陳引娟,朱香將,李宗剛+,杜亞江

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.蘭州交通大學(xué) 機(jī)器人研究所,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

隨著“中國(guó)制造2025”戰(zhàn)略的深入實(shí)施,機(jī)械臂在工業(yè)制造、航空航天、軌道交通等領(lǐng)域智能化進(jìn)程中的作用越來(lái)越重要[1]。制造業(yè)日益定制化、個(gè)性化的生產(chǎn)模式,對(duì)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制提出了更高的要求,因此提高機(jī)械臂軌跡跟蹤精度,增強(qiáng)其對(duì)不同環(huán)境和任務(wù)的適應(yīng)能力,成為機(jī)械臂應(yīng)用中的關(guān)鍵技術(shù)。由于建模誤差、信號(hào)檢測(cè)誤差及外界環(huán)境干擾等不確定性因素的影響,給機(jī)械臂控制帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)[4],國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出多種智能控制策略來(lái)提高機(jī)械臂軌跡跟蹤的精度,基于自適應(yīng)方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制得到了廣泛研究。

自適應(yīng)算法能夠很好地解決機(jī)械臂模型中未知參數(shù)的在線估計(jì)問(wèn)題,在此基礎(chǔ)上結(jié)合模糊控制方法,可進(jìn)一步提高機(jī)械臂的響應(yīng)速度和軌跡跟蹤精度。HU等[10]針對(duì)機(jī)械手的位置/力控制問(wèn)題,提出一種具有自適應(yīng)模糊補(bǔ)償?shù)淖杩够？刂品椒?杜志江等[11]針對(duì)微創(chuàng)外科機(jī)器人的姿態(tài)調(diào)整問(wèn)題,通過(guò)將模糊理論和強(qiáng)化學(xué)習(xí)結(jié)合,能夠自適應(yīng)地調(diào)整模型以響應(yīng)控制者意圖,具有較好的可控性;梁捷等[12]設(shè)計(jì)了分級(jí)模糊控制算法來(lái)主動(dòng)抑制柔性桿振動(dòng),提高了模糊控制器的計(jì)算效率;1995年,李洪興教授通過(guò)系統(tǒng)反饋誤差對(duì)論域進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié),提出變論域模糊自適應(yīng)控制方法,解決了傳統(tǒng)模糊控制中控制不精確的問(wèn)題[13];李洪興等[14]利用變論域模糊方法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)四級(jí)倒立擺等非線性系統(tǒng)的控制;郭純等[15]利用變論域方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)汽車側(cè)向的自主控制;文生平等[16]將變論域思想引入模糊控制隸屬函數(shù),設(shè)計(jì)了輸入函數(shù)的自適應(yīng)律,適用于非線性、時(shí)變性、復(fù)雜性的不確定性系統(tǒng);龐輝等[17]提出車輛半主動(dòng)懸架的變論域模糊控制,采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)節(jié)T-S模糊控制器變量的論域,改善了車輛行使過(guò)程中的穩(wěn)定性;車軍等[18]利用顯遺傳模糊控制方法解決了城軌列車懸掛系統(tǒng)的橫向振動(dòng)問(wèn)題;AZIZ等[19]采用雙回路混合控制方法控制電網(wǎng)中的負(fù)載頻率,其中內(nèi)部回路采用變論域模糊控制算法來(lái)減輕負(fù)載擾動(dòng),外部回路采用增量遺傳算法在線優(yōu)化控制參數(shù);CHENG等[20]利用變論域模糊自適應(yīng)控制器有效提高了開關(guān)磁阻電機(jī)(Switched Reluctance Motor,SRM)系統(tǒng)對(duì)參數(shù)波動(dòng)的適應(yīng)性和對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)的魯棒性;王宏濤等[21]采用變論域模糊控制方法實(shí)現(xiàn)了三關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制,其中通過(guò)所引入的伸縮因子可以在線調(diào)節(jié)論域大小;李廣軍等[22]將遺傳變論域模糊控制器應(yīng)用于控制列車橫向半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)且效果良好;賀自名等[23]采用變論域模糊自適應(yīng)比例—積分—微分(Proportional-Integral-Derivative,PID)方法研究了蒸發(fā)源的溫度控制問(wèn)題;龍祖強(qiáng)等[24-25]分析了變論域模糊控制器的逼近條件。

本文考慮機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型以及參數(shù)的不確定性,為提高機(jī)械臂軌跡的跟蹤精度,結(jié)合標(biāo)稱計(jì)算力矩控制器和變論域模糊補(bǔ)償器,給出一種復(fù)合控制方案,以降低機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差,提高軌跡跟蹤速度,保證軌跡跟蹤性能。首先,采用Lagrange函數(shù)建立機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型,其Lagrange方程為

L=T-U。

(1)

式中T和U分別表示機(jī)械臂的動(dòng)能和勢(shì)能。則機(jī)械臂Lagrange動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

(3)

1 變論域模糊自適應(yīng)控制

1.1 基本原理

變論域模糊控制系統(tǒng)在模糊規(guī)則不變的前提下,論域范圍根據(jù)反饋誤差信息的變化而變化,當(dāng)反饋誤差減小時(shí),減小論域范圍相當(dāng)于添加規(guī)則數(shù)量,提高控制精度;當(dāng)反饋誤差增大時(shí),增大論域范圍相當(dāng)于減小規(guī)則數(shù)量,提高收斂速度,其本質(zhì)為一種動(dòng)態(tài)逐點(diǎn)收斂的插值器。

令A(yù)={Ai}(1≤i≤p)是給定論域X上的一組模糊集,xi為Ai的峰值,如果對(duì)于任意x∈X,

(4)

成立,且當(dāng)m≠n時(shí),xm≠xn,m,n∈[1,2,…,p],則稱Ai為A的基元,A稱為X的一個(gè)基元組。進(jìn)一步地,如果x≠xi,且任意相鄰基元Ai與Ai+1滿足

(5)

則稱A為X上的雙相基元組。特別地,若Ai(x)為線性函數(shù),則稱A為X上的雙相線性基元組。

考慮雙輸入單輸出機(jī)械臂系統(tǒng),給定輸入、輸出論域分別為X=[-E,E],Y=[-D,D]和Z=[-U,U],其中E為軌跡誤差值,D為軌跡誤差變化率值,X為軌跡跟蹤誤差論域,Y為跟蹤誤差變化率論域,Z為不確定性補(bǔ)償力矩,Y受X影響。A={Ai}(i=1,2,…,p)和B={Bj}(j=1,2,…,γ)分別表示論域X和Y上的雙相線性基元組,C={zij}為論域Z上的線性基元組,則各個(gè)線性基元組隸屬度函數(shù)峰點(diǎn)滿足

(6)

令X,Y,Z的伸縮因子分別為α(x),β(x,y),γ(x),X對(duì)Y的影響記為D=EC,Y=[-EC,EC],則伸縮因子可以定義為

(7)

(8)

式中0

控制函數(shù)可寫為

F(xk,yk,k)=

(9)

1.2 雙輸入單輸出變論域模糊控制算法

雙輸入單輸出變論域模糊控制算法步驟如下[23]:

步驟1系統(tǒng)輸入初值為x0∈X,y0∈Y,輸出為

z1=F(x0,y0,0)

(10)

z2=F(x1,y1,0)

(11)

(12)

將上述各量帶入式(12),可得

(13)

則當(dāng)xh→0,yh→0時(shí),zh+1→0,即基于變論域模糊控制的雙輸入單輸出系統(tǒng)是收斂的。

1.3 自適應(yīng)模糊控制規(guī)則設(shè)計(jì)

對(duì)上述所考慮的雙輸入單輸出機(jī)械臂系統(tǒng),設(shè)X和Y的模糊集均為[NB,NS,ZE,PS,PB],Z的模糊集為[NVB,NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB,PVB][24]。相應(yīng)的隸屬度函數(shù)如圖3所示,自適應(yīng)模糊控制規(guī)則如表1所示,其中E和EC分別表示軌跡誤差值和軌跡誤差變化率值,為經(jīng)過(guò)模糊化后對(duì)應(yīng)的模糊輸入量。

表1 自適應(yīng)模糊控制規(guī)則表

2 基于變論域模糊補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.2 基于變論域模糊補(bǔ)償?shù)目刂撇呗?/h3>

(14)

顯然,當(dāng)不存在建模不確定性和外部干擾時(shí),如果誤差系統(tǒng)

(15)

則系統(tǒng)穩(wěn)定,機(jī)械臂各關(guān)節(jié)能夠精確跟蹤期望軌跡,式中kp,kv為待定系數(shù)。另外,由式(3)可得機(jī)械臂的標(biāo)稱動(dòng)力學(xué)模型為

(16)

ΔD(q)=D0(q)-D(q),

(17)

(18)

則聯(lián)立式(16)～式(18)可得

(19)

由式(19)可知,控制器中所包含的不確定性會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,因此需要對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。記式(20)中的不確定項(xiàng)為

(20)

為補(bǔ)償建模不確定性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,利用變論域模糊控制對(duì)g進(jìn)行辨識(shí)。為此,將式(18)給出的控制律修正為

(21)

(22)

(23)

式中:ξ為模糊基函數(shù)向量;Θ為一個(gè)權(quán)值向量,且其最優(yōu)值Θ*滿足

(24)

(25)

(26)

結(jié)合式(24)～式(25),不確定性項(xiàng)g可進(jìn)一步表示為

g(x|Θ)=Θ*ξ+ε。

(27)

將式(27)帶入式(23),其中模糊基函數(shù)向量ξ受變論域模糊的輸出因子γ(z)影響。因此,變論域自適應(yīng)補(bǔ)償器進(jìn)一步表示為

(28)

定義Lyapunov函數(shù)為

(29)

式中P為對(duì)稱正定矩陣,并滿足Lyapunov方程

PA+ATP+Q=0。

(30)

(31)

對(duì)式(29)給出的Lyapunov函數(shù)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo),并結(jié)合式(26)和式(27)可得

(32)

將式(30)帶入式(32),可得

(33)

(34)

將自適應(yīng)律(31)帶入式(34),可知

(35)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本章以兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂為控制對(duì)象,對(duì)所提變論域自適應(yīng)模糊補(bǔ)償控制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證,如圖5所示。圖中m1和m2表示連桿1和連桿2的質(zhì)量,l1和l2分別表示兩個(gè)連桿的長(zhǎng)度,θ1和θ2為關(guān)節(jié)角;重力加速度為g。

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程用式(3)表示,簡(jiǎn)單計(jì)算可得各參數(shù)矩陣分別為:

(36)

(37)

(38)

控制目標(biāo)為使機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡精準(zhǔn)、快速地跟蹤期望軌跡。

對(duì)圖5所示的兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)分別采用模糊控制器和變論域模糊控制器進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。其中基于模糊補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械臂控制器如圖6所示,其特點(diǎn)是模糊控制變量的論域范圍始終不變。仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

采用變論域模糊補(bǔ)償器的控制器如圖4所示,其特點(diǎn)是論域范圍會(huì)隨誤差的變化而改變。為了更加直觀地分析伸縮因子的變化情況,取機(jī)械臂系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的初始論域X=Y=U=[-3,3]。伸縮因子的指數(shù)t(0

采用變論域模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制方法的仿真結(jié)果如圖11～圖14所示。

為了直觀地比較兩種方案的控制性能,以兩關(guān)節(jié)角位移的調(diào)整時(shí)間和位置均方根誤差為評(píng)判指標(biāo)進(jìn)行仿真,結(jié)果如表2和表3所示。由表2可知,采用變論域模糊控制方法時(shí),機(jī)械臂的響應(yīng)時(shí)間較傳統(tǒng)模糊控制方法小得多,表明機(jī)械臂跟蹤期望軌跡的實(shí)時(shí)性得到很大的改善。由表3可知,采用變論域模糊控制方法時(shí),機(jī)械臂的軌跡跟蹤精度較傳統(tǒng)模糊控制方法更加精確。綜上可知,所提方法在快速性和準(zhǔn)確性兩方面提升了系統(tǒng)性能。

表2 角位移響應(yīng)時(shí)間 s

表3 位置均方根誤差 rad

從軌跡跟蹤過(guò)程來(lái)看,圖8所示的誤差曲線表明,采用傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償器調(diào)整角位移使誤差在整個(gè)軌跡跟蹤過(guò)程中波動(dòng)較大,無(wú)法穩(wěn)定收斂到0;而在圖13中,采用變論域模糊補(bǔ)償器調(diào)整角位移的過(guò)程中,誤差波動(dòng)較小,在2 s左右基本收斂到0。進(jìn)一步由圖7可知,期望軌跡與實(shí)際軌跡之間的誤差始終較大,曲線過(guò)渡處的誤差始終較大;在圖11和圖12中,各關(guān)節(jié)均很快跟蹤到期望軌跡。上述結(jié)果表明,所提方法的控制效果更好,其具有較好的魯棒性。

從控制輸入來(lái)看,圖9基于傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償器的軌跡跟蹤的輸入曲線振蕩較大,特別在12 s和18 s振蕩明顯。在圖14中,基于變論域模糊補(bǔ)償器的軌跡跟蹤的輸入曲線在2 s前有明顯的振蕩,然后再無(wú)明顯振蕩且呈規(guī)則的變化。由此可見,所提方法減小了機(jī)械臂系統(tǒng)的抖動(dòng),其柔順性更好。

4 軌跡跟蹤實(shí)體實(shí)驗(yàn)

本章對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由六自由度機(jī)械臂、上位機(jī)和伺服控制器組成,如圖15所示。實(shí)驗(yàn)中,關(guān)節(jié)信息采用電子陀螺儀MPU6050測(cè)量,上位機(jī)采用MATLAB軟件處理數(shù)據(jù)。

選擇六自由度機(jī)械臂的關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,其余4個(gè)關(guān)節(jié)給定初始值90°并鎖死。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)如圖16所示,其中由關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4構(gòu)成的兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂各參數(shù)和初始角度為l1=0.095 m,l2=0.170 m,m1=0.078 kg,m2=0.165 kg,θ1=90°,θ2=90°。

以下分別就變論域模糊控制器和模糊控制器對(duì)機(jī)械臂的控制效果進(jìn)行對(duì)比。圖17和圖18所示分別為采用模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制器和變論域模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制器的兩關(guān)節(jié)位置跟蹤曲線。由圖17可知,采用模糊補(bǔ)償器的角位移調(diào)整過(guò)程中,實(shí)際軌跡無(wú)規(guī)則地逼近期望軌跡,但始終存在較大誤差,且在速度切換處誤差較大,系統(tǒng)存在明顯的抖振;在圖18中,采用變論域模糊補(bǔ)償器的角位移調(diào)整過(guò)程中,速度切換處的過(guò)渡明顯光滑,抖振減小,而且實(shí)際軌跡與期望軌跡之間的位置誤差明顯減小,隨時(shí)間增大無(wú)限逼近期望軌跡。由圖19和圖20可知,比較模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制方法和變論域模糊補(bǔ)償控制方法,關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的跟蹤誤差明顯大于變論域模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制方法,表明所提方法確實(shí)提高了機(jī)械臂的位置跟蹤精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)建模不確定性和外部干擾問(wèn)題,給出一種結(jié)合計(jì)算力矩控制法的自適應(yīng)變論域模糊機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法。其中利用雙輸入單輸出變論域控制算法對(duì)建模不確定性進(jìn)行估計(jì),通過(guò)在模糊控制器輸出論域中引入伸縮因子γ(z)來(lái)自適應(yīng)調(diào)節(jié)不確定性誤差。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,所提算法有效地解決了計(jì)算復(fù)雜性和控制精度之間的矛盾,提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,減小了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,改善了系統(tǒng)運(yùn)行品質(zhì)。為了方便對(duì)比所提控制器的控制效果,本文忽略了機(jī)械臂關(guān)節(jié)間的摩擦力影響,而且只對(duì)機(jī)械臂本體進(jìn)行了分析,未考慮接觸作業(yè)場(chǎng)景下力的影響,下一步可以更加全面地分析機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型,并將其應(yīng)用于實(shí)際的接觸性作業(yè)場(chǎng)景。