封芳安 仰楓帆

（南京航空航天大學(xué) 南京 210016）

1 引言

戈帕（Goppa）在1970 年巧妙地構(gòu)造了一類線性分組碼——Goppa 碼［1～2］。作為交替碼的子類，現(xiàn)研究已經(jīng)證明，存在某些好的Goppa 碼，性能能達(dá)到Gilbert-Varshamov 界［3］。因?yàn)镚oppa 碼具有不錯(cuò)的特性，其性質(zhì)和構(gòu)造方法以及譯碼方法一直被眾多學(xué)者深入的研究。如，McElice 公鑰體制中采用了Goppa碼。因此，對(duì)Goppa 碼研究是十分重要的。為應(yīng)對(duì)信道信號(hào)衰落問題，分集技術(shù)中的編碼協(xié)作技術(shù)十分有效［4～6］。像LDPC 碼［7］、Turbo 碼［8］、Polar碼［9］等已經(jīng)被應(yīng)用于協(xié)作通信系統(tǒng)中，然而基于Goppa 碼的協(xié)作通信還沒有好好的被研究［10］。本文提出了一種分布式Goppa 碼中繼編碼協(xié)作方案，在中繼處提出一種信息選擇的方式，在目的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化的聯(lián)合碼。針對(duì)該聯(lián)合碼的特性，提出了兩種聯(lián)合譯碼算法。為Goppa 碼的協(xié)作通信系統(tǒng)的應(yīng)用做出了探索性的研究。仿真結(jié)果表明，我們所提出的分布式Goppa 碼中繼編碼協(xié)作方案的具有良好的系統(tǒng)性能。

2 Goppa碼的構(gòu)造

設(shè)L={α0，α1，…，αn-1}是一個(gè)由n 個(gè)不同元素的組成的集合，其中αi?Ω=GF(qm)（q 是質(zhì)數(shù)或質(zhì)數(shù)的冪，m 是正整數(shù)），令g(z)?Ω[z]是次數(shù)為r的首一多項(xiàng)式(0≤r≤n)且對(duì)于所有取自集合L 中的元素都有g(shù)(αi)≠0。那么Goppa 碼Γ(L，g(z))是在GF（q）上的所有滿足式（）的矢量c=(c0，c1，…，cn-1)的集合。

多項(xiàng)式g(z) 被稱為Goppa 多項(xiàng)式［11］。Goppa碼的校驗(yàn)矩陣H如下：

Goppa 碼碼長(zhǎng)n 為集合L 中元素的數(shù)目，信息位k 滿足k≥n-mr，最小距離d 滿足d≥r+1。Goppa碼作為GRS碼的一個(gè)子類。Goppa的譯碼［12～14］可以應(yīng)用BCH碼、RS碼的譯碼方式。

3 分布式Goppa碼協(xié)作系統(tǒng)的構(gòu)造

圖1展示了分布式Goppa碼中繼協(xié)作方案的模型。單中繼協(xié)作模型包含源節(jié)點(diǎn)S、中繼節(jié)點(diǎn)R 以及目的節(jié)點(diǎn)D。中繼節(jié)點(diǎn)采用半雙工傳輸模式，所有節(jié)點(diǎn)均使用單個(gè)天線發(fā)送和接收信號(hào)。由源節(jié)點(diǎn)生成的序列m 需要兩個(gè)時(shí)隙和兩組不同的Goppa 碼在信道上傳輸。Goppa 碼C1（N，K1，d1）和C2（N，K2，d2）（K2≤K1）分別用在源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)。

圖1 分布式Goppa中繼協(xié)作方案系統(tǒng)模型

在時(shí)隙1，信息序列m 進(jìn)入系統(tǒng)Goppa 編碼器C1（N，K1，d1）得到碼序列c1。經(jīng)過BPSK調(diào)制后，源節(jié)點(diǎn)向中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)廣播發(fā)送調(diào)制信號(hào)xS。中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)分別收到信號(hào)ySR和ySD。

其中h是信道衰落系數(shù)，n是加性高斯白噪聲。

在時(shí)隙2，解調(diào)信號(hào)ySR得到序列r1，然后將序列r1送入Goppa 譯碼器，通過歐幾里得譯碼算法得到估計(jì)信息序列m1。在中繼處從序列m1里挑選K2位信息符號(hào)作為第二組Goppa 碼的信息序列m2。序列通過系統(tǒng)Goppa編碼器C2（N，K2，d2）得到碼序列c2。在BPSK 調(diào)制之后，中繼節(jié)點(diǎn)廣播給目的節(jié)點(diǎn)發(fā)送調(diào)制信號(hào)xR。目的節(jié)點(diǎn)將從兩路接收到的信號(hào)串聯(lián)得到聯(lián)合信號(hào)y=［ySD，yRD］。將聯(lián)合信號(hào)y解調(diào)后得到的聯(lián)合估計(jì)碼序列［r1，r2］進(jìn)行聯(lián)合譯碼，最終得到估計(jì)信息序列。

4 中繼處的信息選擇

中繼處的信息選擇是在目的節(jié)點(diǎn)構(gòu)建聯(lián)合碼的關(guān)鍵。不同的信息選擇模式會(huì)導(dǎo)致目的節(jié)點(diǎn)處的聯(lián)合碼結(jié)構(gòu)不同，從而影響編碼協(xié)作方案的整體性能。假設(shè)聯(lián)合碼的最小漢明距離為d3，我們希望最小距離d3盡可能的大，然而可能存在多種選擇方式使得最小距離一樣大。在這種情況下，提出一種確定選擇方式的標(biāo)準(zhǔn)。我們采用使得具有最小重量為d3的碼字c 的數(shù)目盡可能小的選擇模式。通過該方法選擇的聯(lián)合碼相對(duì)于最小距離相同的其他聯(lián)合碼具有更好的碼重分布。具體步驟如下：

1）我們考慮只有一位是非零的，其余位置都是0 的消息序列，對(duì)其進(jìn)行編碼，找到碼字重量等于最小距離的碼字，并將這些對(duì)應(yīng)的非0 位置存儲(chǔ)在集合τ中。從恢復(fù)K1個(gè)消息比特中挑選K2位信息，為了增加目的節(jié)點(diǎn)聯(lián)合碼的最小距離，則必須選擇集合τ中元素的對(duì)應(yīng)位置。因此，K2個(gè)位置中有τ位已經(jīng)被確定，其余的位置再隨機(jī)選擇。把所有的選擇模式都記錄在集合B中。

2）將生成的碼字重量為d1的所有消息序列存儲(chǔ)在集合A 中。所有這些序列都通過集合B 中的挑選方式挑選后對(duì)其進(jìn)行編碼，將兩段碼字聯(lián)合后，確定聯(lián)合碼字的碼重d=d1的碼字?jǐn)?shù)量v。尋找碼重為d1最小碼字?jǐn)?shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式，如果只有一種挑選方式滿足，即為優(yōu)化的選擇模式。如果最小數(shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式有多種，則通過這些挑選方式挑選后，編碼確定聯(lián)合碼碼字重量d=d1+1的碼字重量v，尋找碼重為d1最小碼字?jǐn)?shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式，如果還有多種選擇模式，增大碼字重量d，重復(fù)上述步驟，繼續(xù)篩選直到剩下最佳的選擇模式。

5 聯(lián)合譯碼算法

聯(lián)合譯碼是分布式編碼協(xié)作系統(tǒng)的關(guān)鍵?；谔岢龅姆植际紾oppa 編碼協(xié)作方案，提出了兩種聯(lián)合譯碼算法，具體細(xì)節(jié)如下。

5.1 并行聯(lián)合譯碼

并行聯(lián)合譯碼如圖2 所示。Goppa1和Goppa2譯碼器分別對(duì)解調(diào)序列r1和r2進(jìn)行譯碼得到估計(jì)信息序列和。由于C2（N，K2，d2）相對(duì)于C1（N，K1，d1）有更多的校驗(yàn)位以及更大的最小距離，在相同條件下，C2的誤碼率性能更加優(yōu)秀，因此將序列按之前的選擇方式替換，最終輸出序列。

圖2 并行聯(lián)合譯碼方案

5.2 串行聯(lián)合譯碼

串行聯(lián)合譯碼如圖3 所示。通過Goppa2譯碼器對(duì)解調(diào)序列r2進(jìn)行譯碼得到估計(jì)信息序列。由于使用系統(tǒng)碼，解調(diào)序列r1由信息序列m1和奇偶校驗(yàn)序列p1組成，將序列中的K2個(gè)元素按先前的選擇方式替換，獲得序列。該序列送入Goppa1譯碼器進(jìn)行譯碼得到最終估計(jì)信息序列。

圖3 串行聯(lián)合譯碼方案

6 仿真結(jié)果與性能分析

基于本文提出的分布式Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)，我們采用兩組參數(shù)分別為Goppa1（31，21，5）和Goppa2（31，16，7）的碼。它們的集合L都是取自GF（25）中的所有非零元素。g1（z）=z2+z+1 和g2（z）=z3+z+1 分別為它們的Goppa 多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式系數(shù)同樣取自于GF（25）。在仿真中，均采用BPSK 的調(diào)制方式以及歐幾里得迭代譯碼算法，在高斯信道和瑞利快衰落信道傳輸106幀數(shù)據(jù)。設(shè)γS，D，γS，R，γR，D分別為源到目的節(jié)點(diǎn)的信噪比，源到中繼節(jié)點(diǎn)的信噪比和中繼到目的節(jié)點(diǎn)的信噪比。因?yàn)橹欣^節(jié)點(diǎn)相對(duì)于源節(jié)點(diǎn)更靠近目的節(jié)點(diǎn)，假設(shè)γR，D=γS，D+2dB，和在理想狀態(tài)（γS，R=∞）下傳輸。

6.1 不同選擇方式對(duì)碼的性能的影響

基于上述信息選擇方案，最佳選擇方式的｛2，4，5，7，9，10，11，12，13，14，15，16，18，19，20，21｝，假設(shè)隨機(jī)選擇方式是挑選前K2位，均采用串行譯碼算法。由圖4 和圖5 可知，我們所提出的中繼信息選擇方案無論在高斯信道下還是在瑞利快衰落信道下，誤碼率性能明顯優(yōu)于隨機(jī)的信息選擇方式。在高斯信道下，在誤碼率等于10-5時(shí)，大約有0.7dB的性能提升；在瑞利快衰落信道下，誤碼率為2×10-5，約有1.7dB的性能提升。

圖4 AWGN信道下不同選擇方式的性能比較

圖5 瑞利快衰落信道下不同選擇方式的性能比較

6.2 不同聯(lián)合譯碼算法的性能在AWGN 信道下的性能比較

圖6展示了所提出的分布式Goppa碼協(xié)作方案采用不同譯碼算法在AWGN 信道下的仿真曲線。從仿真曲線中可以看出，本文提出的Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)明顯優(yōu)于非協(xié)作系統(tǒng)，并且所提出的串行譯碼算法優(yōu)于并行譯碼算法。在誤碼率為10-5時(shí)，串行譯碼算法對(duì)于并行譯碼算法約有0.7dB 的性能增益。

圖6 AWGN信道下不同譯碼算法的性能比較

6.3 不同聯(lián)合譯碼算法的性能在瑞利衰落信道下的性能比較

圖7展示了所提出的分布式Goppa碼協(xié)作方案采用不同譯碼算法在快衰落信道下的仿真曲線。

圖7 瑞利快衰落信道下不同選擇方式的性能比較

從仿真曲線中可以看出，本文提出的Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)明顯優(yōu)于非協(xié)作系統(tǒng)，并且所提出的串行譯碼算法優(yōu)于并行譯碼算法。在誤碼率為2×10-5時(shí)，串行譯碼算法對(duì)于并行譯碼算法約有1.8dB的性能增益。

7 結(jié)語

基于對(duì)Goppa 碼和協(xié)作通信的研究，本文提出了一種分布式Goppa 編碼協(xié)作系統(tǒng)，在該系統(tǒng)上提出了中繼信息選擇方法，來使得目的節(jié)點(diǎn)獲得優(yōu)化的聯(lián)合碼。基于聯(lián)合碼的特性，提出了并行聯(lián)合譯碼和串行聯(lián)合譯碼算法。通過在AWGN 信道和瑞利信道的仿真，中繼處的適當(dāng)?shù)男畔⑦x擇方法對(duì)于隨機(jī)選擇更具優(yōu)勢(shì)，此外，串行譯碼算法比并行譯碼算法的性能更好，與非協(xié)作方案的比較表明所提出的分布式Goppa 編碼方案是有效的。在未來的工作，我們致力尋找性能更好的Goppa 碼和降低中繼信息選擇算法的復(fù)雜度。