王綱懷 邢強(qiáng) 茅涵青

素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)，素（質(zhì)）數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1 和它本身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。自然數(shù)5 0 以內(nèi)的素?cái)?shù)有：2 、3 、5 、7、11、1 3 、1 7、1 9 、2 3 、2 9 、3 1 、3 7、4 1、4 3、47 等15 個(gè)。

2 0 1 6 年4月，拙著《漢鏡銘文圖集》在中西書局出版。此書P588“附表三 漢鏡圓周等分（連?。?shù)字一覽表”介紹了4 2 個(gè)鏡例，其中3、5、7、11、13、17、19、2 3、2 9、31等10 個(gè)素?cái)?shù)皆包括在內(nèi)。斗轉(zhuǎn)星移，8年過(guò)去。在秦鏡資料中，筆者找出兩位數(shù)以上且圖片清晰的6個(gè)素?cái)?shù)鏡例，特列表如下，詳見(jiàn)表一：

表一 秦鏡中的素?cái)?shù)一覽表

圖1 戰(zhàn)國(guó)秦早期 素地十一連弧鏡圖2 戰(zhàn)國(guó)秦中期 云雷地十一連弧三龍鏡圖3 戰(zhàn)國(guó)秦中晚 羽狀地鏡（鈕座13渦云）

圖4 戰(zhàn)國(guó)秦晚至秦代 素地方華紋二龍二虎四鳳十七連弧鏡圖5 戰(zhàn)國(guó)秦晚至秦代 渦云地方華紋四鳳十九連弧鏡圖6 戰(zhàn)國(guó)秦中晚 渦云地四雷四龍鏡（鈕座31渦云）

在拙著《秦鏡文化研究》中，筆者又找到八面7連弧鏡，一面11連弧鏡，兩面1 3連弧鏡。還有作為間接素?cái)?shù)的三面14（7×2）連弧鏡，一面鈕座26（13×2）渦云的螭龍鏡皆可供讀者了解、研討，本文免贅述。此外，另有若干如同本文圖6的資料（如《秦鏡文化研究》圖59、圖6 0），其鈕座之渦云紋數(shù)或?yàn)? 9之素?cái)?shù)，因圖片模糊不能最終確認(rèn)，而被迫放棄研討。

使用“規(guī)、矩”（圓規(guī)、直尺）等分圓周，自古有之。若是等分連弧數(shù)字，采取8、10、12、16、2 0、2 4、3 2等數(shù)字皆十分便捷。戰(zhàn)國(guó)秦和秦代的工匠們?yōu)槭裁匆釛夁@些方便處理的數(shù)字，而采用7、11、13、17、19、2 3、2 9 這些不可能處理的“素?cái)?shù)”呢？應(yīng)該承認(rèn)，這既是挑戰(zhàn)，更是情懷——這是一種“敢為人先”“勇攀高峰”的民族情懷。

世界公認(rèn)的數(shù)學(xué)王子、德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯（1777年至1855年）在2 0 0年前，發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法。這個(gè)發(fā)現(xiàn)是人類數(shù)學(xué)史上的一座豐碑。秦國(guó)、秦代工匠們的素?cái)?shù)情懷，在相距20 0 0年后，被高斯率先突破。這段歷史告訴我們，人類的發(fā)展需要前赴后繼，不斷進(jìn)取。

圖6局部

高斯破解17連弧的尺規(guī)作圖法有兩個(gè)前提：其一，直尺沒(méi)有刻度；其二，精確分割17份。在2 0 0 0年前，秦國(guó)工匠不可能采用高斯精確作圖法，而應(yīng)該是采用了“直尺有刻度”的近似法。以7連弧為例，具體的作圖步驟如下：

第一步，以規(guī)畫圓，其圓周即為待分割之圓。第二步，過(guò)圓心畫直線，是為母線。第三步，以母線與圓周的兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度（超過(guò)直徑）為半徑，出四弧，交于兩點(diǎn)。第四步，連接上述兩交點(diǎn)，得兩個(gè)中垂交點(diǎn)。第五步，以底部中垂交點(diǎn)為圓心，以到頂部中垂交點(diǎn)為半徑，做大圓弧，交母線于兩點(diǎn)，是為左、右基準(zhǔn)點(diǎn)。第六步，以帶刻度直尺（或圓規(guī)截?。┢叩确种写怪睆?。第七步，以左右兩個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)分別為出發(fā)點(diǎn)，作直線以連接至等分點(diǎn)（取第1、3、5這三個(gè)等分點(diǎn)為用）的射線，交圓弧于6個(gè)點(diǎn)。第八步，依次連接以上6個(gè)點(diǎn)和底部中垂點(diǎn)，可將圓周作出近似7 等分，并形成一個(gè)精度較高的近似正七邊形。

有三點(diǎn)說(shuō)明：其一，這里僅以7連弧為例，其他素?cái)?shù)11、13、17、19、2 3、2 9、31等皆可類推，免再重復(fù)。其二，言“近似法”，必有誤差，依據(jù)需要，可予調(diào)整。其三，或有更好之“近似法”，盼讀者補(bǔ)充、指正。（注：本文得到茅昱、王堅(jiān)、孫昊的支持，一并表示感謝）