唐健良,曹鑫鑫,嚴(yán)家添,耿莉敏,高 楠

(1.廣州公路工程集團(tuán)有限公司,廣州 510730;2.長安大學(xué) 能源與電氣工程學(xué)院,西安 710018)

0 引言

隨著人們生活水平的不斷提高和機(jī)動(dòng)車保有量的不斷增加,人們對于車輛安全性和舒適性等方面的要求越來越高。為了滿足這些需求,伴隨科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,涌現(xiàn)出許多車輛控制技術(shù),如驅(qū)動(dòng)防滑控制、制動(dòng)防抱死控制、電子穩(wěn)定控制、四輪轉(zhuǎn)向控制、主動(dòng)前后輪轉(zhuǎn)向技術(shù)和主動(dòng)抗側(cè)傾控制等。上述控制系統(tǒng)工作時(shí)均需使用車輛行駛過程中的實(shí)時(shí)狀態(tài)信息,例如橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角、路面附著系數(shù)和輪胎側(cè)偏角等。其中,車輛質(zhì)心側(cè)偏角作為車輛縱向與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角,在一定程度上反映了車輛轉(zhuǎn)向時(shí)偏離目標(biāo)軌跡的情況,并集中反映了車輛跟蹤目標(biāo)軌跡的能力,能夠直接顯示車輛的穩(wěn)定性狀態(tài),對于車輛的穩(wěn)定控制具有非常重要的意義[1-5]。

在實(shí)際工作過程中,獲取質(zhì)心側(cè)偏角所使用的傳感器不僅價(jià)格比較高昂,而且在使用過程中容易引入外界干擾信號并且具有較大的延遲,綜合考慮,使用傳感器測量質(zhì)心側(cè)偏角無法在量產(chǎn)車上實(shí)現(xiàn)。目前,普遍采取的措施是通過成本較低的車載傳感器采集車輛其他相關(guān)狀態(tài)信息,并結(jié)合車輛動(dòng)力學(xué)特性分析,利用狀態(tài)觀測器對質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì)[6-8]。

目前車輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)常用的方法有狀態(tài)觀測器法、卡爾曼濾波法、粒子濾波法和模糊邏輯估計(jì)法等。Chen等[9]針對四輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車,將自適應(yīng)平方根容積算法與卡爾曼濾波算法結(jié)合,提出一種車輛縱向-橫向參數(shù)協(xié)同估計(jì)算法,提高車輛質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)性能。劉蓬勃等[10]為了提升車輛在極限工況下的行駛穩(wěn)定性,結(jié)合差分法消除車載混雜噪聲對參數(shù)測量值的影響,利用基于卡爾曼濾波算法融合3個(gè)陀螺數(shù)據(jù)的虛擬陀螺技術(shù),估計(jì)車輛質(zhì)心側(cè)偏角。柴曉輝等[11]針對分布式純電動(dòng)汽車非線性和非高斯的行駛特點(diǎn)和四輪獨(dú)立控制的特點(diǎn),以自適應(yīng)遺傳粒子濾波算法為基礎(chǔ),提出一種改進(jìn)的粒子選擇算法,將車輛動(dòng)力學(xué)估計(jì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)估計(jì)相結(jié)合,對車輛質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì)。張征等[12]針對輪轂電機(jī)驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車,提出一種基于無跡粒子濾波的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)方法,該方法在粒子濾波算法基礎(chǔ)上,通過無跡變換方法調(diào)整粒子分布來改善粒子退化的問題。Li等[13]利用自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制在傳感器和濾波器之間進(jìn)行采樣數(shù)據(jù)的選取,提出一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的模糊濾波算法來估計(jì)車輛質(zhì)心側(cè)偏角。李偉等[14]將徑向基算法與模糊控制算法相結(jié)合,提出一種基于質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)的后輪優(yōu)先制動(dòng)力優(yōu)化分配方案,提高車輛在極端條件下的行車穩(wěn)定性。

在眾多估計(jì)方法中,狀態(tài)觀測器法因其估計(jì)過程簡單且實(shí)時(shí)性好,得到了大量的研究。王洪波等[15]將狀態(tài)觀測器和慣性測量單元信號積分進(jìn)行數(shù)據(jù)融合,實(shí)現(xiàn)傳感器信號估計(jì)對觀測器估計(jì)值的修正,從而提高了觀測器性能。Luo等[16]利用基于H-infinity理論的狀態(tài)觀測器,減少了外界干擾信號對質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值的影響,并將其應(yīng)用到車輛直接轉(zhuǎn)矩控制和自適應(yīng)懸架系統(tǒng)中。針對雙電機(jī)后驅(qū)電動(dòng)汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性控制問題中質(zhì)心側(cè)偏角具有非線性特征的問題,Zhao等[17]提出了一種滑模狀態(tài)觀測器,利用滑?？刂圃斫鉀Q非線性估計(jì)問題,實(shí)現(xiàn)對質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)。Wang等[18]將質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)問題引入到車輛路徑跟蹤控制中,設(shè)計(jì)了一種基于觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)對規(guī)劃路徑的跟蹤[18]。

上述研究中使用的狀態(tài)觀測器為比例觀測器,即觀測器中有一個(gè)比例參數(shù)。比例觀測器在使用時(shí)會(huì)在估計(jì)值中存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)誤差,需要借助其他手段來消除,從而增加系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性。為了解決這一問題,Park等[19]提出了一種新型動(dòng)態(tài)觀測器結(jié)構(gòu),該動(dòng)態(tài)觀測器包含動(dòng)態(tài)參數(shù),不僅可以消除估計(jì)過程中的穩(wěn)態(tài)誤差,還可以提高估計(jì)過程的暫態(tài)跟蹤性能。近些年有很多關(guān)于動(dòng)態(tài)觀測器的研究,Gao等[20]針對具有未知輸入信號的連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種規(guī)范化的動(dòng)態(tài)觀測器模型,并通過仿真驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)觀測器的跟蹤性能。Echreshavi等[21]研究了基于動(dòng)態(tài)觀測器的離散時(shí)間系統(tǒng)的模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)問題,通過模糊邏輯算法,確定了動(dòng)態(tài)觀測器的各參數(shù)矩陣。Alikhani等[22]將動(dòng)態(tài)觀測器應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)安全中,研究了基于動(dòng)態(tài)觀測器的故障診斷算法。Gao等[23]研究動(dòng)態(tài)觀測器在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,針對一類Lipschitz非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種魯棒動(dòng)態(tài)觀測器。

上述關(guān)于動(dòng)態(tài)觀測器的研究,大部分與線性系統(tǒng)有關(guān),少有關(guān)于車輛這一典型非線性系統(tǒng)的研究。針對這一問題,提出一種基于H-infinity理論和動(dòng)態(tài)觀測器理論的車輛質(zhì)心側(cè)偏角融合估計(jì)算法。首先,通過對誤差向量的無偏性數(shù)學(xué)分析,將動(dòng)態(tài)觀測器參數(shù)矩陣的求解問題轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性分析問題。然后,通過構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù),并求解一個(gè)線性矩陣不等式,得到動(dòng)態(tài)觀測器的所有參數(shù)矩陣。最后,建立車輛2自由度動(dòng)力學(xué)非線性模型,并在模型中加入干擾向量,模擬車輛狀態(tài)信息在通信通道傳輸中存在的噪聲干擾。通過CarSim-Simulink聯(lián)合仿真,驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 問題提出

考慮如下Lipschitz非線性系統(tǒng):

(1)

y=Cx+Ew

(2)

式中:系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=x0;x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量;u∈Rm為系統(tǒng)控制輸入向量;w∈Rf為外接干擾向量;y∈Rp為系統(tǒng)輸出向量;n、m、f和p為對應(yīng)向量的維數(shù);A、B、C、D和E為已知系統(tǒng)參數(shù)矩陣。

g(x)為Lipschitz非線性項(xiàng),滿足下述約束條件[24]:

(3)

式中,λ>0為已知的Lipschitz常數(shù)。

針對非線性系統(tǒng)(1)和(2),考慮如下動(dòng)態(tài)觀測器:

(4)

(5)

(6)

根據(jù)動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)可得;當(dāng)矩陣變量N=A-KC,J=K,H=B,T=I,P=0,Q=0,G=0,R=I和S=0時(shí),可將動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)轉(zhuǎn)化如下標(biāo)準(zhǔn)比例觀測器[25]:

本文的目標(biāo)是針對Lipschitz非線性系統(tǒng)(1)和(2),設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6),即求解參數(shù)矩陣N、J、H、M、T、P、Q、G、R和S,以滿足下列條件:

1) 當(dāng)外界干擾w=0時(shí),估計(jì)誤差e→0,當(dāng)t→∞;

2) 當(dāng)外界干擾w≠0時(shí),無窮范數(shù)Twe∞<η。

在求解之前,定義如下變量ε∈Rq:

ε=z-Tx

(7)

式中,矩陣T∈Rq×n。對式(7)求微分可得式(8):

TAx-TBu-Tg(x)-TDw=

N(z-Tx)+NTx+JCx+JEw+Hu+

Nε+Mv+(JE-TD)w+

(8)

另一方面,根據(jù)式(5)和式(6)可得式(9)和式(10):

P(z-Tx)+PTx+QCx+QEw+Gv=

(9)

(10)

由式(8)—式(10)可知,如果下述條件成立:

NT+JC-TA=0

(11)

H-TB=0

(12)

PT+QC=0

(13)

RT+SC=I

(14)

則可得如下方程:

(15)

(16)

e=Rε+SEw

(17)

上述方程亦可寫成如下系統(tǒng):

(18)

e=ζ+w

(19)

其中,

=SE,

通過上述分析可知,動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)的設(shè)計(jì)問題可轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)(18)和(19)的穩(wěn)定性分析問題,即求解矩陣、、、和,以滿足以下2個(gè)目標(biāo)。

目標(biāo)1:當(dāng)外界干擾w=0時(shí),系統(tǒng)(18)和(19)漸進(jìn)穩(wěn)定當(dāng)時(shí)間t→∞;

目標(biāo)2:當(dāng)外界干擾w≠0時(shí),無窮范數(shù)Twe∞<η。

2 參數(shù)變換

本節(jié)將對參數(shù)方程組(11)—(14)進(jìn)行分析,得到動(dòng)態(tài)觀測器參數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)式(11)—式(13)可得如下方程:

(20)

上述方程有解的條件是要滿足下面的矩陣秩條件(21):

(21)

假設(shè)選取一個(gè)矩陣T,滿足條件(21),則方程(20)的解可以表示為:

(22)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]的計(jì)算過程,可得如下關(guān)于動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)中參數(shù)矩陣N、J、P、Q、R和S的表達(dá)式:

N=TAα1-Z1β1

(23)

J=TAα2-Z1β2

(24)

P=-Z2β1

(25)

Q=-Z2β2

(26)

R=α1

(27)

S=α2

(28)

式中,

(29)

將式(23)—式(28)代入系統(tǒng)(18)和(19)可得如下結(jié)果:

=

1+Z2

(30)

=

1+2

(31)

(32)

=α2E

(33)

通過上述分析可知,參數(shù)矩陣R和S可以通過式(27)和式(28)求得。如果求解出參數(shù)矩陣Z,則可得到動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)中的參數(shù)矩陣M、G、Z1和Z2,矩陣N、J、P和Q可通過式(23)—式(26)求得。因此,如果可以求得參數(shù)矩陣,則動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)中的所有參數(shù)均可求解。

3 問題求解

定理1如果存在一個(gè)對稱正定矩陣,一個(gè)矩陣1,2個(gè)給定正實(shí)數(shù)λ和η,使得下述線性矩陣不等式成立:

(34)

(λ+1)T

(35)

Ω2=1+12+(λ+1)T

(36)

Ω3=(λ+1)T-η2I

(37)

=-11

求得。

證明：

(38)

其中,

V(ζ)=ζTζ

(39)

對式(39)求微分可得:

[ζ+w+]Tζ+

ζT[ζ+w+]=

ζTTζ+wTTTζ+

TTζ+ζTζ+

ζTw+ζT=

&ζT(T+)ζ+wtBTTζ+

ζTw+2ζT

(40)

接下來,對于式(40)中的各項(xiàng),可得如下結(jié)果,其中:

2ζT=2ζT

(41)

考慮Lipschitz約束條件(2),可得:

(42)

將式(41)和(42)代入式(43)可得:

wTTTζ+ζTw+λeTe

(43)

再將式(43)代入不等式(34)可得:

ζT(T++λT)ζ+

wTTTζ+ζTw+(λ+1)eTe-η2wTw

(44)

另一方面,根據(jù)式(19)可得:

eTe=(ζ+w)T(ζ+w)=

ζTTζ+ζTTw+

wTTζ+wTTw

(45)

考慮式(44)和(45),可得如下結(jié)果:

wTTζ+ζTw+(λ+1)eTe+

ζT(T++λT)ζ-η2wTw=

ζT[T++λT+(λ+1)T]ζ+

ζT[+(λ+1)T]w+

wT[T+(λ+1)T]ζ+

wT[(λ+1)T-η2I]w=

(46)

其中,

(47)

Ω4=T++λT+

(λ+1)T

(48)

Ω5=+(λ+1)T

(49)

由上述分析可知,不等式(34)成立的充分條件是Ω<0。接下來,運(yùn)用舒爾補(bǔ)理論,可將Ω<0轉(zhuǎn)換成以下線性矩陣不等式(50):

(50)

(51)

證明結(jié)束。

步驟1根據(jù)矩陣秩條件(21),選擇矩陣T。

步驟2根據(jù)方程(29),計(jì)算中間矩陣α1、α2、β1和β2。

步驟3根據(jù)方程(27)和(28),計(jì)算R和S。

步驟4根據(jù)方程(30)—(33),計(jì)算矩陣A1、A2、B1、B2、C、D和F。

步驟5：根據(jù)定理1,求解參數(shù)矩陣Z。

步驟6：根據(jù)方程(23)—(26),計(jì)算矩陣N、J、P和Q。

4 車輛模型

通過上文分析,針對非線性系統(tǒng)(1)和(2),可以設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)觀測器(4)—(6)。本節(jié)將上文的研究成果應(yīng)用到車輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)過程中,所用車輛模型參考文獻(xiàn)[16-18]可得:

(52)

(53)

式中:m為整車質(zhì)量;Vx為縱向車速;β為質(zhì)心側(cè)偏角;γ為橫擺角速度;Fyr后輪側(cè)向輪胎力;Fyf為前輪側(cè)向輪胎力;Iz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;lf質(zhì)心距前軸距離;lr質(zhì)心距后軸距離;d為外部干擾信號;g1(x)和g2(x)為模擬系統(tǒng)中的非線性參數(shù)。

Fyr和Fyf可用式(54)和式(55)表示:

Fyf=Cyfαf

(54)

Fyr=Cyrαr

(55)

式中:Cyf為前輪側(cè)偏剛度;Cyr為后輪側(cè)偏剛度。

αf和αr可用式(56)和式(57)表示:

(56)

(57)

將上述結(jié)果整理后寫成形如方程(1)和(2)的系統(tǒng):

(58)

y=Cx+Ew

(59)

式中:

5 仿真

為了驗(yàn)證本文提出的基于H-infinity動(dòng)態(tài)觀測器的質(zhì)心側(cè)偏角融合估計(jì)算法,本節(jié)基于CarSim和Simulink軟件搭建了聯(lián)合仿真模型并進(jìn)行仿真試驗(yàn)。仿真試驗(yàn)中各參數(shù)取值參照文獻(xiàn)[16]中所取數(shù)值,具體如表1所示。

表1 車輛參數(shù)

系統(tǒng)中的外部干擾w為一個(gè)正弦信號。非線性函數(shù)為:g1(x)=0.5sinx1,g2(x)=0.6sinx2。

本文在標(biāo)準(zhǔn)蛇形工況和雙移線工況下進(jìn)行仿真,并將所提出的算法與傳統(tǒng)比例觀測器進(jìn)行對比驗(yàn)證。

5.1 標(biāo)準(zhǔn)蛇形工況

圖1 質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)

圖2 質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)誤差e

由圖2可以看出,所提動(dòng)態(tài)觀測器在有干擾信號和非線性因素時(shí)的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)性能。點(diǎn)劃線為傳統(tǒng)比例觀測器質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)誤差e1,虛線為本文所提出的動(dòng)態(tài)觀測器質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值e2。一方面,比例觀測由于僅有一個(gè)比例參數(shù),所以在估計(jì)時(shí)有一個(gè)穩(wěn)態(tài)誤差。本文所提動(dòng)態(tài)觀測器,在動(dòng)態(tài)參數(shù)的調(diào)節(jié)下,估計(jì)值中不存在穩(wěn)態(tài)誤差。另一方面,當(dāng)有干擾信號輸入時(shí),通過使用H-infinity理論,外界正弦干擾信號對所提出算法得到的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值影響被大大削弱。

從圖1和圖2還可知,在系統(tǒng)非線性因素的影響下,本文所提出的算法仍可以正常工作。系統(tǒng)非線性因素使得實(shí)際質(zhì)心側(cè)偏角產(chǎn)生波動(dòng),這時(shí)所提算法得到的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值也同樣隨之波動(dòng),緊緊跟蹤質(zhì)心側(cè)偏角實(shí)際變化。

5.2 雙移線工況

圖3 質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)

圖4 質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)誤差e

圖4中,點(diǎn)劃線為傳統(tǒng)比例觀測器質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)誤差e1,虛線為本文所提出的動(dòng)態(tài)觀測器質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值e2。從圖3和圖4可知,比例觀測器的估計(jì)值中存在穩(wěn)態(tài)誤差,而動(dòng)態(tài)觀測器估計(jì)值沒有穩(wěn)態(tài)誤差,并且在H-infinity理論的作用下,外界正弦干擾信號對所提出算法得到的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)值影響被大大削弱。

綜合分析,對于具有干擾信號的非線性車輛系統(tǒng),本文所提出的估計(jì)算法具有良好的性能,可以實(shí)時(shí)跟蹤質(zhì)心側(cè)偏角期望值。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于H-infinity理論和動(dòng)態(tài)觀測器理論融合的車輛質(zhì)心側(cè)偏角融合估計(jì)算法。本方法采用的觀測器包含動(dòng)態(tài)參數(shù)變量,可以提高估計(jì)算法的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。由于傳輸車輛狀態(tài)信息的通信信道存在噪聲干擾,采用H-infinity算法處理噪聲對質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)的影響。

首先,通過對誤差向量的無偏性數(shù)學(xué)分析,將動(dòng)態(tài)觀測器參數(shù)矩陣的求解問題轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性分析問題。然后,構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù),將系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性分析問題轉(zhuǎn)換成線性矩陣不等式的求解問題,通過求解線性不等式,得到動(dòng)態(tài)觀測器的所有參數(shù)矩陣。最后,建立車輛2自由度動(dòng)力學(xué)模型,并在模型中加入干擾信號和非線性信號,模擬車輛狀態(tài)信息在通信通道傳輸中引入的噪聲干擾和車輛模型的非線性特征。在CarSim中搭建車輛非線性模型,在Simulink中搭建所提估計(jì)算法模型,并進(jìn)行CarSim-Simulink聯(lián)合仿真,對提出的算法進(jìn)行仿真試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的算法具有較高的可靠性。

在今后的研究工作中,一方面,進(jìn)一步拓寬所提出的動(dòng)態(tài)觀測器的應(yīng)用環(huán)境,例如具有時(shí)間延遲的系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和非奇異系統(tǒng)等,研究這些系統(tǒng)調(diào)價(jià)下動(dòng)態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法;另一方面,將研究成果應(yīng)用到實(shí)際控制系統(tǒng)中,重點(diǎn)研究基于觀測器的車輛控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。將動(dòng)態(tài)觀測器得到的系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)值,作為車輛控制系統(tǒng)輸入的實(shí)際值,幫助控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)特定的功能。