下:,r0=60 km,d0=300 km,v1=20 km/h,β=45?.下面計(jì)算該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲的時(shí)刻.

解如圖4 建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正向.臺(tái)風(fēng)中心(P(,))的坐標(biāo)為

此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是(x-)2+(y-) ≤[r(t)]2, 其中r(t) = 10t+60,若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則有(0-)2+(0-)2≤(10t+60)2.即

即t2-36t+288 ≤0,解得12 ≤t≤24.即12 小時(shí)后臺(tái)風(fēng)將侵襲該城市.

進(jìn)一步可以研究, 若臺(tái)風(fēng)是沿勻加速(特殊)曲線運(yùn)動(dòng),臺(tái)風(fēng)半徑膨脹是勻加速狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型.

2.5.模型改編,探索模型與解釋模型改編為學(xué)科融合模型

題源: 課外習(xí)題已知室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2恒定不變,熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài),即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向,單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù).單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與T成正比,與d成反比,即,其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù),現(xiàn)有某家庭的窗戶計(jì)劃從兩種材質(zhì)相同,厚度分別為d1,d2(d1

數(shù)學(xué)建模問題在現(xiàn)代居家裝修中,不少家庭的窗戶采用雙層玻璃,即窗戶上裝兩層玻璃且中間保留一定空隙,據(jù)說這種玻璃窗能夠減少冬天室內(nèi)向室外流失的熱量或夏天減少室外流向室內(nèi)的熱量.建立數(shù)學(xué)模型,試用所學(xué)的知識(shí)解釋其合理性.

模型假設(shè)

假設(shè)一.雙層玻璃和單層玻璃的室內(nèi)外氣流流速及流向一致,室內(nèi)室外溫差為?T;

假設(shè)二.窗戶的密封性能很好,兩層玻璃的空隙中的空氣保持靜態(tài),即熱量的傳播無(wú)對(duì)流的單向傳導(dǎo);

假設(shè)三.玻璃材料均勻,雙層玻璃每層厚度為d,雙層玻璃之間空隙寬度為l,單層玻璃厚度為2d;

假設(shè)四.用物理學(xué)熱傳導(dǎo)定理解釋數(shù)學(xué)模型;

假設(shè)五.室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2恒定不變,熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài),即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向,單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù).單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與T成正比, 與d成反比, 即,其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù).

根據(jù)物理定律的數(shù)學(xué)建模問題

雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度為Tm外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為Tn, 玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1, 空氣的傳導(dǎo)系數(shù)為k2, 單位時(shí)間單位面積的熱量傳導(dǎo)(即熱量流失)為, 求解得, 其中, 而厚度為2d的單層玻璃窗, 其熱傳導(dǎo)為,兩者之比為.

從而可以得出結(jié)論: 材質(zhì)一致,雙層玻璃比單層玻璃能夠減少熱量的流失(流入).進(jìn)一步探究,雙層玻璃之間的空氣層的寬度并非越大越好? 雙層玻璃單片厚度與中間空隙的合理比值是多少?

3.基于教材習(xí)例題和試題編制數(shù)學(xué)建模習(xí)題的啟示

3.1 重視教材和習(xí)題的數(shù)學(xué)建模資源整合,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象,一般步驟為信息表述、問題求解、模型解釋、結(jié)果驗(yàn)證幾個(gè)階段,通過系統(tǒng)挖掘并深度解析教科書中數(shù)學(xué)建模問題資源,提升學(xué)生實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程和“實(shí)踐一理論一實(shí)踐”這一循環(huán),有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2 重視教材中建模內(nèi)容的組織與改編,有助于突破建模教學(xué)的制約因素

挖掘教科書中數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模本質(zhì),將生活現(xiàn)象與社會(huì)熱點(diǎn)問題編制為高中數(shù)學(xué)建模習(xí)題符合學(xué)生認(rèn)知最近發(fā)展區(qū),有利于學(xué)生深化理解已有的數(shù)學(xué)問題,促進(jìn)潛在建模能力水平的發(fā)展,有利于改善數(shù)學(xué)建模教學(xué)中受教學(xué)課時(shí)限制、試題命制限制、演算工具限制、教師意識(shí)限制等制約數(shù)學(xué)建模教學(xué)發(fā)展的干擾因素.因此教師應(yīng)對(duì)教材素材其進(jìn)行系統(tǒng)挖掘,并統(tǒng)籌編制數(shù)學(xué)建模問題,幫助學(xué)生較全面系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)建模的教育價(jià)值、科學(xué)價(jià)值及應(yīng)用價(jià)值.

3.3 提升教師的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與挖掘教材的能力,有助于學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展

數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教師有較高的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),也要求教師要準(zhǔn)確把控教材對(duì)建模內(nèi)容的數(shù)量與功能定位.基于新教材中的素材改編為學(xué)生感興趣的、符合高中課程標(biāo)準(zhǔn)的、符合學(xué)生發(fā)展水平的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模特點(diǎn)的、融合技術(shù)工具、體現(xiàn)完整的數(shù)學(xué)建模過程的數(shù)學(xué)建模問題是有意義的.總之,在編制數(shù)學(xué)建模問題時(shí)還應(yīng)關(guān)注問題情境的真實(shí)性(次真實(shí)性)、條件的約束性、問題的有效性、過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、表述的閱讀性、科學(xué)工具參與性.