巴佳燕 陳復(fù)洋 段后建 鄧明勛 王瑞強

(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,廣東省高等學(xué)校物質(zhì)結(jié)構(gòu)與相互作用基礎(chǔ)研究卓越中心,廣東省量子調(diào)控工程與材料重點實驗室,廣州 510006)

(華南師范大學(xué)物理前沿科學(xué)研究院,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實驗室,廣州 510006)

平面霍爾效應(yīng)(planar Hall effect,PHE)是當前凝聚態(tài)輸運中研究的熱點之一.近年來,平面霍爾效應(yīng),尤其是拓撲材料中的平面霍爾效應(yīng),引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,并取得了很大的進展.不同于普通霍爾效應(yīng),平面霍爾效應(yīng)中的橫向電流、磁場和電場可以出現(xiàn)在同一平面,無法用洛倫茲力解釋,其很大程度上依賴于磁電阻的各向異性.本文從理論和實驗兩個角度介紹拓撲材料中平面霍爾效應(yīng)的研究進展,深入分析了導(dǎo)致線性和非線性平面霍爾效應(yīng)的各種外稟和內(nèi)稟機制,并討論尚待解決的相關(guān)問題和未來的發(fā)展方向.

1 引言

霍爾效應(yīng)是物理學(xué)中最基本和研究最廣泛的現(xiàn)象之一[1,2].1879年,美國物理學(xué)家埃德溫·霍爾(E.H.Hall)在研究金屬的導(dǎo)電機制時發(fā)現(xiàn),當電流垂直于外磁場通過導(dǎo)體時,將在垂直于電流和磁場的方向上產(chǎn)生電勢差[1,3],這種現(xiàn)象被稱為霍爾效應(yīng).研究表明,霍爾電壓與磁場強度呈線性關(guān)系,其斜率(霍爾系數(shù))的大小和符號取決于導(dǎo)體中的載流子濃度和載流子類型(電子或空穴).隨后,霍爾在研究磁性金屬的霍爾效應(yīng)時又發(fā)現(xiàn)了反?；魻栃?yīng):磁性金屬的霍爾電阻率包含了一個不需要外磁場且比普通霍爾效應(yīng)大得多的反常貢獻,它直接取決于材料的磁化強度,并且偏離與磁場的線性關(guān)系.例如,金屬鎳的反?；魻栂禂?shù)在居里溫度附近大約比普通霍爾系數(shù)大100 倍[4].1980年,德國物理學(xué)家馮·克利欽(Klaus von Klitzing)在研究二維電子氣在強磁場和低溫環(huán)境下的輸運性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)分立的霍爾電導(dǎo),即所謂的量子霍爾效應(yīng),其數(shù)值上等于電導(dǎo)量子單位e2/h的整數(shù)倍[5].后來,人們又相繼發(fā)現(xiàn)了自旋霍爾效應(yīng)[6]、分數(shù)量子霍爾效應(yīng)[7]、量子反?；魻栃?yīng)[8,9]、三維量子霍爾效應(yīng)[10,11]、平面霍爾效應(yīng)(planar Hall effect,PHE)[12-14],以及非線性平面霍爾效應(yīng)(nonlinear planar Hall effect,NPHE)[15]等.在此領(lǐng)域已經(jīng)誕生了多個諾貝爾物理學(xué)獎.近年來,平面霍爾效應(yīng)和非線性平面霍爾效應(yīng)引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,并迅速取得了進展[16-18].本文將從理論和實驗兩個方面介紹拓撲材料中的線性和非線性平面霍爾效應(yīng)研究進展,及涉及的相關(guān)物理機制.

2 平面霍爾效應(yīng)

物理上,霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)是由于帶電粒子受到洛倫茲力發(fā)生軌道偏轉(zhuǎn),而反?；魻栃?yīng)不需要洛倫茲力的作用,因而與普通霍爾效應(yīng)存在本質(zhì)上的不同.反常霍爾效應(yīng)的物理機制直到二十世紀八十年代貝里(Berry)相位理論建立起來后才逐漸被揭示[19].事實上,反?；魻栃?yīng)與材料的電子自旋軌道耦合作用以及電子能帶的拓撲性質(zhì)相關(guān).在鐵磁材料中,反?；魻栃?yīng)可以由外稟和內(nèi)稟機制貢獻[4,20].外稟機制由晶體周期勢的突然變化,如結(jié)構(gòu)缺陷或雜質(zhì)導(dǎo)致載流子的不對稱散射引起[21-23],而內(nèi)稟反?；魻栃?yīng)源于材料的量子力學(xué)特性,由晶體動量空間中的貝里曲率導(dǎo)致[24,25].從理論上說,霍爾效應(yīng)和反?；魻栃?yīng)都可以歸結(jié)于傳導(dǎo)電子由于某種機制而獲得一個橫向的速度.在半經(jīng)典理論框架下,能帶電子在實空間的運動速度滿足半經(jīng)典運動方程[25]:,其中表示電子速度,Ωn?k×An(k) 為貝里曲率矢量.An(k)i〈unk|?k|unk〉代表貝里聯(lián)絡(luò),描述相鄰兩個k點之間波函數(shù)的交疊程度.形式上,An(k)可以看作是動量空間中的“矢勢”,相應(yīng)地,Ωn可以看作動量空間中的“磁場”.因此,貝里曲率將貢獻一個垂直于電場和“磁場”方向的反常速度項,導(dǎo)致內(nèi)稟反常霍爾效應(yīng)的出現(xiàn),其霍爾電導(dǎo)率由反常速度項在布里淵區(qū)內(nèi)的積分給出:

最近,另一種霍爾效應(yīng)引起了人們的廣泛關(guān)注和研究,其橫向電流、磁場和電場三者共面,故稱為平面霍爾效應(yīng).通常,平面霍爾效應(yīng)出現(xiàn)在磁性材料中,如鐵磁和反鐵磁半導(dǎo)體[12,14,26,27],并伴隨著大各向異性磁電阻(anisotropic magnetoresistivity,AMR)效應(yīng)的出現(xiàn).最近的實驗發(fā)現(xiàn),在強自旋軌道耦合系統(tǒng)中,如二維電子氣體[28,29]、拓撲絕緣體[15,30]和狄拉克/外爾半金屬[31-36]等非磁性材料,也能出現(xiàn)平面霍爾效應(yīng),掀起了研究平面霍爾效應(yīng)的熱潮[37-39].

2.1 三維拓撲絕緣體中的線性平面霍爾效應(yīng)

2017年,Taskin 等[30]首次在非磁性三維拓撲絕緣體 Bi2-xSbxTe3中觀測到了平面霍爾效應(yīng),他們的實驗裝置如圖1(a)所示.測量的平面霍爾效應(yīng)和各向異性磁電阻隨電場和磁場的夾角變化滿足標準的正余弦函數(shù)關(guān)系,同時,平面霍爾電阻的幅值在狄拉克點附近出現(xiàn)一個雙峰特征結(jié)構(gòu),如圖1(c)和圖1(d)所示.隨后,在 Sn 摻雜拓撲絕緣體 Bi1.1Sb0.9Te2中觀測到了平面霍爾效應(yīng)的SdH(Shubnikov-de-Haas)振蕩,由此確定了三維拓撲絕緣體中的平面霍爾效應(yīng)源于螺旋拓撲表面態(tài)的自旋動量鎖定[40].Taskin 等理論上將觀測到的平面霍爾效應(yīng)歸因于磁性雜質(zhì)導(dǎo)致的各向異性電子散射,而事實上實驗中并沒有摻磁性雜質(zhì).因此,探索平面霍爾效應(yīng)的物理機制成為大家關(guān)注的焦點.

圖1 (a) Bi2-xSbxTe3 的薄膜雙門霍爾棒控器件簡圖;(b)自旋極化雜質(zhì)背散射以及背散射鎖定的示意圖;(c)磁場下PHE 和縱向磁電阻振幅隨著角度的變化;(d)磁場下的PHE 振幅(左軸)以及有效總載流子密度(右軸)關(guān)于門電壓的依賴性[30]Fig.1.(a) A sketch of the Bi2-xSbxTe3 dual-gate Hall-bar device and the measurement configuration;(b) schematic diagram of spin-polarized impurity backscattering and backscattering locking;(c) PHE and longitudinal magnetoresistance variation with angle at magnetic field;(d) dependence of PHE amplitude(left axis) and effective total carrier density(right axis) about gate voltage under magnetic field.Image cited from Ref.[30].

2.1.1 狄拉克錐傾斜機制

我們研究組發(fā)現(xiàn)不需要磁性雜質(zhì)散射也能導(dǎo)致平面霍爾效應(yīng),提出拓撲表面態(tài)在面內(nèi)磁場作用下的狄拉克錐傾斜與表面態(tài)自旋動量鎖定是導(dǎo)致平面霍爾效應(yīng)的根源[41].水平磁場作用下的三維拓撲絕緣體表面態(tài)可表示為

其中υF是費米速度;σ(σx,σy,σz) 為泡利矩陣;μ表示化學(xué)勢;B//(Bx,By)B(cosθB,sinθB)代表外加水平磁場;動量的平方項對應(yīng)于費米子的牛頓質(zhì)量項,由電子-空穴不對稱性引起[42].若哈密頓量不含平方項(D0),面內(nèi)磁場的作用只是在動量空間平移狄拉克錐,因此不會產(chǎn)生任何可觀測的物理效應(yīng).若D0,在平移后的狄拉克點附近,對哈密頓量作泰勒展開可得到:

其中ε0(k) 表示動量的平方項,?υB2DB/?υF.顯然,面內(nèi)磁場使得哈密頓量多出一項,由此導(dǎo)致狄拉克錐傾斜,見圖2(a)和圖2(b).狄拉克錐傾斜后,電子的自旋動量鎖定將發(fā)生變化.如圖2(c)和圖2(d)所示,狄拉克錐傾斜后,等能面由圓變成橢圓,使得平行于磁場方向的態(tài)|k〉和|-k〉的自旋不再反平行,從而打開背散射通道,而垂直于磁場的方向上背散射仍被抑制.各向異性電子散射將導(dǎo)致磁電阻的各向異性,從而產(chǎn)生平面霍爾效應(yīng).

圖2 (a)和(b)展現(xiàn)了包含動量平方項的狄拉克錐在平面磁場下發(fā)生傾斜;(c)和(d) 展示了加入面內(nèi)磁場后造成的背散射鎖定的解除,從而導(dǎo)致各向異性的縱向磁電阻率[41]Fig.2.(a) and(b) exhibit the Dirac cone containing the momentum squared term tilted under a planar magnetic field;in(c) and(d) the unlocking of the backscattering caused by the addition of an in-plane magnetic field is shown,resulting in an anisotropic longitudinal magnetoresistivity.Image cited from Ref.[41].

進一步通過格林函數(shù)形式下的久保(Kubo)公式

圖3 (a)平面霍爾電阻(planar Hall resistivity,PHR)和(b)各向異性磁電阻(anisotropic magnetoresistivity,AMR)隨著磁場與電場的角度 θB 振蕩;(c) 在不同化學(xué)勢下,PHR 和AMR 的振幅與雜質(zhì)勢U 的關(guān)系;(d) PHR 和AMR 的振幅與化學(xué)勢μ 的關(guān)系(其中 U 50)[41]Fig.3.(a) Planar Hall resistivity(PHR) and(b) anisotropic magnetoresistivity(AMR) oscillate with the angle θB of the magnetic and electric fields;(c) amplitudes of PHR and AMR versus impurity potential U at different chemical potentials;(d) amplitudes of PHR and AMR versus chemical potential μ where U=50.Image cited from Ref.[41].

研究還發(fā)現(xiàn),無論雜質(zhì)勢和化學(xué)勢如何變化,PHR 的振幅不變號,然而AMR 的振幅卻會隨著兩者變號,如圖3(c)和圖3(d)所示,這與文獻[30]中的觀測一致.該理論很好地復(fù)現(xiàn)了實驗觀測到的特征雙峰結(jié)構(gòu),如圖4 所示,該雙峰結(jié)構(gòu)對雜質(zhì)勢和磁場很敏感.

圖4 平面霍爾電阻(planar Hall resistivity,PHR)隨化學(xué)勢的演化圖(a)不同雜質(zhì)勢取值對雙峰的影響;(b)不同磁場強度對雙峰的影響.插入圖展示了PHR 振幅隨磁場強度B 的變化,當B 較小時呈二次方關(guān)系,較大時呈線性關(guān)系[41]Fig.4.Evolution of the double-peak structure in planar Hall resistivity(PHR) amplitude Δρxy with(a) Effect of different U values on double-peaks,and(b) effect of different magnetic field strength on double-peaks.The inset of(b) shows the Δρxy as a function of the magnetic field strength B.Image cited from Ref.[41].

2.1.2 磁振子散射機制

盡管在不同體系中平面霍爾效應(yīng)的機制可能不同,但其縱向和橫向電導(dǎo)率普遍滿足(5)式和(6)式.最近在拓撲絕緣體/鐵磁層中發(fā)現(xiàn),平面霍爾效應(yīng)在電場和磁場共線的情況下也能出現(xiàn),并表現(xiàn)出復(fù)雜的角度依賴關(guān)系[29,38,43].如何從理論上理解這些實驗結(jié)果,也是一個開放的問題.

為了解釋實驗觀測到的復(fù)雜平面霍爾效應(yīng),我們研究組從鐵磁/拓撲絕緣體異質(zhì)結(jié)模型出發(fā)[16],如圖5(a)所示,其哈密頓量可以寫為

圖5 (a)鐵磁絕緣體/拓撲絕緣體雙層異質(zhì)結(jié)構(gòu)裝置以及所選坐標系示意圖,其中 θB 為外磁場與x 軸的夾角.這里假設(shè)鐵磁體被完全磁化(S 與B 平行).(b)各向同性費米表面上的磁振子散射示意圖[16]Fig.5.(a) Schematic diagram of the ferromagnetic insulator/topological insulator bilayer heterostructure device and the chosen coordinate system,where θB is the angle between the external magnetic field and the x-axis.We assume that the ferromagnet is fully magnetized,which leads to S//B.(b) Schematic of the magnon scattering for isotropic Fermi surface.Image cited from Ref.[16].

由Kubo-Streda 公式可以得到沿電場方向(縱向)和垂直于電場方向(橫向)的電導(dǎo)率:

其中 Δσσ//-σ⊥,θθB-θE為電場和磁場的相對夾角.這里采用縮寫σ⊥≡σ⊥⊥,σ//≡σ////,其中,// 對應(yīng)x?方向,即平行于磁場的方向,⊥對應(yīng)y?方向,即垂直于磁場的方向.電導(dǎo)率的數(shù)值結(jié)果表明,Δσσ//-σ⊥在零溫下等于零.隨著溫度升高,磁振子散射過程被激活,Δσ變?yōu)橛邢拗?從而導(dǎo)致各向同性的線性色散下也能出現(xiàn)平面霍爾效應(yīng).與(5)式和(6)式比較可知,這里的(8)式和(9)式新增了后面一項,來自于非對角的霍爾效應(yīng),它們依賴于角度,最終導(dǎo)致復(fù)雜的角度依賴關(guān)系.此外,在翹曲效應(yīng)的作用下,即λ0時,系統(tǒng)將會打開能隙,出現(xiàn)非零的貝里曲率,產(chǎn)生非平庸陳數(shù),因而產(chǎn)生內(nèi)稟的平面霍爾電導(dǎo),對(9) 式中的第一項產(chǎn)生貢獻.

2.2 外爾半金屬中的線性平面霍爾效應(yīng)

在過去的幾年里,從有能隙的拓撲絕緣體到各種無能隙的拓撲半金屬,物質(zhì)的拓撲相受到了極大的關(guān)注[47-49].外爾半金屬作為三維拓撲半金屬的一個典型例子,在理論[33-35,50,51]和實驗[52-54]方面都得到了廣泛研究.外爾半金屬在外爾點附近激發(fā)的外爾費米子具有線性色散關(guān)系,并且費米面包圍的貝里通量在外爾點附近被量子化.外爾點可以看成具有明確手性的拓撲電荷,并且在動量空間充當貝里曲率的源或匯[55].

理論預(yù)言不久[56,57],外爾半金屬態(tài)在TaAs[58,59]以及幾種不同的化合物[60-62]中被實驗所證實.它們獨特的拓撲性質(zhì)賦予了外爾半金屬態(tài)許多有趣的物理特性,其中,手征反常和手征磁效應(yīng)最為突出.在拓撲場論框架下,若配對的外爾點在能量-動量空間沿四維軸矢量(b0,b) 分離,則可以在外爾半金屬中觀察到手征反常和手征磁效應(yīng).雖然四維軸矢量沒有打破系統(tǒng)的手征對稱性,但它打破了體系的洛倫茲對稱性[63].因此,通過局域手征變換消除四維軸矢量后,將會在路徑積分測度中引入一個類Chern-Siomons 項[63,64],由此導(dǎo)致反常電磁響應(yīng)(b0B+b×E).由規(guī)范不變性,可以推導(dǎo)出連續(xù)性方程

圖6 (a)在磁場B 存在下,左手性和右手性費米子填充的能譜;(b) 存在額外平行于磁場B 的電場E 時左手性和右手性費米子的能譜填充圖[65]Fig.6.(a) Energy spectra of left-handed and right-handed fermions in the presence of a magnetic field B;(b) energy spectra of left-handed and right-handed fermions in the presence of an electric field E additionally parallel to the magnetic field B.Image cited from Ref.[65].

2.2.1 (類)手征反常機制

一般情況下,單手性外爾點附近的低能有效哈密頓量可以表示為

其中χ±1 表示外爾費米子的手征荷,常數(shù)C是傾斜因子.在弱磁場下,朗道量子化可以忽略,電子輸運可以用半經(jīng)典玻爾茲曼方程描述:

其中,fk是電子的分布函數(shù),?k是準動量,Icoll{fk}是碰撞積分.通過解r和k滿足的半經(jīng)典運動方程可得:

其中,vk?εk/?k為電子的群速度.這里,除了洛倫茲力的貢獻,動量空間下的反常速度出現(xiàn)了E·B項,并且與貝里曲率綁定.實際上,這一項對應(yīng)了手征反常的貢獻.

在弛豫時間近似下,考慮洛倫茲力的影響,將(13)式代入電流密度公式,可求得體系的電導(dǎo)率表達式[31]:

圖7 (a)平面霍爾效應(yīng)測量裝置示意圖;(b)平面霍爾電導(dǎo)率振幅隨磁場強度B 的變化(其中插入圖為縱向電導(dǎo)率);(c),(d)B 5 T時縱向磁電導(dǎo)率和平面霍爾電導(dǎo)率隨角度 θ 的變化[31]Fig.7.(a) Schematic diagram of the planar Hall effect measurement device;(b) amplitude of planar Hall conductivity as a function of magnetic field(the inset is the longitudinal conductivity);(c),(d) variation of longitudinal magnetoconductivity and planar Hall conductivity with angle θ for B 5 T.Image cited from Ref.[31].

我們研究組發(fā)現(xiàn),若外爾半金屬存在電子-空穴不對稱tk2,手征化學(xué)勢除了手征反常的拓撲項貢獻,還包含非拓撲的貢獻[70].考慮外爾半金屬的電子-空穴不對稱后,不加磁場時,外爾錐不傾斜,如圖8(a) 所示.隨著外磁場的加入,兩個外爾錐將沿著磁場向相反方向移動并傾斜,見圖8(b).此時,兩個費米子口袋中電子的填充形式是相互對稱的,因此具有相同高度的費米面.然而,在電場的作用下,這種對稱性會被破壞,導(dǎo)致不同手性外爾錐的費米面不再對齊,從而產(chǎn)生手征化學(xué)勢.因此,即使沒有手征反常效應(yīng),也可能在兩個外爾谷之間建立非零手征化學(xué)勢,如圖8(d)所示.在弱磁場和零溫近似下,應(yīng)用玻爾茲曼方程可以獲得手征化學(xué)勢如下:

圖8 塞曼場不存在[(a),(c)]和存在[(b),(d)]時的Weyl錐和費米子填充,第一行和第二行分別為 E 0和E0.我們注意兩個錐之間的手征化學(xué)勢可以分別由(c)手征反常,或是(d)傾斜效應(yīng)產(chǎn)生[70]Fig.8.Weyl cone and fermion filling in the absence [(a),(c)] and presence [(b),(d)] of the Seeman field with E 0 and E0 in the first and second rows,respectively.We note that the chiral chemical potential between the two Weyl cones can be generated by(c) the chiral anomaly,or(d) the tilt effect,respectively.Image cited from Ref.[70].

其中τinter(τintra)代表谷間(谷內(nèi))弛豫時間,α2tgμBB/(?υF)2,kFEF/(?υF) 為費米波矢,EF表示費米能.由(16)式可以看到,外爾錐的傾斜效應(yīng)不僅會抑制手征反常,還會產(chǎn)生一個正比于傾斜參數(shù)和磁場的額外類手征化學(xué)勢.此外,這里的貝里曲率Ωχ-χk/(2|k|3) 與傾斜因子完全無關(guān),這意味著傾斜機制并不會影響手征反常的拓撲性質(zhì),也就是說它所導(dǎo)致的類手征化學(xué)勢可以是非拓撲的.

計算的縱向磁電導(dǎo)率和平面霍爾電導(dǎo)率分解成三部分[70]:ΔσizσDδiz+其中σD為Drude 電導(dǎo),

ne(1/3π2) Δne(α)-δizne代表磁場修正后的載流子濃度.當t0時,手征反常(B) 項滿足標準的角度依賴關(guān)系[31],而外爾錐傾斜項為零.有限t下,手征反常項會被抑制,導(dǎo)致 Δσiz(B) 表現(xiàn)出復(fù)雜的角度依賴.此外,(18)式第二項來自于反常速度與傾斜效應(yīng)的共同作用,若α與磁場無關(guān),將導(dǎo)致正比于磁場強度B和傾斜參數(shù)t的磁電導(dǎo)率[50,51,71].

3 非線性平面霍爾效應(yīng)

非線性效應(yīng)的早期研究主要是探討半導(dǎo)體的非線性光學(xué)現(xiàn)象[72].近年來,隨著拓撲量子材料的大量涌現(xiàn),拓撲材料中的非線性效應(yīng)(即電流對外部電場的二階響應(yīng)J ∝E2)也引起了人們的關(guān)注.在Sodemann 和Fu[73]提出非線性霍爾效應(yīng)的概念后,人們在其理論和實驗方面的研究中均取得了很大的進展[74-77].在非線性霍爾效應(yīng)的實驗裝置中,如圖9所示,如果施加面內(nèi)磁場,且固定外加電場的方向(沿著x方向),通過在y方向和x方向測量電壓、電阻,便可以分別討論非線性平面霍爾效應(yīng)和非線性磁電阻效應(yīng)[15,78-83].此外,旋轉(zhuǎn)面內(nèi)磁場的方向,還可以得到電壓、電阻(或電流)與磁場角度的依賴關(guān)系.在對非線性磁電阻效應(yīng)的深入研究中,人們發(fā)現(xiàn),各向異性的非線性磁電阻可以被用來預(yù)測霍爾電壓的產(chǎn)生.基于實驗上的重要進展,非線性平面霍爾效應(yīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.最近,Yasuda 等[83]在非磁性雙層拓撲絕緣體中觀察到了非線性霍爾效應(yīng),該效應(yīng)被認為是由磁振子的不對稱散射導(dǎo)致的.隨后,He 等[15]在非磁性拓撲絕緣體Bi2Se3中也觀察到了非線性平面霍爾效應(yīng),其物理機制被歸結(jié)為自旋電流與電荷電流的轉(zhuǎn)換,且該轉(zhuǎn)換是在自旋動量鎖定和時間反演對稱破缺的共同作用下發(fā)生的.實驗上的發(fā)現(xiàn)推動了理論方面的研究.為更好地解釋非線性平面霍爾效應(yīng)的起源,人們相繼提出了諸多微觀物理機制.對非線性平面霍爾效應(yīng)的研究開辟了一個新的研究課題,即利用磁場來控制霍爾電壓,這也為電子器件的多樣化發(fā)展提供了一個新的路徑.

圖9 非線性平面霍爾效應(yīng)和非線性磁電阻的測量示意圖[15]Fig.9.Schematic illustration of the simultaneous measurements of nonlinear planar Hall effect and nonlinear magnetoresistance.Image cited from Ref.[15].

圖10 (a)電場作用于三維拓撲絕緣體上,橫向產(chǎn)生電場E 的二階非線性自旋電流 ;(b)外加磁場 B//E,橫向非線性自旋電流部分轉(zhuǎn)換為電荷電流 Jy(E2),產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)[15]Fig.10.(a) When an electric field E is applied to three dimensional(3D) topological insulators,a transverse nonlinear spin current at the second order of E is generated;(b) when an external magnetic field B//E,the transverse nonlinear spin current is partially converted into a charge current Jy(E2),giving rise to the nonlinear Hall effect.Image cited from Ref.[15].

最近,Rakhmilevich 等[43]在鐵磁絕緣體/拓撲絕緣體異質(zhì)結(jié)上觀察到非常規(guī)的平面霍爾效應(yīng),即當面內(nèi)的磁場平行于電流時,平面霍爾效應(yīng)信號顯著,而在磁場垂直于電流時,平面霍爾效應(yīng)反而受到抑制,這與以前觀察到的平面霍爾效應(yīng)完全不同.在排除線性平面霍爾效應(yīng)的機制解釋后,人們將目標轉(zhuǎn)向非線性平面霍爾效應(yīng).為了更好地解釋非線性平面霍爾效應(yīng)的起源,人們提出了各種微觀物理機制.He 等[15]在非磁性拓撲絕緣體Bi2Se3薄膜實驗中發(fā)現(xiàn)了非線性平面霍爾效應(yīng),其非線性霍爾電阻與外加電場和磁場成線性關(guān)系.該現(xiàn)象的物理機制被總結(jié)為:在引入翹曲項或電子-空穴不對稱的質(zhì)量項后,在自旋動量鎖定和時間反演破缺的作用下,非線性的橫向自旋電流可以轉(zhuǎn)換為電荷電流,由此導(dǎo)致非線性平面霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)[15,78].Yasuda等[82,83]在反鐵磁/拓撲絕緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中也觀察到了非線性霍爾效應(yīng),不同的是,他們將其物理機制歸結(jié)為磁振子的不對稱散射.針對實驗上出現(xiàn)的現(xiàn)象,我們研究組提出了兩種不同的機制[41,79]:其一,在考慮非線性動量項的基礎(chǔ)上,由外加磁場導(dǎo)致的狄拉克錐的傾斜;其二,在拓撲絕緣體薄膜中考慮上下表面的耦合,由外加磁場導(dǎo)致的狄拉克錐的位移效應(yīng).上述兩種不同的機制均能誘導(dǎo)線性和非線性平面霍爾效應(yīng),且兩種機制之間存在著競爭.綜合目前已有的理論,我們可以將非線性平面霍爾效應(yīng)的起源歸結(jié)為外稟貢獻和內(nèi)稟貢獻,下面分析幾種代表性的機制.

3.1 外稟機制

3.1.1 非線性Drude項

在物理機制方面,這種非線性平面霍爾效應(yīng)所產(chǎn)生的原因被總結(jié)為:在與自旋共線的面內(nèi)磁場中,由于自旋動量鎖定和時間反演破缺的共同作用,非線性橫向自旋電流將轉(zhuǎn)換為電荷電流[15,78].下面是該物理機制的詳細解釋.

值得注意的是,當色散是關(guān)于k的線性依賴關(guān)系時,面內(nèi)磁場僅在k空間中平移狄拉克點,并不能使自旋電流和電荷電流之間發(fā)生轉(zhuǎn)換.只有考慮動量的高階項如拓撲絕緣體的六角翹曲效應(yīng)時,非線性平面霍爾效應(yīng)才會出現(xiàn).

3.1.2 位移效應(yīng)機制

我們研究組還發(fā)現(xiàn),在拓撲絕緣體薄膜中考慮上下表面態(tài)的耦合作用,由面內(nèi)磁場導(dǎo)致的狄拉克錐的位移效應(yīng)也能產(chǎn)生平面霍爾效應(yīng)[79].該效應(yīng)不僅存在于線性平面霍爾中,還能貢獻非線性平面霍爾效應(yīng).這里暫且忽略拓撲絕緣體薄膜中高階項的影響.在面內(nèi)磁場的作用下,拓撲絕緣體薄膜的表面態(tài)的低能有效哈密頓量模型可表示為

其中,Δ是上下表面的耦合強度[84],τ(τx,τy,τz) 表示作用于上下表面的泡利矩陣,τ0和σ0為單位矩陣.由于面內(nèi)磁場的作用,兩個狄拉克錐在垂直于磁場B的方向上向相反的方向移動,如圖11(a)所示.當兩個狄拉克錐的部分重疊時,會在平行于磁場的方向上出現(xiàn)非零的凈自旋極化,如圖11(b)所示.根據(jù)圖11(c)所示的凈自旋極化|S|可以發(fā)現(xiàn),在弱磁場下(即B的取值相對較小),沿磁場的方向存在著明顯的凈自旋極化.由于自旋動量鎖定,狄拉克電子的電流所誘導(dǎo)的自旋(紅色細箭頭)和凈自旋(紅色粗箭頭)之間形成自旋閥的結(jié)構(gòu),如圖11(b).該自旋極化引起各向異性的自旋輸運,進而導(dǎo)致橫向平面霍爾效應(yīng)的產(chǎn)生.由位移效應(yīng)貢獻的平面霍爾電阻與角度的關(guān)系雖然不是余弦或正弦關(guān)系,但依然保持著 2π 的振蕩周期.

圖11 (a)平面磁場作用下的位移效應(yīng)Dirac 錐的變化示意圖;(b)位移效應(yīng)的自旋閥結(jié)構(gòu)示意圖;(c)磁場B 相關(guān)的凈自旋極化|S| [79]Fig.11.(a) Schematic illustration of Dirac cones of top and bottom surfaces in topological insulator thin films with shift effect induced by the in-plane magnetic field B;(b) schematic pictures of spin valve structure with shift effect;(c) the dependence of net spin polarization|S| on the field strength B.Image cited from Ref.[79].

3.1.3 貝里偶極子機制

3.1.4 磁振子散射機制

在前面提及的機制中,沒有涉及溫度的影響.當考慮有限溫時,磁振子散射可以誘導(dǎo)拓撲絕緣體產(chǎn)生非線性平面霍爾效應(yīng)[82,83].由于阻尼自旋軌道耦合貢獻可以忽略,因此,在平面磁場的作用下,二階非線性霍爾電壓將主要來源于非線性傳導(dǎo)其在CBST/BST/InP 樣品上與平面內(nèi)磁場和電場的相對角度依賴關(guān)系如圖12(a)所示.

二階非線性平面霍爾電阻的起源可用不對稱的磁振子散射進行解釋[82,83],如圖12(b)所示.當J//M時,一方面,當B點附近的電子(群速度為正、角動量為 +1/2)散射至D點附近時,其動量將變?yōu)?-1/2.由于自旋動量鎖定和角動量守恒的影響,該過程將必然伴隨著角動量為 +1 的磁振子發(fā)射.相反地,當它從D點處散射到B點附近時,則必須吸收磁振子.這種不對稱的磁振子散射將導(dǎo)致弛豫時間的不對稱,進而引起D點和B點周圍電子分布的不對稱.這種不對稱的磁振子散射模型可以用來評估二階非線性平面霍爾電阻.

3.2 內(nèi)稟機制

3.2.1 貝里聯(lián)絡(luò)極化機制上述提及的各種機制均屬于外稟機制,因此與弛豫時間相關(guān).最近,與散射無關(guān)的內(nèi)稟非線性霍爾效應(yīng)引起人們極大的興趣[88-91],研究者們用貝里聯(lián)絡(luò)極化(Berry-connection polarizability,BCP)來表征這一效應(yīng).當施加平面磁場時,在塞曼效應(yīng)的耦合下,內(nèi)稟的非線性霍爾效應(yīng)推廣至非線性平面霍爾效應(yīng)[18].在外加電場的作用下,貝里聯(lián)絡(luò)被附加上電場的修正項Gab(k)Eb,其中Gab(k)為貝里聯(lián)絡(luò)極化張量,具有如下形式:

Huang 等[18]通過對稱性分析得到了內(nèi)稟非線性平面霍爾電流與磁場和電場的相對角度依賴關(guān)系,相比于外稟誘導(dǎo)的非線性平面霍爾效應(yīng),他們給出了不同的角度依賴性.重要的是,內(nèi)稟非線性平面霍爾電流被認為可以作為表征不支持非線性反?；魻栃?yīng)這一類材料的工具.

至此,我們介紹了拓撲材料中線性和非線性平面霍爾效應(yīng)相關(guān)的主要物理機制,這些機制雖然分別從線性和非線性平面霍爾效應(yīng)進行討論,有些機制其實可以同時導(dǎo)致線性和非線性平面霍爾效應(yīng),比如,位移效應(yīng)不僅可以導(dǎo)致非線性平面霍爾效應(yīng),也可以導(dǎo)致線性平面霍爾效應(yīng),手征反常不僅可以出現(xiàn)在線性平面霍爾效應(yīng)中,也可以出現(xiàn)在非線性平面霍爾效應(yīng)中.本文將其總結(jié)如表1 所列.總體來說,平面霍爾效應(yīng)目前仍是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域,非線性平面霍爾效應(yīng)更是一個相對較新的研究領(lǐng)域,各種新的物理機制正不斷地涌現(xiàn),它們彼此相互補充并被用于解釋相關(guān)實驗現(xiàn)象.

表1 拓撲材料中的線性和非線性平面霍爾效應(yīng)的主要物理機制Table 1.Main physics mechanisms of linear and nonlinear planar Hall effect in topological materials.

4 實驗進展

非磁拓撲材料中的線性平面霍爾效應(yīng)最早是由Taskin 等[30]在三維拓撲絕緣體 Bi2-xSbxTe3中觀測到的,他們發(fā)現(xiàn)拓撲絕緣體表面態(tài)的PHE 會隨著磁場方向的變化呈現(xiàn)出六重對稱性的振蕩,這與材料的晶體對稱性和狄拉克錐的形狀一致.通過分析霍爾電阻率的溫度依賴性和磁場依賴性,確定了電子態(tài)的有效質(zhì)量和自旋軌道耦合強度,以及狄拉克錐的能隙大小與畸變程度.不久,Kumar 等[92]在Weyl 半金屬GdPtBi 中觀察到了比鐵磁材料中大得多的線性平面霍爾效應(yīng),這可以歸因于材料中的手征反常和貝里曲率.他們發(fā)現(xiàn),在施加平行于[111]方向的電場和磁場后,出現(xiàn)了負磁阻率和量子振蕩.另外還發(fā)現(xiàn),PHE 的振幅不僅會受到手征反常的影響,還會受到軌道磁阻的影響.因此,要觀察到明顯的PHE,需要選擇軌道磁阻較小的Weyl 半金屬.2018年,Singha 團隊[93]報道了一種Type-II 型拓撲狄拉克半金屬 VAl3的磁輸運性質(zhì).他們通過四探針技術(shù)測量了其單晶樣品的線性平面霍爾電阻率,并發(fā)現(xiàn)VAl3可以出現(xiàn)很大的、不飽和的磁阻效應(yīng),以及高遷移率的電子和空穴型載流子.最重要的是觀測到了一個很大的線性平面霍爾效應(yīng),作者認為平面霍爾效應(yīng)是一種可以用來鑒別拓撲半金屬中狄拉克/外爾費米子的有效方法.隨后一年,Yin 等[27]報道了反鐵磁半導(dǎo)體MnTe 的線性平面霍爾效應(yīng),并揭示了其自旋軌道耦合和能帶各向異性.

2020年,Wadehra 等[28]在LaVO3-KTaO3的極性-極性界面上觀測到了線性平面霍爾效應(yīng)和各向異性磁阻,表明材料中存在強自旋軌道耦合.實驗團隊用X 射線衍射和透射電子顯微鏡等方法表征了其分子結(jié)構(gòu),并通過霍爾探針測量了不同溫度和磁場下的電阻率和霍爾系數(shù),觀測到PHE 和AMR 特征信號.2021年,人們在Dirac 反鈣鈦礦Sr3SnO 中也觀察到了類似拓撲絕緣體的六重振蕩線性平面霍爾效應(yīng)[94].實驗組測量了不同厚度Sr3SnO 薄膜的電阻率張量,并發(fā)現(xiàn)在平面磁場下,縱向電阻率和橫向電阻率都顯示出多個諧波,其中包括二階、四階甚至六階.這些諧波具有對不同磁場、溫度以及薄膜厚度的依賴性,表現(xiàn)出了復(fù)雜的微觀機制.初步的研究表明:自旋軌道耦合的J3/2費米子可能在其中起到了重要的作用,該實驗進一步展現(xiàn)出了PHE 的豐富性,并推動了對拓撲材料中更高階諧波的進一步研究.最近,人們在反鐵磁拓撲絕緣體MnBi2Te4薄片中觀察到了一種具有 π/2 周期的線性平面霍爾效應(yīng)[95],并指出其來源于體態(tài)Dirac 電子的拓撲軌道磁矩.實驗發(fā)現(xiàn),在弱磁場下PHE 具有 π 周期和正的幅值,類似于非磁性拓撲絕緣體中表面態(tài)的PHE.但在強磁場下,PHE 的周期會變?yōu)?π/2 并且振幅會變成負.此外,隨著溫度的變化,由于體態(tài)和表面態(tài)之間的競爭,PHE 和各向異性磁阻的振幅和相位都發(fā)生了非平庸的演化.

非線性平面霍爾效應(yīng)最早是由He 等[15]在拓撲絕緣體Bi2Se3中發(fā)現(xiàn)的,該效應(yīng)源于非線性自旋流向電荷流的轉(zhuǎn)換.非線性霍爾電阻與外加電場和磁場成線性比例,并與外加磁場和電場的相對角度呈余弦關(guān)系,因此可用來探測自旋紋理.這種非線性平面霍爾效應(yīng)存在于非中心對稱的材料中.最近,Kozuka 等[96]于室溫下在中心對稱的狄拉克半金屬SrIrO3薄膜中也觀察到非線性平面霍爾效應(yīng),與在Bi2Se3上觀察到的結(jié)果一致[15,78].Kozuka等將這種現(xiàn)象歸結(jié)為界面上的反對稱自旋軌道相互作用引起的動量相關(guān)的自旋分裂,這會進一步導(dǎo)致兩個狄拉克帶中出現(xiàn)復(fù)雜的自旋紋理.因此,雙線性的磁電效應(yīng)可以用于捕獲復(fù)雜的自旋紋理[96],并在不同的鏡面對稱性下表現(xiàn)出各向異性的非線性平面霍爾效應(yīng)[96,97].這也表明:在界面上具有強自旋軌道相互作用的材料中,通過打破局部反轉(zhuǎn)對稱性便可引起非線性自旋電荷的轉(zhuǎn)換.Li 等[98]在室溫下于InSb/CdTe 異質(zhì)結(jié)構(gòu)中研究了由界面Rashba 自旋軌道耦合引起的非互易磁輸運現(xiàn)象,同樣測得與平面角度呈余弦關(guān)系的非線性平面霍爾電阻.

最近,人們在磁絕緣體/拓撲絕緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中也觀察到了非線性平面霍爾效應(yīng)[99].初步的研究表明:該效應(yīng)與拓撲絕緣體表面態(tài)中磁近鄰效應(yīng)誘導(dǎo)的交換能隙和平面外的自旋紋理有關(guān),可用于探測磁絕緣體/拓撲絕緣體異質(zhì)結(jié)構(gòu)中磁近鄰效應(yīng).在不同襯底上的薄膜中,實驗上觀測到的二次諧波霍爾電阻對磁場B呈現(xiàn)出顯著不同的響應(yīng),具體表現(xiàn)為:1) 在Tm3Fe5O12和Y3Fe5O12/Bi2Se3樣品中測得的非線性平面霍爾的幅值比在Gd3Ga5O12/Bi2Se3樣品中測得的要大1 個數(shù)量級;2) Tm3Fe5O12/Bi2Se3的非線性霍爾電阻與面內(nèi)磁場呈線性相關(guān),而Y3Fe5O12/Bi2Se3的非線性霍爾電阻除了與磁場呈線性依賴之外,在零場附近有一個額外的磁滯回線.雖然上述實驗現(xiàn)象可通過翹曲效應(yīng)和電子-空穴不對稱誘導(dǎo)的非線性平面霍爾效應(yīng)機制進行解釋[15,79],但是都無法解釋在Tm3Fe5O12和Y3Fe5O12/Bi2Se3樣品中非線性平面霍爾效應(yīng)大小的增強.與磁相關(guān)的機制是磁振子的散射機制[82,83],該機制可以解釋Y3Fe5O12/Bi2Se3在零場附近的磁滯回線,但在Tm3Fe5O12/Bi2Se3樣品中磁振子沿z方向極化,無法參與自旋面內(nèi)極化的表面態(tài)電子的散射過程.因此,磁振子散射機制也無法同時解釋兩種磁性襯底的結(jié)果.目前仍無可靠的理論機制對其進行統(tǒng)一解釋,需進一步進行實驗和理論研究來揭示其潛在機制.

目前,線性平面霍爾效應(yīng)的實驗研究已經(jīng)取得重大進展,這也推動著人們更進一步地研究非線性平面霍爾效應(yīng).雖然非線性平面霍爾效應(yīng)的相關(guān)實驗較少,但我們可以從非線性磁電阻的角度入手.當非線性磁電阻存在各向異性時,理論研究表明也可能存在非線性平面霍爾效應(yīng),這在一定程度上也能推動相關(guān)實驗的進展.

5 總結(jié)與展望

本文介紹了平面霍爾效應(yīng)的若干物理機制,并總結(jié)了最新的實驗進展.可以發(fā)現(xiàn),對于線性平面霍爾效應(yīng)而言,實驗與理論的結(jié)合已經(jīng)取得了重大的進展,在眾多拓撲材料中觀測到的PHE,大多數(shù)都能和理論結(jié)合在一起.但是對于線性PHE 更進一步的理論研究,如帶間度規(guī)項或是類手征反常項的貢獻,亦或是未知機制與現(xiàn)有機制的相互競爭作用,還有待進一步的探究.

對于非線性平面霍爾效應(yīng)而言,在給定外加電流(或電場)的情況下,霍爾電壓與平面內(nèi)的磁場相對于電流的角度θB呈現(xiàn)出余弦關(guān)系.部分研究表明,在弱磁場時,霍爾電阻與磁場強度呈線性關(guān)系;也有研究表明,在反鐵磁襯底上,霍爾電阻在零磁場附近出現(xiàn)了磁滯回線,并且在弱磁場時隨著磁場的增大而增強,但這種增幅并不遵循線性規(guī)律.不同的是,所有實驗在強磁場時均得到了非線性的關(guān)系,但其理論機制還有待進一步研究.

目前,現(xiàn)有的理論仍無法完美地解釋實驗上的各種現(xiàn)象,這意味著理論工作還需不斷發(fā)展和完善.目前最大的問題是同一系統(tǒng)中存在多種物理機制,如何將多種機制統(tǒng)一成一套完善的理論是當下值得探討的問題.此外,上述理論機制均在半經(jīng)典理論的框架下進行,所得到的非線性平面霍爾效應(yīng)主要為帶內(nèi)貢獻(如非線性Drude 貢獻、貝里偶極子、貝里聯(lián)絡(luò)極化),是否存在帶間貢獻(如注入電流、位移電流)? 這也是值得研究者們深入探討的一個問題.最近,人們在三維拓撲半金屬中發(fā)現(xiàn)了由類手征反常[70]、洛倫茲力[100]所導(dǎo)致的線性平面霍爾效應(yīng).那么,三維拓撲半金屬中是否也存在相應(yīng)機制的非線性平面霍爾效應(yīng)? 這還有待進一步研究和探討.

總而言之,平面霍爾效應(yīng)理論推動了量子輸運和拓撲物理的研究,也為電子器件的制備提供了很多有趣的應(yīng)用前景.非線性平面霍爾效應(yīng)的概念已經(jīng)在大量的實驗中得到了驗證.在理論方面,我們急需應(yīng)對的是對其物理機制的全面理解,這些研究不僅能夠促進實驗的進展,還能夠加速非線性平面霍爾效應(yīng)的應(yīng)用進程.