齊超,陳希有,楊旭強(qiáng),楊春玲,于為雄

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué),哈爾濱 150001; 2.大連理工大學(xué),遼寧 大連 116024)

0 引 言

通常決策過(guò)程中所預(yù)測(cè)的自然狀態(tài)概率及計(jì)算出的損益值,不一定十分精確,因此,往往需要對(duì)這些變動(dòng)是否影響最優(yōu)方案的選擇進(jìn)行深入研究,這就是靈敏度分析[1-4]。它是研究與分析一個(gè)系統(tǒng)(或模型)的狀態(tài)或輸出對(duì)系統(tǒng)參數(shù)(或周圍條件)變化的敏感程度的方法,是電路容差分析、最壞情況分析和最優(yōu)設(shè)計(jì)的重要基礎(chǔ),是電網(wǎng)絡(luò)分析與綜合的橋梁,在確定產(chǎn)品合格率、壽命及對(duì)工作環(huán)境的適應(yīng)性方面起著關(guān)鍵的作用[5-9]。尤其在最優(yōu)化方法中,經(jīng)常利用靈敏度分析來(lái)研究原始數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確或發(fā)生變化時(shí)最優(yōu)解的穩(wěn)定性[10-11]。通過(guò)靈敏度分析可以確定哪些網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)(或模型)有較大的影響,這些參數(shù)的變化是否會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)的變化,嚴(yán)重時(shí)影響網(wǎng)絡(luò)正常工作[12-15]。對(duì)電測(cè)與儀表來(lái)說(shuō),靈敏度是衡量電氣儀表輸出對(duì)所測(cè)量參數(shù)變化敏感程度的一個(gè)重要標(biāo)志,通過(guò)靈敏度的研究可加深對(duì)儀表的構(gòu)造和原理的理解[16-18]。

傳統(tǒng)增量網(wǎng)絡(luò)法是指在原電路結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,添加額外的增量網(wǎng)絡(luò),在實(shí)際分析電路靈敏度的過(guò)程中需要先對(duì)原網(wǎng)絡(luò)求解之后,才能分析出相應(yīng)增量與各元件參數(shù)增量之間的關(guān)系,最終根據(jù)增量網(wǎng)絡(luò)解得電路靈敏度,過(guò)程相對(duì)繁瑣,且容易出錯(cuò)。與傳統(tǒng)的增量網(wǎng)絡(luò)法相比,矩陣形式的增量網(wǎng)絡(luò)法僅需要確定原電路的各參數(shù)矩陣,直接求解電路靈敏度,無(wú)需額外增加網(wǎng)絡(luò)即可求解[19]。可見(jiàn)增量網(wǎng)絡(luò)法的矩陣形式具有分析簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。

1 絕對(duì)靈敏度

靈敏度一般包括絕對(duì)靈敏度、相對(duì)靈敏度和半相對(duì)靈敏度。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H或網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)R(統(tǒng)一可用T來(lái)表示) 對(duì)某元件相關(guān)參數(shù)p的變化率稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)對(duì)該參數(shù)的絕對(duì)靈敏度,記作:

S=?T/?p

(1)

所以絕對(duì)靈敏度也稱微分靈敏度。若將T表示為輸出響應(yīng)R(s)與不變輸入激勵(lì)E(s)的比值,有:

T(s)=R(s)/E(s)

(2)

代入式(1)整理得:

(3)

即:

(4)

所以網(wǎng)絡(luò)輸出響應(yīng)R(s)對(duì)相關(guān)參數(shù)p的絕對(duì)靈敏度等于相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)T對(duì)該參數(shù)的絕對(duì)靈敏度與輸入激勵(lì)乘積。

由上可見(jiàn),只有簡(jiǎn)單電路才能求出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)或輸出響應(yīng)關(guān)于電路參數(shù)的顯函數(shù)表達(dá)式,從而借助數(shù)學(xué)上求偏導(dǎo)數(shù)的方法得到絕對(duì)靈敏度。為了對(duì)較大規(guī)模電路網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行靈敏度分析,并且便于編寫靈敏度分析通用程序,須建立系統(tǒng)的靈敏度分析方法,如增量網(wǎng)絡(luò)法、伴隨網(wǎng)絡(luò)法、符號(hào)網(wǎng)絡(luò)法等。下面討論增量網(wǎng)絡(luò)法中,矩陣形式靈敏度分析含有受控源電路時(shí),需要特別關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題。

2 問(wèn)題提出與分析

增量網(wǎng)絡(luò)法適用于當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和激勵(lì)固定不變,而元件參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí),網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)對(duì)元件參數(shù)的絕對(duì)靈敏度分析。根據(jù)參考文獻(xiàn)[20],節(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣形式為:

(5)

(6)

(7)

圖1 電路網(wǎng)絡(luò)1

依據(jù)圖1得出網(wǎng)絡(luò)線圖如圖2所示。

圖2 網(wǎng)絡(luò)線圖

寫出關(guān)聯(lián)矩陣為:

支路導(dǎo)納矩陣為:

(8)

支路獨(dú)立源電壓列矢量為:

支路獨(dú)立源電流列矢量為:

進(jìn)而得節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為:

(9)

節(jié)點(diǎn)源電流列矢量為:

(10)

由式(9)、(10)得節(jié)點(diǎn)電方程為:

(11)

方程(11)的解為:

支路電壓列矢量為:

進(jìn)而得:

將上述結(jié)果代入增量網(wǎng)絡(luò)法矩陣形式,分別得;

(12)

(13)

(14)

(15)

圖3 電路網(wǎng)絡(luò)2

通過(guò)廣義支路學(xué)習(xí)可知,對(duì)于含有受控源的支路導(dǎo)納矩陣Y的列寫規(guī)則:當(dāng)支路i是電壓控制電流源(VCCS)時(shí),它受支路j導(dǎo)納上的電壓控制,控制系數(shù)為gij,則支路導(dǎo)納矩陣Y的i行j列元素將產(chǎn)生±gij的增量。當(dāng)控制電壓、被控電流分別與支路j和支路i方向一致時(shí),gij前面取“+”號(hào);否則,每改變一個(gè)方向,gij的前面變號(hào)一次。按照這一規(guī)則便可直接寫出含有VCCS的支路導(dǎo)納矩陣。如果暫且認(rèn)為式(8)為圖1的支路導(dǎo)納矩陣,根據(jù)廣義支路圖4所示的支路方程矩陣形式要滿足式(16)。

圖4 廣義支路及其線圖

(16)

式中I為支路電流列矢量,U為支路電壓列矢量。

那么由式(8)對(duì)圖1電路就要滿足如下的支路方程關(guān)系式:

(17)

(18)

對(duì)每一條支路列寫電壓電流關(guān)系有:

(19)

可見(jiàn),基于廣義支路約束,無(wú)法直接寫出對(duì)應(yīng)圖的支路導(dǎo)納矩陣。

3 問(wèn)題討論

那么對(duì)于受控源控制量包含獨(dú)立電源參量的電路靈敏度分析問(wèn)題,如何解決呢,筆者認(rèn)為針對(duì)本例可以有以下三種方式。

1)解決方案一。

將圖1中的支路1戴維南電路轉(zhuǎn)化為諾頓電路,如圖5所示。

圖5 戴維南電路轉(zhuǎn)化為諾頓電路

這樣控制量就變成了阻抗元件上的電壓,不再包含獨(dú)立電壓源參量。該等效電路支路方程的矩陣形式按照廣義支路列寫如下:

此時(shí)支路導(dǎo)納矩陣即為式(8)。需要注意的是,這樣等效變換后的圖5中,獨(dú)立電壓源大小與阻抗參數(shù)Z1有關(guān)。

2)解決方案二。

圖6 VCCS等效變換電路

3)解決方案三。

這樣就解決了4支路方程列寫問(wèn)題,支路導(dǎo)納矩陣滿足了廣義支路VCR方程式(16)。需要注意的是,如果其它支路還有純電壓源時(shí)就得另行考慮。

利用上述三種方法之一,等效后再列寫支路VCR方程,就可得到標(biāo)準(zhǔn)的支路方程矩陣形式式(16),節(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣形式也和無(wú)受控源時(shí)候的式(5)一致。

4 靈敏度的求解

(20)

(21)

依據(jù)節(jié)點(diǎn)電壓方程矩陣形式,代入具體數(shù)值求解節(jié)點(diǎn)電壓如下:

解得:

(22)

進(jìn)而得支路電壓為:

(23)

整理得:

(24)

整理得:

(25)

整理得:

(26)

(27)

代入數(shù)值得:

可見(jiàn)此等式與式(24)相同。

代入數(shù)值得:

可見(jiàn)此式與式(25)相同。

代入數(shù)值得:

可見(jiàn)與式(26) 相同。

5 結(jié)束語(yǔ)

文章通過(guò)問(wèn)題的提出與分析、問(wèn)題討論和解答過(guò)程可見(jiàn),用增量網(wǎng)絡(luò)法的矩陣形式分析電路絕對(duì)靈敏度時(shí),需要掌握電路原理的本質(zhì)、求解方法的適用范圍和分析方法的多樣性,具體總結(jié)如下:

2)控制量是否包括獨(dú)立電壓源雖然不影響節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣,但影響節(jié)點(diǎn)方程等式右側(cè)的流入電流;

3)當(dāng)控制量包含獨(dú)立電壓源時(shí),不能套用標(biāo)準(zhǔn)的支路方程和節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式,因?yàn)檫@些形式都是基于阻抗或?qū)Ъ{上的電壓為控制量而推導(dǎo)得出的;

4)可以通過(guò)等效變換的方法將受控源的控制量等效到阻抗或?qū)Ъ{元件上。

可見(jiàn),只要透徹理解節(jié)點(diǎn)電壓方程的實(shí)質(zhì)是KCL方程,對(duì)電路參數(shù)求導(dǎo)不要有遺漏,就能找到問(wèn)題所在。