梁小冰 盧耀安 王成勇

1.廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,廣州,5100062.廣東工業(yè)大學(xué)廣東省微創(chuàng)手術(shù)器械設(shè)計(jì)與精密制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州,5100063.高性能工具全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州,510006

0 引言

機(jī)床的空間誤差主要是準(zhǔn)靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差[1]。準(zhǔn)靜態(tài)誤差來源主要包括幾何誤差/運(yùn)動學(xué)誤差、熱誤差、力致變形誤差,動態(tài)誤差主要由控制誤差引起。準(zhǔn)靜態(tài)誤差大約占機(jī)床總空間誤差的70%[2]。幾何誤差是決定機(jī)床準(zhǔn)靜態(tài)精度的重要因素。相對于平動軸,五軸數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差對機(jī)床精度影響更大[2-3]。

旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差主要分為位置無關(guān)幾何誤差(position-independent geometric errors,PIGEs)和位置相關(guān)幾何誤差(position-dependent geometric errors,PDGEs)[3-4]。PIGEs由機(jī)床各軸系之間的裝配誤差引起,PDGEs由機(jī)床軸自身所帶缺陷引起。相較于PDGEs,PIGEs在五軸機(jī)床幾何誤差中所占比例較高,故旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs是影響五軸數(shù)控機(jī)床精度的主要因素[5]。

目前,無法采用儀器直接測量五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs,因此需要先建立機(jī)床幾何誤差模型來描述幾何誤差與儀器測量數(shù)據(jù)的關(guān)系;然后,基于小角度誤差假設(shè),在忽略二次項(xiàng)與高次項(xiàng)后,建立線性化的幾何誤差模型;最后,將儀器測量結(jié)果代入幾何誤差模型,通過求解線性方程組獲得旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs?；谛〗嵌日`差假設(shè)和忽略二次項(xiàng)與高次項(xiàng)來簡化機(jī)床的幾何誤差模型會影響機(jī)床幾何誤差的辨識精度。目前,建立機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs模型的方法主要有齊次坐標(biāo)變換法、螺旋理論法和對偶四元數(shù)法。侯宏天[6]采用齊次坐標(biāo)變換原理建立了BC型五軸機(jī)床的幾何誤差模型和運(yùn)動學(xué)模型,基于球桿儀(double ball bar,DBB)設(shè)計(jì)了平動軸與旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差辨識方法,辨識了平動軸的21項(xiàng)幾何誤差和旋轉(zhuǎn)軸的8項(xiàng)PIGEs。郭世杰等[7]基于齊次坐標(biāo)變換方法建立了擺頭-轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床的PIGEs模型,利用球桿儀的4種測量模式辨識旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs。張童童[8]基于螺旋理論建立了五軸機(jī)床的幾何誤差模型,利用球桿儀設(shè)計(jì)了6種測量模式,實(shí)現(xiàn)了兩旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的辨識。XIANG等[9]基于螺旋理論構(gòu)建了五軸機(jī)床幾何誤差模型,利用球桿儀實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)軸12項(xiàng)PDGEs和8項(xiàng)PIGEs的解耦辨識。WANG等[10]基于對偶四元數(shù)建立了五軸機(jī)床的運(yùn)動誤差模型,通過雙旋轉(zhuǎn)軸聯(lián)動驅(qū)動球桿儀運(yùn)動,實(shí)現(xiàn)了兩旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs辨識。

TSUTSUMI等[11]提出了經(jīng)典的球桿儀軸向、徑向測量模式,以及基于小角度誤差假設(shè)的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法。WANG等[12]提出了一種辨識旋轉(zhuǎn)軸8項(xiàng)PIGEs的新方法,該方法不需要計(jì)算球桿儀長度變化曲線的圓心偏移量,而是將某些特殊位置處的球桿儀測試數(shù)據(jù)代入辨識模型,從而得到PIGEs。上述兩種方法需要分步解耦辨識旋轉(zhuǎn)軸誤差,若旋轉(zhuǎn)軸某項(xiàng)PIGE的辨識結(jié)果存在誤差,則會累積傳遞給其他誤差項(xiàng),導(dǎo)致未能準(zhǔn)確辨識旋轉(zhuǎn)軸PIGEs。姚思涵[13]提出了使用球桿儀同步辨識旋轉(zhuǎn)軸與平動軸PIGEs的方法,但該方法需要編程計(jì)算單旋轉(zhuǎn)軸與單平動軸聯(lián)動的球桿儀測量軌跡。XIA等[14]提出的一種基于球桿儀的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差解耦辨識方法需要選擇合適的球桿儀安裝位置和方向。

雙轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床被廣泛使用,因此本文以AC雙轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床為對象,研究機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法。目前,大多數(shù)旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法要么需要小角度誤差假設(shè)和忽略二次項(xiàng)與高次項(xiàng),要么需要分步解耦辨識。這些方法都會影響辨識精度,因此,本文提出一種基于差分演化算法的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法。首先,基于球桿儀軸向、徑向的測量方式建立機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs與球桿儀長度變化的關(guān)系模型。其次,使用TSUTSUMI等[11]提出的誤差辨識方法獲得旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的初始解,然后使用差分演化算法實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)軸8項(xiàng)PIGEs的整體優(yōu)化求解。最后,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提出的誤差辨識方法的有效性。

1 五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識

1.1 基于球桿儀的PIGEs辨識方法

本文以AC雙轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床為研究對象,采用相對表示法定義旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs(圖1),其中,OCXCYCZC為C軸坐標(biāo)系,OAXAYAZA為A軸坐標(biāo)系,OMXMYMZM為機(jī)床坐標(biāo)系。δxAY、δyAY、δzAY分別為A軸坐標(biāo)系原點(diǎn)在X、Y、Z方向的位移誤差,αAY、βAY、γAY分別為A軸坐標(biāo)系各軸關(guān)于X、Y、Z軸的角度誤差,βCA為C軸坐標(biāo)系相對于A軸坐標(biāo)系的角度誤差,δyCA為C軸坐標(biāo)系原點(diǎn)相對于A軸坐標(biāo)系原點(diǎn)在Y方向的位移誤差。

圖1 相對表示法定義旋轉(zhuǎn)軸PIGEs

TSUTSUMI等[11]利用球桿儀對桿長方向長度變化最敏感的特征,提出了經(jīng)典的球桿儀徑向和軸向測量模式,以及機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法。測量AC雙轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床的A軸和C軸的PIGEs時,徑向測量模式下,球桿儀桿長方向始終為圓軌跡的徑向(圖2a、圖2b);軸向測量模式下,球桿儀桿長方向始終為測量軸的軸向(圖2c、圖2d)。利用球桿儀測量A軸PIGEs的過程中,機(jī)床的C軸和X軸保持靜止,Y軸、Z軸與A軸聯(lián)動進(jìn)行圓周插補(bǔ)。利用球桿儀測量C軸PIGEs的過程中,機(jī)床的A軸和Z軸保持靜止,X軸、Y軸與C軸聯(lián)動進(jìn)行圓周插補(bǔ)。

(a)A軸徑向 (b)C軸徑向

坐標(biāo)系OMXMYMZM下,球桿儀主軸端接觸球的球心坐標(biāo)的計(jì)算表達(dá)式為

(1)

式中,φ為A軸旋轉(zhuǎn)角度;θ為C軸旋轉(zhuǎn)角度;[xSySzS]T為球桿儀主軸端接觸球球心在旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動前的初始坐標(biāo)。

球桿儀旋轉(zhuǎn)工作臺端接觸球的球心坐標(biāo)的計(jì)算表達(dá)式為

(2)

式中,[XTCYTCZTC]T為球桿儀旋轉(zhuǎn)工作臺端接觸球球心在旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動前的初始坐標(biāo)。

于是,球桿儀長度變化ΔL可通過下式獲得

(3)

式中,L為球桿儀的公稱桿長。

TSUTSUMI等[11]提出的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法需要使用圓擬合球桿儀測量數(shù)據(jù),然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸PIGEs與圓心偏移量之間的關(guān)系分步解耦辨識誤差。本文采用最小二乘圓擬合方法——Pratt方法擬合球桿儀測量數(shù)據(jù),獲得其圓心坐標(biāo)。擬合圓之前,需要對球桿儀測量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,將極坐標(biāo)系表示的桿長變化量通過下式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系表示:

(4)

式中,φi為第i個旋轉(zhuǎn)軸角度;ΔLi為φi對應(yīng)的球桿儀桿長變化量;ΔLmin為球桿儀桿長變化量的最小值。

TSUTSUMI等[11]提出的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識步驟如下:

(1)球桿儀徑向測量模式下,擬合A軸的測量數(shù)據(jù),獲得圓心偏移量δxAY、δyAY：

(5)

式中,ez、ey分別為擬合圓圓心在Z向和Y向的偏移量。

(2)球桿儀軸向測量模式下,擬合A軸的測量數(shù)據(jù),獲得圓心偏移量。僅存在βAY、γAY誤差時,通過下式辨識βAY、γAY：

(6)

(3)球桿儀軸向測量模式下,擬合C軸的測量數(shù)據(jù),獲得圓心偏移量。僅存在αAY、βCA、βAY誤差時,通過下式辨識角度誤差:

(7)

式中,ex為擬合圓圓心在X向的偏移量;RB為球桿儀工作臺端的接觸球球心與C軸回轉(zhuǎn)軸線在X方向的距離。

(4)球桿儀徑向測量模式下,擬合C軸的測量數(shù)據(jù),獲得圓心偏移量,通過下式辨識角度誤差:

(8)

1.2 基于差分演化算法的PIGEs辨識

TSUTSUMI等[11]基于小角度誤差假設(shè)提出的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法影響誤差辨識的準(zhǔn)確性,且該辨識方法需要分步解耦辨識誤差,如果某項(xiàng)PIGEs的辨識結(jié)果存在偏差,則會累積傳遞給其他誤差項(xiàng)。本文使用TSUTSUMI等[11]提出的辨識方法即通過式(5)～式(8)獲得PIGEs初始解S,然后基于差分演化算法整體優(yōu)化求解8項(xiàng)PIGEs,獲得準(zhǔn)確性更高的PIGEs?；诓罘盅莼惴ǖ男D(zhuǎn)軸PIGEs辨識流程如圖3所示,步驟如下:

圖3 基于差分演化算法的PIGEs辨識流程圖

(1)初始化。種群內(nèi)第j個個體的第i項(xiàng)位置無關(guān)幾何誤差為

Xj,i=(2Mj,i-1)(XU,i-XL,i)+Si

(9)

其中,Mj,i為在(0,1)的隨機(jī)數(shù),i=1,2,…,D;j=1,2,…,NP;D為變量維數(shù),旋轉(zhuǎn)軸存在8項(xiàng)PIGEs,即D=8;NP為種群數(shù)量,NP在5D～10D的優(yōu)化結(jié)果較好[15];XU、XL分別為項(xiàng)誤差的上限和下限,根據(jù)初始解的角度誤差和位置誤差適當(dāng)取值;Si為初始解S的第i項(xiàng)PIGEs。

(2)建立目標(biāo)函數(shù):

f(Xj)=‖P1-Q1‖+‖P2-Q2‖+

‖P3-Q3‖+‖P4-Q4‖

(10)

其中,Pi為在相應(yīng)測量模式下,根據(jù)式(3)得到不同旋轉(zhuǎn)軸位置對應(yīng)的球桿儀長度變化,Pi=[pi,1pi,2…pi,n]T;i=1,2,3,4分別對應(yīng)A軸球桿儀徑向、A軸球桿儀軸向、C軸球桿儀徑向、C軸球桿儀軸向4種測量模式;Qi為測量模式i下采集的不同旋轉(zhuǎn)軸位置的球桿儀長度變化,Qi=[qi,1qi,2…qi,n]T。根據(jù)式(10)計(jì)算個體Xj的適應(yīng)值f(Xj),并將f(Xj)中最小值對應(yīng)的個體設(shè)為當(dāng)前最優(yōu)個體Xbest。

(3)變異操作產(chǎn)生個體:

(11)

(4)交叉操作產(chǎn)生個體:

(12)

其中,m為1～D內(nèi)的隨機(jī)整數(shù);cr為(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù);CR為交叉算子,其一般取值范圍為 0.3～0.9[15]。

(13)

(6)選擇最優(yōu)個體。根據(jù)下式選擇當(dāng)前迭代的最優(yōu)個體:

(14)

(7)判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù),若達(dá)到最大迭代次數(shù),則算法結(jié)束,輸出最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)到步驟(3)。

1.3 PIGEs辨識仿真

設(shè)機(jī)床A軸的運(yùn)動范圍為30°～-90°,C軸的運(yùn)動范圍是0～360°。設(shè)定各項(xiàng)誤差如表1所示,各項(xiàng)誤差設(shè)定值分為Ⅰ、Ⅱ組,其中,Ⅰ組誤差較小,Ⅱ組誤差較大。球桿儀公稱長度L=100 mm、球桿儀工作臺端的接觸球球心與C軸回轉(zhuǎn)軸線在X方向的距離RB=32 mm,與A軸軸線在Z方向的距離ZT=164 mm,如圖4所示。差分演化算法中設(shè)定的參數(shù)如表2所示。

表1 PIGEs辨識結(jié)果(仿真)

表2 差分演化算法參數(shù)表(仿真)

圖4 參數(shù)RB、ZT示意圖

將設(shè)定參數(shù)代入式(3),獲得4種測量模式的球桿儀長度變化曲線;使用TSUTSUMI等[11]提出的辨識方法獲得PIGEs初始解;使用差分演化算法辨識PIGEs,獲得更準(zhǔn)確的PIGEs。仿真計(jì)算中,差分演化算法所使用的參數(shù)如表2所示,機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識結(jié)果如表1所示。

由表1可看出,旋轉(zhuǎn)軸PIGEs較小時,使用TSUTSUMI等[11]提出的辨識方法獲得的PIGEs接近設(shè)定值。PIGEs較大時,本文方法比TSUTSUMI等[11]提出方法辨識的PIGEs更接近設(shè)定值,對應(yīng)的球桿儀長度變化軌跡更接近目標(biāo)軌跡(如圖5所示),即基于差分演化算法的PIGEs辨識方法能夠獲得準(zhǔn)確度更高的PIGEs。

(a)A軸的球桿儀徑向模式 (b)A軸的球桿儀軸向模式

2 PIGEs辨識實(shí)驗(yàn)

2.1 球桿儀安裝

以A軸的球桿儀軸向測量模式為例說明球桿儀的安裝步驟。首先,將帶有磁性的工具杯安裝在合適的刀柄上,再將刀柄安裝在機(jī)床主軸上。然后,把球桿儀中心座安裝在C軸臺面,調(diào)整球桿儀中心座位置,使其與C軸軸線重合,再將中心球放置在球桿儀中心座上。然后使工具杯隨機(jī)床主軸移動到球桿儀中心座正上方,移動Z軸使工具杯與中心座上中心球大致對齊,再微調(diào)X軸、Y軸位置,使工具杯對齊中心球。再緩慢移動主軸,使工具杯隨著主軸沿Z軸方向緩慢下降,直到中心球在磁力作用下自動吸附在工具杯中,然后停止移動主軸并將該位置設(shè)為工件坐標(biāo)系原點(diǎn),鎖緊中心座,使中心座固定在C軸臺面。然后,將將主軸沿著Z向上升,再取下中心球。最后,使主軸往X軸正方向移動100 mm,再將主軸沿Z軸下降至z=0處,然后在中心座與工具杯之間放置球桿儀,此時球桿儀桿長方向與X向相同。A、C軸的球桿儀軸向、徑向測量模式的安裝如圖6所示。

(a)A軸徑向 (b)A軸軸向 (c)C軸徑向 (d)C軸軸向

2.2 PIGEs辨識實(shí)驗(yàn)

本辨識實(shí)驗(yàn)中,L=100 mm,RB=32.1 mm,ZT=164.69 mm。機(jī)床進(jìn)給速度設(shè)為1 m/min,球桿儀采樣頻率為1000 Hz。根據(jù)球桿儀的4種測量方式編寫數(shù)控機(jī)床G代碼程序,機(jī)床按照設(shè)定的軌跡運(yùn)動,球桿儀采集長度變化量。根據(jù)TSUTSUMI等[11]提出的辨識方法獲得PIGEs初始解(表3),將該初始解代入式(3)得到對應(yīng)的球桿儀長度變化曲線。在初始解基礎(chǔ)上,通過差分演化算法獲得準(zhǔn)確度更高的PIGEs(差分演化算法中設(shè)定的參數(shù)如表4所示),其辨識結(jié)果如表3所示,再將辨識結(jié)果代入式(3)得到對應(yīng)的球桿儀長度變化曲線,上述變化曲線如圖7所示。

表3 PIGEs辨識結(jié)果(實(shí)驗(yàn))

表4 差分演化算法參數(shù)表(實(shí)驗(yàn))

(a)A軸的球桿儀徑向模式 (b)A軸的球桿儀軸向模式

由圖7可看出,C軸的球桿儀徑向測量模式下,3條軌跡差別不明顯;其他3種測量模式下,相對于TSUTSUMI等[11]提出的辨識方法,本文方法的球桿儀長度變化曲線更接近球桿儀實(shí)測數(shù)據(jù)曲線,即基于差分演化算法的辨識方法可獲得準(zhǔn)確度更高的PIGEs。

3 結(jié)論

本文提出一種基于差分演化算法且無需簡化機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差模型的旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識方法。首先基于經(jīng)典的球桿儀軸向、徑向測量模式辨識旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs,獲得PIGEs初始解,然后利用差分演化算法整體優(yōu)化求解旋轉(zhuǎn)軸PIGEs,獲得準(zhǔn)確度更高的PIGEs。AC雙轉(zhuǎn)臺型五軸機(jī)床實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提PIGEs辨識方法的有效性。