陳蓉,楊勇

(蘇州大學 軌道交通學院,江蘇 蘇州 215131)

0 引 言

新型電力電子設備的廣泛應用使得可再生能源并網(wǎng)運行更為靈活,系統(tǒng)快速控制能力大大增強,但其同時改變了電力系統(tǒng)的機理特性和運行控制方式,導致低頻振蕩、次/超同步振蕩、高頻諧波、間諧波及其他擾動信號頻發(fā),嚴重威脅電網(wǎng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟運行[1-3]。因此,針對電網(wǎng)電力電子化發(fā)展的趨勢,新型電力系統(tǒng)下復雜電力諧波信號的監(jiān) 測和分析方法成為研究熱點。

與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)相比,電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)過程中的電力信號呈現(xiàn)出頻帶更寬、分量更多、尺度更加多維等新特征[4-6]。為滿足新型信號的監(jiān)測需求,國內(nèi)外研究學者一方面基于常用電力信號測量方法,如傅里葉變換、動態(tài)同步相量算法、Prony方法等做出多種改進[7-9],一定程度上提高了測量精度和頻帶范圍,但是在動態(tài)響應速度,算法復雜度等方面仍需進一步完善;另一方面,通過采用在信號處理前端疊加使用不同的濾波器進行預處理,而后再對信號進行分類分析的方法,來解決現(xiàn)有測量方法僅適用于某一類或某幾類信號的問題,進而實現(xiàn)寬頻測量[10-12]。然而這類方法容易引發(fā)頻率混疊、頻譜泄露等問題,并且算法復雜度較高。

分數(shù)域信號分析是一種新興的信號分析方法,其中分數(shù)階傅里葉變換(fractional fourier transform,FRFT)可對信號進行分數(shù)階頻域上的表征,被成功應用于電力電子化電力系統(tǒng)中電能質(zhì)量信號的降噪處理[13-15]。但由于其缺少時間定位信息,因此需對降噪后重構信號進行如離散小波變換等算法的進一步處理,方能獲得信號的起止時刻等特征信息[15]。文獻[16]中提出了分數(shù)階小波變換濾波的概念,其實現(xiàn)過程是先對信號進行FRFT,搜索得到最優(yōu)變換階次;再對信號進行最優(yōu)階次的FRFT變換,而后做小波變換及閾值濾波處理?？梢钥吹?其核心思想是在最佳分數(shù)階變換域中進行小波變換,這與文獻[17]提出的新型分數(shù)階小波變換理論尚有較大區(qū)別。

作為小波變換和分數(shù)階傅里葉變換理論的結合,分數(shù)階小波變換(fractional wavelet transform,FRWT)具有自適應時頻多分辨率分析能力,且其實現(xiàn)過程中不存在二次交叉項干擾,計算復雜度低[17]。近年來,多位專家學者對不同類型信號的FRWT采樣與重構理論進行了深入研究,證明了FRWT在實際應用中的可行性[18-20]。目前,分數(shù)階小波變換已成功應用于水印處理、地震探測信號去噪以及醫(yī)學圖像處理等領域,取得了較好的成果[21-22]。文獻[23]將分數(shù)階小波變換引入諧波檢測,初步驗證了該方法在抑制噪聲影響的同時對諧波信號具有良好的檢測效果。然而,分析發(fā)現(xiàn)基于分數(shù)階小波變換實現(xiàn)諧波檢測仍存在兩方面問題:一方面,現(xiàn)有的分數(shù)階小波變換離散計算主要基于經(jīng)典Mallat算法完成。與小波變換類似,采用Mallat算法進行信號分解時存在下采樣,數(shù)據(jù)信息逐級減少,導致FRWT不具備平移不變性,且頻帶易出現(xiàn)混疊,進而影響信號的局部特征表征能力及測量精度[24-25]。以往為消除下采樣操作帶來的不良影響,學者們研究提出了多孔算法,利用其有效改善了小波變換的信號處理性能[26-28]。另一方面,針對FRWT中的可變階次p,文獻[23]中采用了以一定步長Δp依次對信號進行FRWT分解、去噪和重構,而后選取使得去噪后SNR最大的p值作為最佳分數(shù)階變換階次的方法,顯然實現(xiàn)該過程的計算復雜度較高。

為解決以上兩方面問題,基于現(xiàn)有研究成果,文章擬將非下采樣多孔算法與分數(shù)階小波變換相結合,進而保證信號處理的平移不變性及細節(jié)信息不丟失,并且采用信號的分數(shù)階高階能量矩作為最佳分數(shù)階變換階次的快速確定依據(jù),最終提出一種基于多孔分數(shù)階小波變換的電力諧波檢測新方法。

1 非下采樣多孔分數(shù)階小波變換

1.1 分數(shù)階小波變換基本定義

信號x(t)∈L2(R)的p階分數(shù)階小波變換定義為:

(1)

1.2 基于Mallat算法的離散分數(shù)階小波變換

根據(jù)多分辨率分析理論,分數(shù)階小波變換是在時間-分數(shù)階頻率域中對信號進行處理,得到信號在各個子頻帶中的直和的過程。基于經(jīng)典Mallat算法的離散分數(shù)階小波變換(discrete fractional wavelet transform,DFRWT)的實現(xiàn)包含分解和重構兩個過程[21]。

DFRWT的分解形式可表示為:

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可見,DFRWT的分解過程可簡述為三步:

DFRWT重構是上述分解過程的逆過程,可表示為:

(4)

(5)

由式(4)和式(5)可見,DFRWT的重構過程同樣可簡述為三步:

DFRWT分解與重構的實現(xiàn)過程如圖1、圖2所示。

圖1 基于Mallat算法的DFRWT系數(shù)分解過程

圖2 基于Mallat算法的DFRWT系數(shù)重構過程

1.3 改進的離散分數(shù)階小波變換

如圖1所示,基于Mallat算法實現(xiàn)的離散分數(shù)階小波變換在逐級分解過程中,信號與濾波器組卷積后需進行一次二元抽取,這將使DFRWT不具備平移不變性,即信號處理結果將跟隨信號起始位置的變化而發(fā)生改變。此外,隨著分解尺度的增大,低頻數(shù)據(jù)信息逐級減少,這將導致處理結果無法準確表征原信號特征,特別是信號中突變點的相關信息。為了解決上述問題,本文引入多孔小波,即非下采樣小波算法,將其與分數(shù)階小波變換相結合,進而改善DFRWT的信號處理能力。

在多孔小波算法中,信號與濾波器組卷積后不進行下采樣操作。根據(jù)多分辨率分析理論中的等效易位特性,通過在上一級正交濾波器相鄰各點間插入零值后再做卷積實現(xiàn)多孔算法,即第j級正交濾波器的系數(shù)是在第1級濾波器相鄰系數(shù)之間插入2j-1個零所得,則基于多孔算法的分數(shù)階小波變換分解形式可表示為:

(6)

(7)

相應的,重構形式為:

(8)

基于多孔算法的DFRWT系數(shù)分解與重構的實現(xiàn)過程如圖3所示。

從圖3所示的分解和重構實現(xiàn)過程可以看出,多孔算法中不需要進行數(shù)據(jù)抽取和插值,將其與分數(shù)階小波變換相結合,既可保留基于Mallat算法實現(xiàn)的快速性,又可有效避免細節(jié)信息的丟失,進而有利于信號突變點的檢測與分析。

2 基于多孔分數(shù)階小波變換的諧波檢測

以基于多孔算法的離散分數(shù)階小波變換為核心,本文提出一種諧波檢測新方法,信號處理流程包含信號去噪和參數(shù)檢測2個步驟。

2.1 信號去噪

電力系統(tǒng)中,電力信號在傳輸、測量及接收過程中常被噪聲污染,有效的信號去噪是后續(xù)開展高精度信號測量的基礎。分數(shù)階小波變換將信號分解到不同的分數(shù)階頻帶上形成不同的能量聚集,若信號在某個分數(shù)階頻域上形成最佳能量聚集,該分數(shù)階頻域即為信號的最佳分數(shù)階變換域,對應變換階次p稱為最佳分數(shù)階變換階次。由于噪聲無法形成能量聚集,因此可對信號在最佳分數(shù)階小波變換階次下進行系數(shù)分解,而后對各子帶系數(shù)進行閾值處理,進而實現(xiàn)信號去噪。

2.1.1 最佳分數(shù)階變換階次的確定

(9)

(10)

其中,s(t)和s′(t)分別是受噪聲污染前原始信號和降噪處理后得到的恢復信號。顯然,該方法在實際應用中存在兩方面的問題:首先,每求取一次SNR就需要對信號進行一次DFRWT分解、去噪和重構處理,計算復雜度高;其次,工程應用中難以獲得受噪聲污染前的原始信號。

從模糊度函數(shù)出發(fā),考慮噪聲敏感度和計算復雜度因素影響,分數(shù)階頻譜四階原點矩被成功應用于最佳分數(shù)階傅里葉變換階次的求取[29],其定義為:

(11)

式中Xp(u)為信號x(t)的p階分數(shù)階傅里葉變換,則最佳變換階次可估計得:

(12)

分數(shù)階頻譜四階原點矩直觀反映了信號能量與分數(shù)階變換階次p的關系,即信號在分數(shù)階域的能量聚集特性。同時,該方法無需原始信號的先驗知識,無需在每一階次下進行信號分解、去噪和重構,故計算復雜度低,因此本文將其推廣應用于DFRWT最佳變換階次的求取。

2.1.2 閾值濾波

確定最佳DFRWT變換階次后,需對信號在最佳分數(shù)階小波域進行變換系數(shù)的閾值濾波,進而去除噪聲影響?；镜拈撝禐V波方法分為硬閾值和軟閾值兩種[30]。雖然硬閾值濾波結果是無偏的,但重構信號在突變處易產(chǎn)生振蕩,進而影響信號起止時刻相關信息的檢測。軟閾值濾波則會導致重構信號過于平滑,丟失高頻信息。為保證濾波效果,本文采用具有調(diào)節(jié)因子的改進閾值函數(shù),如式(13)所示:

wj,k=

(13)

2.2 參數(shù)檢測

2.2.1 諧波頻率和幅值參數(shù)估計

瞬時頻率和幅值參數(shù)是電網(wǎng)諧波信號的基本參數(shù),為便于比較基于多孔算法和基于Mallat算法的離散FRWT性能,本文擬采用Hilbert變換實現(xiàn)諧波頻率和幅值參數(shù)的求取[23]。對閾值濾波后的分數(shù)階小波變換系數(shù)進行重構,獲得去噪后的電網(wǎng)信號s′(t)。對s′(t)進行Hilbert變換,得解析信號的實部為r(t),虛部為i(t),則信號的瞬時頻率f(t)和幅值參數(shù)A(t)可估計得:

(14)

2.2.2 暫態(tài)諧波起止時刻定位

電力電子化電力系統(tǒng)中除穩(wěn)態(tài)諧波外,還存在很多暫態(tài)擾動,對于暫態(tài)諧波起止時刻的準確定位是新型電力系統(tǒng)下諧波檢測的重要任務。從數(shù)學建模的角度分析,起止時刻的檢測就是找到信號函數(shù)對應的奇異點位置,而該奇異特性可由信號幅值的階躍變化較好的表征出來,即信號幅值函數(shù)的一階導數(shù)會在信號的起止時刻出現(xiàn)極值。因此,本文采用求取重構信號幅值函數(shù)一階導數(shù)的方法獲取暫態(tài)諧波的起止時刻信息。

2.3 算法流程

根據(jù)上述各環(huán)節(jié)的原理分析,本文提出的基于多孔離散分數(shù)階小波變換的諧波檢測算法流程如圖4所示。

圖4 基于多孔DFRWT的諧波檢測算法流程

各環(huán)節(jié)步驟可總結如下:

3)基于改進閾值公式(13)對DFRWT系數(shù)進行濾波處理;

4)對閾值濾波處理后的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)進行單支重構,獲得去噪后信號的各頻率成份;

5)對各頻率成份進行Hilbert變換,根據(jù)式(14)求取幅值和頻率參數(shù);

6)對幅值參數(shù)A(t)求一階導數(shù),獲取暫態(tài)成份的定位參數(shù)。

3 仿真實驗

為了驗證算法性能,分別對穩(wěn)態(tài)諧波、短時諧波以及時變諧波這三種典型諧波信號在MATLAB環(huán)境下進行仿真實驗。綜合考慮計算復雜度和去噪效果兩方面因素,在信噪比未知的情況下,db43小波基應用于分數(shù)階小波變換時具有較好的去噪效果[23]。因此,本文實驗中選擇db43小波作為小波基函數(shù)。此外,根據(jù)電網(wǎng)信號仿真結果,兼顧降噪和特征保留兩方面效果,閾值濾波公式中的調(diào)節(jié)因子a的取值統(tǒng)一選定為8[30]。

3.1 穩(wěn)態(tài)諧波信號檢測

設穩(wěn)態(tài)諧波信號定義為[23]:

x(t)=sin(ωt)+sin(2.2ωt)+sin(5ωt)

(15)

式中ω=2πf,f=50Hz,信號包含基波、2.2次間諧波和5次諧波,采樣頻率為2 560 Hz,采樣時長為0.2 s。

根據(jù)分數(shù)階頻譜四階原點矩求取信號的最佳分數(shù)域變換階次,如圖5所示。

圖5 歸一化分數(shù)階頻譜四階原點矩分布

從圖5中可以看到,諧波信號的歸一化分數(shù)階頻譜四階原點矩在最佳分數(shù)階變換階次處形成了明顯的能量聚集峰,且聚集效果受噪聲影響小,檢測魯棒性好。

在最佳變換階次下對信號進行4層多孔DFRWT分解。對系數(shù)進行重構后得到恢復的基波和各次諧波分量,如圖6所示。其中,CA4為恢復后的基波分量,CD4為2.2次間諧波分量,CD3為5次諧波分量。

圖6 穩(wěn)態(tài)諧波多孔離散分數(shù)階小波變換分解結果

以2.2次間諧波和5次諧波分量為例,比較基于多孔算法和Mallat算法的離散分數(shù)階小波變換處理后恢復信號的邊沿特性。為便于觀測,僅截取0.05 s內(nèi)恢復信號,如圖7所示。其中,CD4和CD3分別為基于多孔DFRWT算法恢復所得的2.2次間諧波分量和5次諧波分量;CD4′和CD3′則分別為基于Mallat 離散分數(shù)階小波變換算法恢復所得的2.2次間諧波分量和5次諧波分量。從圖7中可以看出,多孔DFRWT算法中,信號與濾波器組卷積后不進行下采樣操作,不存在信息丟失,因此,恢復信號在起始突變點的邊沿特性好于基于Mallat算法的離散分數(shù)階小波變換處理結果。

圖7 恢復信號邊沿特性比較

對穩(wěn)態(tài)諧波信號分別疊加信噪比為30 dB、20 dB和10 dB的高斯白噪聲,使用本文提出的算法進行諧波參數(shù)檢測,結果如表1、表2所示。

表1 不同信噪比下穩(wěn)態(tài)諧波幅值檢測結果

表2 不同信噪比下穩(wěn)態(tài)諧波頻率檢測結果

從表1、表2中可以看出,在信噪比變化的情況下,基于多孔算法的離散分數(shù)階小波變換可對穩(wěn)態(tài)諧波信號各分量實現(xiàn)較為準確的參數(shù)檢測,信噪比低至10 dB時,各信號分量幅值檢測平均誤差僅為0.98%,頻率檢測平均誤差僅為0.03%;信噪比降至0 dB時,各信號分量參數(shù)檢測誤差稍有增大,幅值檢測平均誤差為1.79%,頻率檢測平均誤差為0.42%,仍可滿足國家標準GB/T 14549-1993中給出的諧波測量誤差在5%范圍之內(nèi)的要求。

3.2 短時諧波信號檢測

設短時諧波信號定義為[23]:

x(t)=sin(ωt)+0.5sin(3ωt1)+0.4sin(5ωt1)

(16)

式中ω=2πf;f=50 Hz;0.12 s≤t1≤0.24 s,采樣頻率為6 400 Hz,采樣時長為0.4 s。信號包含基波、3次諧波和5次諧波,且3次諧波和5次諧波均產(chǎn)生于0.12 s,至0.24 s結束。

根據(jù)采樣頻率及諧波分量頻率計算得,DFRWT分解層次為5時,可對基波與各次諧波實現(xiàn)分離。圖8展示了信噪比為30 dB的情況下,基于本文算法恢復得到的基波和各次諧波分量。其中,CA5為恢復后的基波分量,CD5為3次諧波分量,CD4為5次諧波分量。

圖8 短時諧波多孔離散分數(shù)階小波變換分解結果

對短時信號發(fā)生時段內(nèi)的參數(shù)進行檢測,結果如表3、表4所示。

表3 不同信噪比下短時諧波幅值檢測結果

表4 不同信噪比下短時諧波頻率檢測結果

可以看到,基于多孔算法的離散分數(shù)階小波變換可對短時諧波信號各分量實現(xiàn)較為準確的參數(shù)檢測,且性能優(yōu)于文獻[23]給出的基于Mallat算法的DFRWT方法得到的參數(shù)估計結果。同時,隨著信噪比的降低,參數(shù)檢測結果誤差逐漸增大,在信噪比為30 dB時,幅值檢測平均誤差為0.31%,頻率檢測平均誤差為0.03%;信噪比低至0 dB時,幅值檢測平均誤差為1.91%,頻率檢測平均誤差為0.33%,可見幅值參數(shù)的檢測結果更易受到噪聲的影響。

對重構信號中短時諧波分量的幅值函數(shù)求取一階導數(shù),進而獲取短時諧波的起止時刻信息,結果如表5所示。

表5 短時諧波信號起止時刻檢測結果

如表5所示,與基于Mallat算法的DFRWT方法相比較,基于多孔DFRWT算法得到的恢復信號邊沿特性更好,進而有利于提高短時信號起止時刻檢測的精確度。

3.3 時變諧波信號檢測

設時變諧波信號定義為[23]:

(17)

式中ω=2πf;f=50 Hz;0

在最佳分數(shù)階變換階次上對式(17)所示時變諧波信號實施多孔DFRWT分解,分解層次為5。圖9展示了信噪比為30 dB情況下恢復得到的時變的基波和各次諧波分量。其中,CA5為恢復后的基波分量,CD5為3次諧波分量,CD4為7次諧波分量。

從圖9中可以看到,基于本文算法可對受噪聲污染的時變諧波中的基波和各次諧波實現(xiàn)較好的分離和恢復。在信號分量幅值發(fā)生突變的時刻,如圖9中所示的CD5分量在0.12 s時刻的波形特征,基于多孔DFRWT算法的恢復特性明顯好于文獻[23]給出的基于Mallat離散分數(shù)階小波變換算法的恢復特性。

對時變信號發(fā)生時段內(nèi)的參數(shù)進行檢測,結果如表6所示。

由表6可以求得,時變諧波信號在t1時段內(nèi)的幅值平均誤差為0.58%,頻率平均誤差為0.04%;在t2時段內(nèi)的幅值平均誤差為0.53%,頻率平均誤差為0.03%。與文獻[23]表6中給出的結果相比,基于本文提出的基于多孔DFRWT算法的檢測結果更優(yōu),可以對時變信號分量在不同時段內(nèi)的幅值和頻率參數(shù)實現(xiàn)更好的檢測。

對時變諧波分量的幅值函數(shù)求取一階導數(shù),以獲得起止時刻信息。圖10給出的是對基波和3次諧波恢復分量瞬時幅值做一階導數(shù)及閾值處理后的結果。

圖10 時變諧波多孔離散分數(shù)階小波變換定位結果

從圖10中的坐標值可以看出,本文算法可對時變諧波分量的起止時刻實現(xiàn)高精度檢測。進一步對兩種DFRWT算法的起止時刻檢測性能進行比較,結果如表7所示。

表7 時變諧波信號起止時刻檢測結果

從表7中可以看到,與基于Mallat算法的離散分數(shù)階小波變換相比,基于多孔DFRWT算法的檢測結果,除三次諧波起始時刻估計值誤差大0.1 ms外,其余時刻的檢測性能均為更優(yōu),從而進一步證明采用基于多孔DFRWT的諧波檢測算法更有利于提高暫態(tài)諧波信號定位信息的檢測精度。

3.4 信號長度對檢測精度的影響分析

為檢驗信號長度對算法檢測精度的影響,采用本文3.1節(jié)中穩(wěn)態(tài)信號為實驗對象,采樣頻率仍為2 560 Hz,采樣時長分別設為0.04 s、0.08 s、0.1 s、0.12 s,信噪比為30 dB。實驗結果如表8所示。

表8 不同信號長度下參數(shù)檢測結果

根據(jù)表8所示實驗結果可以看到,信號長度低至兩個工頻周期時,幅值和頻率檢測誤差分別為0.3%和0.13%;信號長度翻倍后,幅值和頻率檢測誤差下降為0.12%和0.11%;信號長度為0.1 s時,幅值和頻率檢測誤差分別為0.09%和0.11%;繼續(xù)增加信號長度至0.12 s時,幅值和頻率檢測誤差分別為0.08%和0.10%,幅值誤差與表1中0.2 s信號長度時結果相同?？梢?隨著信號長度的增加,幅值和頻率參數(shù)檢測精度保持穩(wěn)定。

3.5 算法實時性分析

本文提出的諧波檢測算法主要包含分數(shù)階頻譜四階原點矩計算、多孔DFRWT以及Hilbert變換等操作,由于涉及多次數(shù)值求解,因而難以給出計算復雜度的精確表達式。為驗證算法的實時性,采用算法的運行耗時來衡量。實驗計算機配有i7處理器,2.2 GHz主頻,實驗信號分別為無噪聲環(huán)境下論文3.1、3.2和3.3節(jié)中設置的穩(wěn)態(tài)、短時及時變諧波信號。

從表9中可以看到,雖然多孔算法的計算復雜度高于Mallat算法,但是由于諧波檢測算法中最佳DFRWT變換角度的確定方法采用了信號的分數(shù)階高階能量矩作為快速確定依據(jù),避免了多次重復進行DFRWT運算,進而保證了本文提出的諧波檢測算法在提高參數(shù)檢測精度的同時,并未以犧牲算法計算復雜度為代價。

表9 檢測算法實時性比較

4 結束語

本文將非下采樣多孔算法與分數(shù)階小波變換相結合,提出一種新的離散分數(shù)階小波變換實現(xiàn)方法。從理論分析和實驗驗證兩方面論證了多孔DFRWT在電力諧波檢測方面的優(yōu)秀性能。實驗結果表明,與傳統(tǒng)的基于Mallat算法的DFRWT相比,由于多孔DFRWT算法過程中無下采樣,不存在數(shù)據(jù)丟失,因此在諧波信號檢測及參數(shù)分析過程中,能更好的保留局部特征信息,提高測量精度。此外,針對傳統(tǒng)基于信噪比的最佳分數(shù)階變換階次的方法計算量大的問題,文章引入了分數(shù)階高階能量矩作為最佳分數(shù)階變換階次的快速確定依據(jù),有效提高諧波信號的檢測效率。但從文中的實驗檢測結果中可以看出,本文提出的方法對幅值的檢測精度明顯遜于頻率檢測精度,且更易受噪聲和信號長度的影響,因此在后續(xù)工作中將進一步研究如何提高算法的時間分辨率,進而有效提高諧波信號的幅值檢測精度。