高露露,翟學(xué)君,閔歡歡,劉廣華,蘭瑞君,申英杰

(煙臺(tái)大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

1 引 言

中紅外2 μm波段的激光,其輸出光譜可以覆蓋1.88～2.14 μm,處于大氣的弱吸收帶和人眼安全波段,具有安全性高、光束質(zhì)量好、傳播距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn),因此2 μm波長的脈沖激光器可以應(yīng)用激光雷達(dá)、醫(yī)療診斷、材料加工和環(huán)境監(jiān)測等許多領(lǐng)域。此外,2 μm激光器也可用作泵浦源以產(chǎn)生3～5 μm和8～12 μm的其他紅外(IR)激光波段。因此輸出波長在2 μm附近的摻銩固體激光器也就自然成為人們研究的熱點(diǎn)。近年來,單摻銩固體激光器的研究重點(diǎn)是如何獲得高功率、窄脈寬的激光輸出。然而,對于固體激光器來說,泵浦源的光束特性允許它們的輻射緊密聚焦到泵浦材料中。泵浦功率的很大一部分被轉(zhuǎn)換成激光材料內(nèi)部的熱量,且發(fā)射的泵浦光能量密度高,方向性強(qiáng),導(dǎo)致增益介質(zhì)因吸收泵浦能量造成熱量沉積而發(fā)熱,使激光器輸出的光束質(zhì)量變差、輸出功率下降,甚至導(dǎo)致增益晶體碎裂。因此,為了使固體激光器獲得更優(yōu)的輸出性能,必須考慮影響光學(xué)性能的熱效應(yīng)。

激光晶體的熱效應(yīng)包括應(yīng)力斷裂、應(yīng)力誘導(dǎo)雙折射和熱透鏡效應(yīng)等,這些都會(huì)對激光器的輸出性能帶來嚴(yán)重影響。其中影響最大的為增益介質(zhì)的熱透鏡效應(yīng)。因此為了有效提高激光輸出功率、改善光束質(zhì)量,本文總結(jié)了自熱效應(yīng)的概念提出以來國內(nèi)外研究人員對固體激光器熱效應(yīng)的研究成果,同時(shí)對固體激光器熱透鏡效應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程及其邊界條件進(jìn)行討論,分析了端面抽運(yùn)各向異性與各項(xiàng)同性的棒狀或方形的單摻Tm激光介質(zhì)的溫度分布,對影響熱透鏡效應(yīng)的三種不同因素產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行理論計(jì)算,為進(jìn)一步減緩熱透鏡效應(yīng)提高激光器輸出性能奠定了良好的理論基礎(chǔ)。

2 單摻銩晶體

廢熱的產(chǎn)生對增益晶體產(chǎn)生了許多不利影響,除了溫度梯度引起的折射率變化外,端面曲率和應(yīng)力誘導(dǎo)的折射率變化也會(huì)對熱透鏡產(chǎn)生貢獻(xiàn)。這些貢獻(xiàn)的相對大小取決于許多因素,包括激光材料的熱機(jī)械和熱光學(xué)特性、泵浦沉積剖面、激光介質(zhì)形狀、腔結(jié)構(gòu)和熱沉排列等。

由于Tm3+的吸收峰之一為795 nm,能夠使工作在0.8 μm左右的AlGaAs二極管作為泵浦源,且Tm3+表現(xiàn)出一種有益的交叉弛豫過程。可以提高量子效率,產(chǎn)生高效的激光操作。因此摻Tm3+的增益晶體已經(jīng)成為LD泵浦2 μm波段激光器重要的晶體之一。摻銩增益晶體的基質(zhì)材料有很多,其中以釔鋁石榴石(YAG)、鋁酸釔(YAP)、釔氟化鋰(YLF)為基質(zhì)晶體的摻銩增益晶體使用最多。

YAG屬立方晶系,各向同性晶體,具有良好的熱穩(wěn)定性,制備技術(shù)成熟,是較好的基質(zhì)晶體。但其激光輸出為非偏振光,在高功率泵浦條件下會(huì)產(chǎn)生熱致雙折射導(dǎo)致轉(zhuǎn)換效率降低,同時(shí)產(chǎn)生較嚴(yán)重的熱效應(yīng)不利于激光輸出。且Tm∶YAG晶體增益截面的光譜在2 μm波段存在精細(xì)結(jié)構(gòu),也就是增益截面光譜分裂,無法滿足2 μm更短脈沖激光輸出的要求。

YAP的熱力學(xué)性能和機(jī)械性能與YAG相似,但YAP為各向異性晶體,其發(fā)射截面是YAG晶體的兩倍多,具有自然雙折射性質(zhì),輸出光為線偏振光。性質(zhì)主要取決于晶體的a、b、c三個(gè)晶向,在不同坐標(biāo)系或不同空間群態(tài)中晶體的取向是不一樣的,其激光性能、輸出波長等也有變化,因此可以通過選擇晶體的結(jié)晶取向來獲得最佳的性能輸出[1]。但YAP基質(zhì)也同樣存在一些缺點(diǎn),其各項(xiàng)異性使YAP晶體在受到高強(qiáng)度激光泵浦后發(fā)生膨脹或收縮從而產(chǎn)生熱應(yīng)力,該應(yīng)力超過某一極限應(yīng)力時(shí),將導(dǎo)致晶體開裂。即各向異性晶體的熱畸變嚴(yán)重,影響大能量泵浦和激光輸出。

YLF屬于氟化物晶體,其硬度和熱導(dǎo)率都適中,具有偏振輸出特性,上能級熒光壽命長,易于儲(chǔ)能,其負(fù)折射率特性能夠有效減輕晶體熱透鏡效應(yīng),有利于實(shí)現(xiàn)大脈沖能量激光運(yùn)轉(zhuǎn)獲得大功率激光輸出。但一般氟化物的熱機(jī)械性不如含氧化合物,同樣存在熱畸變嚴(yán)重的現(xiàn)象[2]。因此材料特性不同,得到的激光性能也不同,即我們需要根據(jù)具體應(yīng)用來選擇適當(dāng)?shù)膿诫s基質(zhì)。

3 單摻Tm固體激光器熱效應(yīng)的發(fā)展過程及研究現(xiàn)狀

3.1 晶體熱效應(yīng)產(chǎn)生機(jī)理的研究背景

晶體熱效應(yīng)作為影響激光器輸出性能的關(guān)鍵因素,了解其產(chǎn)生機(jī)理對采取減小熱效應(yīng)的措施至關(guān)重要。

1970年,Koechner在其著作《固體激光工程》[3]中首次解釋了增益介質(zhì)在被泵浦時(shí)產(chǎn)生廢熱的原因?yàn)楸闷峙c發(fā)射光子之間的能量差異,即量子缺陷加熱。此外,濃度淬滅、非輻射位點(diǎn)和能量轉(zhuǎn)移上轉(zhuǎn)換等機(jī)制都有可能導(dǎo)致顯著的額外熱負(fù)荷。之后作者又給出了在LD端面泵浦固體激光器時(shí),激光晶體內(nèi)的溫度分布、熱應(yīng)力和熱透鏡效應(yīng)在連續(xù)、單脈沖和重復(fù)脈沖運(yùn)轉(zhuǎn)條件下的物理數(shù)學(xué)模型。為之后進(jìn)一步研究固體激光器的熱效應(yīng)提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1996年,菲利普斯非線性光學(xué)實(shí)驗(yàn)中心P.PETERSON等人模擬了單程LD端面泵浦Tm∶YAG激光器的熱效應(yīng)[4]。觀察到3H4泵浦流形的非輻射衰變、3F4激光流形的無輻射衰變以及從二對一交叉弛豫過程中沉積的能量將導(dǎo)致激光晶體產(chǎn)生了熱透鏡效應(yīng)迫使諧振器變得不穩(wěn)定并停止激光的現(xiàn)象。

3.2 有關(guān)分析晶體熱效應(yīng)影響的研究概況

激光晶體的熱效應(yīng)理論得出后,國內(nèi)外各學(xué)者針對熱效應(yīng)如何影響激光器運(yùn)行的問題進(jìn)行了討論,提出了一系列有關(guān)熱效應(yīng)分析的簡單模型和溫度分布表達(dá)式。

2001年,Clarkson研究了端面抽運(yùn)邊緣冷卻的固體激光器的熱透鏡效應(yīng)。提出了熱透鏡效應(yīng)和光束質(zhì)量退化與泵浦光束橫向強(qiáng)度分布關(guān)系的簡單模型[5]。2005年,西安電子科技大學(xué)的楊永明等人提出了使用干涉條紋法測量熱透鏡的方法,即通過觀察干涉條紋的移動(dòng)得知光程差的變化,進(jìn)而間接測量晶體的熱焦距[6]。該方法能夠測得由溫度梯度,熱應(yīng)力和端面變形引起的總的熱透鏡焦距。2006年,B.Chen等人在報(bào)道了晶體板激光器的應(yīng)力斷裂和熱梯度誘導(dǎo)的應(yīng)力雙折射后,又給出了晶體板激光器由于熱梯度和應(yīng)力梯度而產(chǎn)生透鏡效應(yīng)的解析和數(shù)值計(jì)算[7]?？紤]了泵浦陣列中LD棒之間間隙的影響及平板邊緣上未摻雜材料的放置。結(jié)果表明在泵陣列中棒間隙會(huì)導(dǎo)致吸收泵功率分布不同使溫度分布不均勻,對端泵浦平板產(chǎn)生難以糾正的熱透鏡效應(yīng)。2011年,Yao等人研究了雙端連續(xù)抽運(yùn)a切Tm∶YLF和c切Tm∶YAP激光器的熱效應(yīng)[8]。從實(shí)驗(yàn)和理論上詳細(xì)比較了兩種晶體產(chǎn)生1.94 μm的激光性能和熱分析。根據(jù)測量的M2因子反向計(jì)算得出熱焦距,雖然他們指出了許多影響熱模型的重要參數(shù),但研究使用的都是基于圓柱的解決方案,即使是對于立方截面晶體。2013年,北京理工大學(xué)陳家斌等人將LD端面抽運(yùn)矩形激光介質(zhì)看作是一組熱柱面透鏡,每個(gè)熱柱面透鏡以不同的熱焦距對總的熱透鏡效應(yīng)做出貢獻(xiàn),分析了分布式熱透鏡的作用,總結(jié)了溫度梯度和熱應(yīng)力造成的折射率的變化規(guī)律[9]。 2014年,復(fù)旦大學(xué)沈德元等人建立了大功率端面泵浦Tm∶YAG平板激光器的三維平面波熱模型,采用數(shù)值迭代法得到了板狀晶體的穩(wěn)定溫度分布和激光輸出[10]。基于該模型分析了熱交換系數(shù)對激光性能的影響,為處理激光和熱負(fù)荷的不對稱分布問題提供了一種更精確的方法。2015年Bai等人報(bào)告了立方Tm∶YLF晶體熱方程的解。利用積分變換得到晶體中溫度分布和熱焦距的解析表達(dá)式[11]。為雙端泵浦Tm∶YLF激光器的熱補(bǔ)償和腔設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù),且所建立的模型可用于分析其他各向異性晶體。雖然他們巧妙地解決了熱方程的建立,但應(yīng)重新考慮側(cè)面恒溫的假設(shè)。2016年,Liu等人提出立方各向異性晶體熱方程的綜合解析解,將所報(bào)告的表達(dá)式應(yīng)用于板條Tm∶YLF晶體,詳細(xì)考慮了立方體所有六個(gè)面的對流冷卻機(jī)制[12]。對側(cè)面和端面采用了不同的傳熱系數(shù)。其結(jié)果表明該模型高度可靠,為雙泵浦Tm∶YLF激光器的熱補(bǔ)償和腔設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。證明了該熱模型可以應(yīng)用于其他各向異性板條晶體的復(fù)雜熱分析。2022年,沙特阿拉伯塔伊夫大學(xué)的學(xué)者提出了使用1064 nm的泵浦光泵浦Tm∶YAP激光棒產(chǎn)生1.98 μm的激光輸出[13],數(shù)值計(jì)算了泵浦光斑大小對熱透鏡效應(yīng)的影響,以及最大熱應(yīng)力。給出了最佳泵浦條件的測量和計(jì)算,實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

3.3 有關(guān)減小晶體熱效應(yīng)措施的研究概況

近年來,針對如何減小激光晶體熱效應(yīng)的問題,國內(nèi)外學(xué)者做了大量的工作。

2004年,中國科學(xué)院物理研究所的姚愛云等人設(shè)計(jì)了一種LD雙端泵浦固體激光器的實(shí)驗(yàn)裝置[14],這種雙端泵浦方式使熱量在增益介質(zhì)兩端有效分配,使晶體吸收的熱量分布更均勻,從而達(dá)到減少熱效應(yīng),擴(kuò)大穩(wěn)定范圍,獲得高輸出功率的目的。2006年,英國南安普頓大學(xué)W.A.Clarkson等人設(shè)計(jì)了一種用于放大泵浦光束并將產(chǎn)生的熱量分配到多個(gè)激光介質(zhì)的主振蕩器功率放大器配置[15]。通過優(yōu)化信號(hào)光與泵浦光束重疊,采用新穎的端泵浦放大器設(shè)計(jì),使熱效應(yīng)減小到最低,產(chǎn)生了光束質(zhì)量較好的輸出激光。2009年,法國光學(xué)研究所查爾斯·法布里實(shí)驗(yàn)室首次使用了一種內(nèi)腔泵送裝置的帶內(nèi)泵浦以減少量子缺陷[16],即在914 nm處直接從基態(tài)流形的最后一級泵送Nd3+離子。并通過實(shí)驗(yàn)證明高亮度的LD與相對高摻雜的Nd∶YVO4晶體結(jié)合使用,有非常小的熱產(chǎn)生以及非常好的光束質(zhì)量輸出。同年,Li等人提出了一種對端面抽運(yùn)固體激光器直接散熱的方法,即晶體棒側(cè)面采用傳統(tǒng)的冷卻方式,晶體受熱端緊貼金剛石這種對泵浦光透明的高導(dǎo)熱率材料,使集中于晶體端面附近的熱量通過該材料直接導(dǎo)出[17]。之后該團(tuán)隊(duì)又利用熱管高導(dǎo)熱性提出了一種新的散熱方案[18]。通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算比較熱管散熱和水冷散熱時(shí)的晶體溫度分布和熱透鏡焦距。結(jié)果表明兩種方式都能有效對晶體散熱。2010年,Yao等人對連續(xù)LD泵浦Tm∶YAP激光器產(chǎn)生的熱透鏡效應(yīng)進(jìn)行了分析[19],在不同的腔長度處記錄相應(yīng)的泵浦功率,根據(jù)ABCD矩陣計(jì)算出熱焦距。同時(shí)設(shè)計(jì)了兩種諧振器來補(bǔ)償熱透鏡效應(yīng),如圖2所示。一種方法是將凸透鏡的焦距設(shè)置在激光晶體的中間,另一種方法則是將平凹鏡的半徑也設(shè)置在晶體的中間。實(shí)驗(yàn)證明了這些方法的有效性。

圖2 熱焦距測量裝置

相比于棒狀晶體,板條狀晶體散熱效果更好,更有利于獲得高功率激光輸出。因此出現(xiàn)了一種創(chuàng)新的平板激光器的概念(INNOSLAB)[20]。2017年,Wang等人采用平凸腔增大基模體積補(bǔ)償熱透鏡效應(yīng)的方法[21],證明了該腔結(jié)構(gòu)能夠改善復(fù)合激光光束質(zhì)量,二極管端面抽運(yùn)激光器示意圖如圖3所示。同年,西安電子科技大學(xué)的屈鵬飛等人研究了一種新方法以提高光束質(zhì)量[22]。該方法并不是緩解熱效應(yīng),而是利用增益內(nèi)部的熱效應(yīng)。通過控制泵浦功率調(diào)整晶體產(chǎn)生的熱焦距,使光束在增益介質(zhì)內(nèi)高度匹配,從而達(dá)到改善激光光束質(zhì)量的目的。

2017年,南安普敦大學(xué)光電研究中心的W.A.Clarkson等人描述了一種利用環(huán)形泵浦光減輕熱透鏡效應(yīng)的方法[23]。即在激光模式中產(chǎn)生一個(gè)中心區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)沒有熱量耗散。使得激光模式上溫度分布更均勻。同年韓國漢陽大學(xué)的研究人員在其基礎(chǔ)上導(dǎo)出了環(huán)形光束泵浦分布下激光介質(zhì)中溫度分布和熱焦距的簡單解析表達(dá)式[24]。并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明環(huán)形泵浦光束有利于進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)功率縮放。2018年,Wu等人首次提出了一種新穎的脈沖LD間歇抽運(yùn)2 μm聲光調(diào)Q摻銩激光器的方法[25],即晶體兩端各由一個(gè)脈沖LD激勵(lì),通過外部電路控制兩個(gè)脈沖LD對增益介質(zhì)的激勵(lì)時(shí)間和間隔,該間隔用來緩解雙端泵浦對晶體的熱效應(yīng)。2020年,湖北工業(yè)大學(xué)的姚育成等人在泵浦耦合模塊上利用TEC制冷特性設(shè)計(jì)了冷卻與輔熱組合封裝結(jié)構(gòu),使增益區(qū)域的低溫冷卻和光學(xué)端面高溫輔熱相結(jié)合[26],解決了光學(xué)端面水汽凝結(jié)問題。同時(shí)通過晶體熱效應(yīng)的三維理論模型計(jì)算出溫度、熱應(yīng)力和光學(xué)畸變的大小,降低了晶體的工作溫度和晶體的最高熱應(yīng)力。

4 端面泵浦單摻銩固體激光器的熱透鏡效應(yīng)理論分析

激光晶體的熱透鏡效應(yīng)沿激光傳播方向逐漸改變。摻銩晶體不同或摻銩濃度不同都會(huì)影響激光晶體內(nèi)的溫度分布。從上述研究過程中我們了解到:使用對應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程可以描述不同種類以及不同形狀的激光介質(zhì)的溫度分布,詳細(xì)分析其在不同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下的邊界條件,可得到激光介質(zhì)內(nèi)準(zhǔn)確的溫度分布。雖然邊界條件越復(fù)雜越會(huì)使計(jì)算過程更困難,但同時(shí)也會(huì)使結(jié)果更準(zhǔn)確。

4.1 熱傳導(dǎo)方程

熱傳導(dǎo)也說導(dǎo)熱,是熱傳遞的一種方式。在激光晶體內(nèi),泵浦所沉積的熱量會(huì)導(dǎo)致激光介質(zhì)內(nèi)發(fā)生熱傳導(dǎo),形成不均勻的溫度分布,從而產(chǎn)生熱效應(yīng),熱透鏡效應(yīng)是由增益介質(zhì)折射率變化造成的。為了模擬熱誘導(dǎo)折射率變化,必須求解激光介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程,以獲得適當(dāng)?shù)臏囟确植肌?/p>

激光二極管泵浦的固體激光器的激光介質(zhì)結(jié)構(gòu)主要有柱形和方形,我們首先針對方形的激光晶體進(jìn)行研究。假設(shè)該方形單摻銩晶體為各向同性,例如Tm∶YAG固體激光器,當(dāng)內(nèi)部沒有熱源時(shí),假定熱力學(xué)參數(shù)ρ,c,K均為常數(shù),熱導(dǎo)率為K,笛卡爾坐標(biāo)系下其三維熱傳導(dǎo)方程為:

(1)

熱擴(kuò)散系數(shù)為:a2=K/ρc。當(dāng)有熱源時(shí):

(2)

晶體內(nèi)的溫度差導(dǎo)致發(fā)生熱傳導(dǎo)。當(dāng)熱傳導(dǎo)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),溫度的變化與時(shí)間t無關(guān)時(shí),即:?T/?t=0。則對于LD端面泵浦各向同性均勻矩形的摻銩增益介質(zhì)時(shí),在有熱源且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的溫度分布為:

(3)

當(dāng)激光晶體是各向同性的均勻圓柱時(shí),其熱傳導(dǎo)方程在柱坐標(biāo)下表示為:

(4)

在柱坐標(biāo)下達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所滿足的方程為:

(5)

對于棒狀激光晶體,若假設(shè)棒無窮長且熱流為純徑向,則熱傳導(dǎo)方程為:

(6)

在求解單摻銩晶體瞬態(tài)溫度分布方面,上述分析是針對各向同性的長方形與圓柱形晶體分別在笛卡爾坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下求解的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程,而針對各向異性單摻銩晶體并不適用。

現(xiàn)假設(shè)方形單摻銩晶體是各向異性的,如Tm∶YAP、Tm∶YLF[27]固體激光器,則滿足的方程為:

(7)

達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)有:

=0,0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(8)

其中,a、b和l分別為晶體端面和沿軸方向尺寸,κx、κy、κz為沿x,y,z軸的導(dǎo)熱系數(shù),T(x,y,z)為晶體內(nèi)溫度分布;qv(x,y,z)為熱源密度函數(shù)。

4.2 光強(qiáng)與熱功率密度

激光二極管輸出光的光場分布可以假定為基模高斯分布,對于圓柱形晶體,基模高斯光在晶體空間中沿著平行于z軸方向傳播時(shí),不同位置處的光場振幅大小服從下面的指數(shù)函數(shù):

I(r,z)=

(9)

其中,l為增益介質(zhì)長度;α為增益介質(zhì)對泵浦光的吸收系數(shù);ω(z)2為距離增益介質(zhì)端面z處的泵浦光光斑半徑。上式為歸一化后的分布。

晶體吸收的泵浦光會(huì)有部分轉(zhuǎn)換成熱,影響晶體的熱分布,基于晶體對泵浦光的吸收,晶體內(nèi)的熱源qv表達(dá)式為:

exp(-αz)

(10)

其中,Pph=Pin·η·[1-exp(-αl)]為致熱功率,激光增益介質(zhì)吸收的泵浦光能量轉(zhuǎn)化為熱能的比例系數(shù)為η,注入激光晶體的泵浦光功率為Pin。若將上述公式改為笛卡爾坐標(biāo)系下,則光強(qiáng)為:

exp(-αz),0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(11)

則介質(zhì)內(nèi)部熱密度函數(shù)表達(dá)式如下所示:

exp(-αz),0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(12)

其中,η=1-qe·λp/λl,η是熱轉(zhuǎn)換系數(shù),即晶體吸收功率轉(zhuǎn)換為熱負(fù)載的比例;λp為泵浦波長;λl為激光波長;qe為量子效率由晶體摻雜濃度決定;ωP為泵浦光束腰位置處光斑大小;在熱功率密度的求解過程中涉及到的多個(gè)變量成為了影響熱效應(yīng)方程的關(guān)鍵因素,其中,ωP,α,η等的取值都對熱功率密度有不同程度的影響,激光晶體的熱導(dǎo)率K的取值也對激光晶體內(nèi)的溫度梯度變化有很大影響[28]。在計(jì)算過程中,選擇這些因素較為準(zhǔn)確的值,來提高結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.3 邊界條件

創(chuàng)建合理的邊界條件才能準(zhǔn)確反映出晶體內(nèi)部溫度場分布。熱傳導(dǎo)方程的邊界條件一般分為三類。選擇哪一類要視具體問題而定。

1)第一類邊界條件

在熱力學(xué)中,所求的溫度在邊界上的值是已知的或給定的,是一個(gè)恒定參考溫度。此邊界條件也稱為狄利克雷(Dirichlet)條件。

2)第二類邊界條件

該邊界條件是對周圍介質(zhì)的對流換熱,所求溫度沿著邊界的外法向量方向的變化率是已知的。此邊界條件也稱為紐曼(Neumann)條件。

3)第三類邊界條件

這個(gè)邊界條件叫對流邊界條件,邊界表面有流體沿著邊界表面流過,這種行為叫做受迫對流,此邊界條件也稱為洛平(Robin)條件。

固體激光器中激光介質(zhì)的邊界條件屬于熱對流問題,即物體在導(dǎo)熱時(shí),某一端與空氣接觸而自發(fā)冷卻,晶體表面的熱量隨周圍空氣或水的流動(dòng)而發(fā)生變化,熱量的流動(dòng)導(dǎo)致形成熱對流。這種物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律為牛頓冷卻定律:

(13)

其中,k為物質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù);h為物質(zhì)與空氣或冷卻液的熱交換系數(shù);T′為空氣或冷卻液的溫度。也就是說邊界處溫度梯度我們可以通過對流傳熱來給出線索,這個(gè)關(guān)系式包含了在邊界處的溫度及其溫度梯度。

邊界條件直接影響增益介質(zhì)內(nèi)的溫度分布,不同的冷卻方式或不同形狀的增益介質(zhì)有不同的邊界條件。因此對邊界條件的求解也比較復(fù)雜,在以前的許多研究中,大多數(shù)情況下對邊界條件的討論都是假設(shè)激光晶體為側(cè)面恒溫、端面絕熱。這樣的假設(shè)雖然可以簡化計(jì)算,但并不符合實(shí)際情況。激光二極管泵浦的固體激光器的激光介質(zhì)結(jié)構(gòu)主要有棒狀和矩形,為了更準(zhǔn)確的分析熱透鏡效應(yīng)對增益介質(zhì)的影響,我們分別對這兩種結(jié)構(gòu)的邊界條件進(jìn)行分析。

針對圓柱形的激光晶體,假設(shè)晶體棒側(cè)面通水冷,保持恒溫;晶體棒兩端和空氣對流換熱[29]:

T(r,z)=Tw

(14)

(15)

(16)

側(cè)面熱交換,端面對流的邊界條件為[30]:

(17)

(18)

(19)

(20)

激光介質(zhì)與冷卻水之間的熱傳導(dǎo)系數(shù)表示為h1,激光介質(zhì)與空氣之間的熱對流系數(shù)表示為h2,Tw為水冷溫度,T0為室溫。

針對長方形激光晶體,假設(shè)塊體晶體的四個(gè)側(cè)面保持恒定溫度Tw,晶體的兩個(gè)端面與環(huán)境空氣交換熱量,邊界條件如下:

T(0,y,z)=Tw

(21)

T(a,y,z)=Tw

(22)

T(x,b,z)=Tw

(23)

T(x,0,z)=Tw

(24)

(25)

(26)

但實(shí)際四個(gè)側(cè)面也有對流冷卻機(jī)制,因此假設(shè)六個(gè)側(cè)面都有對流冷卻機(jī)制。這種情況下,晶體通過空氣對流機(jī)制或與冷卻系統(tǒng)接觸來冷卻。根據(jù)冷卻系統(tǒng)的不同,端面和側(cè)面的邊界條件不同。這種情況是最真實(shí)普遍的情況,與側(cè)面恒溫的情況相比,各向異性立方晶體的溫度分布可以精確表示,邊界條件采用以下形式:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4.4 熱透鏡焦距的計(jì)算

激光晶體內(nèi)部熱量堆積產(chǎn)生的熱效應(yīng)包括溫度梯度、熱應(yīng)力雙折射和端面形變這三個(gè)方面。這三種因素對增益介質(zhì)都產(chǎn)生了不同的熱焦距,為了進(jìn)行有針對性的熱透鏡補(bǔ)償措施,需要對不同因素下產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行計(jì)算和測量。激光晶體等效為一個(gè)焦距為f透鏡,由于晶體熱效應(yīng)的影響,透鏡中心處的光程與距離透鏡中心r處的光程會(huì)存在一個(gè)差值OPD:

(33)

(34)

空間分辨光程差用來在泵浦光斑半徑范圍內(nèi)確定熱焦距,因此求熱焦距可以轉(zhuǎn)化為求光程差。光程差越大,熱焦距越小,熱效應(yīng)越嚴(yán)重。

在考慮溫度梯度、表面變形和應(yīng)力雙折射的情況下,確定了折射率的變化。折射率是溫度的函數(shù),溫度梯度導(dǎo)致不同光線的光程長度不同。其次溫度分布對材料的力學(xué)性能有影響,材料較冷的外部部分阻止了較熱的中心部分的膨脹。最后,假設(shè)在熱沉積材料的內(nèi)部考慮一個(gè)小的單位體積元,由于膨脹,周圍的物質(zhì)對這種元件的表面施加了力,單位面積上的這些力稱為“應(yīng)力”,用一個(gè)二階張量εij表示,則泵浦光通過激光晶體產(chǎn)生的光程差的表達(dá)式為:

(35)

其中,dn/dT是熱光系數(shù);n是晶體在室溫下的折射率;v是泊松比;αT是熱膨脹系數(shù),一般情況下,應(yīng)力雙折射的影響比較小,可以忽略。對于不同的激光介質(zhì),三種因素對熱透鏡效應(yīng)的貢獻(xiàn)也不同,還要根據(jù)激光介質(zhì)的種類,形狀,泵浦方式等來確定主導(dǎo)因素。

4.4.1 晶體溫度梯度所引起的熱透鏡效應(yīng)

限制激光器功率縮放的主要問題是晶體內(nèi)部所產(chǎn)生的熱量在增益介質(zhì)內(nèi)引起溫度分布不均勻,導(dǎo)致諧振器不穩(wěn)定,限制了最大輸出功率,影響激光輸出。隨后冷卻具有相關(guān)熱梯度的晶體介質(zhì)將導(dǎo)致折射率的熱誘導(dǎo)變化。其熱聚焦性質(zhì)由光束通過整個(gè)激光棒所引起的相位差Δφ決定的。與熱焦距的關(guān)系為:

(36)

式中,K′為振蕩光波數(shù)。折射率隨溫度變化導(dǎo)致熱誘導(dǎo)相移,振蕩光單程通過激光晶體時(shí)積累在r處的總相位移:

(37)

式中,l為激光晶體的長度;Δn(r,z)為熱致折射率的改變量;r為與軸心位置的距離,且:

(38)

熱致折射率隨著溫度變化率dn/dT若為正值晶體的熱透鏡可近似看作正透鏡,若為負(fù)值,晶體的熱透鏡可近似看作負(fù)透鏡。其中ΔT(r,z)為LD端面泵浦固態(tài)激光器的溫差:

(39)

其中,K為晶體熱導(dǎo)率;Pph=Pinη為泵浦光功率的致熱功率;T0為激光晶體側(cè)面的溫度。由溫度梯度引起的OPD(光程差)可以表示為:

(40)

經(jīng)上述分析,以晶體中心為參考點(diǎn),可得到由于溫度梯度所引起的晶體熱透鏡的表達(dá)式:

(41)

其中,ωp為泵浦光經(jīng)耦合透鏡后的束腰半徑,對于各項(xiàng)異性的晶體,由于三個(gè)晶軸的各向熱學(xué)異性;K在三個(gè)晶軸上的取值不同,表現(xiàn)出來的熱透鏡效應(yīng)也不同。

4.4.2 晶體熱應(yīng)力雙折射所引起的熱透鏡效應(yīng)

泵浦光抽運(yùn)時(shí),激光晶體內(nèi)部熱量分布不均,形成溫度梯度,晶體內(nèi)部產(chǎn)生膨脹,進(jìn)而產(chǎn)生熱應(yīng)力導(dǎo)致晶體內(nèi)部折射率變化。在熱透鏡和熱應(yīng)力的雙重作用下,晶體由各項(xiàng)同性變?yōu)楦飨虍愋?從而產(chǎn)生應(yīng)力雙折射效應(yīng)[31]。應(yīng)力誘導(dǎo)熱透鏡顯示不同的切向偏振和徑向偏振焦距,這種效應(yīng)被稱為雙折射。LD端面泵浦固態(tài)激光器的溫差為:

(42)

熱應(yīng)力引起激光晶體內(nèi)部折射率的變化為:

(43)

其中,Cr,φ為晶體棒的徑向、切向彈性系數(shù);r0為晶體棒半徑。由上述式子可以得到:

(44)

經(jīng)過上述分析,可以得到由晶體內(nèi)部熱應(yīng)力所造成的熱透鏡焦距為:

(45)

4.4.3 晶體端面形變所引起的熱透鏡效應(yīng)

另一種不是由折射率的變化引起的,而是對整個(gè)熱透鏡有影響的效應(yīng)稱為“端面效應(yīng)”。激光晶體端面因?yàn)橹苯邮鼙闷止庹丈?能量密度極大,晶體受熱不均,很容易在端面位置處發(fā)生形變。由端面形變產(chǎn)生的熱焦距可確定為:

(46)

三種熱焦距組合得到總的熱透鏡焦距為:

(47)

此外,在不同條件下,如增益介質(zhì)不同或泵浦方式不同時(shí),三種因素的貢獻(xiàn)程度也不同。因此,具體熱焦距的大小還要根據(jù)實(shí)際情況確定。

5 總 結(jié)

本文針對輸出2 μm波段的單摻銩固體激光器熱效應(yīng)進(jìn)行研究,首先介紹了三種常用單摻銩晶體的性質(zhì),從晶體性質(zhì)方面分析了其產(chǎn)生熱效應(yīng)的難易程度。之后從產(chǎn)熱原因建立簡單模型和表達(dá)式分析熱效應(yīng)如何影響激光器運(yùn)行以及減小熱效應(yīng)的措施等方面,歸納了國內(nèi)外基于各種基質(zhì)的單摻銩固體激光器熱效應(yīng)的研究成果。同時(shí)考慮了固體激光器熱透鏡效應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程及其邊界條件,分析了端面抽運(yùn)各向異性與各項(xiàng)同性的棒狀或方形的單摻Tm激光介質(zhì)的溫度分布。最后對影響熱透鏡效應(yīng)的三種不同因素產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行理論分析。

通過討論得知由于銩為準(zhǔn)三能級結(jié)構(gòu),因此存在激光輸出性能受溫度影響大的問題,對于不同的摻銩增益晶體,三種影響因素對熱透鏡的貢獻(xiàn)也有不同。為了有效地提高激光輸出功率、改善光束質(zhì)量,我們?nèi)孕枰^續(xù)尋找減小晶體熱效應(yīng)的有效措施。除了通過目前所采取的合理設(shè)計(jì)腔參數(shù)及腔結(jié)構(gòu)、使用鍵合晶體、選擇合適的激光工作物質(zhì)的形狀、改善熱管理等方式來減小熱效應(yīng)外,我們還可以通過優(yōu)化泵浦冷卻結(jié)構(gòu),尋找新型工作介質(zhì),改善摻雜基質(zhì)的光學(xué)物理性能或者采取更優(yōu)的泵浦方式等來減小固體激光器晶體熱效應(yīng),提高單摻銩固體激光器的性能,從而滿足不同的應(yīng)用需求。