徐永明 曹向東 李 旭 劉海波

（①通用技術(shù)集團(tuán)沈陽(yáng)機(jī)床有限責(zé)任公司，遼寧 沈陽(yáng) 110000；高性能精密制造全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是光刻機(jī)、引線鍵合機(jī)以及高端數(shù)控機(jī)床等高端裝備的關(guān)鍵部件之一，其性能的優(yōu)劣直接影響裝備的工作效率和最終產(chǎn)品的品質(zhì)。如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)精密運(yùn)動(dòng)一直都是高端裝備制造領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。在高端設(shè)備的性能要求下，“直接驅(qū)動(dòng)”越來(lái)越受到重視，其本質(zhì)就是取消從驅(qū)動(dòng)器或原動(dòng)機(jī)到工作負(fù)載部件之間的機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)，由驅(qū)動(dòng)器或原動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)工作機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)所謂“近零傳動(dòng)”。直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)就是一類典型的直接驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)中的直線電機(jī)直接提供推力給負(fù)載平臺(tái)，不需要任何中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，使得系統(tǒng)具有損耗低和響應(yīng)速度快等特點(diǎn)，能夠提供高動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和加速度、高定位精度、高剛度以及平滑的無(wú)差運(yùn)動(dòng)。因此，直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在高端裝備制造領(lǐng)域獲得廣發(fā)應(yīng)用[2]。

然而，直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)“零傳動(dòng)”特性消除了機(jī)械運(yùn)動(dòng)變換機(jī)構(gòu)等不良影響，卻也給控制增加了難度，負(fù)載變化等干擾都會(huì)無(wú)衰減地直接加到控制系統(tǒng)中，影響了伺服系統(tǒng)的性能，同時(shí)直線電動(dòng)機(jī)所固有的端部效應(yīng)、齒槽效應(yīng)以及永磁體磁鏈紋波等所產(chǎn)生的推力紋波、摩擦阻力的非線性變化等因素都會(huì)降低系統(tǒng)的伺服性能，影響系統(tǒng)的精度。所以在設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器時(shí)要充分考慮這些因素的影響，對(duì)這些因素加以抑制。因此，有效地提高直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)抗擾性能對(duì)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)快速精準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)是至關(guān)重要的。為此，研究人員開(kāi)展了大量的研究，取得了豐碩的成果。在直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)擾動(dòng)建模與估計(jì)方面，Yang R 等[3]在建立直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中考慮了電氣子系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變性和外部的復(fù)雜非線性擾動(dòng)，并在位置控制模式下對(duì)推力波動(dòng)等擾動(dòng)進(jìn)行了估計(jì)和特征分析，在此基礎(chǔ)上建立了擾動(dòng)及其各階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)張狀態(tài)模型。Zhang W J 等[4]研究了直線電機(jī)推力波動(dòng)的周期性特性，利用迭代學(xué)習(xí)算法不斷地修正推力波動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，從而達(dá)到更好的定位控制精度。Liu Y D 等[5]基于增量卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)對(duì)直線電機(jī)推力波動(dòng)的有效觀測(cè)，相比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器，提高了運(yùn)行效率與觀測(cè)精度。Cho K 等[6]針對(duì)參數(shù)不確定性，摩擦力和推力波動(dòng)的辨識(shí)問(wèn)題，通過(guò)狀態(tài)相關(guān)擾動(dòng)特征的分離與識(shí)別，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)辨識(shí)準(zhǔn)確性的提升。Zhang G Q 等[7]在擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的基礎(chǔ)上分析推力波動(dòng)特性，并引入輔助模型，進(jìn)一步估計(jì)和補(bǔ)償殘余推力波動(dòng)。在擾動(dòng)抑制控制方面，由于PID 閉環(huán)控制器的高魯棒性和易用性，仍具有很強(qiáng)的適用性，程什祥等[8]結(jié)合改進(jìn)的雞群算法和PID 控制器，提升了PID 控制器調(diào)參的精準(zhǔn)性，實(shí)現(xiàn)更好的控制器自適應(yīng)能力。Man F 等[9]基于直線電機(jī)速度檢測(cè)不精準(zhǔn)的問(wèn)題提出一種基于PID 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的速度閉環(huán)控制策略，使用梯度下降算法更新參數(shù)并擬合電角度，提升了系統(tǒng)的魯棒性。Zeng D H 等[10]針對(duì)直線電機(jī)垂直力和橫向力對(duì)負(fù)載的擾動(dòng)問(wèn)題，提出了一種基于PID 控制器的3D 電磁力解耦控制策略，設(shè)計(jì)了新型推力觀測(cè)器及推力控制器。由于直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)十分敏感，傳統(tǒng)的PID 控制器由于可調(diào)參數(shù)有限，控制器性能的進(jìn)一步提升受到極大制約，因此，PID 控制器結(jié)合擾動(dòng)觀測(cè)器的控制策略越來(lái)越受到關(guān)注。Qu L 等[11]為了改善直線電機(jī)閉環(huán)控制中的相位延遲和振蕩問(wèn)題，設(shè)計(jì)線性擴(kuò)展觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)的精確觀測(cè)，結(jié)合PI 控制器，實(shí)現(xiàn)電機(jī)位置的精準(zhǔn)控制。Liu X F 等[12]利用龍伯格觀測(cè)器預(yù)測(cè)并補(bǔ)償非線性擾動(dòng)，利用前饋控制器提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，結(jié)合PI 控制器保證系統(tǒng)的魯棒性。隨著控制理論的發(fā)展，涉及控制理論的控制策略被越來(lái)越多地應(yīng)用在直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，Huang M F 等[13]提出一種改進(jìn)型自適應(yīng)滑膜控制器，更好地估計(jì)和補(bǔ)償具有重復(fù)特性的推力波動(dòng)。Chen Z 等[14]基于μ 綜合自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)了直線電機(jī)控制器，在改善魯棒控制器過(guò)于保守的缺點(diǎn)的同時(shí)保證了系統(tǒng)的抗擾性。Shao K 等[15]為提高直線電機(jī)定位器的跟蹤性能，開(kāi)發(fā)了一種基于障礙函數(shù)自適應(yīng)滑模的魯棒跟蹤控制器，提高了直線電機(jī)抗擾性。Liu Z T 等[16]提出一種基于梯度下降算法的B 樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，利用李雅普諾夫理論證明了其穩(wěn)定性，降低了系統(tǒng)不確定性的影響。

本文圍繞擾動(dòng)對(duì)直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)的影響開(kāi)展研究，建立直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)模型，研究系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性分析問(wèn)題，尋求擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響規(guī)律。本文提出一種基于李雅普諾夫方法的直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，分析控制器增益與系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定之間的關(guān)系，為控制器參數(shù)的選取提供理論依據(jù)。

1 直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)模型

直線電機(jī)由旋轉(zhuǎn)電機(jī)轉(zhuǎn)化而來(lái)，其運(yùn)動(dòng)原理與旋轉(zhuǎn)電機(jī)基本一致，運(yùn)動(dòng)的輸出都是通過(guò)導(dǎo)體在變化的磁場(chǎng)中受電磁力的作用產(chǎn)生的。故在分析直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，可以將其類比旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

為了方便建模和分析，做出如下假設(shè)：

（1）電機(jī)參數(shù)時(shí)不變，保持穩(wěn)定。

（2）磁場(chǎng)分布是均勻的。

（3）忽略磁滯效應(yīng)和磁體之間的阻尼作用。

（4）不考慮溫度變化對(duì)系統(tǒng)的影響。

永磁同步直線電機(jī)的矢量圖如圖1 所示。

圖1 永磁同步直線電機(jī)矢量圖

a-b-c軸坐標(biāo)系、α-β軸坐標(biāo)系、d-q軸坐標(biāo)系分別為直線電機(jī)三相靜止坐標(biāo)系、兩相靜止坐標(biāo)系和相互垂直的兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

1.1 a-b-c 軸坐標(biāo)系下的直線電機(jī)模型

直線電機(jī)由旋轉(zhuǎn)電機(jī)演化而來(lái)，其模型與旋轉(zhuǎn)電機(jī)相似，故直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在a-b-c軸坐標(biāo)系下的電壓方程表示為

磁鏈方程為

式中：ψs為三相繞組的磁鏈，Wb；Us為三相繞組的相電壓，V；Rs為電阻，Ω；is為電流，A；Ls為三相繞組的電感，H；ψf為永磁體磁鏈，Wb；θe為電氣轉(zhuǎn)角，rad。且滿足

式中：Lm為定子互感，H；Ll為定子漏感，H。

1.2 d-q 軸坐標(biāo)系下電機(jī)模型

分析永磁同步直線電機(jī)最常用的方法是建立dq軸數(shù)學(xué)模型。其思想是將a-b-c軸下的數(shù)學(xué)模型通過(guò)Clark 變換及Park 變換轉(zhuǎn)換為d-q軸下的模型。d-q軸模型下的磁鏈方程：

式中：ψd、Ld、id分別為d軸的磁鏈（Wb）、電感（H）和電流（A）；ψq、Lq、iq分別為q軸的磁鏈（Wb）、電感（H）和電流（A）；ψf、Lf、if分別為永磁體產(chǎn)生的基波磁鏈（Wb）、等效電感（H）和等效電流（A）。

d-q軸上的電壓方程為

式中：ud、uq為動(dòng)子d、q軸電壓，V；Rd、Rq為d軸和q軸的電阻，Ω，其值都等于定子電阻，為Rd=Rq=Rs；v為直線電機(jī)線速度，m/s；τ為永磁體極距，mm；p為微分算子。

d-q軸上電流的3/2 變換為

電壓與磁通的3/2 變換也與電流類似。

直線電機(jī)電磁推力的表達(dá)式為

id=0 控制是目前應(yīng)用范圍最廣的矢量控制策略，即令動(dòng)子電流矢量與定子永磁體磁場(chǎng)在空間上正交，從而使定子繞組中d軸的電流分量為0，定子電流中只包含q軸電流分量，即只包含推力電流分量。由此可得電磁推力Fe及電壓方程為

根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，可得直線電機(jī)模組的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

式中：Fload表示直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的負(fù)載阻力，N；Bv表示粘滯常數(shù)，N·s/m2；M表示直線電機(jī)模組運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量，kg。

由式（7）～式（9）可將直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的簡(jiǎn)化模型寫為

由1.1 節(jié)分析可得，直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在實(shí)際的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，會(huì)受到多種非線性干擾因素，包括由直線電機(jī)結(jié)構(gòu)特性導(dǎo)致的定位力波動(dòng)Fripple、非線性摩擦力Ffriction和負(fù)載Fload的變化等，對(duì)直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的輸出具有一定的影響。故考慮非線性影響因素的直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型可以寫為

2 輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性分析

考慮到如下系統(tǒng)：

由于跟蹤誤差e定義為

則式（12）可表示為

考慮到PID 控制仍然在工業(yè)控制中占有重要地位，本文中uq滿足如下形式：

將式（16）代入式（15）可得：

定理 2.1 對(duì)于給定常數(shù)α>0，γ>0，如果存在正定對(duì)稱矩陣P>0，使得如下不等式成立：

則系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的且系統(tǒng)狀態(tài)滿足

式中：λmin(P)為矩陣P中最小的特征根，λmax(P)為矩陣P中最大的特征根。

證明：構(gòu)造如下形式的Lyapunov 函數(shù)：

顯然V(t)滿足如下條件：

由式（18）可得：

由式（18）和式（21）可知，式（24）正確。

顯然系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的。證畢。

當(dāng)ω(t)=0，定理2.1 可以退化為如下推論。

推論 2.1 對(duì)于給定常數(shù)α>0，γ>0，如果存在正定對(duì)稱矩陣P>0，使得如下不等式成立：

則系統(tǒng)是指數(shù)狀態(tài)穩(wěn)定的，且系統(tǒng)狀態(tài)滿足

式中：λmin(P)為矩陣P中最小的特征根，λmax(P)為矩陣P中最大的特征根。

3 算例分析

本部分利用所提方法分析某直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性問(wèn)題。系統(tǒng)的主要參數(shù)為：電磁推力常數(shù)Kf=124 N/A，粘滯常數(shù)Bv=0.2 N·s/m，電機(jī)運(yùn)動(dòng)部分質(zhì)量M=5 kg，單相電阻Ra=5.3 Ω，單相電感Lq=9 mH，極距τ=57 mm。利用Matlab 中Yalmip 優(yōu)化工具箱，根據(jù)定理2.1（α和γ為給定常數(shù)），可以獲得不同控制器參數(shù)與系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。計(jì)算的結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 保證系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的 KP最小值

圖2 系統(tǒng)跟蹤誤差穩(wěn)定曲線

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了建模，研究了此類系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性分析問(wèn)題，提出了一種基于李雅普諾夫方法的直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，建立了控制器增益與系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，以及控制器增益與系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。本文的研究可為控制器增益選取提供一定的理論支持。