◇宿遷職業(yè)技術(shù)學(xué)院 王榮亮

線性規(guī)劃課程具有較強(qiáng)的實(shí)踐背景，對(duì)數(shù)形結(jié)合有較高的要求，學(xué)生普遍感覺(jué)求解枯燥無(wú)味。如何利用現(xiàn)代化手段，提高線性規(guī)劃教學(xué)，提升學(xué)生的興趣，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量更進(jìn)一步，是職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)須面對(duì)的一個(gè)問(wèn)題。結(jié)合具體案例，討論了GeoGebra在線性規(guī)劃教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用和實(shí)踐效果。結(jié)果表明：GeoGebra的強(qiáng)大繪圖功能和動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能，有利于提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、方法較為成熟、應(yīng)用也較為廣泛的一個(gè)重要分支。線性規(guī)劃主要研究如何將有限資源的進(jìn)行最佳分配，即如何對(duì)有限的資源作出最佳的配置和最有利的使用，以便最充分的發(fā)揮資源的效能去獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的一些基礎(chǔ)知識(shí)，用線性規(guī)劃方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和動(dòng)手能力，提升學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的理解與應(yīng)用，這對(duì)于職校學(xué)生是必要的。同時(shí)，職校學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，自主學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)以及線性規(guī)劃知識(shí)本身對(duì)圖形繪制和求解過(guò)程可呈現(xiàn)性不強(qiáng)等特點(diǎn)給職校線性規(guī)劃教學(xué)帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。

顯而易見(jiàn)的是，數(shù)學(xué)可視化教學(xué)有利于知識(shí)呈現(xiàn)、學(xué)生接受和師生互動(dòng)。楊海麗[1]指出可視化方式主要有文本表格、圖式和視頻等；廖彩云[2]將可視化工具分為外在表征工具和心理表征工具，其中心理表征工具包括背景、故事、模擬實(shí)驗(yàn)等通用工具和數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等專(zhuān)門(mén)工具；司業(yè)佳[3]借助GeoGebra構(gòu)造了輔助函數(shù)教學(xué)三個(gè)案例，有助于學(xué)生概念理解。周后卿、徐幼專(zhuān)[4]將MATLAB引入復(fù)變函數(shù)教學(xué)，通過(guò)大量的代碼，實(shí)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)可視化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解；李昌志等人[5]運(yùn)用MATLAB和幾何畫(huà)板構(gòu)建了函數(shù)和幾何兩個(gè)模塊的教學(xué)案例，提升課堂趣味性，引起學(xué)生的興趣，提高課堂效率；努爾色曼·買(mǎi)買(mǎi)提[6]編寫(xiě)了相對(duì)應(yīng)代碼，展示了MATLAB在函數(shù)及其極限中的應(yīng)用；高芹[7]將GeoGebra貫徹在備課設(shè)計(jì)、課上設(shè)計(jì)和測(cè)試反饋三個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)中職課堂教學(xué)優(yōu)化顯著；王潔丹[8]利用GeoGebra對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行深化設(shè)計(jì)；張茜[9]將MATLAB應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)原理探究、數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)三大模塊，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)效果；袁蘭蘭[10]利用GeoGebra進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)概念可視化設(shè)計(jì)，更利于學(xué)生理解概念，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。韋美成[11]指出GeoGebra具有功能齊全、操作方便、動(dòng)態(tài)交互、易安裝、網(wǎng)上直接使用等優(yōu)點(diǎn)，也開(kāi)展了數(shù)學(xué)教學(xué)探究，顯著提高了學(xué)生的及格率、優(yōu)秀率。

可見(jiàn)，MATLAB輔助數(shù)學(xué)教學(xué)可視化對(duì)編程要求較高，而GeoGebra具有交互性能，更易于操作。采用GeoGebra輔助教學(xué)，呈現(xiàn)尋找線性規(guī)劃問(wèn)題中最優(yōu)解的動(dòng)態(tài)過(guò)程，可深化學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃理解更直觀、更深刻，進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”思想。本文通過(guò)三個(gè)案例展示了GeoGebra輔助線性規(guī)劃的教學(xué)，凸顯了GeoGebra的動(dòng)態(tài)功能在教學(xué)中的重要作用，為線性規(guī)劃教學(xué)提供一種思路和參考。

1 設(shè)計(jì)原則

1.1 注重應(yīng)用性

線性規(guī)劃最大的特點(diǎn)就是具有廣泛的應(yīng)用性。注重線性規(guī)劃教學(xué)的應(yīng)用性，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和素養(yǎng)。在進(jìn)行線性規(guī)劃教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過(guò)程中，秉持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)貼近生活的教學(xué)理念，充分考慮線性規(guī)劃的應(yīng)用性，列舉一些生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法，將這些實(shí)際問(wèn)題抽象為一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，即建立線性規(guī)劃模型，求出對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解。

1.2 體現(xiàn)直觀性

線性規(guī)劃問(wèn)題的求解往往涉及圖像法、表格法等，對(duì)學(xué)生幾何繪畫(huà)能力和動(dòng)態(tài)思維提出了較高的要求。在進(jìn)行線性規(guī)劃教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)該充分考慮采取何種方式來(lái)呈現(xiàn)線性規(guī)劃求解的動(dòng)態(tài)化要求，讓學(xué)生直觀感受到求解過(guò)程的動(dòng)態(tài)性，理解線性規(guī)劃如何動(dòng)態(tài)過(guò)程中尋找最優(yōu)解及尋找最優(yōu)解的本質(zhì)。

1.3 突出主體性

在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過(guò)程中要突出學(xué)生主體性的原則。興趣是學(xué)習(xí)最好的動(dòng)力，影響學(xué)生獲得正常學(xué)習(xí)成就的最主要原因就是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)沒(méi)有興趣。突出學(xué)生主體性，就是在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過(guò)程中讓學(xué)生參與教學(xué)，與學(xué)生產(chǎn)生互動(dòng)，將課堂交還學(xué)生，營(yíng)造一個(gè)學(xué)生主動(dòng)參與、獨(dú)立思考的環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的興趣。

1.4 強(qiáng)調(diào)可操作性

可操作性原則是保證設(shè)計(jì)的案例能被教師移植、學(xué)生參與的一個(gè)重要原則。在教學(xué)可視化設(shè)計(jì)過(guò)程中，要在保證邏輯性和正確性的基礎(chǔ)上，充分考慮案例是否能被其他教師所用，是否易于學(xué)生接受并參與操作。

2 可視化案例

線性規(guī)劃教學(xué)一般通過(guò)列舉一些常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法建立線性規(guī)劃模型，引入決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件等部分。再介紹如何通過(guò)圖像法求解二元線性規(guī)劃問(wèn)題。概念教學(xué)是基礎(chǔ)，注重?cái)?shù)學(xué)建模過(guò)程。圖像法求解是重點(diǎn)，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。利用GeoGebra輔助線性規(guī)劃教學(xué)，通過(guò)文字呈現(xiàn)、圖片導(dǎo)入和動(dòng)態(tài)演示等，更有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力，更具體展示求解過(guò)程。

（1）線性規(guī)劃問(wèn)題概念教學(xué)。

在引入線性規(guī)劃中的一些基本概念的教學(xué)可視化設(shè)計(jì)中，主要選擇了四種常見(jiàn)的類(lèi)型：產(chǎn)品安排問(wèn)題、物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題、下料問(wèn)題和人力調(diào)配。具體的過(guò)程主要包括問(wèn)題導(dǎo)入、建模過(guò)程、數(shù)學(xué)表達(dá)式和基本概念四個(gè)部分。

點(diǎn)擊“問(wèn)題導(dǎo)入”按鈕，將通過(guò)文字呈現(xiàn)需要探究問(wèn)題的實(shí)際背景，如圖1所示。

點(diǎn)擊“建模過(guò)程”，將一步步引導(dǎo)學(xué)生按照探究問(wèn)題的要求建立對(duì)應(yīng)的方程，如圖2所示。

當(dāng)建模過(guò)程完成后，點(diǎn)擊“數(shù)學(xué)表達(dá)式”按鈕，將建模過(guò)程中建立的方程進(jìn)行重新書(shū)寫(xiě)，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式，如圖3所示。

圖3 數(shù)學(xué)表達(dá)式

點(diǎn)擊“基本概念”按鈕，將對(duì)前面的數(shù)學(xué)表達(dá)式各個(gè)部分進(jìn)行概念化，如圖4所示。

圖4 基本概念

（2）圖解法求解案例。

圖解法是求解二元線性規(guī)劃問(wèn)題最為基本的一種方法。圖解法首先要確定可行域，然后通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)尋求最大值。

進(jìn)行可行域教學(xué)時(shí)，采用類(lèi)似如圖5所示的可視化案例。主要步驟如下：①在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，如x-3y-4=0；②在平面內(nèi)取一點(diǎn)A，并將點(diǎn)A的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)帶入x-3y-4中，判斷與0的關(guān)系；③移動(dòng)點(diǎn)A的位置，觀察x-3y-4與0關(guān)系的變化情況；

圖5 可行域案例

通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)A的位置，學(xué)生可清晰的發(fā)現(xiàn)直線x-3y-4=0將平面分為三個(gè)區(qū)域：x-3y-4>0、x-3y-4=0和x-3y-4<0。同時(shí)，學(xué)生可用操作軟件更改直線的方程，繼續(xù)觀察即使直線方程不一樣，但是直線都可以把平面區(qū)域分割為三個(gè)部分，故而在實(shí)際操作中可以通過(guò)特殊點(diǎn)是否滿足不等式來(lái)確定可行域。

進(jìn)行二元線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法教學(xué)時(shí)，主要采用類(lèi)似如圖6的可視化案的步驟如下：①在平面內(nèi)畫(huà)出符合條件的可行域，如；②在①確定的可行域內(nèi)取一點(diǎn)A，并將點(diǎn)A的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)帶入2x+3y，并求出其值；③移動(dòng)點(diǎn)A的位置，觀察2x+3y值變化情況，可以發(fā)現(xiàn)在（4,2）點(diǎn)處取得最大值。

圖6 二元線性規(guī)劃求解案例

通過(guò)移動(dòng)A的位置，可以觀察到過(guò)A的一系列斜率相同的直線在y軸上的截距是不斷變化的，并且在（4,2）處截距最大，而此時(shí)2x+3y也取得最大值。這也進(jìn)一步解釋了在實(shí)際過(guò)程中往往將目標(biāo)函數(shù)處理成斜率相同的直線，然后不斷進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化情況，再確定目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)。

3 實(shí)踐效果分析

為了檢驗(yàn)GeoGebra輔助線性規(guī)劃教學(xué)的有效性，討論該軟件是否可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，選取了宿遷科技學(xué)校兩個(gè)平行班，一個(gè)為實(shí)驗(yàn)班，一個(gè)為對(duì)照班。實(shí)驗(yàn)班的教師采用GeoGebra輔助線性規(guī)劃教學(xué)，對(duì)照班主要采用黑板進(jìn)行講解線性規(guī)劃的知識(shí)。

對(duì)比兩個(gè)班級(jí)學(xué)習(xí)線性規(guī)劃前后的兩次月考成績(jī)，如表1所示。兩個(gè)班級(jí)在實(shí)驗(yàn)前成績(jī)沒(méi)有顯著差異，但是經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)過(guò)后可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班相對(duì)對(duì)照班成績(jī)有較大差異。這說(shuō)明GeoGebra輔助數(shù)學(xué)教學(xué)相較于傳統(tǒng)的板書(shū)式教學(xué)更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

表1 兩個(gè)班級(jí)學(xué)習(xí)線性規(guī)劃前后的兩次月考成績(jī)的對(duì)比

對(duì)實(shí)驗(yàn)班40名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷內(nèi)容包括2個(gè)主題，6個(gè)選擇題，回收有效問(wèn)卷40份，統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果如表2所示。調(diào)查結(jié)果顯示100%的學(xué)生希望使用GeoGebra輔助線性規(guī)劃教學(xué)，100%的學(xué)生認(rèn)為在線性規(guī)劃教學(xué)過(guò)程中GeoGebra使用可以提高學(xué)習(xí)興趣，87.5%的學(xué)生認(rèn)為GeoGebra使用有助于專(zhuān)注度的提升，95%的學(xué)生認(rèn)為GeoGebra的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能可以幫助對(duì)概念的理解，97.5%學(xué)生認(rèn)可GeoGebra的互動(dòng)性并認(rèn)為這樣可以提升學(xué)生的探究能力，87.5%的學(xué)生認(rèn)為GeoGebra的使用可以降低知識(shí)難度。

表2 GeoGebra輔助數(shù)學(xué)教學(xué)效果分析

綜上，GeoGebra輔助線性規(guī)劃教學(xué)有助于學(xué)生對(duì)概念的理解和知識(shí)的掌握，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4 結(jié)束語(yǔ)

線性規(guī)劃是職業(yè)院校數(shù)學(xué)課程中比較重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)數(shù)形結(jié)合要求較高，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)理論性和實(shí)踐性相結(jié)合。GeoGebra強(qiáng)大的繪圖功能和動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能，有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的可視化，降低知識(shí)難度，幫助學(xué)生更好的理解概念，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。在職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)不斷拓展其應(yīng)用，更好的提高教學(xué)質(zhì)量。