喬衍迪，張澤旭

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深空探測(cè)基礎(chǔ)研究中心，哈爾濱 150001）

引言

月球作為地球的天然衛(wèi)星，被視為探索前沿航天科技的實(shí)驗(yàn)基地和未來(lái)火星探測(cè)任務(wù)的跳板，“嫦娥”工程作為中國(guó)深空探測(cè)的基礎(chǔ)工程，在過(guò)去的幾十年間取得了舉世矚目的巨大成功[1]，隨著深空發(fā)射、自主變軌、自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)的成熟，月球南極探測(cè)和月球基地的建設(shè)從論證階段被列入航天發(fā)展的實(shí)施計(jì)劃，各個(gè)國(guó)家均提出了自己的月球探測(cè)任務(wù)或月球基地建設(shè)規(guī)劃[2]。未來(lái)聚焦在月球南極的科學(xué)探測(cè)任務(wù)，面臨著晝夜溫差大、地形復(fù)雜等重重挑戰(zhàn)，在結(jié)合多項(xiàng)數(shù)據(jù)后，多數(shù)科研團(tuán)隊(duì)將月球基地的選址確認(rèn)在南極點(diǎn)附近的沙克爾頓（Shackleton）及其附近的幾個(gè)隕石坑[3]。月球資源勘探開(kāi)采、月球基地建設(shè)等一切月基活動(dòng)的關(guān)鍵基礎(chǔ)是長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定且充足的月基原位能源供給。月球水冰的大規(guī)模開(kāi)采實(shí)現(xiàn)以電解水為原理的燃料能源系統(tǒng)構(gòu)建是實(shí)現(xiàn)月球基地初期探測(cè)任務(wù)的主要途徑，燃料系統(tǒng)以氫氧燃料電池為主。為了節(jié)約水冰運(yùn)輸與開(kāi)采成本，各國(guó)都在研究可重復(fù)運(yùn)載器，作為月球表面可靠運(yùn)載工具[4]。本文提出了一種基于可重復(fù)運(yùn)載器的月面大范圍資源運(yùn)載方案。

實(shí)現(xiàn)月球自主高精度垂直起降任務(wù)，可以將軌跡規(guī)劃問(wèn)題表述為具有非線性動(dòng)力學(xué)、大量狀態(tài)和控制約束的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，通過(guò)直接法和間接法來(lái)解決，其中直接法是通過(guò)離散化方法將最優(yōu)問(wèn)題進(jìn)行迭代求解，文獻(xiàn)[5]將多階段軌跡優(yōu)化問(wèn)題利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，利用Legendre-Gauss-Radau配點(diǎn)法對(duì)多階段軌跡規(guī)劃問(wèn)題離散化，通過(guò)求解非線性規(guī)劃問(wèn)題得到全局近似最優(yōu)解。

近年來(lái)，隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展，提出了許多基于序列凸優(yōu)化和無(wú)損凸優(yōu)化方法的軌跡規(guī)劃方法，文獻(xiàn)[6]提出實(shí)現(xiàn)了6-DOF自主一般全尺度的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]將軌跡規(guī)劃問(wèn)題擴(kuò)展為6-DOF的運(yùn)載器動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)，并比較了不同離散化方法對(duì)于算法性能的影響；文獻(xiàn)[8]在凸優(yōu)化的基礎(chǔ)上，利用虛擬控制函數(shù)和信賴域法，強(qiáng)化了軌跡規(guī)劃算法的魯棒性；文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步將自適應(yīng)信賴域半徑法降低了凸優(yōu)化算法的收斂性與收斂速度；文獻(xiàn)[10]引入復(fù)合狀態(tài)觸發(fā)約束的概念，將其表示為連續(xù)凸化函數(shù)，在復(fù)雜約束條件下實(shí)現(xiàn)快速收斂。文獻(xiàn)[11]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化了序列凸優(yōu)化算法的收斂效率和實(shí)時(shí)性，提高了擴(kuò)展性，在飛行器有效地求解了避障過(guò)程中復(fù)雜約束下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。

文獻(xiàn)[12]針對(duì)飛行器垂直起降過(guò)程中大姿態(tài)翻轉(zhuǎn)問(wèn)題，提出了1種考慮氣動(dòng)力矩影響的平面運(yùn)動(dòng)模型，并利用凸優(yōu)化方法在線規(guī)劃出了飛行軌跡。問(wèn)題是只考慮了二維軌跡問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]將多階段軌跡優(yōu)化問(wèn)題作為完整的系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，并在分階段利用單獨(dú)的模型替代原始模型，利用傅里葉級(jí)數(shù)降低求解難度，通過(guò)預(yù)設(shè)計(jì)得到最優(yōu)發(fā)射再入軌跡。文獻(xiàn)[14]針對(duì)月面飛躍問(wèn)題，利用黃金分割法搜索上升著陸時(shí)間的最優(yōu)解，在固定上升著陸時(shí)間的條件下，利用凸優(yōu)化方法對(duì)分段求解拼接全飛行軌跡，不足是只得到了分段燃料最優(yōu)解。

在求解月面大范圍轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，其一，利用凸優(yōu)化工具求解，往往通過(guò)固定終端時(shí)刻來(lái)進(jìn)行線性搜索，得到最優(yōu)解，且模型非線性程度越高，規(guī)劃時(shí)間越久，既無(wú)法保證算法的實(shí)時(shí)性，也無(wú)法保證整條軌跡的最優(yōu)性；其二，考慮水冰采集任務(wù)中，運(yùn)載器的飛行時(shí)間長(zhǎng)，橫向行程遠(yuǎn)大于縱向行程，著陸精度要求高，需要合理規(guī)劃主推進(jìn)器點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)與時(shí)間點(diǎn)，以節(jié)省燃料消耗；其三，多數(shù)軌跡規(guī)劃問(wèn)題將任務(wù)簡(jiǎn)化為一個(gè)二維剖面，得到的推力分配方案是非現(xiàn)實(shí)的?；谏鲜龇治?，本文借鑒雙層凸優(yōu)化模型的思想，將大范圍垂直起降問(wèn)題轉(zhuǎn)化為內(nèi)外層凸優(yōu)化問(wèn)題，分段求解，在保證分段燃料最優(yōu)性的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)軌跡規(guī)劃。

1 月球南極水冰采集任務(wù)概述

1.1 問(wèn)題提出

月球基地是目前最為可行的地月空間基礎(chǔ)設(shè)施開(kāi)發(fā)的工程起點(diǎn)和最佳實(shí)踐場(chǎng)。為了滿足月球基地健康可持續(xù)運(yùn)維能力，月球基地應(yīng)具備勘探艾特肯盆地（Aitken Basin）任意隕石坑的能力，因此綜合考慮重復(fù)往返各隕石坑水冰采集區(qū)的運(yùn)輸成本，選擇Shackleton隕石坑的坑緣區(qū)域[15]，作為月球基地的長(zhǎng)期運(yùn)維地點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 月球基地與水冰采集區(qū)域示意圖（圖中紅色星星表示月球基地選址，黃色星星表示水冰采集區(qū)域選址）Fig.1 Illustration of lunar base and in-situ water excavation locations(red star indicates lunar base location;yellow stars indicate in-situ water excavation locations)

本文中將水冰采集區(qū)域放在距離月球基地較遠(yuǎn)的舒梅克（Shoemaker）隕石坑，德格拉什（de Gerlache）隕石坑，斯維德魯普（Sverdrup）隕石坑等，如圖1黃色星星所示，為了滿足較長(zhǎng)距離的可重復(fù)運(yùn)輸，運(yùn)載器在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)滿足此類任務(wù)的上限。

1.2 任務(wù)場(chǎng)景概述

如圖2所示，運(yùn)載器大范圍運(yùn)載任務(wù)可以描述成：小型液體火箭運(yùn)載器分別裝載完有效載荷和燃料后（LO2/LH2），氫氧發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，保障運(yùn)載器垂直上升，到達(dá)一定高度后，主發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)，運(yùn)載器姿控發(fā)動(dòng)機(jī)工作，幫助運(yùn)載器重新定向，使運(yùn)載器的頭部指向月球基地，之后姿控發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，主發(fā)動(dòng)機(jī)第2次點(diǎn)火，推動(dòng)運(yùn)載器飛向駐人月球基地，橫向速度提升到一定數(shù)值后，主發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)，運(yùn)載器無(wú)動(dòng)力飛行，且在此過(guò)程中，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)工作，在運(yùn)載器的尾部指向月球基地后，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)，在距離月球基地的一定范圍時(shí)，主發(fā)動(dòng)機(jī)重新點(diǎn)火，在水平速度消減至0 m/s后，關(guān)機(jī)，接著運(yùn)載器姿控發(fā)動(dòng)機(jī)工作，調(diào)整運(yùn)載器尾部指向目標(biāo)著陸點(diǎn)，主發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，實(shí)現(xiàn)垂直軟著陸。

圖2 月面運(yùn)載器大范圍轉(zhuǎn)移過(guò)程示意圖Fig.2 Scheme of lunar large-scale transportation trajectory designation

水冰運(yùn)輸任務(wù)中，位于隕石坑底的水冰采集區(qū)與月球基地之間的海拔落差不超過(guò)10 km，但是運(yùn)載器的飛行范圍跨度可達(dá)上百km，運(yùn)載器的主推進(jìn)器角度可調(diào)節(jié)范圍有限，無(wú)法及時(shí)完成運(yùn)載器轉(zhuǎn)身調(diào)姿任務(wù)，需要借助姿控發(fā)動(dòng)機(jī)，進(jìn)行翻轉(zhuǎn)操作；其次，考慮到運(yùn)載器燃料原位制備的可行性，采用液氫液氧發(fā)動(dòng)機(jī)，優(yōu)點(diǎn)是發(fā)動(dòng)機(jī)比沖高，可達(dá)500 s，推力范圍大，可達(dá)上百tnf，可重復(fù)點(diǎn)火，但是液體發(fā)動(dòng)機(jī)燃料消耗速率相應(yīng)也很快，無(wú)法完成連續(xù)推力控制；最后，考慮到任務(wù)的安全性，運(yùn)載器的發(fā)射與著陸姿態(tài)均應(yīng)垂直于月面。

基于上述分析，將運(yùn)載器姿態(tài)調(diào)整與動(dòng)力飛行拆分，分別進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，運(yùn)載器飛行軌跡劃分為垂直上升段、姿態(tài)調(diào)整段、動(dòng)力飛行段和垂直下降段。

1.3 可重復(fù)運(yùn)載器設(shè)計(jì)

為了滿足月面大范圍運(yùn)載任務(wù)，包括GNC系統(tǒng)的質(zhì)量在內(nèi)，有必要定義一下實(shí)際的可重復(fù)運(yùn)載器模型。由于此類運(yùn)載器的沒(méi)有公開(kāi)且可靠的數(shù)據(jù)，參考經(jīng)典的發(fā)動(dòng)機(jī)信息。因此，參考文獻(xiàn)[16]，將液氫液氧作為運(yùn)載器發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料，該運(yùn)載器為單級(jí)結(jié)構(gòu)，包含助推器和箭身小型噴氣式推進(jìn)器?；鸺l(fā)動(dòng)機(jī)可包括液體燃料火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，例如LO2/LH2發(fā)動(dòng)機(jī)?？砂ǘ鄠€(gè)小型推進(jìn)器，用于控制火箭的上升和下降軌跡。

本節(jié)的目的是初步確定可重復(fù)使用運(yùn)載器規(guī)格，以支持任務(wù)需求。包括運(yùn)載器發(fā)動(dòng)機(jī)的推力、推進(jìn)劑的體積、流量、混合比，有效載荷的體積、質(zhì)量，以實(shí)現(xiàn)推力矢量控制。同時(shí)，燃料與有效載荷的參數(shù)將直接決定運(yùn)載器主體的直徑，長(zhǎng)度和其它構(gòu)型。

根據(jù)圖中飛行剖面，確定任務(wù)所需的最大推力，并確定燃料的質(zhì)量與體積。主要考慮2個(gè)主要的動(dòng)力段，即動(dòng)力上升段與垂直下降段，忽略運(yùn)載器姿態(tài)翻轉(zhuǎn)所需的少量燃料。

本文從運(yùn)載器到達(dá)初始滑行速度或動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)的速度Vpa后的無(wú)動(dòng)力上升段開(kāi)始計(jì)算，通過(guò)式（1）確定無(wú)動(dòng)力上升段的初始速度Vpa：

其中：hf為最大上升高度；hpa為動(dòng)力上升段的高度；Vpa為動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)運(yùn)載器的速度的縱向分量；gm為月球的重力加速度，gm=1.62 m/s2。

為了保證運(yùn)載器能夠達(dá)到最大高度，運(yùn)載器可以綜合考慮高度與速度要求，動(dòng)力上升段hpa結(jié)束得越早，對(duì)段終的速度Vpa要求就越高。通常，無(wú)動(dòng)力上升段的高度應(yīng)該大于動(dòng)力上升段的高度。

在動(dòng)力上升段，運(yùn)載器的主推進(jìn)器第一次點(diǎn)火，當(dāng)確定了動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)的速度Vpa后，再來(lái)確定動(dòng)力上升段的時(shí)間，即發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)。

公式（2）為加入重力修正的Tsiolkowsky方程，提供了推進(jìn)劑質(zhì)量與動(dòng)力上升段發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)tpa的關(guān)系，假設(shè)該方程只作用于運(yùn)載器的縱軸

同時(shí)，根據(jù)式（3），可以得到動(dòng)力上升段高度與發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)時(shí)長(zhǎng)的關(guān)系

根據(jù)式（1）與（2）判斷動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)的速度與高度關(guān)系，在確定運(yùn)載器的燃料載荷后，可以通過(guò)式（2）與式（3）得到運(yùn)載器的總重和動(dòng)力上升段的發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)的曲線，在后續(xù)軌跡規(guī)劃過(guò)程中做出合理性判斷依據(jù)。

2 月面運(yùn)載器大范圍垂直起降軌跡建模

2.1 坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

如前所述，構(gòu)建局部參考坐標(biāo)系，如圖3所示，假設(shè)月球引力場(chǎng)均勻，且考慮月球自轉(zhuǎn)的影響。

圖3 坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Guidance reference frame

運(yùn)載器主發(fā)動(dòng)機(jī)初始推力方向與運(yùn)載器縱軸指向一致；

1）發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)系—OX0Y0Z0

如圖3所示，坐標(biāo)原點(diǎn)為運(yùn)載器在水冰采集區(qū)的發(fā)射起點(diǎn)，Z0軸為坐標(biāo)原點(diǎn)與月心的連線且垂直向上，X0指向運(yùn)載器的著陸點(diǎn)方向，Y0軸與X0軸、Z0軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

運(yùn)載器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

2.2 軌跡優(yōu)化問(wèn)題建模

運(yùn)載器大范圍垂直起降軌跡最優(yōu)考慮的是燃料的消耗問(wèn)題，姿態(tài)調(diào)整段、動(dòng)力飛行段等飛行階段的初始條件和終端條件不作約束，只對(duì)運(yùn)載器發(fā)射點(diǎn)的位置、速度以及目標(biāo)位置和速度做出約束

其中：r0和v0為運(yùn)載器在發(fā)射點(diǎn)的位置和速度；rf和vf為運(yùn)載器在著陸點(diǎn)的位置和速度；m0為運(yùn)載器在初始質(zhì)量，包含有效載荷和燃料以及運(yùn)載器干重。

對(duì)于運(yùn)載器的主推進(jìn)器推力約束可以表示為

其中，Tmin和Tmax為主推進(jìn)器的推力范圍。

各飛行階段均將燃料最優(yōu)作為軌跡規(guī)劃目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)為

則動(dòng)力學(xué)方程、控制約束、狀態(tài)約束與目標(biāo)函數(shù)，共同構(gòu)成了月面運(yùn)載器大范圍垂直起降的軌跡優(yōu)化問(wèn)題方程。

2.3 問(wèn)題的凸優(yōu)化

為了運(yùn)用凸優(yōu)化算法對(duì)軌跡優(yōu)化問(wèn)題求解，需要將觀察到的非凸控制約束推力進(jìn)行凸化，即引入松弛變量 Γ，令

則原始軌跡優(yōu)化問(wèn)題中的推力約束可以寫作

目標(biāo)函數(shù)為

式（11）所描述的優(yōu)化問(wèn)題是對(duì)原始優(yōu)化問(wèn)題的松弛，原始優(yōu)化問(wèn)題的解顯然也滿足式（4）。此外，由文獻(xiàn)[17]可知，對(duì)于松弛后的優(yōu)化問(wèn)題，當(dāng)取最優(yōu)解時(shí)，對(duì)于松弛后的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，若存在最優(yōu)解，則

成立，同時(shí)滿足邊界條件（10）。即原始最優(yōu)問(wèn)題與凸化后的最優(yōu)問(wèn)題可以看作是等價(jià)的。

為了數(shù)值求解最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題，定義一組新的變量σ(t)，將非線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)換為具有凸性目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，將狀態(tài)約束與控制約束轉(zhuǎn)換為二階錐約束或線性約束

則運(yùn)載器動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為

令

則運(yùn)載器推力約束可以寫作

等式右側(cè)為非凸域，利用泰勒展開(kāi)實(shí)現(xiàn)二階錐和線性逼近，構(gòu)造可行凸域，即z0(t)=ln(m0-αTmaxt)

其中，為運(yùn)載器燃料最大消耗量，z(t)的約束為

則最終運(yùn)載器大范圍垂直起降燃料最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題可以表述為

動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為（9），控制約束為（11）、（12），燃料消耗約束為（13），狀態(tài)變量約束條件不變。

為了求解最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題，需要將問(wèn)題離散化，即將[t0,tf]拆分為等距的時(shí)間間隔，并在時(shí)間節(jié)點(diǎn)處施加線性或二階錐約束，將無(wú)限維優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維二階錐優(yōu)化問(wèn)題求解，離散化的最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題可以表述為

動(dòng)力學(xué)方程

控制約束

其中，

狀態(tài)約束

邊界條件不變。

3 基于雙層凸優(yōu)化模型的梯度下降算法

在求解上述離散化最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，凸優(yōu)化方法無(wú)法在姿態(tài)調(diào)整段與動(dòng)力飛行段處理推力分配，導(dǎo)致在燃料有限的情況下，軌跡優(yōu)化問(wèn)題無(wú)可行解；其次，在求解最優(yōu)燃料問(wèn)題時(shí)，凸優(yōu)化算法在設(shè)置燃料最優(yōu)指標(biāo)下，推力分配不符合bang-bang特性，導(dǎo)致運(yùn)載器上升高度過(guò)高，造成燃料浪費(fèi)或燃料消耗大于搭載值。為了解決上述問(wèn)題，引入雙層凸優(yōu)化模型的思想，將大范圍軌跡優(yōu)化問(wèn)題看作雙層凸優(yōu)化問(wèn)題，并利用梯度下降法進(jìn)行最優(yōu)燃料軌跡規(guī)劃求解。

3.1 雙層凸優(yōu)化模型構(gòu)造

將多段軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為雙層凸優(yōu)化問(wèn)題，即在內(nèi)層光滑凸函數(shù)的約束極小值集上實(shí)現(xiàn)外層光滑凸函數(shù)最小化的問(wèn)題，并利用梯度下降法得到優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值解。對(duì)于內(nèi)層凸函數(shù)，利用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行最優(yōu)問(wèn)題求解，再得到可行解后，加入懲罰因子，利用梯度下降法求得外層凸函數(shù)的最優(yōu)解。

下面介紹雙層凸優(yōu)化問(wèn)題的構(gòu)造，首先，將外層函數(shù)f1(x)的可行解集表示為

其中，g(x)為內(nèi)層函數(shù)的不等式約束，則內(nèi)層函數(shù)約束可以定義為f2(x)

雙層凸優(yōu)化問(wèn)題可利用梯度投影法求解，即迭代解算雙層凸優(yōu)化問(wèn)題的基函數(shù)，其中D為閉合凸子集。

其中：η為懲罰因子；f1(x)為內(nèi)層光滑凸函數(shù)，即原始分段軌跡優(yōu)化問(wèn)題；f2(x)為外層光滑凸函數(shù)。

為了滿足內(nèi)層函數(shù)的解算的收斂性，需要保證

為了得到外層函數(shù)的最優(yōu)解，在求解內(nèi)層目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，需要適當(dāng)選擇函數(shù)的可行解集D或適當(dāng)調(diào)整式（28）中的懲罰因子 η，其中，D可以是非負(fù)性約束，或球形約束，或某個(gè)R維狀態(tài)空間。

在解算內(nèi)層優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，直接求解帶有邊界約束的凸優(yōu)化問(wèn)題，會(huì)有效提高算法的計(jì)算效率，因此只在外層優(yōu)化問(wèn)題加入懲罰因子，將優(yōu)化問(wèn)題寫作

在求解過(guò)程中，雙層凸優(yōu)化問(wèn)題采用顯式求解方法，在 ηk的迭代過(guò)程中不計(jì)算最小正則化函數(shù)，不存在迭代收斂問(wèn)題，降低了計(jì)算成本。其次，利用梯度下降法解算外層凸優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，可以不求解最優(yōu)化內(nèi)層函數(shù)，因此不會(huì)增加任何“隱形”計(jì)算成本。

綜上，本文利用的雙層凸優(yōu)化算法思想，利用內(nèi)點(diǎn)法求解內(nèi)層復(fù)雜約束下的二階錐規(guī)劃問(wèn)題，內(nèi)點(diǎn)法的單次迭代特點(diǎn)，可以很快得到可行解，保證算法的較高的求解效率；利用梯度下降法求解外層凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)懲罰因子將外層約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問(wèn)題，利用梯度下降法多次迭代嘗試得到完整軌跡的燃料最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法與連續(xù)時(shí)間最速下降法共同得到一組最優(yōu)軌跡的可行解，其中懲罰因子的更新方法可以對(duì)照序列二次規(guī)劃法。

3.2 算法流程

本文提出一種基于雙層凸優(yōu)化模型的梯度下降算法，內(nèi)層循環(huán)利用內(nèi)點(diǎn)法求解分段軌跡優(yōu)化問(wèn)題的可行解，外層循環(huán)利用梯度下降法迭代更新完整軌跡規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。

雙層凸優(yōu)化問(wèn)題中，內(nèi)層凸優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)與外層凸優(yōu)化問(wèn)題一致，如式（15）所示，其它約束為式（17）～（20），邊界條件不變。但是外層凸優(yōu)化問(wèn)題的狀態(tài)變量必須為內(nèi)層凸優(yōu)化問(wèn)題的可行解的集合，可表述為

下面對(duì)基于雙層凸優(yōu)化模型的最優(yōu)軌跡規(guī)劃算法總結(jié)如下：

步驟1：通過(guò)內(nèi)點(diǎn)法求解從初始狀態(tài)x0到指定著陸點(diǎn)的分段最優(yōu)燃料標(biāo)稱軌跡，令k=0。

步驟2：判斷是否滿足外層凸優(yōu)化問(wèn)題的約束；若不滿足，則重新劃定外層約束，求解分段最優(yōu)燃料標(biāo)稱軌跡；若滿足，則給定一組參數(shù)，，η 和 θ，并規(guī)定＞0，η∈(0,1)，θ∈(0,1)

步驟3：令m=T到0，計(jì)算

并得到滿足條件的最小負(fù)整數(shù)m，令

sk=ηmk s

步驟4：更新

步驟5：判斷是否滿足f1(xk+1)＞f1(xk)，若滿足，則k=k+1，再次計(jì)算分段最優(yōu)燃料標(biāo)稱軌跡，直到f1(xk+1)≤f1(xk)。

算法流程如圖4所示。

圖4 基于雙層凸優(yōu)化模型的軌跡優(yōu)化算法流程圖Fig.4 Flow diagram of the bilevel model optimal trajectory optimization algorithm

4 仿真試驗(yàn)

下面給出仿真試驗(yàn)的條件：

將水冰采集區(qū)設(shè)計(jì)在Shoemaker坑的永久陰影區(qū)，具體位置為88.051 7 °S，45.488 1 °E，海拔為–4 200 m，著陸點(diǎn)為Shackleton隕石坑的坑沿位置，具體位置為89.678 2 °S，143.915 6 °W，海拔為1 660 m。運(yùn)載器高2.65 m，直徑0.8 m，可運(yùn)輸水冰400 kg，裝載燃料100 kg，發(fā)動(dòng)機(jī)比沖450 s，推力為3.2 t。

圖5～8為基于雙層凸優(yōu)化算法得到的軌跡規(guī)劃曲線，根據(jù)任務(wù)描述，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，以最大推力水平工作4.2 s，如圖5所示，主要作用為將運(yùn)載器盡快帶離發(fā)射點(diǎn)，之后主推進(jìn)器關(guān)機(jī)，利用姿控發(fā)動(dòng)機(jī)單獨(dú)對(duì)運(yùn)載器進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，調(diào)整時(shí)間為8.7 s，主推進(jìn)器再次開(kāi)機(jī)，推力水平為2.61 tnf，時(shí)長(zhǎng)為5.9 s，此時(shí)橫向速度與位置開(kāi)始變化，如圖6～7所示，當(dāng)X向速度上升至175 m/s，Y向速度上升至265 m/s時(shí)，主推進(jìn)器關(guān)機(jī)，運(yùn)載器進(jìn)入滑行狀態(tài)，至縱向位置上升至9 899 m時(shí)，主推進(jìn)器再次開(kāi)機(jī)，推力水平為2.21 tnf，時(shí)長(zhǎng)為5.7 s，將X向速度與Y速度降至0，且運(yùn)載器到達(dá)目標(biāo)著陸點(diǎn)上空，此時(shí)利用姿控發(fā)動(dòng)機(jī)再次調(diào)整運(yùn)載器姿態(tài)，調(diào)整時(shí)間為8.2 s，當(dāng)運(yùn)載器機(jī)頭垂直向上時(shí)，主推進(jìn)器開(kāi)機(jī)，推力水平為3.2 tnf，時(shí)長(zhǎng)為3.0 s，此時(shí)縱向速度降為0，實(shí)現(xiàn)運(yùn)載器安全著陸。圖8為單次仿真完整的軌跡規(guī)劃示意圖。

圖5 推力示意圖Fig.5 Results of thrust magnitude

圖6 三軸速度示意圖Fig.6 Results of velocity magnitude

圖7 位置示意圖Fig.7 Results of trajectory magnitude

圖8 運(yùn)載器飛行軌跡示意圖Fig.8 Three dimensional trajectory history

隨機(jī)生成動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)刻產(chǎn)生的500個(gè)隨機(jī)位置誤差，其中X、Y向的位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差為±500 m，Z向位置的標(biāo)準(zhǔn)差±200 m，符合正態(tài)分布，利用蒙特卡洛試驗(yàn)驗(yàn)證算法的魯棒性。

如圖9和圖10所示，運(yùn)載器水平方向位置誤差在±0.6 m以內(nèi)，速度誤差在±0.02 m/s以內(nèi)實(shí)現(xiàn)了運(yùn)載器的高精度著陸精度要求；如圖11與圖12所示，由于最終著陸階段時(shí)間較短，縱向位置誤差在±0.2 m以內(nèi)，誤差多大于目標(biāo)高度，這對(duì)于軟著陸任務(wù)是有利的，避免運(yùn)載器直接接觸月面而墜毀，縱向速度誤差±6 × 10–3nm/s以內(nèi)，保障了運(yùn)載器的安全著陸；根據(jù)剩余質(zhì)量約束，仿真的成功率為97.4%，其中有13次仿真試驗(yàn)剩余燃料小于0，其次燃料剩余最多分布在410 kg附近，根據(jù)液體燃料即時(shí)加注的特點(diǎn)，燃料的利用率達(dá)到80%以上。

圖9 最終橫向位置誤差柱狀圖Fig.9 Histogram of final horizon position errors

圖10 最終橫向速度誤差柱狀圖Fig.10 Histogram of final horizon velocity errors

圖11 最終縱向位置誤差柱狀圖Fig.11 Histogram of final vertical direction errors

圖12 最終縱向速度誤差柱狀圖Fig.12 Histogram of final Z direction velocity errors

接著，隨機(jī)生成動(dòng)力上升段結(jié)束時(shí)刻產(chǎn)生的500個(gè)隨機(jī)速度誤差，其中X、Y向的位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差為±70 m/s，Z向速度誤差的標(biāo)準(zhǔn)差±50 m/s，符合正態(tài)分布，利用蒙特卡洛試驗(yàn)驗(yàn)證算法的魯棒性。

如圖13和圖14所示，運(yùn)載器水平方向位置誤差在±0.4 m以內(nèi)，速度誤差在±0.4 m/s以內(nèi)實(shí)現(xiàn)了運(yùn)載器的高精度著陸精度要求，且由于Y向行程較長(zhǎng)，位置和速度誤差分布優(yōu)于X向誤差，尤其是速度誤差，64%的誤差在±0.1 m/s以內(nèi)；如圖15與圖16所示，由于最終著陸階段時(shí)間較短，縱向位置誤差在±0.4 m以內(nèi)，縱向速度誤差±1.5 × 10–3m/s以內(nèi)，雖然精度有所下降，但依然保障了運(yùn)載器的安全著陸；根據(jù)剩余質(zhì)量約束，仿真的成功率為96.7%，其中有16次仿真試驗(yàn)剩余燃料小于0，其次燃料剩余最多分布在407 kg附近，根據(jù)液體燃料即時(shí)加注的特點(diǎn)，燃料的利用率達(dá)到80%以上。

圖13 最終橫向速度誤差柱狀圖Fig.13 Histogram of final horizon velocity errors

圖14 最終橫向位置誤差柱狀圖Fig.14 Histogram of final horizon position errors

圖15 最終縱向速度誤差柱狀圖Fig.15 Histogram of final Z direction velocity errors

圖16 最終縱向位置誤差柱狀圖Fig.16 Histogram of final vertical direction error

如圖17所示為500次仿真試驗(yàn)得到的運(yùn)載器大范圍垂直起降的軌跡圖，為了更明顯的顯示初始位置不同，采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)，可以看到得到的軌跡全部收斂于最終著陸點(diǎn)，證明算法具有良好的收斂性與穩(wěn)定性。

圖17 運(yùn)載器飛行軌跡圖Fig.17 The 3-Dimensional Trajectory of the vehicle

4 結(jié)論

本文利用雙層凸優(yōu)化思想構(gòu)造了月面運(yùn)載器大范圍最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題，將大范圍飛行軌跡劃分為動(dòng)力上升段、大范圍動(dòng)力飛行段、垂直下降段的最優(yōu)化問(wèn)題，并將其作為內(nèi)層凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，同時(shí)，結(jié)合全局燃料最優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，作為外層凸優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用最速下降法的思想，進(jìn)行迭代求解，得到了大范圍垂直起降的燃料最優(yōu)軌跡。仿真試驗(yàn)證明，本文提出的算法可以實(shí)現(xiàn)運(yùn)載器大范圍垂直起降軌跡優(yōu)化問(wèn)題，且在初始位置誤差在700 m以上時(shí)規(guī)劃出滿足著陸約束，并實(shí)現(xiàn)水平位置誤差小于0.6 m，高度誤差小于0.2 m的運(yùn)載器軌跡，且燃料利用率達(dá)80%以上，剩余燃料有97.4%的概率滿足約束。