謝亞琴，鄭 迪，谷天園

（南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，南京 210044）

隨著無線通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，近年來對三維位置服務(wù)的需求不斷增長。目前，許多應(yīng)用場景都嚴(yán)重依賴高精度的三維位置信息，例如3D 全景多人跟蹤、消防空間三維定位和行人協(xié)同導(dǎo)航等[1]，這些應(yīng)用都需要無線定位領(lǐng)域提供準(zhǔn)確可靠的三維位置信息。對于室外場景，在全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System,GNSS）拒絕條件下的精確定位變得尤為重要[2]。與此同時，使用大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-input Multiple-output,MIMO）技術(shù)的大帶寬毫米波系統(tǒng)擁有高時間分辨率，能夠?qū)崿F(xiàn)高精度定位[3]。然而，隨著聯(lián)網(wǎng)設(shè)備數(shù)量的增加，使用超密集網(wǎng)絡(luò)（Ultra-dense network,UDN）對用戶的位置進(jìn)行估計受到廣泛關(guān)注[4]。在UDN 中，毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)將不再適用，因此，文獻(xiàn)[5]提出了一種利用安裝在燈柱上且配備陣列天線單元的無線電設(shè)備對UDN 中用戶進(jìn)行定位的算法。目前針對UDN 提出的大多數(shù)定位算法，如文獻(xiàn)[2]-[5]，都只考慮了二維場景下的用戶定位。

為了滿足用戶的三維定位需求，可以通過估計基站與用戶之間視距（Line-of-sight,LOS）的離開方位角（Azimuth-angle of Departure,AOD）、離開仰角（Elevation-angle of Departure,EOD）以及到達(dá)時間（Time of Arrive,TOA）來實現(xiàn)。然而，這種多參數(shù)估計通常需要在二維矩陣的基礎(chǔ)上，將接收到的多維數(shù)據(jù)進(jìn)行堆疊和處理，從而確定各個維度之間的關(guān)系[6]。由于天線單元會因相互耦合、惡劣的自然環(huán)境、電磁干擾等因素的影響，使其故障概率增大[7]。天線單元的部分受損會使得信道狀態(tài)信息（Channel State Information,CSI）隨機丟失，從而導(dǎo)致用戶的位置估計性能下降。為了減小受損天線單元引起的信息丟失的影響，文獻(xiàn)[8]提出了一種利用CVX Matlab 工具箱來解決秩最小化問題以補全信息矩陣的方法，但是這種方法相對耗時較多。為了提高計算速率，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于最小化截斷核范數(shù)的矩陣補全算法。然而，上述方法更適用于大規(guī)模天線單元場景。對于小規(guī)模天線單元場景，文獻(xiàn)[10]提出了一種奇異值閾值（Singular Value Threshold,SVT）算法，使用核范數(shù)作為秩函數(shù)的凸松弛，將非均勻噪聲矩陣進(jìn)行信息補全，得到均勻噪聲矩陣，但是該算法未考慮部分CSI張量信息丟失的問題。

多徑效應(yīng)是用戶定位中的一個重要影響因素，因為基站與用戶之間的非視距（Non-line-of-sight,NLOS）與LOS 多徑很難區(qū)分，從而導(dǎo)致多徑效應(yīng)對基站與用戶之間距離和角度估計造成嚴(yán)重影響[11]。與基于信號協(xié)方差矩陣的用戶位置估計方法（如多信號分類[12]（Multiple Signal Classification,MUSIC）和通過旋轉(zhuǎn)不變性技術(shù)[13]（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT）估計用戶位置坐標(biāo)參數(shù)）相比，文獻(xiàn)[14]提出的信號張量模型利用了接收信號的多線性特性，在多徑環(huán)境下能夠更準(zhǔn)確地估計用戶位置。為了獲得更高的定位精度，文獻(xiàn)[15]提出了一種將參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)換為張量典范/平行因子（Candecomp/Parafac,CP）分解問題的方法。然而，在小規(guī)模天線單元場景下，該方法可能由于矩陣出現(xiàn)奇異值或者縮放不良而導(dǎo)致定位性能下降。為了解決這個問題，文獻(xiàn)[16]提出了一種Tucker 分解算法，可以避免矩陣出現(xiàn)奇異值或者縮放不良的情況。然而，在天線陣列單元較少或者信道條件差的情況下，該算法的定位能力相對較弱。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于張量補全及Tucker 分解的高精度三維定位方法，用于在UDN多徑環(huán)境中，當(dāng)部分天線陣列單元受損導(dǎo)致CSI 隨機丟失的情況下進(jìn)行三維位置估計。首先，將用戶接收的CSI 張量進(jìn)行mode-1 展開。然后，通過一種基于張量展開后柱狀結(jié)構(gòu)設(shè)計的檢測策略，對與天線陣列部分受損所對應(yīng)的隨機丟失CSI 矩陣位置進(jìn)行檢測。接著，將CSI 矩陣信息的補全問題轉(zhuǎn)化為低秩矩陣補全問題，即根據(jù)已知的CSI 子集補全丟失的CSI。基于上述方法，多徑環(huán)境下的參數(shù)估計問題被轉(zhuǎn)化為Tucker 分解問題。通過Tucker 分解，可以根據(jù)分解結(jié)果來估計用戶與基站之間的TOA、AOD 以及EOD，最后，根據(jù)基站與用戶之間的幾何關(guān)系，可以確定用戶的三維位置坐標(biāo)。

1 系統(tǒng)模型

在一個三維空間中，考慮采用一個多輸入多輸出正交頻分復(fù)用（Multiple Input Multiple Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing,MIMO-OFDM）系統(tǒng)。該系統(tǒng)由一個位置已知的基站和多個位置未知的用戶組成，如圖1 所示。

圖1 系統(tǒng)場景圖Fig.1 System scenario diagram

圖1 所示的系統(tǒng)場景下，基站配置了NT個間隔半波長的天線單元均勻矩陣陣列，其中第一個單元稱為參考單元，其余NT-1個單元為輔助陣列單元。系統(tǒng)中的子載波數(shù)量為NF?；镜男盘柾ㄟ^L條路徑到達(dá)用戶，由于L可以通過各種信號檢測方法[17]進(jìn)行測量，所以L是已知的。在第m(m＝ 1,2 …M)個時間幀的 第nF(nF＝ 1,2 …NF)個子載波上，從第nT(nT＝ 1,2…NT)個發(fā)射天線到用戶的信道狀態(tài)信息測量值可以表示為：

其中，βl,m、θl、φl、τl分別表示第l(l＝ 1,2 …L)條路徑在第m個時間幀的振幅、AOD、EOD 以及TOA；f1表示第一個子載波，Δf表示子載波間隔，fc表示中心子載波，一般情況下認(rèn)為 Δf/fc≈ 0以 及f1/fc≈ 1；?表示克羅內(nèi)克積；?和υ分別表示未知的初始相位和時鐘偏移；nX(nX＝ 1,2 …NX)和nY(nY＝ 1,2…NY)分別表示沿x方向和y方向部署的發(fā)射端天線數(shù)，因此是以為未知方差的高斯白噪聲。

式(1)可以簡化為：

2 基于張量補全及Tucker 分解的三維定位方法

2.1 定位方法的流程

本文提出了一種利用張量展開后的柱狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測的策略，以確定缺失信息在CSI 張量展開后矩陣中的位置。使用SVT 算法對缺失信息的矩陣進(jìn)行低秩矩陣補全，并通過重構(gòu)得到信息完整的CSI 張量。將多徑環(huán)境下的參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為Tucker 分解問題，再根據(jù)Tucker 分解得到的結(jié)果來估計視距信號的時延、方位角以及俯仰角。最后，根據(jù)基站與用戶之間的幾何關(guān)系確定未知用戶的位置坐標(biāo)?；趶埩垦a全及Tucker 分解的三維定位方法流程如圖2 所示。

圖2 定位方法的流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed positioning method

圖3 展示了張量補全的過程，四個子圖(a)-(d)分別表示接收到的CSI 張量X、對X按mode-1 展開后的矩陣X(1)、信息補全后得到矩陣以及利用矩陣重構(gòu)CSI 張量。首先，對接收到的CSI張量X進(jìn)行展開，對X按mode-1 展開得到CSI 矩陣X(1)。然后，對X(1)進(jìn)行信息丟失位置檢測，并利用SVT 算法補全缺失位置中的值，得到補全后的CSI矩陣。接著，對進(jìn)行重構(gòu)，得到補全后的CSI張量。完成張量補全后，最后通過Tucker 分解來獲得定位所需的參數(shù)，并根據(jù)基站與用戶之間的幾何關(guān)系確定用戶的三維位置信息。

圖3 張量補全的過程圖Fig.3 Process diagram of tensor completion

2.2 CSI 矩陣信息丟失位置檢測

如圖3(a)所示，基站的天線陣列單元(不包括第一單元)有NT-1個部分受損，這些單元以隨機方式工作，導(dǎo)致CSI 隨機丟失。因此，天線陣列的輸出中，缺失信息的部分，僅由較小的系統(tǒng)內(nèi)部噪聲組成。本節(jié)提出了一種基于張量展開后的柱狀結(jié)構(gòu)的檢測策略，以確定缺失信息在CSI 張量展開后的矩陣中的位置。張量可以按三種展開方式進(jìn)行，分別為mode-1、mode-2 和mode-3[18]，這三種方式在信息補全過程中沒有太大區(qū)別，因此本文采用mode-1 的展開方式。

如圖3(b)所示，假設(shè)基站的均勻矩陣天線陣列中除第一個單元外的第nT個單元在第m個時間幀的第nF個子載波上失效。由于系統(tǒng)內(nèi)部噪聲的存在，當(dāng)按照 mode-1 展開后，CSI 張量形成的X(1)矩陣的(nT,ncol)項只包含很小的隨機值，有：

其中，ncol＝ 1,2…Ncol。

因此，在展開后的矩陣X(1)上存在隨機分布的缺失項，其中某些列缺失項的絕對值明顯小于同列缺失項絕對值的平均值。用本文所提出的檢測方法對展開后的矩陣X(1)的所有列進(jìn)行掃描，利用式(4)確定缺失的位置：

其中，cncol(nT)是X(1)第ncol列第nT項的絕對值；α(0 ＜α＜ 1)是一個閾值，其值大小取決于系統(tǒng)內(nèi)部噪聲[8]；Cncol表示第ncol列所有NT項的絕對值的平均值，可以表示為：

根據(jù)式(5)，如果矩陣X(1)中的某一項與大多數(shù)數(shù)據(jù)不同，即其值低于預(yù)設(shè)的平均閾值，那么就認(rèn)定該元素為缺失項。一旦找到接收信號中的缺失項，則將該項的值替換為零，即

其中，PΠ(X(1))為觀測算子；Π 為矩陣X(1)中的已知項的子集。

2.3 基于SVT 算法進(jìn)行矩陣補全

在典型的毫米波稀疏多徑傳播中，接收多徑的數(shù)量通常遠(yuǎn)少于天線和子載波的數(shù)量，即L?min(NT,NF,M)。因此，當(dāng)接收到CSI 信息存在缺失時，可以將該問題視為低秩矩陣補全問題。根據(jù)2.2 節(jié)所述的檢測方法，可以檢測到信息丟失的位置，并對缺失的信息進(jìn)行補全。信息補全后的CSI 矩陣可表示為：

SVT 算法使用交替迭代方法求解式(8)，其第k次迭代可以簡要表述為：

其中，δk表示第k次的迭代步長；Dε(Yk-1)為奇異值閾值軟閾值操作，可以具體描述為：

其中，svd(?) 表示奇異值分解（Singular Value Decomposition,SVD）函數(shù)，S表示SVD 分解后的奇異值；sgn(?)表示符號函數(shù)；abs(?)表示絕對值函數(shù)；H 表示共軛轉(zhuǎn)置。

初始設(shè)Y0＝0，當(dāng)Yk-1固定時，式(12)中的可具體表示為：

2.4 基于Tucker 分解估計三維位置

在2.2 節(jié)中，可以檢測到X(1)中丟失信息的位置；在2.3 節(jié)中，基于SVT 算法對丟失的信息進(jìn)行補全，得到了補全的CSI 矩陣。通過重構(gòu)，可以得到補全的CSI 張量X?，如圖3(d)所示。此時，多徑環(huán)境下的參數(shù)估計問題可以轉(zhuǎn)化為張量Tucker 分解問題，經(jīng)過補全后的CSI 張量X? 的分解可以表示為：

基站與用戶之間多徑的幾何關(guān)系如圖4 所示，其中θLOS、φLOS和τLOS分別表示視距的AOD、EOD 以及TOA。

圖4 基站與用戶之間多徑的幾何關(guān)系圖Fig.4 Multipath geometry diagram between base station and user

其中，c為光速。

本文提出的基于張量補全和Tucker 分解的三維定位方法的主要步驟如表1 所示。

表1 定位步驟Tab.1 Positioning steps

3 仿真結(jié)果與分析

為了評估本文所提算法在用戶三維定位上的性能，采用蒙特卡羅模擬方法仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析。仿真分為實時和非實時兩種場景。實時場景對時間要求較高，僅使用一次本文算法估計用戶位置坐標(biāo)：

對于非實時場景，由于時間要求較低，可以利用N次估計所得的用戶位置進(jìn)行質(zhì)心定位，即

在相同仿真參數(shù)設(shè)置下，從信噪比（Signal-to-noise Ratio,SNR）、基站的天線陣列單元數(shù)量、基站與用戶之間的多徑數(shù)以及CSI 的損失率四個角度，分析實時場景下，本文所提算法和與Tucker 分解算法[16]、CP 分解算法[15]以及MUSIC 算法[10]對定位精度的影響，而由于在較差信道情況下，質(zhì)心定位能有效提升本文所提算法定位能力，因此還分析了非實時場景下本文所提算法對定位精度的影響。當(dāng)信息丟失位置的檢測存在虛警、漏檢時，對本文所提算法的定位性能進(jìn)行評估。

3.1 SNR 對定位精度的影響

設(shè)置天線單元部分受損造成的總CSI 損失率為4/16，基站與用戶之間的多徑數(shù)為L＝ 3，基站端的天線陣列單元總數(shù)NT=16。

圖5 給出了對于不同SNR，在實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法解算出的位置均方根誤差（Root-mean-square Error,RMSE）。

圖5 SNR 對定位精度的影響Fig.5 The influence of SNR on positioning accuracy

由圖5 可以看出，四種算法的整體趨勢一致，隨著SNR 增大，位置RMSE 逐漸減小。當(dāng)SNR 為-30 dB時，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC算法的位置RMSE 分別為11.81 m、16.43 m、19.79 m、20.88 m 和24.91 m。與MUSIC 算法相比，本文所提算法在非實時場景中的定位精度提高了52.59%，在實時場景中提高了34.04%。與CP 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景中的定位精度提高了43.44%，在實時場景中提高了21.88%。與Tucker 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景中的定位精度提高了40.32%，在實時場景中提高了16.98%。

圖6 為當(dāng)信噪比為-20 dB 時，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法的位置誤差累計分布函數(shù)圖（Cumulative Distribution Function,CDF）。由圖6 可知，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC 算法的定位精度低于3.5 m 的概率分別為59%、55.5%、30.5%、4.5%和1.5%。在小規(guī)模天線陣列的場景下，MUSIC 算法的定位精度較低，這是因為天線數(shù)量較少，且接收到的CSI 部分丟失。相比之下，CP 分解算法通過不斷的迭代過程提高了定位精度，但在迭代過程中可能會出現(xiàn)矩陣奇異或者縮放不良的問題，從而導(dǎo)致定位精度不高。Tucker 分解算法則避免了在迭代過程中出現(xiàn)CP 分解存在的上述問題，從而獲得了較高的定位精度。本文所提算法在Tucker 分解的基礎(chǔ)上引入了SVT 算法，用于補全缺失的CSI。相比于實時場景，非實時場景下本文所提算法利用質(zhì)心定位，進(jìn)一步提升了定位精度。因此，對于小規(guī)模天線陣列場景，本文所提出的算法具有較好的定位精度。

圖6 低SNR 時的CDFFig.6 CDF plot at low SNR

3.2 天線單元數(shù)量對定位精度的影響

設(shè)置天線單元部分受損造成的總CSI 損失率為4/16，基站與用戶之間多徑總數(shù)L＝ 3，信噪比為-20 dB。

圖7 對比了不同基站端天線單元數(shù)量下，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法的位置RMSE。

圖7 天線單元數(shù)量對定位精度的影響Fig.7 Effect of the number of antenna elements on positioning accuracy

由圖7 可以看出，這四種算法的位置RMSE 均隨基站端天線單元數(shù)量的增加而減小。當(dāng)基站端天線單元數(shù)量NT=12時，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC 算法的位置RMSE 分別為5.58 m、6.91 m、8.98 m、17.08 m 和23.69 m。與MUSIC 算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度提升了76.44%，在實時場景下提升了70.83%；與CP 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度提升了67.33%，在實時場景下提升了59.54%；與Tucker 分解算法相比，本文所提算法在非實時的場景下的定位精度提升了37.86%，在實時場景下提升了23.05%。

圖8 為當(dāng)基站端天線數(shù)量NT=12時，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC算法以及非實時場景下本文所提算法相對比的CDF圖。

圖8 天線單元數(shù)量較少時的CDFFig.8 CDF diagram under small number of antenna elements

由圖8 可知，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC 算法的定位精度低于6 m 的概率分別為73%、63.5%、43.5%、12.5%和12%。本文所提算法不僅利用SVT 算法對缺失的CSI 進(jìn)行補全，還采用Tucker 分解迭代估計定位需參數(shù)，因此具有最強的定位能力。然而，在實時場景下，本文所提算法由于未使用質(zhì)心定位，其定位能力相對較弱，低于非實時場景下的定位性能。Tucker 分解算法的定位性能受到CSI 缺失的影響，因此低于本文所提算法。CP 分解算法在迭代過程中可能會出現(xiàn)矩陣奇異或者縮放不良的問題，使其定位能力低于Tucker 分解算法。由于MUSIC 算法不能通過迭代的方法來降低由于天線數(shù)量少所造成的影響，使其定位能力弱于CP 分解算法。

3.3 多徑數(shù)對定位精度的影響

設(shè)置天線單元部分受損造成總CSI 的損失率為4/16，信噪比為-20 dB，基站端的天線陣列單元總數(shù)NT=16。

圖9 給出了當(dāng)基站與用戶之間的多徑數(shù)不同時，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法的位置RMSE。

圖9 多徑數(shù)對定位精度的影響Fig.9 Effect of multipath number on positioning accuracy

由圖9 可知，當(dāng)基站與用戶之間的多徑數(shù)增加時，四種算法的位置RMSE 整體呈現(xiàn)下降趨勢。當(dāng)基站與用戶之間的多徑數(shù)L＝ 5時，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC 算法的RMSE 分別5.26 m、5.71 m、7.66 m、17.07 m 和22.24 m。與MUSIC 算法比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度提升了76.35%，在實時場景下提升了74.33%；與CP 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度提升了69.19%，在實時的場景下提升了66.55%。與Tucker 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度提升了31.33%，在實時的場景下提升了25.46%。

圖10 為當(dāng)基站與用戶之間的多徑數(shù)L＝ 5時，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法相對比的CDF 圖。

圖10 多徑數(shù)較多時的CDFFig.10 CDF diagram under large number of multipaths

由圖10 可知，當(dāng)基站與用戶之間的多徑數(shù)較多時，非實時場景下本文所提算法以及實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法和MUSIC算法的定位精度低于4 m 的概率分別為53.5%、46.5%、35.5%、4.5%和1%。由于MUSIC 算法對多天線和高質(zhì)量CSI 的依賴性較強，因此，當(dāng)天線數(shù)量較少且CSI 信息受損時，其定位能力就很弱。CP 分解算法在存在矩陣奇異或者縮放不良時的表現(xiàn)也較差，導(dǎo)致其定位能力較弱。相比之下，本文所提算法在Tucker分解的基礎(chǔ)上引入了SVT 算法來補全缺失的CSI，使得定位能力優(yōu)于Tucker 分解算法。通過這種改進(jìn)，本文提出的算法在定位精度方面表現(xiàn)更強。需要注意的是，在實時場景下，本文所提算法沒有使用質(zhì)心定位，這導(dǎo)致相比非實時場景，其定位能力稍微較弱一些。綜合考慮，本文提出的算法在多徑數(shù)較多的情況下仍然顯示出較強的定位能力。

3.4 CSI 損失率大小對定位精度的影響

設(shè)置信噪比為-20 dB，基站端的天線陣列單元總數(shù)NT=16，著重分析CSI 損失率大小對定位精度的影響。

圖11 給出了在不同CSI 損失率下，實時場景下本文所提算法、Tucker 分解算法、CP 分解算法、MUSIC算法以及非實時場景下本文所提算法的位置RMSE。由圖11 可知，隨著總CSI 損失率的增加或者多徑數(shù)的增多，這四種定位算法的位置RMSE 也隨之增大。由圖11(a)可知，當(dāng)總CSI 隨機丟失率為2/16 時，本文所提算法在非實時場景下，多徑數(shù)L為3、4 和5 時位置RMSE 分別為3.57 m、4.21 m 和4.56 m。在實時場景下，多徑數(shù)L為3、4 和5 時位置RMSE 分別為3.92 m、4.39 m 和4.60 m。由圖11(b)可知，對于經(jīng)典的Tucker 分解算法，當(dāng)多徑數(shù)L分別為3、4 和5 時，位置RMSE 分別為5.25 m、5.86 m 和6.81 m；CP 分解算法分別為16.70 m、16.71 m 和16.97 m；MUSIC算法分別為23.73 m、24.12 m 和24.42 m。與MUSIC算法相比，當(dāng)多徑數(shù)L分別為3、4 和5 時，本文所提算法在非實時場景下的定位精度分別提升了84.96%、82.55%和 81.33%，在實時場景下則分別提升了83.48%、81.80%和81.16%；與CP 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度分別提升了78.62%、74.81%和73.13%，在實時場景下則分別提升了76.53%、73.73%和72.89%；與Tucker 分解算法相比，本文所提算法在非實時場景下的定位精度分別提升了32%、28.16%和33.04%，在實時的場景下則分別提升了25.33%、25.09%和32.45%。綜上所述，隨著總CSI 損失率的增加以及多徑數(shù)的增多，本文所提算法的定位精度相對于其他算法均有提升。

圖11 CSI 損失率對定位精度的影響Fig.11 The influence of CSI loss rate on positioning accuracy

圖12 為當(dāng)總的CSI 損失率為5/16，且多徑數(shù)L分別為3、4 和5 時，實時場景下本文所提算法、Tucker分解算法、CP 分解算法、MUSIC 算法以及非實時場景下本文所提算法相對比的CDF 圖。由圖12(a)可知，當(dāng)多徑數(shù)L分別為3、4 和5 時，本文所提算法在非實時場景下的定位精度低于5 m 的概率分別為83.5%、70.5%和67.5%；在實時場景下，定位精度低于5 m 的概率分別為80%、68.5%和58%。由圖12(b)可知，當(dāng)多徑數(shù)L分別為3、4 和5 時，Tucker 分解算法的定位精度低于5 m 的概率分別為45.5%、38%和34%；CP 分解算法分別為13.5%、11%和6%；MUSIC 算法分別為1%、2%和1.5%。分析結(jié)果顯示，CP 分解算法相較于MUSIC 算法具有更好的定位能力，這是因為該算法對天線數(shù)量和CSI 質(zhì)量的依賴較小。然而，CP 分解算法在分解參數(shù)時容易出現(xiàn)矩陣奇異值或者縮放不良的問題，從而導(dǎo)致定位精度下降，因此其相較于Tucker 分解算法而言定位精度較低。本文所提算法采用SVT 算法補全缺失的CSI，因此在定位精度上超過了Tucker 分解算法。此外，在非實時場景下使用質(zhì)心定位方法進(jìn)一步提升了定位精度，相較于實時場景下的定位精度更高。

圖12 高CSI 損失率時的CDF 圖Fig.12 CDF plot at high CSI loss rate

3.5 漏檢、虛警對定位精度的影響

設(shè)置天線單元部分受損所造成的總CSI 損失率為5/16，信噪比為-20dB，基站端的天線陣列單元總數(shù)NT=16，基站與用戶之間的多徑數(shù)L＝ 3，分析漏檢率和虛警率對定位精度的影響。

圖13 給出了在不同漏檢率和虛警率下，本文所提算法在非實時場景和實時場景下的位置RMSE。由圖13 可知，隨著虛警率和漏檢率的增加，本文所提算法在非實時場景以及實時場景下的定位精度都隨之降低。當(dāng)虛警率和漏檢率均為0 時，表示不存在虛警或漏檢，本文所提算法在非實時和實時場景下的位置RMSE 分別為4.08 m 和4.21 m。當(dāng)漏檢率為2/16 時，本文所提算法在非實時和實時場景下的位置RMSE分別為4.20 m 和4.55 m，相比于漏檢率為0 時，定位精度分別降低了2.94%和8.08%。當(dāng)虛警率為2/16 時，本文所提算法在非實時和實時場景下的RMSE 分別為5.13 m 和5.93 m，相比于漏檢率為0 時，定位精度分別降低了25.74%和40.86%。由于漏檢是對某些本應(yīng)進(jìn)行CSI 補全的矩陣位置的遺漏，使得定位精度降低。而虛警不僅將需要進(jìn)行CSI 信息補全的矩陣位置進(jìn)行補全，還對某些不需要進(jìn)行補全的矩陣位置進(jìn)行了補全，引入了擾動信息，從而導(dǎo)致定位精度大幅度下降。

圖13 虛警率/漏檢率對定位精度的影響Fig.13 The influence of false alarm rate/missed detection rate on positioning accuracy

圖14 為當(dāng)虛警率和漏檢率均為3/16 時，本文所提算法在非實時以及實時場景下的CDF。由圖14 可知，當(dāng)漏檢率為3/16 時，本文所提算法在非實時和實時場景下的定位精度低于6 m 的概率分別為89.5%和84%；當(dāng)虛警率為3/16 時，本文所提算法在非實時和實時場景下的定位精度低于6 m 的概率分別為76.5%和62%。分析結(jié)果表明，當(dāng)存在虛警時，不需要進(jìn)行補全的CSI 信息也會被誤補全，引入了擾動信息，從而造成了比相同漏檢率時更大的定位誤差。

圖14 高虛警率/漏檢率時的CDFFig.14 CDF plot at high false alarm rate/missed detection rate

4 結(jié)論

本文針對UDN 多徑環(huán)境下的三維定位問題，提出了一種在小規(guī)模天線單元場景下，當(dāng)存在部分CSI信息丟失時，基于張量補全和Tucker 分解的定位方法。在該方法中，受損的陣列天線單元隨機發(fā)送信息，通過提取基站與用戶之間的CSI 信息進(jìn)行定位。首先，本文設(shè)計了一種基于張量mode-1 展開的柱狀結(jié)構(gòu)的檢測策略，用于確定天線陣列單元受損導(dǎo)致CSI 信息隨機丟失的位置。然后，使用SVT 算法對低秩矩陣進(jìn)行補全，利用已知的CSI 子集補全丟失的CSI 值。最后，將補全后的CSI 張量進(jìn)行Tucker 分解，利用分解結(jié)果估計用戶與基站之間的TOA、AOD 以及EOD，并利用幾何關(guān)系確定用戶的三維位置坐標(biāo)。仿真結(jié)果表明：在存在部分CSI 信息丟失的小規(guī)模天線單元場景下，本文所提方法相比于MUSIC 算法以及經(jīng)典的分解算法，能夠獲得更高的定位精度。在未來工作中，可針對CSI 信息矩陣潛在的虛警和漏檢來展開，減少虛警、漏檢的概率，從而提高定位精度。