趙 飛

(甘肅省玉門市第一中學(xué))

運(yùn)動(dòng)問題是高中物理學(xué)習(xí)中繞不開的研究內(nèi)容,在高考中分值所占比例很高.在處理運(yùn)動(dòng)問題時(shí),有四大基本方法,即牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理和機(jī)械能守恒定律.本文對(duì)動(dòng)能定理在運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)剖析,以提高學(xué)生對(duì)動(dòng)能定理的理解和應(yīng)用能力.

1 動(dòng)能定理在直線運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用

解決直線運(yùn)動(dòng)問題是動(dòng)能定理的基本應(yīng)用,在解題時(shí)需要注意的是確定研究對(duì)象的初、末狀態(tài),準(zhǔn)確分析運(yùn)動(dòng)過程中研究對(duì)象的受力情況和位移情況.

例1如圖1所示,一根彈力與伸長量成正比關(guān)系的彈性輕繩左端固定在墻壁A點(diǎn)處,右端穿過固定在B點(diǎn)且光滑的圓環(huán)后連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),當(dāng)小球在B點(diǎn)時(shí)彈性細(xì)繩處于自然伸直狀態(tài),繩間無張力.將小球穿過一個(gè)豎直固定的細(xì)桿,在C點(diǎn)固定時(shí)(點(diǎn)A、B、C處于同一條水平直線上)彈性細(xì)繩的張力為mg.將小球從C點(diǎn)由靜止釋放,它在達(dá)到D點(diǎn)時(shí)恰好靜止.若小球與豎直細(xì)桿的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2,CD＝h,重力加速度為g,彈性細(xì)繩在整個(gè)過程中都處在其彈性限度內(nèi).

圖1

(1)求小球在從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中摩擦力做的功;

(2)若小球質(zhì)量變?yōu)?m,其他條件均不變,求其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大小.

分析確定小球?yàn)檠芯繉?duì)象,對(duì)其進(jìn)行受力分析,其在從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中,彈性細(xì)繩的彈力隨著繩長變化而不斷改變.這是一個(gè)變力做功問題,因此可以考慮使用動(dòng)能定理求解.

解(1)設(shè)B、C兩點(diǎn)間的距離為L,根據(jù)胡克定律有mg＝kL.設(shè)BD與豎直方向的夾角為α,根據(jù)幾何知識(shí)和胡克定律,小球在D點(diǎn)時(shí)細(xì)繩彈力

對(duì)小球在D點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析如圖2所示,可知其在水平方向上受力平衡,有

圖2

故小球在從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中摩擦力大小為

在這個(gè)過程中摩擦力做功為

(2)在質(zhì)量為m和2m兩種情況下,對(duì)小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中應(yīng)用動(dòng)能定理,分別列式得

聯(lián)立三式可解得

【小結(jié)與拓展】解答本題要注意兩點(diǎn):一是明確小球在D點(diǎn)水平方向受力平衡;二是在小球質(zhì)量變化前后,摩擦力做功不變.

通過上例可以看出,利用動(dòng)能定理求直線運(yùn)動(dòng)中的變力做功問題比較便捷,尤其是在不涉及時(shí)間的時(shí)候動(dòng)能定理是首選.在解題時(shí)還需注意:研究對(duì)象涉及的物理量所選參考系必須統(tǒng)一;研究對(duì)象所受力無須同時(shí)作用在物體上;各力所做功的代數(shù)和等于總功.

2 動(dòng)能定理在曲線運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用

應(yīng)用動(dòng)能定理求解曲線運(yùn)動(dòng)問題的核心思路是“運(yùn)動(dòng)分析＋受力分析”.運(yùn)動(dòng)分析是確定研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),并最終確定初、末狀態(tài)的動(dòng)能;受力分析是確定研究對(duì)象所受力的性質(zhì)及各個(gè)力的做功情況,即最終確定各個(gè)力做的是正功還是負(fù)功.這兩個(gè)“分析”是并行的,互為補(bǔ)充的,都是為最終應(yīng)用動(dòng)能定理列式服務(wù)的.

例2如圖3所示,在豎直平面內(nèi)有一個(gè)由金屬細(xì)桿制成的軌道OABC,其中OA段為一拋物線形狀,所在拋物線的方程為,且該段金屬軌道粗糙;ABC段為半徑R＝1 m 的圓的一部分,該段軌道光滑,圓心O1與端點(diǎn)O等高,B點(diǎn)是軌道最低點(diǎn),C點(diǎn)是軌道最高點(diǎn).現(xiàn)在以端點(diǎn)O為原點(diǎn)、水平和豎直方向?yàn)闄M縱坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系.已知軌道的拋物線段與x軸在O點(diǎn)處相切,A點(diǎn)處兩部分軌道平滑連接,A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.4 m,∠AO1B＝37°.現(xiàn)有一個(gè)中心開孔、質(zhì)量m＝0.1 kg的小球套在軌道上,小球以5 m?s－1的速度從O點(diǎn)水平向右拋出,過A點(diǎn)時(shí)的速度為6 m?s－1,已 知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g取10 m?s－2.

圖3

(1)求小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力.

(2)求小球通過OA段過程克服摩擦力所做的功.

(3)小球能否到達(dá)C點(diǎn)?

分析第(1)問可利用動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度,然后利用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)和牛頓第二定律列式;第(2)問依然要使用動(dòng)能定理,前提是先求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo),這樣才能知道重力勢(shì)能的變化量;第(3)問要注意小球是套在軌道上的,屬于圓周運(yùn)動(dòng)中的“桿模型”,因此需要先用動(dòng)能定理求出過C點(diǎn)時(shí)速度,然后與臨界速度比較.

解(1)設(shè)小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為vB,在小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中,根據(jù)動(dòng)能定理有

小球過點(diǎn)B時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng),可得

聯(lián)立以上兩式可得

由牛頓第三定律可知,小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為5 N,方向豎直向下.

(2)將A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線方程,可得

在小球由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中,根據(jù)動(dòng)能定理有

代入題給數(shù)據(jù),解得小球在通過OA段過程中克服摩擦力所做的功

(3)小球要從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),克服重力所做的功

小球在B點(diǎn)的動(dòng)能

因?yàn)镋kB＝W′,所以可知小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度恰好為0,因?yàn)樾∏蚴翘自谲壍郎系?軌道對(duì)其有支撐力作用,所以小球是可以到達(dá)C點(diǎn)的.

【小結(jié)與拓展】本題的分析思路非常有層次感,只需按照運(yùn)動(dòng)的時(shí)間順序正確對(duì)小球進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過程分析,將動(dòng)力學(xué)角度和能量角度進(jìn)行結(jié)合,得到答案.像本例題這類不要求分析細(xì)節(jié)的曲線運(yùn)動(dòng)問題,一般都優(yōu)先考慮使用動(dòng)能定理進(jìn)行分析求解.

應(yīng)用動(dòng)能定理求解曲線運(yùn)動(dòng)問題是高考中的常見考查方式,在具體解題時(shí),需要注意不同力的做功特點(diǎn),比如重力做功與路徑無關(guān),摩擦力做功與路徑有關(guān),等等.另外,還需要特別注意動(dòng)能定理的標(biāo)量性質(zhì),不能在某個(gè)方向上套用動(dòng)能定理列式,重點(diǎn)還是要分清楚研究對(duì)象的初、末狀態(tài).

以上是對(duì)動(dòng)能定理在運(yùn)動(dòng)問題中常見應(yīng)用的總結(jié)分析.除此之外,高考中還常出現(xiàn)將圖像問題與動(dòng)能定理結(jié)合的考查方式,大家不妨嘗試總結(jié)歸納一下,必會(huì)對(duì)解題有所幫助.

(完)