李海珍

(河北省灤平縣第一中學(xué))

力學(xué)是高中物理的主干內(nèi)容,力學(xué)綜合題是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容,對(duì)考生的能力要求較高,要具有正確進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析的能力.此類問(wèn)題主要涉及兩類規(guī)律,即物體的受力規(guī)律和物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律;重點(diǎn)考查兩種觀點(diǎn),即動(dòng)量觀點(diǎn)與動(dòng)能觀點(diǎn);問(wèn)題處理的關(guān)鍵是弄清問(wèn)題背景中出現(xiàn)的過(guò)程、狀態(tài)等.下面以2022年全國(guó)乙卷壓軸題為例,探究力學(xué)綜合問(wèn)題的處理策略以及思維方法.

例(2022年全國(guó)乙卷)如圖1所示,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物體B向A運(yùn)動(dòng),t＝0時(shí)與彈簧接觸,到t＝2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖2所示.已知從t＝0到t＝t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同.斜面傾角為,與水平面光滑連接,碰撞過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi),求:

圖1

圖2

(1)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù).

1 科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)審題

審題是解題的第一步,也是決定問(wèn)題能否順利求解的關(guān)鍵環(huán)節(jié).力學(xué)綜合問(wèn)題通常敘述冗長(zhǎng),信息量大,運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜,審題中要注意關(guān)鍵詞語(yǔ),從中挖掘出隱含條件,據(jù)此梳理解題思路,建立相應(yīng)的物理模型,進(jìn)而找到問(wèn)題求解的突破口.

2 扎實(shí)理論基礎(chǔ)

牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律是力學(xué)的基本理論,這些理論構(gòu)成了解決力學(xué)問(wèn)題的基石,學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意強(qiáng)化這些理論在不同物理情境中的靈活運(yùn)用.例如,對(duì)于單個(gè)物體,若涉及時(shí)間問(wèn)題,常優(yōu)先選動(dòng)量定理;若涉及位移問(wèn)題,則優(yōu)選動(dòng)能定理;對(duì)于多物體系統(tǒng),應(yīng)優(yōu)先選用兩個(gè)守恒定律;若涉及系統(tǒng)內(nèi)物體的相對(duì)位移及摩擦力等,則要注意應(yīng)用功能關(guān)系,分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程的轉(zhuǎn)折點(diǎn)等.

3 明晰運(yùn)動(dòng)過(guò)程

力學(xué)綜合問(wèn)題通常涉及多個(gè)過(guò)程,求解時(shí)可將其分解為多個(gè)子過(guò)程,再對(duì)每個(gè)子過(guò)程進(jìn)行分析,列出相應(yīng)的方程.

本題中物體B以一定的速度向右運(yùn)動(dòng),撞向彈簧,把彈簧壓縮至最短,此時(shí)兩物體共速,彈簧的彈性勢(shì)能最大.共速后彈簧張開,同時(shí)繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng),彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng),兩物體分開,第一次碰撞結(jié)束.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程,如圖3所示.

圖3

從這一過(guò)程,我們可得到哪些信息?

從原長(zhǎng)到最短的過(guò)程中,彈簧的彈性勢(shì)能增加,最短的時(shí)候,彈性勢(shì)能最大,隨著彈性勢(shì)能的釋放,轉(zhuǎn)化為兩物體的動(dòng)能.從全程來(lái)看彈簧的彈性勢(shì)能先增加后減小到0,整個(gè)過(guò)程中彈性勢(shì)能的變化量為0,若將兩物體和彈簧視為一個(gè)系統(tǒng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)彈性勢(shì)能的初末狀態(tài)均為0,故動(dòng)能沒(méi)有變化,這說(shuō)明碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)能無(wú)損失,即這一過(guò)程屬于完全彈性碰撞,遵循動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律.

下面對(duì)第(1)問(wèn)進(jìn)行討論.

設(shè)B的質(zhì)量為M,由動(dòng)量守恒定律得M?1.2v0＝(M＋m)v0,解得M＝5m.由機(jī)械能守恒定律可得,得.

4 挖掘題目本質(zhì)

第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值,即為彈簧壓縮最短時(shí).如圖4所示,在共速前物塊B的速度大于A的速度,彈簧被壓縮.當(dāng)二者共速時(shí),彈簧的壓縮量達(dá)到最大值,之后隨著物塊A的速度大于B的速度,彈簧逐漸伸長(zhǎng).如果物塊A、B中間沒(méi)有彈簧,則碰撞后二者連在一起,位移相等.而本題此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊B的位移xB大于A的位移xA,彈簧的壓縮量就是物塊B比A多走的位移,我們只要求出0～t0這段時(shí)間內(nèi)物塊B的位移xB即可,xB－xA就是彈簧的最大壓縮量.二者的位移差即圖5中陰影部分的面積,即物塊B的v-t圖像與橫軸圍成圖形的面積與A的v-t圖像與橫軸圍成圖形的面積之差.

圖4

圖5

物塊A、B第一次碰撞分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,由于斜面是粗糙的,所以A滑上的速度與滑下的速度不同,之后物塊A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同,那么物塊A第一次滑上斜面時(shí),速度是2v0,第二次滑上斜面時(shí),因?yàn)檫_(dá)到的高度相同,故也是2v0.

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)第(2)問(wèn)考查了“人船模型”的拓展應(yīng)用,第(3)問(wèn)考查了斜面上往返的多過(guò)程問(wèn)題以及彈性碰撞,這些內(nèi)容源于教材,又高于教材.

弄清了問(wèn)題的本質(zhì),就明確了解題的方向.

5 破解問(wèn)題難點(diǎn)

本題的難點(diǎn)在于物塊B與彈簧接觸的過(guò)程中,彈簧彈力隨著彈簧形變量的變化而變化,物塊A和物塊B所受的合力以及加速度都是隨時(shí)間的變化而變化的,即為變加速的情況,且題目中沒(méi)有直接給出物塊A、B速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系,只給了t＝0到t＝t0時(shí),物塊A的位移為0.36v0t0.位移對(duì)時(shí)間的變化率是速度,而速度函數(shù)在某段時(shí)間內(nèi)的定積分即為位移.

對(duì)第(2)(3)問(wèn)的解答如下.

(2)方法1設(shè)0～t0時(shí)間內(nèi),物塊A、B的速度分別為vA、vB,vA和vB是與時(shí)間有關(guān)的函數(shù),則xA＝.由動(dòng)量守恒定律得M?1.2v0＋m?0＝MvB＋mvA,得.因此

所以xB－xA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0.

另外此問(wèn)也可利用位移等于速度在時(shí)間上的累積求解.

方法2設(shè)同一時(shí)刻物塊A、B的加速度分別為aA、aB,瞬時(shí)速度分別為vA、vB.同一時(shí)刻彈簧對(duì)物塊A、B的彈力大小相等,根據(jù)牛頓第二定律F＝ma,可知同一時(shí)刻aA＝5aB,則vA＝aAt,vB＝

據(jù)位移等于速度在時(shí)間上的累積可得xA＝vAt,xB＝vBt,已知xA＝0.36v0t0,故xB＝1.128v0t0,所以xB－xA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0.

(3)設(shè)物塊A第一次滑下斜面的速度大小為vA1,向左為正方向,由動(dòng)量守恒定律可得

據(jù)能量守恒定律可得

聯(lián)立兩式解得vA1＝v0.

設(shè)物塊A在斜面滑行的長(zhǎng)度為L(zhǎng),對(duì)上滑過(guò)程由動(dòng)能定理有－mgLsinθ－μmgLcosθ＝0－,下滑過(guò)程由動(dòng)能定理得mgLsinθμmgL?cosθ＝,解得μ＝0.45.

物理與數(shù)學(xué)是不可分割的整體,物理學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的支撐.物理問(wèn)題在經(jīng)歷建立模型分析、運(yùn)用規(guī)律之后,往往轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問(wèn)題,可借助數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)求解.

(完)