李湘寧

（中國人民解放軍92941部隊 葫蘆島 125001）

1 引言

水面艦艇是未來海上作戰(zhàn)的最小單元，在驅(qū)護(hù)編隊或航母編隊中承擔(dān)重要的作戰(zhàn)任務(wù)，可實施打擊作戰(zhàn)和防御作戰(zhàn)［1］。目前，以編隊為基礎(chǔ)的攻防能力檢驗已成為海上演訓(xùn)的主要模式，可檢驗基于動態(tài)實兵的對抗效能、基于任務(wù)的指揮流程以及基于精算的戰(zhàn)法體系［2～3］。海上編隊演訓(xùn)任務(wù)需動用大量的實兵、實彈，花費大量的人力、物力，因而需要預(yù)先制定精密的演訓(xùn)方案，對實兵、實彈進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃。本文利用運籌學(xué)中的矩陣對策理論，借助線性規(guī)劃算法對編隊攻防演訓(xùn)中所需的實彈射擊分配方案進(jìn)行精算［5～6］，以期以最小的經(jīng)濟(jì)代價達(dá)到最大的軍事訓(xùn)練效益［7］。

2 矩陣對策基本理論［1］

對策現(xiàn)象就是帶有沖突、競爭、對抗等性質(zhì)的現(xiàn)象。一般都是兩個或兩個以上的具有決策權(quán)的參加者在某種對抗性或競爭性的場合下各自做出決策，使己方得到盡可能有利的結(jié)果［8］。矩陣對策又稱為二人零和有限對策［9］。

在矩陣對策中具備攻防雙方α和β，雙方的策略集分別為Sα=(α1、α2、…αm)、Sβ=(β1、β2、…βn)，當(dāng)α選定策略αi且β選定策略βj，則形成了一個局勢(αi，βj)。對于任一局勢(αi，βj)，可記α的得失函數(shù)值為aij，于是由得失函數(shù)構(gòu)成m×n維的矩陣。

矩陣對策簡記為G=|Sα，Sβ，A|。設(shè)α方以概率xi選取策略αi，β方以概率yi選取策略βj，則

求解矩陣對策G=|Sα，Sβ，A|的最優(yōu)混合策略解x*和y*從及對策期望值ν*即可獲得攻防問題的最優(yōu)策略。其中，ν=E（x，y）=Σ(aij?xi?yj)。

針對式（2），令x′i=x′i/ν，y′j=y′j/ν，則式（2）變換成如下形式：

由于α方希望對策期望值越大越好，也即希望1ν越小越好；β方希望對策期望值越小越好，也即希望1ν越大越好，于是有目標(biāo)函數(shù)如下：

于是將矩陣對策轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃方程，求解線性規(guī)劃方程（3）、（4）即可獲得矩陣對策G=|Sα，Sβ，A|的最優(yōu)混合策略解從及對策期望值ν*。

3 線性規(guī)劃基本理論

線性規(guī)劃是當(dāng)約束條件及目標(biāo)函數(shù)均為線性函數(shù)時的規(guī)劃，可用于解決對作戰(zhàn)目標(biāo)或作戰(zhàn)地域進(jìn)行同類兵力火力分配的問題［10］。線性規(guī)劃模型具有如下特征：

1）每一個問題均可用一組決策變量x1，x2，…xn來表示某個實施方案，這組決策變量的每一組取值，就代表某一個具體的方案。通常情況下，這些決策變量的聚會都是非負(fù)的；

2）存在一定的限制條件，這里稱為約束條件，這些約束條件可用一組線性等式（或不等式）來表示；

3）都有一個要求達(dá)到的目標(biāo)，它可用決策變量的函數(shù)來表示，稱為目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)問題的性質(zhì)不同，目標(biāo)函數(shù)要實現(xiàn)的目標(biāo)可能是最大化，也可能是最小化。

滿足以上三個條件的數(shù)學(xué)模型就是線性規(guī)劃模型，其一般形式如式（5）。

對線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的方法主要有圖解法、單純形法和單純形表法。圖解法主要適用于2×2 元簡單的數(shù)學(xué)模型；單純形法涉及大量的數(shù)值計算，且各數(shù)值之間關(guān)系復(fù)雜、種類繁多，不適用于工程應(yīng)用。為簡明計算過程，通過列表的形式進(jìn)行求解的過程為單純形表法。

利用單純形表求解線性規(guī)劃問題，需對線性規(guī)劃方程組進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，基本原則如下：

1）對于“ ≤”形式的不等式，需在約束方程的左端“+”一個非負(fù)的松弛變量；

2）對于“ ≥”形式的不等式，需在約束方程的左端“-”一個非負(fù)的松弛變量，再“+”上一個非負(fù)的人工變量；

3）對于“=”形式的等，需在約束方程的左端再“+”上一個非負(fù)的人工變量；

4）將目標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為求最大解。

單純形表法的基本形式見表1。

表1 單純形表基本形式

單純形表的線性規(guī)劃問題求解過程如下：

1）首先將線性規(guī)劃基本模型中的相關(guān)參數(shù)代入初始單純形表中，θi列和σj行暫時空著后行處理；

3）在所有的σj>0 中，若有某個σk>0，且對應(yīng)的aik≤0，則可判定該規(guī)劃問題無解，停止運算，否則轉(zhuǎn)下一步；

4）根據(jù)max{σj|σj>0}=σk，確定xk為換入變量，按最小比法則θi=min{θi|θi=bi/aik且aik>0}，以確定xBr=xr為換出變量，轉(zhuǎn)下一步；

5）令bi=br/ark，以ark為主元進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運算，把xk對應(yīng)的列向量Pk變成單位列向量求得新的基可行解；

6）重復(fù)步驟2）～5），直至獲得最優(yōu)可行解。

4 實例分析

本工程實例目的在于介紹矩陣對策在試訓(xùn)工程中的應(yīng)用，涉及的指標(biāo)和試驗數(shù)據(jù)都經(jīng)過處理。

某海域?qū)⒔M織水面艦艇編隊實施攻防對抗演練，藍(lán)方預(yù)計組織2 型超音速反艦導(dǎo)彈形成高低混合的水面攻擊態(tài)勢，紅方預(yù)計組織中遠(yuǎn)程、中近程、近程三型防空武器實施對抗，三型武器攔截區(qū)域和殺傷能力不同［11～12］?，F(xiàn)擬利用矩陣對策部署攻防雙方兵力的數(shù)量，以期以最小的經(jīng)濟(jì)代價獲得最大的訓(xùn)練效果。紅方三型防空武器對抗藍(lán)方兩型攻擊武器的殺傷概率見表2。

表2 防空武器殺傷概率一覽表

依據(jù)表2獲得對策矩陣為

1）紅方最優(yōu)策略求解

設(shè)三型防空武器的使用比例分別為x1、x2、x3，根據(jù)對策矩陣紅方以獲勝為目的的線性規(guī)劃方程及其變形方程為

依據(jù)單純形表求解的基本原則，引入松弛變量和人工變量，獲得標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃方程為

依據(jù)式（8）形成的單純形表求解過程見表3。

表3 紅方單純形表求解過程一覽表

依據(jù)單純形表求解原則，當(dāng)σj≤0 時得到最優(yōu)解由式（7）可知ν=

2）藍(lán)方最優(yōu)策略求解

設(shè)兩型反艦導(dǎo)彈的使用比例分別為y1、y2，根據(jù)對策矩陣藍(lán)方以獲勝為目的的線性規(guī)劃方程及其變形方程為

依據(jù)單純形表求解的基本原則，引入松弛變量，獲得標(biāo)準(zhǔn)化線性規(guī)劃方程為

依據(jù)式（8）形成單純形初始表：

依據(jù)單純形表求解原則，當(dāng)σj≤0 時得到最優(yōu)解由式（9）可知ν=

3）最優(yōu)策略分析

由表1 的計算結(jié)果可知，紅方三型防空武器的使用比例最優(yōu)策略解為在高空超音速反艦導(dǎo)彈和低空超音速反艦導(dǎo)彈實施聯(lián)合攻擊的條件下，中遠(yuǎn)程防空武器與近程防空武器即可實現(xiàn)對空聯(lián)合防御，兩型武器在2：1 的配比下可以達(dá)到最佳的防御效果。也就是說在中遠(yuǎn)程防空武器與近程防空武器實施聯(lián)合防空的過程中，防御重點是中遠(yuǎn)程防空，同時中遠(yuǎn)程防空力度的加大將會大大降低近程防空的壓力。

由表2 的計算結(jié)果可知，藍(lán)方兩型反艦導(dǎo)彈的使用比例最優(yōu)策略解為：中高空超音速反艦導(dǎo)彈與低空超音速反艦導(dǎo)彈兩型武器在1：2.3 的配比下，對敵艦實施聯(lián)合攻擊可達(dá)到最佳的突防效果。也就是說低空超音速突防是反艦導(dǎo)彈攻擊策略的重點，低空超音速突防比例的加大將會大大增加突防概率。

5 結(jié)語

目前，在大型的海上試驗、訓(xùn)練和演習(xí)任務(wù)中，編隊攻防演訓(xùn)對象已不僅限于水面艦艇編隊，還包括空中編隊、水下編隊以及聯(lián)合編隊?；诰仃噷Σ叩墓シ涝O(shè)計理論，可以指導(dǎo)多型武器聯(lián)合攻防試訓(xùn)演實彈射擊分配方案的設(shè)計，為實彈射擊方案的設(shè)計提供科學(xué)的理論輸入。