屈長虹，宋鈺，王坤，崔清勇，陳蔣洋

（中國久遠高新技術(shù)裝備有限公司，北京 100094）

0 引言

反無人機作戰(zhàn)正在成為未來戰(zhàn)場的作戰(zhàn)模式之一，反無人機作戰(zhàn)系統(tǒng)必將成為防空體系的重要組成部分［1-2］。面對具有成本低、數(shù)量多、特征弱等特性的無人機集群，傳統(tǒng)防空導(dǎo)彈的攔截成本巨大，而當前快速發(fā)展的激光系統(tǒng)是廣泛認可的反無人機利器［3］。激光系統(tǒng)就是用高能激光束對遠距離目標進行精確射擊的定向能系統(tǒng)，它的優(yōu)點是反應(yīng)時間短，可攔擊突然發(fā)現(xiàn)的低空目標，用激光攔擊多目標時，能迅速變換射擊對象，靈活地對付多個目標。相較于機載平臺激光系統(tǒng)而言，地基激光系統(tǒng)具有更高的電源功率、更大的安裝空間、更強的制冷能力、更穩(wěn)定的光束控制，在要地防御場景中可以發(fā)揮重要作用［4］。但由于地基激光系統(tǒng)難以在短時間內(nèi)完成長距離機動，因此地基激光系統(tǒng)對于在戰(zhàn)斗開始前的部署位置相較于機載激光系統(tǒng)更為敏感［5］。

本文研究的是地基激光系統(tǒng)的戰(zhàn)前部署，屬于靜態(tài)部署問題。首先建立激光系統(tǒng)對勻速直線等高度飛行目標的毀傷模型，在給定若干條無人機可能來襲的方位、飛行高度、飛行速度等條件下，研究如何部署地基激光使無人機突入要地需承受的代價最大。本文使用粒子群算法進行方案尋優(yōu)，粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法是一種基于群智能的隨機優(yōu)化算法，相比于其他自然啟發(fā)算法，PSO 具有更佳的計算時間、收斂相對穩(wěn)定以及對初值不敏感等一系列優(yōu)點，已成為求解優(yōu)化問題的一種經(jīng)典方法［6-7］。

對于要地防空系統(tǒng)部署問題，文獻［8-9］僅考慮了在不同的區(qū)域、防線或要地的防空系統(tǒng)的數(shù)量部署，未考慮部署位置對部署方案效能的影響，這類研究實質(zhì)上將部署問題演化為針對不同區(qū)域部署系統(tǒng)的數(shù)量分配問題。文獻［10-11］將防衛(wèi)要地進行了網(wǎng)格劃分離散化處理，使得可部署點有限化。本文的方法可在給定系統(tǒng)數(shù)量、規(guī)格下，搜索各系統(tǒng)在連續(xù)的要地范圍內(nèi)的最優(yōu)部署位置。

1 問題建模

1.1 相關(guān)物理量的定義

設(shè)地基激光發(fā)射處到目標無人機的距離為L，由于光束衍射、大氣抖動和光軸抖動引起的激光光束發(fā)散角為γ，則到了傳輸距離為L處的光束擴散半徑為a= tanγ·l≈γ·l，式中的光束發(fā)散角γ受光束衍射發(fā)散角γy、大氣抖動擴散角γt和激光光軸抖動角γd的影響［12］，具體為

式中：λ為激光的波長；D0為出光口徑；β為光束質(zhì)量因子。

設(shè)無人機飛行高度為h，激光的光束傳輸面與無人機下表面存在夾角α，空間幾何關(guān)系如圖1 所示，則有

圖1 地基激光系統(tǒng)反無人機作戰(zhàn)示意圖Fig.1 Anti-UAV battlefield of ground-based laser

出射的光束在三維空間中可視為圓錐形，無人機下表面視為平面，因為存在夾角α，所以在無人機下表面產(chǎn)生的光斑為橢圓形，由幾何關(guān)系易推知其中短半軸為光束擴散半徑為a，長半軸從而得到光斑面積：

設(shè)無人機以速度v勻速直線飛行，從地基激光到無人機航線在地面上的投影的距離為y，無人機開始進入激光系統(tǒng)有效射程的時刻二者的空間距離L沿航線的投影為x，由式（3）結(jié)合空間關(guān)系易推知隨著時間t增加，sinα的變化規(guī)律為

考慮傳輸過程中大氣對激光能量的吸收，激光通過大氣后打到目標上的功率P與激光發(fā)射功率P0之 間 的 關(guān) 系 為P=P0e-σL，式 中σ為 大 氣 衰 減 系數(shù)［13］，通常認為根據(jù)不同的天氣狀況，σ的取值范圍［14］為0.196～0.078（km-1）。

激光打到目標表面的功率密度定義為功率除以光斑面積［15］：

本文將使用激光系統(tǒng)的防守方記為紅方，使用無人機集群的進攻方記為藍方。設(shè)有藍方無人機沿直線勻速飛行，目標為要地圓心O，地面點P處有一激光系統(tǒng)。作點P到藍方無人機航線的地面投影的垂線，垂足為點H，如圖2 所示。以點H為原點，藍方無人機來襲方向為x軸正方向，從點H到點P方向為y軸正方向，天頂為z軸正方向建立空間直角坐標系。地基激光系統(tǒng)到藍方無人機航線的地面距離記為y，亦即地面激光系統(tǒng)的坐標為(0，y，0)。設(shè)藍方無人機在t1時刻從坐標(x1，0，h)處開始受到有效傷害（即功率密度達到閾值），沿直線等高度飛行至t2時刻到達(x2，0，h)處突入要地或功率密度低于閾值，下面分析這一過程中藍方無人機承受的總激光傷害。

圖2 場景及部分物理量Fig.2 Scenario and some physical quantities

激光對目標造成的傷害定義為功率密度乘以作用時間，當功率密度小于毀傷閾值時，激光對目標不造成傷害，當功率密度大于等于毀傷閾值時可以造成傷害，即

式中：B(t)為功率密度隨時間變化的函數(shù)；1{t：B(t)≥B0}是集合{t：B(t) ≥B0}的指示函數(shù)，即當t∈{t：B(t) ≥B0}時函數(shù)值為1，當t?{t：B(t) ≥B0}時函數(shù)值為0；t1與t2為起止時刻。由于假定藍方無人機沿直線向 要 地 圓 心 飛 行，故 藍 方 無 人 機 從(x1，0，h) 至(0，0，h)一段激光系統(tǒng)到藍方無人機的距離L單調(diào)減小，且sinα因此單調(diào)增大，從而功率密度B(t)單調(diào)增大；又由對稱性易知x2≥-x1恒成立，綜上所述，在該過程中功率密度B(t)始終大于等于閾值，可將被積函數(shù)中的1{t：B(t)≥B0}省略。

1.2 單臺激光系統(tǒng)對單一方向無人機（群）的傷害建模

藍方無人機沿直線等高勻速飛行時，設(shè)速度為v，起始時刻坐標為(x1，0，h)。則t時刻坐標為(x1-vt，0，h)，此時激光系統(tǒng)到藍方無人機距離的平方為L(t)2= (x1-vt)2+y2+h2，相應(yīng)的功率密度為

從 坐 標(x1，0，h) 處 沿 直 線 等 高 度 飛 行 至(x2，0，h)處的時刻為于是激光系統(tǒng)對成功突防前的藍方無人機造成的總傷害為

由于被積函數(shù)提取常系數(shù)后形如指數(shù)函數(shù)除以整多項式函數(shù)，因此D無法用初等形式表示，為解決此問題，考慮將衰減因子e-σL(t)替換為與之相近的函數(shù)。觀察易知將形如的函數(shù)作為衰減因子與e-σL(t)具有相近的性質(zhì)：當L= 0 時兩者皆等于1；當L→+∞時兩者皆趨于0 且在趨近過程中恒大于0。由于兩種衰減因子的函數(shù)結(jié)構(gòu)不同，兩種大氣衰減系數(shù)σ與c的單位也不同，σ的單位為km-1，與距離L(t)相乘后得到單位為1 的衰減因子；c的單位為km，與距離L(t)相加并相除后得到單位為1 的衰減因子。本文中σ= 0.078/ km，調(diào)整參數(shù)c的值，當c= 11.2 km 時，兩者在0 ≤L≤5 km 范圍內(nèi)有較好的近似，最大絕對誤差不超過2%，圖3 畫 出 了 兩 者 在 相 應(yīng) 參 數(shù) 下L在0～5 km 的圖像。

圖3 兩種衰減因子對比Fig.3 Comparison of two attenuation factors

替換衰減因子后，對藍方無人機造成的總傷害近似為

將式（10）右邊的定積分推導(dǎo)成顯式形式的過程較繁瑣，需經(jīng)歷數(shù)次換元及有理函數(shù)分離，本文略去推導(dǎo)過程，只保留推導(dǎo)結(jié)果：

應(yīng)當指出，原則上可以直接使用式（9）結(jié)合各種積分近似算法（如矩形法、拋物線法等）求值，但需要將積分區(qū)間細分、每個區(qū)間上函數(shù)擬合、求和，必將比使用推導(dǎo)成顯示形式直接代入求值的式（10）～（14）消耗更多的計算時間和內(nèi)存空間。

設(shè)定紅方要地為圓形，半徑為r，紅方地基激光可部署范圍是要地的同心圓，半徑為R，R＞r。以要地圓心為原點，東方為極軸正方向建立極坐標系，于是地基激光系統(tǒng)部署位置可用極坐標(ρ，θ)表示，式中ρ≤R，θ∈[0，2π)。藍方無人機沿直線向要地圓心突防，來襲方向可用角度α 表示，α∈[0，2π)。

計算D(P0，γ，c，v，h，y，x1，x2)所需的參數(shù)中，前5 個是由場景直接設(shè)定的固有參數(shù)，y是α，ρ，θ的函數(shù)，x1與x2是前5 個參數(shù)以及α，ρ，θ的函數(shù)，下面推導(dǎo)這3 個函數(shù)。

首先需要確定地基激光方位與藍方無人機來襲方位的夾角β∈[0，π]。顯然β等于α方位繞逆時針旋轉(zhuǎn)后與θ方位重合的弧度（或者θ方位繞逆時針旋轉(zhuǎn)后與α方位重合的弧度，取其中位于區(qū)間[0，π]的那一個值），因為α，θ∈[0，2π)，故當逆時針旋轉(zhuǎn)不穿越極軸時，只需取β=|α-θ|，而當逆時針旋轉(zhuǎn)穿越極軸時，如圖4 所示，則需取β= 2π -|α-θ|，逆時針旋轉(zhuǎn)穿越極軸的等價條件是|α-θ| ≥π。綜上所述，β的計算公式為

圖4 夾角β 的定義示意圖Fig.4 Definition of β

有了β的定義后易得

激光系統(tǒng)到航線的空間距離為

記O點 正 上 空h高 處 的 點 為O′。定 義d=ρ·cosβ，當藍方無人機的飛行軌跡先經(jīng)過H后經(jīng)過O′時，亦即；當藍方無人機的飛行軌跡先經(jīng)過O′后經(jīng)過H時，亦即，d＜0，d的絕對值的物理含義為O′到H的距離。

當無人機航線中至少存在一點可使功率密度達到閾值時，x1可定義為功率密度開始達到閾值B0的點到激光系統(tǒng)與航線的垂足點H的距離，此時有

式中：L=直接求解x1 的顯示表達式需求解四次代數(shù)方程，非常困難，但顯然，x1≥0 的取值對B有單調(diào)減小的關(guān)系，因此必定有唯一的x1的取值使得B=B0，可采用簡單的二分法求解任意精度的近似解；當無人機航線中不存在可使功率密度達到閾值的點時，可定義x1= 0。

計算x2需要根據(jù)各參數(shù)的不同取值造成的不同情形分別處理。情形1：若藍方無人機在進入激光有效射程之前已突入要地邊緣，如前文圖2 所示，則應(yīng)令x2=x1；情形2：若藍方無人機到達要地邊緣時沒有脫離激光系統(tǒng)的有效射程，則x2=r-d；情形3：若藍方無人機到達要地邊緣時正處于激光有效射程邊緣或者已經(jīng)從激光的有效射程脫離，則x2= -x1。當藍方無人機航線有一段進入激光最大射程內(nèi)時，情形1 等價于

情形2 等價于

情形3 等價于

當藍方無人機航線不進入激光最大射程時，有x1= 0，且應(yīng)有x2= 0，此時x1+d＜r與d-x1≥r至少 有 一 個 成 立 ，兩 種 情 況 下 都 會 令x2=x1= -x1= 0。解不等式組（19），（21）可得x1＜0，這與定義的x1的非負性不符，因此第1 種情況與第3 種情況的判據(jù)之間沒有重疊。因此上述3 種情況及其判據(jù)已正確劃分了所有可能的情形。綜上可得：

將式（15）～（22）代入式（11）～（14），即可得到沿航線j飛行的藍方無人機（群）突入要地前承受來自激光系統(tǒng)i的傷害Dij=D(P0i，γi，c，vj，hj，yij，x1ij，x2ij)，式中參數(shù)帶有下標i（或j）表示該參數(shù)由激光系統(tǒng)i（或航線j上的無人機）決定。

1.3 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計

對激光系統(tǒng)的下標求和可得航線j上藍方無人機（群）突入要地前承受的總傷害：

將所有需考慮的m條航線的承受傷害依次排成 一 列 構(gòu) 成 列 向 量D(X) = (D1，D2，…，Dm)T，構(gòu) 造權(quán)重對角陣可代表藍方沿第j條航線來襲的概率或紅方需保護對象沿該方向的分布比例等。列向量WD(X)反映了引入權(quán)重的影響后部署方案X對各航線藍方無人機的防御能力，為使得部署方案面對各個可能的藍方無人機來襲方向都有一定的防御能力，取對最薄弱的方向的防御能力值作為該方案的適應(yīng)度函數(shù)，即

部 署 方 案 可 表 示 為 2n維 向 量X=(x1，x2，…，x2n)，式中：x2i-1，x2i分別表示一臺激光系統(tǒng)的部署極角、半徑；n為激光系統(tǒng)數(shù)。粒子群算法的目標即是要在給定了環(huán)境參數(shù)、諸激光系統(tǒng)參數(shù)和諸藍方無人機航線參數(shù)等參數(shù)后，搜索一種最優(yōu)方案X，使得f(X)最大化：

2 粒子群算法

粒子群中的每個粒子的狀態(tài)由2 個向量描述：位 置 向 量Xi= (xi1，xi2，…，xiN)，速 度 向 量vi=(vi1，vi2，…，viN)，式中：i為粒子的編號；N為搜索空間維數(shù)。每個粒子的當前速度方向vi、自身歷史最優(yōu)位置方向Li= (li1，li2，…，liN)和當前全局最優(yōu)位置方向Lg= (lg1，lg2，…，lgN)分別對應(yīng)著粒子的“個體慣性”、“個體認知”和種群的“社會經(jīng)驗”，該粒子的下一步搜索方向是對這3 項信息的折中，對于一個有M個粒子，搜索空間維數(shù)為N的粒子群，這種折中用公式表示為

式中：i= 1，2，…，M；j= 1，2，…，N；k為當前迭代步數(shù)；xij∈[xmin，xmax]與vij∈[vmin，vmax]分別為粒子i的位置向量第j分量與速度向量第j分量；wk為第k步的慣性權(quán)重；η1與η2分別為認識系數(shù)與社會系數(shù)，統(tǒng)稱為學(xué)習(xí)因子；r1j與r2j為兩個獨立且服從[0，1]上均勻分布的隨機數(shù)。一方面，η1與η2代表了粒子向個體歷史最優(yōu)和種群當前最優(yōu)移動趨勢之間的折中，另一方面，wk代表了局部搜索與全局搜索之間的折中。一般來說，當?shù)綌?shù)k較小時wk較大，以便粒子容易到達未搜索過的區(qū)域，算法在這一階段的全局搜索能力較強；當?shù)綌?shù)k較大時wk較小，粒子的速度變小，基本只在當前解附近較小區(qū)域搜索，算法在這一階段的局部搜索能力較強。

將部署方案X= (x1，x2，…，x2n)編碼為粒子運動空間中的一點，從而一個粒子就代表了一種部署方案。粒子空間中同樣的一點在不同的藍方來襲場景下的適應(yīng)度值將不同。設(shè)定完場景參數(shù)再運行算法，粒子群將在粒子空間中尋優(yōu)。本文所使用的PSO 算法步驟如下：

步驟1：各參數(shù)初始化。包括紅方要地半徑、可部署范圍，各臺激光系統(tǒng)的功率、波長、光束質(zhì)量等參數(shù)；藍方各航線的方位、高度、藍方無人機速度、毀傷閾值，權(quán)重；粒子群算法的粒子數(shù)、最大迭代次數(shù)、學(xué)習(xí)因子、慣性權(quán)重上下限。并隨機賦給各粒子初始位置與速度。

步驟2：計算各粒子適應(yīng)度。將每個粒子i的位置Xi代入適應(yīng)度函數(shù)f，記錄粒子i的個體極值位置Li與全局極值位置Lg。

步驟3：判斷是否已達到最大迭代次數(shù)。若達到，則轉(zhuǎn)向步驟5；否則轉(zhuǎn)向步驟4。

步驟4：按式（26），（27）更新粒子狀態(tài)，按線性遞減更新慣性權(quán)重，轉(zhuǎn)回步驟2。

步驟5：輸出全局最優(yōu)位置Lg作為部署方案。

3 仿真校驗

為簡化分析討論，將所有激光系統(tǒng)主要性能參數(shù)、不同航線無人機飛行參數(shù)設(shè)為相同。常見的高能激光波長為1 064 nm。光束衍射發(fā)散角γy由式（2）計算得出，參照文獻［12］中的設(shè)定，將光軸抖動角γd設(shè)定為，大氣抖動擴散角γt取為8 μrad。具體如表1 所示。

表1 參數(shù)設(shè)定Table 1 Parameter setting

將所有激光系統(tǒng)部署在要地圓心或?qū)⑺屑す庀到y(tǒng)完全隨機地部署是2 種簡單自然的方案，因此使用圓心式部署方案和完全隨機部署方案作為參照，將粒子群算法給出的部署方案的適應(yīng)度值與相同數(shù)量的激光系統(tǒng)圓心式部署方案以及完全隨機部署方案的適應(yīng)度值比較。

使用Matlab 軟件編寫算法的實現(xiàn)程序，主要參數(shù)設(shè)定如表1 所示。粒子群算法的主要參數(shù)為：種群包含粒子數(shù)100，最大迭代數(shù)800，慣性權(quán)重由0.8遞減至0.01，認知系數(shù)η1= 1.2，社會系數(shù)η2= 2.2。在3 種場景下使用粒子群算法得出部署方案。

場景1：紅方的要地圓心記為坐標原點，設(shè)置藍方只可能沿0°方向來襲；紅方可部署范圍為半徑1 200 m 的與要地同心圓，可用激光系統(tǒng)數(shù)為3 臺。部署結(jié)果如圖5，6 所示。該場景下，粒子群優(yōu)化部署給出的方案是將3 臺激光系統(tǒng)沿來襲方向部署且盡可能前出，以使開火距離盡可能短，符合基本作戰(zhàn)經(jīng)驗。

圖5 場景1 部署方案Fig.5 Deployment scheme of scenario 1

圖6 場景1 收斂進程Fig.6 Convergence process of scenario 1

場 景2：設(shè) 置 藍 方 可 能 沿0°，60°，120°，180°，240°，320°方向以相等概率來襲；紅方可部署范圍為半徑1 200 m 的與要地同心圓，可用激光系統(tǒng)數(shù)為6臺。部署結(jié)果如圖7，8 所示。該場景下，需考慮的來襲方向與可用系統(tǒng)數(shù)量相等，部署方案近似為每臺激光系統(tǒng)防守一個方向，但并未如同場景1 一樣盡量前出，這是由于當前參數(shù)的激光系統(tǒng)在當前參數(shù)的大氣環(huán)境下達到毀傷閾值的開火距離約為2 050 m，足夠在一條航線下方的位置攻擊到相鄰的航線上的藍方無人機，算法需要在前出以增強當前方向的防御與靠近圓心以支援相鄰兩航線的防御之間尋找折中。

圖7 場景2 部署方案Fig.7 Deployment scheme of scenario 2

圖8 場景2 收斂進程Fig.8 Convergence process of scenario 2

場 景3：設(shè) 置 藍 方 可 能 沿0°，60°，240°，320°方向來襲，其中0°，320°方向來襲概率分別都為1/3，60°，240°方向來襲概率分別都為1/6；紅方可部署范圍 為（-1 000，-500），（500，-500），（500，1 000），（-1 000，1 000）4 點圍成的正方形，可用激光系統(tǒng)數(shù)為6 臺。部署結(jié)果如圖9，10 所示。該場景下，由于0°，320°方向權(quán)重是60°，240°方向的2 倍，且可部署范圍的左上半部分顯然是不利的部署區(qū)，因此部署的6 臺激光系統(tǒng)都與2 條重要航線靠近且盡可能前出，部署方位在可部署范圍內(nèi)尋找對另外2 條次要航線防御能力的折中。

圖9 場景3 部署方案Fig.9 Deployment scheme of scenario 3

圖10 場景3 收斂進程Fig.10 Convergence process of scenario 3

3 種場景下各方案適應(yīng)度值如表2 所示，為了直觀地顯示結(jié)果，按如下方式將適應(yīng)度值歸一化：以各場景中圓心式部署方案的適應(yīng)度值為標準，其他部署方案的適應(yīng)度值除以圓心式部署方案的適應(yīng)度值，從而顯示出各方案的相對比例關(guān)系，表中括號內(nèi)數(shù)據(jù)為原始適應(yīng)度值，括號前數(shù)據(jù)為歸一化后的適應(yīng)度值。

表2 不同方案適應(yīng)度結(jié)果Table 2 Fitness values of different schemes

由運行結(jié)果可以看出，在3 種場景下采用粒子群優(yōu)化部署都優(yōu)于圓心式部署和完全隨機部署。且粒子群算法具有良好的收斂性，一般在迭代500次左右已基本收斂，使用CPU 主頻3.59 GHz，內(nèi)存16 GB 的臺式計算機可在10 s 內(nèi)輸出結(jié)果，具備實用可行性。

4 結(jié)束語

激光系統(tǒng)是目前反無人機的重要手段之一，規(guī)劃地基激光系統(tǒng)的部署，可使各激光系統(tǒng)的效能得到合理的發(fā)揮，提升要地防御能力。本文分析了地基激光系統(tǒng)的特點，建立了對勻速直線飛行目標的毀傷模型，使用粒子群算法實現(xiàn)了部署方案優(yōu)化過程。結(jié)果表明，在本文所建立模型之下，粒子群算法能找到正確的部署優(yōu)化方向，在3 種不同場景下所得結(jié)果均優(yōu)于圓心式部署和完全隨機部署，可為定向能系統(tǒng)反無人機作戰(zhàn)研究提供參考。