余智涵，張楠，3，楊紅強(qiáng)，4

（1.南京林業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 南京 210037； 2.國(guó)家林業(yè)和草原局林產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)貿(mào)易研究中心，江蘇 南京 210037；3.佐治亞大學(xué)沃內(nèi)爾林業(yè)與自然資源學(xué)院，美國(guó) 佐治亞州 雅典 30602；4.南京大學(xué)長(zhǎng)江三角洲經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展研究中心，江蘇 南京 210093）

隨著2030年碳達(dá)峰和2060年碳中和的“雙碳”目標(biāo)提出，除了加快能源結(jié)構(gòu)調(diào)整、發(fā)展綠色低碳技術(shù)等減排措施，充分發(fā)揮以林業(yè)碳匯為主的陸地生態(tài)系統(tǒng)固碳能力也是緩解氣候變化、實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的重要途徑［1］。一方面，可以通過植樹造林、減少毀林等林業(yè)活動(dòng)增加森林碳匯量；另一方面，也要充分發(fā)揮碳排放權(quán)交易市場(chǎng)的作用，通過市場(chǎng)機(jī)制將生態(tài)價(jià)值轉(zhuǎn)化為經(jīng)濟(jì)價(jià)值，以提高林業(yè)在緩解氣候變化方面的地位和作用［2］。就中國(guó)而言，天然林保護(hù)工程的實(shí)施對(duì)恢復(fù)天然林和生態(tài)修復(fù)起到了關(guān)鍵作用，其中中齡林和近熟林的固碳潛力巨大［3］。然而，成熟林和過熟林占比過高的問題也將導(dǎo)致其固碳量增長(zhǎng)緩慢，甚至可能導(dǎo)致林區(qū)由碳匯向碳源轉(zhuǎn)變［4］。除此之外，種植廣泛的人工林也具有很高的木材生產(chǎn)和碳匯能力，且受到整地、撫育等森林管理行為影響，人工林蓄積量增長(zhǎng)呈現(xiàn)出前期高、后期低的趨勢(shì)［5-6］。在合適的時(shí)機(jī)砍伐林分，不但能夠?qū)⑻脊檀嬖谏镔|(zhì)、土壤碳庫及木質(zhì)林產(chǎn)品中，也能夠?qū)⒛举|(zhì)林產(chǎn)品用于建筑以減少鋼鐵和混凝土行業(yè)生產(chǎn)期間的二氧化碳排放，更能夠?qū)⑸镔|(zhì)用于能源生產(chǎn)以代替化石燃料燃燒排放二氧化碳［7］。因此，在“雙碳”目標(biāo)和氣候變化緩解的壓力下，有必要先導(dǎo)性探討合理的森林采伐制度，通過對(duì)森林進(jìn)行可持續(xù)經(jīng)營(yíng)管理，以最大限度地提高森林木材生產(chǎn)和固碳的聯(lián)合效益。

1 研究背景

在全球氣候變化緩解過程中，森林生態(tài)系統(tǒng)通常被認(rèn)為是一個(gè)非常重要且具有成本效益的碳匯，據(jù)估計(jì)，全球森林對(duì)于大氣二氧化碳的抵消在陸地碳匯中的占比高達(dá)60%［8］。在中國(guó)，森林蓄積量及碳匯的增長(zhǎng)也主要來源于20世紀(jì)70年代中期以來的人工林?jǐn)U張［9］。因此，最大限度地發(fā)揮分布廣泛的人工林的固碳潛力，無疑是緩解全球氣候變化、實(shí)現(xiàn)中國(guó)碳中和目標(biāo)的重要途徑。

人工林具有較高的木材生產(chǎn)和碳匯能力，然而，其增長(zhǎng)率通常隨著林齡的增長(zhǎng)而下降。因此，從多目標(biāo)森林經(jīng)營(yíng)管理的角度來看，林地所有者需要確定最優(yōu)輪伐期，使林地的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和生態(tài)價(jià)值最大化。其中，經(jīng)濟(jì)價(jià)值為出售木材所獲得的收益，而生態(tài)價(jià)值主要為林業(yè)碳匯增加所帶來的在氣候變化減緩和“雙碳”目標(biāo)實(shí)現(xiàn)過程中所發(fā)揮的重要作用。對(duì)于生態(tài)價(jià)值的獲取，首先包括每年林地碳匯增量所對(duì)應(yīng)的價(jià)值總和；其次，只有可銷售商品材部分會(huì)被砍伐，這部分碳匯會(huì)進(jìn)一步保留在木質(zhì)林產(chǎn)品中，而林分的未采伐部分則會(huì)轉(zhuǎn)移至死亡有機(jī)質(zhì)碳庫（包括枯死木、枯落物和土壤有機(jī)碳）中保留一段時(shí)間并緩慢分解［2，10-12］。除此之外，定義最優(yōu)輪伐期也是確定其他森林管理策略的重要前提，例如森林撫育、間伐等［13］。在“雙碳”目標(biāo)下，如何基于中國(guó)森林資源特點(diǎn)，進(jìn)一步從經(jīng)濟(jì)學(xué)視角探討林業(yè)碳匯項(xiàng)目的經(jīng)營(yíng)管理策略，為林業(yè)參與“雙碳”目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)提供參考，已經(jīng)成為中國(guó)林業(yè)部門需要重點(diǎn)關(guān)注與急需回答的現(xiàn)實(shí)問題。

Faustmann［14］首先使用一個(gè)考慮木材收益的模型求解最優(yōu)輪伐期，之后碳匯收益也被納入到Faustmann模型的分析框架中［15］。根據(jù)新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中的市場(chǎng)交換理論，最優(yōu)輪伐期正是市場(chǎng)交換的結(jié)果，而作為交換過程中信息的載體，價(jià)格會(huì)調(diào)整林地所有者的個(gè)人行為，從而在與所有其他賣方和買方的無數(shù)交易相適應(yīng)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化［16］。然而，木材價(jià)格和碳匯價(jià)格均存在不確定性。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，隨機(jī)價(jià)格問題作為影響最優(yōu)輪伐期的重要因素也逐漸成林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的研究重點(diǎn)［17-19］。

Nordstrom［20］首次研究了隨機(jī)木材價(jià)格對(duì)于最優(yōu)輪伐期的影響。Brazee等［21］提出了存在價(jià)格波動(dòng)時(shí)的最優(yōu)輪作問題，林地所有者應(yīng)該根據(jù)預(yù)期價(jià)格重新制定管理決策。其他學(xué)者的進(jìn)一步研究表明，最優(yōu)輪伐期和土地期望值（Land Expection Value， LEV）會(huì)隨著隨機(jī)價(jià)格過程的變化而變化，但林地所有者通?？梢岳脙r(jià)格波動(dòng)獲得更高的收入［22-29］。隨著氣候變化問題的加劇，森林的碳匯效益受到了更加廣泛的關(guān)注，隨機(jī)價(jià)格假設(shè)也由木材價(jià)格擴(kuò)展到碳匯價(jià)格，部分學(xué)者使用實(shí)物期權(quán)分析（Real Options Analysis， ROA）計(jì)算了包括碳匯收益在內(nèi)的最優(yōu)輪伐期和LEV［18，30-32］。ROA允許林地所有者在投資決策不可逆轉(zhuǎn)時(shí)將決策推遲，并且被認(rèn)為是在價(jià)格波動(dòng)的情況下對(duì)投資進(jìn)行估價(jià)和描述投資行為的有效模型［33］。

該研究圍繞隨機(jī)價(jià)格下的最優(yōu)輪伐期問題，梳理其評(píng)估方法學(xué)及研究進(jìn)展，歸納總結(jié)隨機(jī)價(jià)格問題未來在林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的主要研究趨勢(shì)。首先，梳理Faustmann模型的起源及其演進(jìn)，揭示Faustmann模型經(jīng)典框架在靜態(tài)價(jià)格假設(shè)方面的不足；然后，結(jié)合不同市場(chǎng)假說和未來價(jià)格路徑的預(yù)測(cè)方法，探討不同的隨機(jī)價(jià)格過程在Faust‐mann模型中的應(yīng)用情況；其次，歸納比較靜態(tài)和隨機(jī)價(jià)格假設(shè)下的林地價(jià)值評(píng)估方法學(xué)，分析其優(yōu)缺點(diǎn)，并以ROA為例，明確幾種具體模型求解方法在不同隨機(jī)價(jià)格假設(shè)下的適用性；最后，在全球氣候變化背景下，結(jié)合中國(guó)木材市場(chǎng)和碳排放權(quán)交易市場(chǎng)的實(shí)際發(fā)展情況，為Faust‐mann模型中隨機(jī)價(jià)格問題的發(fā)展提供建議。

2 Faustmann模型經(jīng)典框架及其廣義擴(kuò)展

Faustmann［14］首次從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度，遵循利潤(rùn)最大化原則，構(gòu)建了一個(gè)考慮木材收益時(shí)的模型以求解其最優(yōu)森林管理決策。首先從單輪伐期開始分析，假設(shè)造林成本為C，樹木的生長(zhǎng)方程為V(t)，木材價(jià)格為P且保持不變，折現(xiàn)率為r，則林地所有者需要確定最佳采伐時(shí)間t，使得LEV最大，如式（1）所示：

進(jìn)一步地，在多輪伐期假設(shè)下，林地所有者從0時(shí)刻開始種植，并且每經(jīng)過時(shí)間t對(duì)林分進(jìn)行采伐以獲取利潤(rùn)，同時(shí)再次種植相同的樹種。此時(shí)的LEV相當(dāng)于將單輪伐期下的LEV分別乘以折現(xiàn)因子1、e-rt、e-2rt等并相加，即乘以一個(gè)幾何級(jí)數(shù)的和，如式（2）所示：

由此可以得到多輪伐期下的Faustmann模型及其一階條件，如表1所示。在Faustmann模型中，最優(yōu)輪伐期應(yīng)通過比較持續(xù)輪作的邊際效益來確定，這種邊際效益由樹木價(jià)值的額外增長(zhǎng)和延遲收獲的機(jī)會(huì)成本來解釋［34］。在Faustmann模型中，森林市場(chǎng)交易的復(fù)雜價(jià)格序列被簡(jiǎn)化到價(jià)格序列的開始和結(jié)束點(diǎn)，這個(gè)序列的開始只考慮最后的木材和裸地價(jià)格，并以造林成本作為價(jià)格序列的結(jié)束［16］。

表1 多輪伐期下確定最優(yōu)輪伐期的不同模型及其一階條件

Hartman［35］擴(kuò)展了Faustmann模型，將森林生態(tài)價(jià)值以函數(shù)F(t)的形式納入到評(píng)價(jià)系統(tǒng)，兼顧了木材經(jīng)濟(jì)效益和生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益。表1給出了考慮林地服務(wù)價(jià)值下的Faust‐mann模型及其一階條件。之后，Van Kooten等［15］聚焦于生態(tài)價(jià)值中的森林碳匯效益，并將其納入到模型中來。在確定最優(yōu)輪伐期時(shí)，雖然也可以使用最大持續(xù)產(chǎn)量（Maxi‐mum Sustainable Yield， MSY）標(biāo)準(zhǔn)，但從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度選擇最優(yōu)輪伐期無疑對(duì)林地所有者和林業(yè)投資是最具吸引力的［34］。包含碳匯收益的Faustmann模型也逐漸成為關(guān)于最優(yōu)輪伐期決策和相關(guān)主題研究的基礎(chǔ)［36］。

經(jīng)典的Faustmann模型以5個(gè)基本假設(shè)為基礎(chǔ)：①價(jià)格和成本是不變的，而且是已知的。②未來的利率是不變的，而且是已知的。③已知林分的生長(zhǎng)函數(shù)。④林地市場(chǎng)是完美的。⑤金融資本市場(chǎng)是完美的。在上述假設(shè)下，貼現(xiàn)現(xiàn)金流（Discounted Cash Flow， DCF）是一種常見的模型求解方法，它以固定可預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流量模式為依據(jù)確定林地價(jià)值，式（1）中的LEV便是DCF的一種形式［12］。

然而在現(xiàn)實(shí)中，上述假設(shè)未必能嚴(yán)格成立，即林地所有者的經(jīng)濟(jì)行為會(huì)受到各種因素的影響［37］。特別是關(guān)于靜態(tài)價(jià)格的假設(shè)，會(huì)使林地所有者對(duì)LEV的評(píng)估出現(xiàn)嚴(yán)重偏誤［12，24］。因此，有必要明確現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中價(jià)格的波動(dòng)形式，并使用動(dòng)態(tài)模型根據(jù)市場(chǎng)狀況靈活決策，從而在價(jià)格波動(dòng)的市場(chǎng)中實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化的目標(biāo)。

3 三類市場(chǎng)假說下的價(jià)格波動(dòng)特征

考慮到木材價(jià)格和碳匯價(jià)格會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，因此林地所有者的管理決策面臨著一定的風(fēng)險(xiǎn)。林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常使用金融和投資文獻(xiàn)中提出的隨機(jī)過程來處理這類風(fēng)險(xiǎn)，這為指定未知變量隨時(shí)間的漂移和波動(dòng)提供了一種方法［34］。該節(jié)綜述了隨機(jī)過程理論在最優(yōu)輪伐期問題中的應(yīng)用，首先介紹了現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論下隨機(jī)價(jià)格過程的一般形式，接著歸納總結(jié)有效市場(chǎng)假說和完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)假設(shè)下價(jià)格波動(dòng)的具體形式，最后討論基于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的其他價(jià)格波動(dòng)建模改進(jìn)。

3.1 現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論下的價(jià)格波動(dòng)建模

包含資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、套利定價(jià)理論、期權(quán)定價(jià)理論等在內(nèi)的現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的一個(gè)核心便是隨機(jī)價(jià)格假設(shè)，其中伊藤過程（Ito Process）是最常用的描述價(jià)格波動(dòng)的隨機(jī)過程模型［38］。伊藤過程通過漂移率和波動(dòng)率來描述價(jià)格隨時(shí)間的變化，被林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家廣泛應(yīng)用于處理Faustmann模型中的隨機(jī)價(jià)格問題［34，39］。伊藤過程的一般形式為：

其中：xt表示t時(shí)刻的價(jià)格；μ(xt，t)表示漂移項(xiàng)；σ(xt，t)表示波動(dòng)項(xiàng)；Bt表示維納過程。

進(jìn)一步地，Yoshimoto等［40］通指定過μ(xt，t)為xt的線性函數(shù)、σ(xt，t)為xt的非線性函數(shù)，將伊藤過程改寫為狀態(tài)相關(guān)波動(dòng)過程（State‐Dependent Volatility Process），如式（4）所示：

其中：σ、α、β、γ為待估參數(shù)。

由式（4）表示的隨機(jī)過程被記為SDVP（α，β，γ）。其中，作為伊藤過程和狀態(tài)相關(guān)波動(dòng)過程的特例，幾何布朗運(yùn)動(dòng)（Geometric Brownian Motion， GBM）和均值回復(fù)過程（Mean‐Reversion， MR）已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的價(jià)格建模，能夠在不同的經(jīng)濟(jì)學(xué)假設(shè)下解決隨機(jī)價(jià)格假設(shè)中的最優(yōu)輪伐期問題［34，39-40］。

3.2 有效市場(chǎng)假說下的價(jià)格波動(dòng)建模

根據(jù)有效市場(chǎng)假說，有效市場(chǎng)中的價(jià)格總是完全反映了所有可用信息，投資者無法通過基本分析和技術(shù)分析獲得超額利潤(rùn)［41］。而GBM則是有效市場(chǎng)中價(jià)格波動(dòng)的一個(gè)特例，它要求價(jià)格在不同微小時(shí)間間隔內(nèi)的增量為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。部分學(xué)者在最優(yōu)輪伐期研究中假設(shè)價(jià)格波動(dòng)服從正態(tài)分布，并建議使用GBM建模，因?yàn)樗c有效市場(chǎng)假說一致，且價(jià)格每年都會(huì)在之前的水平上隨機(jī)增加［21-23］。其一般形式為：

其中：P表示價(jià)格；μ表示均值；σ表示標(biāo)準(zhǔn)差；dz表示維納過程的增量。對(duì)于初始價(jià)格P0，給定時(shí)間t下價(jià)格Pt的期望值和方差可以用式（6）—式（7）表示：

進(jìn)一步的，根據(jù)伊藤引理（Ito’s Lemma），式（5）可以改寫為如下形式：

其離散形式為：

其中：εt～N(0，1)。

如果假設(shè)價(jià)格過程遵循GBM，那么參數(shù)μ和σ可以根據(jù)以下公式得到：

其中：m和s分別為序列{}lnPt-lnPt-1的均值和方差。

在早期林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中，許多學(xué)者基于GBM探討了隨機(jī)木材價(jià)格假設(shè)下林分的最優(yōu)輪伐期［21-23，42］。這些研究表明，當(dāng)木材價(jià)格或林分價(jià)值遵循GBM且無重置成本時(shí)，最優(yōu)輪伐期對(duì)于價(jià)格波動(dòng)不敏感；但當(dāng)重置成本存在時(shí)，林地所有者可以利用價(jià)格的隨機(jī)性來改進(jìn)最優(yōu)輪伐期的選擇，因?yàn)榱值厮姓哂袡C(jī)會(huì)在觀察到未來真實(shí)價(jià)格前推遲重置成本的發(fā)生。表2總結(jié)了GBM在Faustmann模型中的應(yīng)用情況。

表2 幾何布朗運(yùn)動(dòng)和均值回復(fù)過程在Faustmann模型中的應(yīng)用

3.3 完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)假設(shè)下的價(jià)格波動(dòng)建模

GBM假設(shè)使得最優(yōu)輪伐期問題在偏微分方程的模型框架下變得易于求解，但仍存在一些不切實(shí)際的地方［43］。首先，從式（5）中可以看出，如果價(jià)格在某一時(shí)刻變?yōu)?，那么它將在后續(xù)時(shí)刻始終保持為0，這與現(xiàn)實(shí)不符，也可能導(dǎo)致價(jià)格較低時(shí)期權(quán)價(jià)值的估值出現(xiàn)較大偏差［44］。此外，GBM假設(shè)下價(jià)格上漲的期望值和方差不受約束（式（6）—式（7）），但根據(jù)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)假設(shè)，當(dāng)一種商品的價(jià)格相對(duì)較高時(shí)，隨著成本較高的生產(chǎn)商進(jìn)入市場(chǎng)，該商品的供應(yīng)將會(huì)增加，從而對(duì)價(jià)格構(gòu)成下行壓力，反之亦然［45］。與遵循GBM的價(jià)格路徑相比，此行為更有可能導(dǎo)致MR價(jià)格路徑，部分學(xué)者對(duì)經(jīng)驗(yàn)價(jià)格數(shù)據(jù)的實(shí)證檢驗(yàn)也證明了這一觀點(diǎn)［24］。

MR的一般形式為：

其中：P表示價(jià)格；ν表示回復(fù)速率；μ表示均值；σ表示標(biāo)準(zhǔn)差；dz表示維納過程的增量。當(dāng)實(shí)際價(jià)格P大于均值μ時(shí)，ν(μ-P)dt一項(xiàng)整體為負(fù)，不考慮隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)σPdz，當(dāng)期的價(jià)格增量dP小于0，因此當(dāng)期價(jià)格將會(huì)向平均值趨近；同理，當(dāng)實(shí)際價(jià)格P小于均值μ時(shí)，當(dāng)期的價(jià)格增量dP則大于0，MR將使得每一期的價(jià)格穩(wěn)定在均值μ附近。

根據(jù)伊藤引理，可以求得MR的解析解，如式（13）所示：

從形式上看，離散形式下的式（13）與自回歸（Auto-Regressive， AR）過程非常相似，如式（14）所示：

其中：β0、β1和β2均為待估參數(shù)。因此，也有一些學(xué)者使用AR模型來代替MR分析木材價(jià)格的波動(dòng)情況［29，46-47］。

為了求得參數(shù)ν、μ和σ，首先將式（12）轉(zhuǎn)化為離散形式：

式（15）可以改寫為如下形式：

其中：c1、c2和et的標(biāo)準(zhǔn)差se可以通過最小二乘法估計(jì)得到。則ν=。

Gjolberg等［24］指出，MR假設(shè)傾向于減少林地所有者所感知的長(zhǎng)期價(jià)格波動(dòng)，這將導(dǎo)致與GBM假設(shè)相比，LEV的估值更高。Insley［44］的研究也表明，在MR假設(shè)下，期權(quán)價(jià)值和最優(yōu)輪伐期與GBM假設(shè)相比有顯著差異，例如，當(dāng)價(jià)格低于平均值時(shí)，MR給出了更高的期權(quán)價(jià)值。表2總結(jié)了MR在Faustmann模型中的應(yīng)用情況。

3.4 基于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的其他價(jià)格波動(dòng)建模改進(jìn)

根據(jù)式（4）—式（6），GBM和MR僅僅是隨機(jī)過程中的兩個(gè)特殊模型，它們分別由于符合有效市場(chǎng)假說和完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)假設(shè)而得到廣泛應(yīng)用。

已有許多學(xué)者使用ADF（Augmented Dickey‐Fuller Test）檢驗(yàn)法來測(cè)試經(jīng)驗(yàn)價(jià)格數(shù)據(jù)是否存在單位根而決定使用GMB還是MR假設(shè)［34］。然而，Yoshimoto等［40］基于SDVP（α，β，γ）展示了13種亞洲樹種的木材價(jià)格在GBM、MR和其他多種形式隨機(jī)過程中的表現(xiàn)，結(jié)果表明，無論是GBM還是MR都不足以解釋這些木材價(jià)格的價(jià)格動(dòng)態(tài)。

為了使隨機(jī)過程模型更加符合價(jià)格的實(shí)際波動(dòng)情況，也有部分學(xué)者使用了GBM和MR之外的其他隨機(jī)過程。其中最常見的是與MR極為相近的AR（1）模型；其次是將價(jià)格取對(duì)數(shù)從而構(gòu)成對(duì)數(shù)均值回復(fù)過程；此外還包括進(jìn)一步引入分布參數(shù)為γ的泊松跳躍，或均值為0、方差為σ2、赫斯特系數(shù)為H的分?jǐn)?shù)高斯噪聲WHi，并將幾種隨機(jī)過程混合。但無論使用哪一種隨機(jī)過程模型，都應(yīng)根據(jù)實(shí)際價(jià)格動(dòng)態(tài)與隨機(jī)過程的匹配程度來選?。?3，56-57］。表3展示了其他類型的隨機(jī)過程在Faustmann模型中的應(yīng)用情況。

表3 其他類型的隨機(jī)過程在Faustmann模型中的應(yīng)用

4 靜態(tài)與隨機(jī)價(jià)格下的最優(yōu)輪伐期決策

由于對(duì)隨機(jī)價(jià)格的描述通常以第3節(jié)中隨機(jī)過程的形式出現(xiàn)，這使得隨機(jī)價(jià)格假設(shè)下的Faustmann模型無法使用對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單靜態(tài)方法求解，需要使用ROA對(duì)經(jīng)典Faustmann模型針對(duì)隨機(jī)價(jià)格進(jìn)行改進(jìn)。此外，每一個(gè)價(jià)格波動(dòng)模型都擁有一些數(shù)學(xué)特征，木材價(jià)格和碳匯價(jià)格也可能分別擁有不同的波動(dòng)形式。因此，還需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ越鉀Q具有不同的價(jià)格波動(dòng)模型特征的最優(yōu)輪伐期動(dòng)態(tài)決策問題。該節(jié)首先歸納了靜態(tài)價(jià)格假設(shè)下的最優(yōu)輪伐期決策方法學(xué)及缺陷，接著以ROA為基礎(chǔ)綜述了適用于具有隨機(jī)價(jià)格的最優(yōu)輪伐期決策動(dòng)態(tài)模型，以及不同價(jià)格波動(dòng)特征下的模型求解方法學(xué)。

4.1 基于貼現(xiàn)現(xiàn)金流的靜態(tài)價(jià)格決策方法及缺陷

DCF分析是評(píng)估林業(yè)和其他行業(yè)投資的一種基本靜態(tài)方法，它基于一個(gè)融資的基本原則：由于通貨膨脹和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的存在，貨幣具有時(shí)間價(jià)值。其中，凈現(xiàn)值（Net Present Value， NPV）是DCF的一種，能夠比較總體投資回報(bào)隨著時(shí)間的演進(jìn)規(guī)律［39］。Faustmann［14］、Hartman［35］和Van Kooten等［15］共同構(gòu)建的包含碳匯效益的經(jīng)典Faust‐mann模型均基于NPV分析，要求林地所有者將最優(yōu)輪伐期確定為L(zhǎng)EV最大化的時(shí)間點(diǎn)。Asante等［11］分析了不同碳匯價(jià)格、考慮不同碳庫數(shù)量時(shí)的最優(yōu)輪伐期和LEV，與Van Kooten等［15］的理論分析一致，發(fā)現(xiàn)納入碳匯效益能夠縮短最優(yōu)輪伐期而提高LEV，且提高幅度隨著碳匯價(jià)格的增加而增加。在中國(guó)，也有學(xué)者以Faustmann模型為基礎(chǔ)，使用NPV評(píng)估了碳匯目標(biāo)下杉木人工林的碳匯供給［61］和經(jīng)濟(jì)效益［62］，同樣發(fā)現(xiàn)考慮碳匯效益能夠提高LEV，木材價(jià)格和利率是影響最優(yōu)輪伐期的關(guān)鍵因素。由于中國(guó)碳排放權(quán)交易市場(chǎng)仍處于起步和建設(shè)發(fā)展階段，實(shí)際碳匯價(jià)格遠(yuǎn)低于木材價(jià)格，因此對(duì)碳匯供給提高和經(jīng)濟(jì)效益增長(zhǎng)的影響并不明顯；但敏感性分析結(jié)果也表明，當(dāng)碳匯價(jià)格提高到一定程度時(shí)（如600元/t），林地所有者的經(jīng)濟(jì)收益將明顯提高。

然而，包含NPV在內(nèi)的DCF分析把投資決策看作是一個(gè)現(xiàn)在立即執(zhí)行或永遠(yuǎn)不執(zhí)行的決定［39］。事實(shí)上，隨著時(shí)間的推移，林地所有者所掌握的相關(guān)價(jià)格信息越來越多，一項(xiàng)投資的不確定性在未來可能會(huì)降低，在未來預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流量也將有別于最初的預(yù)測(cè)［63］。相比之下，ROA作為一種動(dòng)態(tài)決策方法具有更強(qiáng)的靈活性，并擁有使用新信息更新決策的機(jī)會(huì)，因此可以為林地所有者提供更好的投資決策。

4.2 基于實(shí)物期權(quán)分析的三種動(dòng)態(tài)隨機(jī)價(jià)格決策方法比較

4.2.1 隨機(jī)價(jià)格假設(shè)下的最優(yōu)輪伐期動(dòng)態(tài)決策模型

ROA作為一種金融衍生工具能夠幫助林地所有者在風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中動(dòng)態(tài)評(píng)估LEV隨時(shí)間的演進(jìn)規(guī)律［64］。Sauter等［65］指出林地所有者的管理決策行為更符合ROA理論而非DCF理論。ROA考慮林分生長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的一系列決策點(diǎn)，在每個(gè)決策點(diǎn)，林地所有者通過比較立即采伐與延遲采伐的預(yù)期收益，來決定是現(xiàn)在采伐林分還是保留之后采伐的權(quán)利［31-32，60］。使用ROA分析的優(yōu)勢(shì)在于隨著新信息的出現(xiàn)以及市場(chǎng)狀況和未來現(xiàn)金流的不確定性逐漸得到解決，林地所有者可以隨時(shí)調(diào)整他們的經(jīng)營(yíng)策略，并在木材價(jià)格或碳匯價(jià)格較為有利時(shí)選擇采伐林分從而在風(fēng)險(xiǎn)中獲利，提高了決策的靈活性［66］。

ROA所帶來的動(dòng)態(tài)決策過程需要使用“貝爾曼方程”來求解［34］。總的思路是將決策過程分為兩個(gè)部分，即刻階段以及后續(xù)階段。林地所有者的目標(biāo)是選擇一系列控制變量使即期收益價(jià)值與連續(xù)收益價(jià)值最大化。通過對(duì)貝爾曼方程求解，可以得到不同決策點(diǎn)上的一系列采伐閾值。就木材價(jià)格而言，當(dāng)位于特定決策點(diǎn)的實(shí)際木材價(jià)格超過閾值時(shí)，林地所有者應(yīng)該選擇立即采伐林分并出售木材從而獲取超額收益；而對(duì)于碳匯價(jià)格，由于林地所有者需要為采伐林分而造成的碳損失支付罰款，因此應(yīng)該在實(shí)際碳匯價(jià)格低于閾值時(shí)采伐林分而減少收入損失［31-32，60］。其中，對(duì)于貝爾曼方程的求解方法，通常包含構(gòu)建偏微分方程、蒙特卡洛模擬和馬爾可夫決策過程（Markov Decision Process， MDP）［30］。

4.2.2 不同價(jià)格波動(dòng)特征下的動(dòng)態(tài)模型求解方法

（1）價(jià)格服從正態(tài)分布的求解方法。以隨機(jī)過程為基礎(chǔ)而構(gòu)建偏微分方程的Black‐Scholes‐Merton（BSM）模型是求解林地實(shí)物期權(quán)價(jià)值的常用方法，它通過將期權(quán)價(jià)值的變化等同于未到期資產(chǎn)價(jià)值的變化來計(jì)算期權(quán)價(jià)值，可以在短時(shí)間內(nèi)計(jì)算大量決策點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值，其中價(jià)格的波動(dòng)性保持不變且收益服從正態(tài)分布［39，67］。目前，由于多數(shù)有關(guān)最優(yōu)輪伐期的研究使用了GBM或MR假設(shè)，且價(jià)格在任意微小時(shí)間間隔內(nèi)的增量均服從正態(tài)分布，因此這些研究均使用了基于BSM的模型求解［18，22，24-29］。在中國(guó)，曹先磊［68］也使用該模型對(duì)濕地松碳匯造林項(xiàng)目進(jìn)行了投資時(shí)機(jī)分析和價(jià)值評(píng)估。然而，BSM模型也存在一定的局限性，例如，只允許考慮一種風(fēng)險(xiǎn)來源而導(dǎo)致在項(xiàng)目期限較長(zhǎng)的林業(yè)生產(chǎn)中與收益相關(guān)的多種其他風(fēng)險(xiǎn)被忽略［69］、缺乏透明度且無法提供所有關(guān)鍵變量之間的準(zhǔn)確關(guān)系［30］。

基于點(diǎn)陣模型的二叉樹和有限差分方法的離散偏微分方程模型也能夠計(jì)算林地實(shí)物期權(quán)價(jià)值，并且允許價(jià)格的波動(dòng)性發(fā)生變化［30，67］。Thomson［23］首次使用二叉樹方法來確定木材價(jià)格隨機(jī)時(shí)的林分價(jià)值；進(jìn)一步地，Tee等［30］使用二叉樹方法對(duì)考慮兩個(gè)隨機(jī)價(jià)格（木材價(jià)格和碳匯價(jià)格）的林分進(jìn)行估價(jià)，從而允許林地所有者在兩種風(fēng)險(xiǎn)來源下對(duì)管理決策進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。但是，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)和風(fēng)險(xiǎn)來源數(shù)量的增加，二叉樹和有限差分方法的計(jì)算量將呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)［70］。因此，該模型多應(yīng)用于項(xiàng)目周期較短且風(fēng)險(xiǎn)來源較少的期權(quán)定價(jià)問題［56］。

（2）具有多個(gè)隨機(jī)價(jià)格的求解方法。由于木材價(jià)格和碳匯價(jià)格均存在隨機(jī)波動(dòng)性，最優(yōu)輪伐期的計(jì)算可能涉及多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來源。蒙特卡洛模擬則能夠通過構(gòu)建具有特定分布的隨機(jī)變量、依靠重復(fù)隨機(jī)抽樣技術(shù)近似計(jì)算無限接近于真實(shí)值的數(shù)值解方式來處理這些價(jià)格波動(dòng)，這些變量允許擁有非標(biāo)準(zhǔn)分布、隨時(shí)間變化的分布或存在相關(guān)性［56］。與偏微分方程相比，蒙特卡洛模擬不受時(shí)間或風(fēng)險(xiǎn)來源數(shù)量多的限制，也能夠提供未來林分價(jià)值的分布［56］。

自從Ibaneza等［56］提出了一種計(jì)算美式期權(quán)價(jià)值的蒙特卡洛模擬方法以來，蒙特卡洛模擬在求解Faustmann模型的ROA問題中得到了廣泛應(yīng)用。Petrasek等［60］同時(shí)考慮木材價(jià)值和碳匯價(jià)值，計(jì)算了道格拉斯冷杉林的LEV和最優(yōu)采伐策略。Petrasek等［31］進(jìn)一步考慮使用木材產(chǎn)品代替碳密集型材料所避免的排放，在不同固碳情景下計(jì)算了道格拉斯冷杉林的LEV，為設(shè)計(jì)碳補(bǔ)償政策提供了依據(jù)。Ning等［32］以美國(guó)密西西比州木材市場(chǎng)為研究對(duì)象，探討了同時(shí)考慮木材、碳匯和生物燃料生產(chǎn)對(duì)森林經(jīng)營(yíng)管理的影響。在中國(guó)，余智涵等［10］也使用蒙特卡洛模擬計(jì)算了單次輪作下考慮死亡有機(jī)質(zhì)碳庫時(shí)杉木人工林的最優(yōu)輪伐期，發(fā)現(xiàn)考慮包含死亡有機(jī)質(zhì)碳庫在內(nèi)的林業(yè)碳匯效益能夠穩(wěn)定提高林地所有者的收益。

（3）價(jià)格具有馬爾可夫性的求解方法。在GBM和MR假設(shè)中，每一期的價(jià)格都取決于前一期的價(jià)格，這種包含了具有馬爾可夫性的隨機(jī)價(jià)格模型可以通過構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣從而使用MDP近似求解［59，71］。但由于轉(zhuǎn)移概率矩陣的存在，MDP同二叉樹和有限差分方法一樣，其計(jì)算量也會(huì)隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)［43］。

Buongiorno［71］關(guān)于Faustmann模型隨機(jī)森林生長(zhǎng)和價(jià)格的研究表明，F(xiàn)austmann公式是一種特殊的MDP模型，其中假設(shè)的一切信息已知；Faustmann模型給出了確定環(huán)境下的最優(yōu)LEV，而MDP模型則給出了隨機(jī)環(huán)境下的最優(yōu)LEV。Lembersky等［72］首次將MDP應(yīng)用于林分LEV的估值。隨后，Insley等［43］、Buongiorno等［59］聚焦于隨機(jī)木材價(jià)格，使用MDP探討了木材價(jià)格波動(dòng)對(duì)于林地所有者收益的影響，也證明了MDP在林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的適用性和高效性。進(jìn)一步地，Sloggy等［47］將MDP擴(kuò)展為MOMDP（Mixed Observability Markov Decision Process），以處理多個(gè)隨機(jī)變量下最優(yōu)輪伐期的確定問題。

5 研究結(jié)論與展望

5.1 結(jié)論

最優(yōu)輪伐期決策一直是林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。設(shè)置合理的林業(yè)碳匯項(xiàng)目期限及森林采伐制度，能夠充分發(fā)揮森林及木質(zhì)林產(chǎn)品的固碳潛力。文章以Faustmann模型為基礎(chǔ)，著眼于隨機(jī)價(jià)格下最優(yōu)輪伐期決策的研究進(jìn)展，梳理了Faustmann模型經(jīng)典框架及其廣義擴(kuò)展，對(duì)不同市場(chǎng)假說下價(jià)格波動(dòng)的處理方法以及不同價(jià)格假設(shè)下的林地價(jià)值評(píng)估方法學(xué)進(jìn)行了分析，得出以下主要結(jié)論。

（1）在現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論中，以伊藤過程和狀態(tài)相關(guān)波動(dòng)過程為基礎(chǔ)的隨機(jī)過程是描述木材和碳匯價(jià)格波動(dòng)的重要模型，它們通過指定漂移率和波動(dòng)率來描述價(jià)格隨時(shí)間的變化。GBM和MR分別由于符合有效市場(chǎng)假說和完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)假設(shè)而得到廣泛應(yīng)用，在GBM假設(shè)下，價(jià)格具有指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而MR假設(shè)下的價(jià)格將保持在均值附近波動(dòng)。此外，也有林業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)價(jià)格數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)使用了更為復(fù)雜的隨機(jī)過程模型。

（2）以Faustmann經(jīng)典模型框架為基礎(chǔ)的多數(shù)研究均使用了基于DCF的靜態(tài)價(jià)格分析方法，但DCF作為確定型決策無法處理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，也無法利用新信息靈活調(diào)整決策方案。而ROA允許林地所有者進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析、根據(jù)市場(chǎng)狀況隨時(shí)調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，通過在每個(gè)決策點(diǎn)比較立即采伐與延遲采伐的預(yù)期收益、并在實(shí)際木材價(jià)格超過閾值或?qū)嶋H碳匯價(jià)格低于閾值時(shí)選擇采伐林分從而在風(fēng)險(xiǎn)中獲利。

（3）以即期收益價(jià)值與連續(xù)收益價(jià)值最大化為目標(biāo)的貝爾曼方程是求解林地實(shí)物期權(quán)價(jià)值的有效方法。通過對(duì)貝爾曼方程求解，可以得到不同決策點(diǎn)上的一系列采伐閾值，林地所有者可以通過比較采伐閾值和實(shí)際價(jià)格的方式?jīng)Q定是否立即采伐林分并出售木材獲利。而構(gòu)建偏微分方程、蒙特卡洛模擬和MDP則分別可以在價(jià)格服從正態(tài)分布、具有多個(gè)隨機(jī)價(jià)格和價(jià)格具有馬爾可夫性時(shí)有效求解貝爾曼方程。

5.2 展望

林地所有者面臨著來自金融資本市場(chǎng)的多重價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，大量學(xué)者基于ROA和隨機(jī)過程模型研究了Faust‐mann模型中的隨機(jī)價(jià)格問題，特別是針對(duì)木材價(jià)格波動(dòng)時(shí)的森林管理決策問題，已有許多學(xué)者對(duì)不同樹種開展了專門研究。然而，在處理Faustmann模型中的隨機(jī)價(jià)格問題時(shí)，仍有一些值得重視的科學(xué)問題。

（1）將Faustmann模型在氣候變化背景下擴(kuò)展至完整林業(yè)碳匯效益。隨著氣候問題的加劇，森林在緩解全球氣候變化方面發(fā)揮的作用越來越受到國(guó)際社會(huì)的關(guān)注［7，15］。從已有研究來看，F(xiàn)austmann模型中的隨機(jī)價(jià)格研究多集中于木材價(jià)格，涉及碳匯效益的研究仍然較少。一般來說，完整林業(yè)碳庫包括地上生物量、地下生物量、枯死木、枯落物、土壤有機(jī)碳和木質(zhì)林產(chǎn)品，特別是木質(zhì)林產(chǎn)品碳庫，它們不僅可以比自然死亡的樹木將碳儲(chǔ)存更長(zhǎng)時(shí)間，而且當(dāng)考慮替代效應(yīng)時(shí)，還可能導(dǎo)致高碳排放建筑材料的使用減少［7］。精準(zhǔn)核算完整林業(yè)碳匯效益并與ROA相結(jié)合，能夠充分實(shí)現(xiàn)林業(yè)的生態(tài)價(jià)值。

（2）使用包含機(jī)器學(xué)習(xí)在內(nèi)的多種方法對(duì)木材及碳匯價(jià)格波動(dòng)進(jìn)行更加精確和合理的建模。不同的價(jià)格模型會(huì)導(dǎo)致模擬的樣本路徑在未來時(shí)間點(diǎn)上的不同分布，由于ROA方法依賴于未來價(jià)格分布的形式，價(jià)格模型的設(shè)置對(duì)LEV的估算至關(guān)重要［40］。就中國(guó)而言，木材市場(chǎng)存在明顯的區(qū)域特征，且競(jìng)爭(zhēng)與壟斷并存，多種所有制和經(jīng)營(yíng)形式并存［17］；碳排放權(quán)交易市場(chǎng)仍處于起步和發(fā)展階段，且交易價(jià)格會(huì)受到環(huán)境、政策等因素的影響，未來的價(jià)格路徑難以用簡(jiǎn)單的隨機(jī)過程描述［10］。因此，有必要使用包括隨機(jī)過程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器學(xué)習(xí)在內(nèi)的多種方法對(duì)木材價(jià)格和碳匯價(jià)格進(jìn)行準(zhǔn)確建模，以實(shí)現(xiàn)LVE的精確估值。

（3）在Faustmann模型中考慮包含資源風(fēng)險(xiǎn)和決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)在內(nèi)的多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來源。除了價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)外，林業(yè)管理還涉及資源風(fēng)險(xiǎn)和決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)［73］。特別是在氣候變化背景下，包含火災(zāi)、病蟲害等在內(nèi)的資源風(fēng)險(xiǎn)顯得尤為重要。此外，以林地所有者自身風(fēng)險(xiǎn)偏好和政策風(fēng)險(xiǎn)為代表的決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)也是影響最優(yōu)輪伐期的關(guān)鍵因素。因此，如何將多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來源同時(shí)納入Faustmann模型，并構(gòu)建一個(gè)合理的指標(biāo)體系，在生態(tài)模型和經(jīng)濟(jì)模型之間取得權(quán)衡，以協(xié)助林地所有者根據(jù)自身偏好做出最優(yōu)管理決策，也是未來的一個(gè)重要研究方向。