任毅如 ，楊林海 ，米棟 ，張立章 ，何杰 ，向劍輝

（1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002）

拓?fù)鋬?yōu)化指在給定的設(shè)計(jì)域內(nèi)不斷優(yōu)化設(shè)計(jì)變量使得結(jié)構(gòu)在滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的同時(shí)達(dá)到材料分布的最優(yōu)解，其由于具有優(yōu)化自由度高、材料利用率強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于汽車(chē)設(shè)計(jì)、航空航天、聲學(xué)等領(lǐng)域［1-3］.

1981 年程耿東［4］對(duì)實(shí)心彈性薄板的優(yōu)化研究，被認(rèn)為是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的奠基性工作.各算法相繼被提出用于解決拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.然而在早期的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中，研究重點(diǎn)大多側(cè)重于施加外部載荷作用下的優(yōu)化，慣性載荷作為與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量直接相關(guān)的載荷往往被忽略［5］，以此得出的優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題是不可靠的.Rozvany 等［6］首先提出了關(guān)于自重的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.陳樹(shù)勛和葉尚輝［7］為解決天線(xiàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題提出了導(dǎo)重法.Bruyneel等［8］對(duì)固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）進(jìn)行了修正，來(lái)改善慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中低密度區(qū)域存在的寄生效應(yīng).Huang 等［9］開(kāi)發(fā)一種新的帶有插值函數(shù)的雙向結(jié)構(gòu)漸進(jìn)優(yōu)化方法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization，BESO），在對(duì)具有自重的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)相比較SIMP 插值模型能夠獲得更好的優(yōu)化結(jié)果.Xu 等［5］指出在使用導(dǎo)重法時(shí)，RAMP 插值函數(shù)相比其他插值方法更適用于慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化.Jain等［10］研究表明自重對(duì)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)溆酗@著影響，結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型取決于外加載荷和結(jié)構(gòu)自重的雙重作用.Kumar［11］提出了一種基于密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法來(lái)設(shè)計(jì)自重載荷下的結(jié)構(gòu)，并利用Heaviside函數(shù)得到一種新的質(zhì)量密度插值策略.

同時(shí)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，輕量化和性能要求越來(lái)越高，多材料混合結(jié)構(gòu)能夠在多方面更好地滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求，增材制造技術(shù)的發(fā)展也使得多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化從理論設(shè)計(jì)變?yōu)楝F(xiàn) 實(shí)［12-13］.Huang 等［14］采 用BESO 來(lái)解決多相結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.Tavakoli 等［15］將多材料拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題分解為多個(gè)單材料拓?fù)鋬?yōu)化子問(wèn)題并提供了一個(gè)可在MATLAB 上運(yùn)行的通用框架.Zuo 等［16］提出了一種單變量有序SIMP 插值方法，用于質(zhì)量約束和成本約束下的多材料拓?fù)鋬?yōu)化.劉繼凱等［17］提出了基于Ordered SIMP 方法的點(diǎn)陣-實(shí)體多材料插值模型.Gao等［18］使用交替有源相位法與蒙特卡羅模擬相結(jié)合來(lái)解決多材料的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.

多材料下的多個(gè)優(yōu)化變量增加了優(yōu)化求解的復(fù)雜性，且在解決慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于密度趨于0，質(zhì)量懲罰與剛度懲罰之比過(guò)大，在低密度區(qū)域結(jié)構(gòu)的位移和柔度趨近于無(wú)界，由此產(chǎn)生寄生效應(yīng)［8，19］，更是加大了拓?fù)鋬?yōu)化的難度.目前針對(duì)慣性載荷下的多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的相關(guān)研究還較少.基于上述研究，本文將通過(guò)數(shù)值算例對(duì)比提出基于RAMP 插值模型的導(dǎo)重法，并將其應(yīng)用于考慮慣性載荷作用下多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.研究體積約束下柔度最小的多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，提供多材料組合下的優(yōu)化方案.

1 基于導(dǎo)重法的優(yōu)化模型

1.1 體積約束下的多材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

進(jìn)行多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)假設(shè)共有p相材料，N個(gè)單元結(jié)構(gòu)，將孔洞材料看作一種材料，傳統(tǒng)的單材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化即為二相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化.在進(jìn)行多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，將所有材料兩兩組合，p相材料拓?fù)鋬?yōu)化即被分解為p（p+1）/2 個(gè)二相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，再對(duì)每個(gè)優(yōu)化組合運(yùn)用導(dǎo)重法進(jìn)行求解.優(yōu)化時(shí)其余組合保持不變.優(yōu)化過(guò)程中，將彈性模量較大的材料稱(chēng)為a材料，較小的稱(chēng)為b材料.在一個(gè)循環(huán)中，體積約束下的以柔度最小為目標(biāo)的多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型如下.

1.2 不同插值模型下的迭代公式

對(duì)于多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，其彈性模量插值公式為：

式中：Ea和Eb為材料a，b的彈性模量；f()為插值函數(shù)模型.

常見(jiàn)的插值函數(shù)模型有RAMP、SIMP、EAMP.用式（3）表達(dá)，其中qR、qS、qE分別為不同插值模型的懲罰因子.

將柔度對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行求導(dǎo)，獲取關(guān)于柔度的靈敏度［式（4）］，其中ki和ui分別為單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧灰葡蛄烤仃?

當(dāng)Fi為固定載荷時(shí)，?Fi/=0，見(jiàn)式（5）；當(dāng)Fi為慣性載荷時(shí)，其大小隨著每次迭代優(yōu)化改變而變化時(shí)，式（4）不變，根據(jù)四節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)可得到每個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷［式（6）］.

其中，Gi和mi為單元重量和單元質(zhì)量，wi為結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)的角速度，ri為各單元至旋轉(zhuǎn)軸的距離，P0=[0-10-10-10-1]，P1=[1 0 1 0 1 0 1 0] 分別為自重和離心作用下的方向矢量.

根據(jù)庫(kù)恩塔克條件由式（1）可推導(dǎo)出：

為確保設(shè)計(jì)變量迭代的收斂性，引入步長(zhǎng)因子m0［20］，本文取m0=0.5.為減少計(jì)算量采取二分法來(lái)求解λ.將上式代入即可得到的迭代式.當(dāng)相鄰迭代步中誤差小于0.001時(shí)，優(yōu)化結(jié)束.

2 數(shù)值算例分析

2.1 不同插值函數(shù)對(duì)優(yōu)化進(jìn)程的影響

為了比較SIMP、RAMP、EAMP 插值方法對(duì)導(dǎo)重法處理慣性載荷作用下多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的影響，分別采用這三種插值方法對(duì)經(jīng)典簡(jiǎn)支梁模型進(jìn)行優(yōu)化，體積約束設(shè)置為0.3，使結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)即柔度最小.懲罰因子選取合適大小.同時(shí)為方便對(duì)優(yōu)化結(jié)果的可制造性進(jìn)行定量分析，引入灰度因子Mi，由式（11）可以看出，Mi數(shù)值越大，代表優(yōu)化結(jié)果中間密度單元越多，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可制造性也就越差.

圖1 為簡(jiǎn)支梁（算例1）模型圖，其兩端固定，長(zhǎng)120 m，高30 m，離散后的單元數(shù)目為3 600，泊松比V統(tǒng)一設(shè)置為0.3.只受到自身的重力影響.在優(yōu)化對(duì)比中設(shè)置了二相材料（即單材料）結(jié)構(gòu)以及三相材料結(jié)構(gòu)，其彈性模量及體積占比見(jiàn)表1.密度統(tǒng)一設(shè)置為1 kg/m3.

表1 多材料下算例1的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Multi-material parameters setting for example 1

圖1 算例1模型圖（單位：m）Fig.1 Model diagram of example 1（unit：m）

劃分為黑色、紅色.由圖2 可以看出，使用不同的插值函數(shù)對(duì)于不同相數(shù)材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果都是大致相同的，優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)經(jīng)典的“拱橋”形狀，在三相材料優(yōu)化結(jié)構(gòu)中，彈性模量大的材料集中在主拱圈處.其次使用SIMP 插值方法在慣性載荷作用下的材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化中無(wú)法得到清晰的拓?fù)鋱D形，存在明顯的灰度單元，且在得到初始穩(wěn)定拓?fù)湫螤詈笃淠繕?biāo)函數(shù)隨著迭代而緩慢升高.使用RAMP 和EAMP插值方法能夠得到清晰的拓?fù)鋱D，目標(biāo)函數(shù)相對(duì)更低，其原因在于在低密度區(qū)域，RAMP 和EAMP 插值方法中的是有界且維持在一個(gè)小范圍內(nèi)，而SIMP 插值方法的在低密度區(qū)近于無(wú)界，因此不可能實(shí)現(xiàn)一個(gè)較好的0～1分布優(yōu)化［5］.

圖2 不同插值模型的優(yōu)化進(jìn)程圖Fig.2 Optimization process diagram of different interpolation models

從表2可以看出，使用RAMP插值方法獲得的最終拓?fù)鋱D其目標(biāo)函數(shù)和灰度因子明顯小于EAMP 和SIMP 插值方法，利用RAMP 插值函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化后在二相材料下得到的目標(biāo)函數(shù)相比EAMP插值函數(shù)減少8.2%，對(duì)比SIMP 插值函數(shù)減少了35.2%，三相材料下相比EAMP插值函數(shù)減少16.1%，對(duì)比SIMP 插值函數(shù)減少了33.1%，且需要的迭代步數(shù)與其他方法比較接近.顯然在運(yùn)用導(dǎo)重法解決慣性載荷下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題時(shí)，RAMP 插值方法明顯優(yōu)于EAMP和SIMP插值方法.

表2 不同插值模型下的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of different interpolation models

2.2 多載荷作用下的數(shù)值算例

上節(jié)已驗(yàn)證了基于RAMP 插值函數(shù)的導(dǎo)重法在處理慣性載荷下多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)越性，本節(jié)將其應(yīng)用于同時(shí)包含集中力與慣性載荷的多載荷拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，且其結(jié)構(gòu)優(yōu)化將包含更多相數(shù)的材料.

2.2.1 自重與集中力載荷作用

懸臂梁（算例2）模型圖如圖3 所示，長(zhǎng)80 m，寬40 m，共計(jì)3 200個(gè)單元，其受自身重力影響，同時(shí)為防止優(yōu)化過(guò)程中懸臂梁末端低密度區(qū)域造成優(yōu)化結(jié)果不收斂，在其末端的中點(diǎn)處施加一個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，大小為自身重力的25%.

圖3 算例2模型圖（單位：m）Fig.3 Model diagram of example 2（unit：m）

結(jié)構(gòu)的多材料參數(shù)如表3 所示，密度統(tǒng)一設(shè)置為1 kg/m3.厚度設(shè)置為1 m，重力加速度為9.8 N/kg.根據(jù)式（7）可以推導(dǎo)出算例2 所受重力的表達(dá)式.在體積約束設(shè)置為原材料的30%的情況下使得整體結(jié)構(gòu)的柔度最小.

表3 多材料下算例2的參數(shù)設(shè)置Tab.3 Multi-material parameters setting of example 2

不同材料依據(jù)其彈性模量由大到小分別用黑色、紅色、藍(lán)色、綠色表示，即E黑＞E紅＞E藍(lán)＞E綠.如圖4所示，基于RAMP插值函數(shù)下的導(dǎo)重法應(yīng)用于受自重和集中力作用下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，拓展到5 相材料所得到的優(yōu)化圖依舊清晰可見(jiàn)，且優(yōu)化結(jié)構(gòu)保持一致，呈現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)，其拓?fù)錁?gòu)型在力的傳遞方面表現(xiàn)合理.其中彈性模量最大的材料分布在固定端及結(jié)構(gòu)頂端，除去固定端，距離固定端越遠(yuǎn)，其材料的彈性模量越大.這是由于距離固定端越遠(yuǎn)，所受自重影響越大，所在設(shè)計(jì)區(qū)域分布材料彈性模量越大.由圖5 可以看出，目標(biāo)函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增長(zhǎng)而下降，且在迭代初期就趨于最終解.隨著材料相數(shù)的增加，最終優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)依次升高.這是因?yàn)榧尤肓藦椥阅Ａ枯^小的材料，導(dǎo)致其整體剛度降低，符合預(yù)期結(jié)果.

圖4 多材料下算例2的優(yōu)化結(jié)果圖Fig.4 Multi-material optimization plots of example 2

圖5 算例2的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(xiàn)Fig.5 Objective function iteration curve of example 2

2.2.2 離心力與集中力載荷作用

受離心力懸臂梁（算例3）模型圖如圖6 所示，長(zhǎng)80 m，寬40 m，共計(jì)3 200個(gè)單元，繞著固定端以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，ω為旋轉(zhuǎn)角速度取2 rad/s，mi為單元質(zhì)量，ri為各單元到旋轉(zhuǎn)軸的直線(xiàn)距離，F(xiàn)為質(zhì)量點(diǎn)，施加在結(jié)構(gòu)末端的中點(diǎn)區(qū)域，為總重力的1.2 倍.各材料參數(shù)如表4 所示，體積約束設(shè)置為30%，使得整體結(jié)構(gòu)的柔度最小.

表4 多材料下算例3的參數(shù)設(shè)置Tab.4 Multi-material parameters setting of example 3

圖6 算例3模型圖（單位：m）Fig.6 Model diagram of example 3（unit：m）

算例3 的優(yōu)化結(jié)果圖和目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(xiàn)分別如圖7、圖8 所示.可以看出結(jié)構(gòu)在離心力和集中力作用下優(yōu)化構(gòu)型呈三角形，由固定端上下兩側(cè)連接至末端中點(diǎn)區(qū)域.結(jié)論與上節(jié)類(lèi)似，結(jié)構(gòu)繞固定端旋轉(zhuǎn)時(shí)，距離固定端越遠(yuǎn)，所受離心力影響越大，其所在設(shè)計(jì)域分布的材料彈性模量越大.目標(biāo)函數(shù)隨著材料相數(shù)的增加依次升高.

圖7 多材料下算例3的優(yōu)化結(jié)果圖Fig.7 Multi-material optimization plots of example 3

圖8 算例3的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(xiàn)Fig.8 Objective function iteration curve of example 3

3 多材料組合下的優(yōu)化策略

在上節(jié)中已經(jīng)證明了導(dǎo)重法在處理慣性載荷下多材料拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的可靠性，本節(jié)將在體積約束的前提下，通過(guò)自重情況下簡(jiǎn)支梁（算例1）的拓?fù)鋬?yōu)化，論證多材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化下，如何選取不同參數(shù)的材料使得目標(biāo)函數(shù)即柔度較低.選取以下3 種材料，其材料參數(shù)如表5 所示，為更直觀研究參數(shù)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)影響，將所選材料參數(shù)進(jìn)行歸一化，使得其數(shù)值的絕對(duì)值轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)值關(guān)系，所選取材料的彈性模量和密度最大值被映射為“1”［21］.進(jìn)行歸一化處理后如表6 所示，在優(yōu)化圖中顯示的顏色分別為黑色、紅色、藍(lán)色，其中Ei、ρi分別為材料的歸一化彈性模量及密度.圖9為在體積約束為0.3的條件下，對(duì)3種材料排列組合進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果.從圖9 可以看出，通過(guò)改變材料組合并不改變優(yōu)化結(jié)構(gòu)形狀，分布規(guī)律與上節(jié)結(jié)論相同，彈性模量最大的材料分布在固定端及結(jié)構(gòu)頂端.在單獨(dú)使用B 材料進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)所得結(jié)構(gòu)的柔度最大，單獨(dú)使用C 材料時(shí)柔度最小即此時(shí)剛度最大，最滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求.這是由于C 材料的歸一化模量密度比（Ei/ρi）最大［21］.

表5 各材料參數(shù)Tab.5 Materials parameters

表6 不同材料的歸一化參數(shù)Tab.6 Normalized parameters for different materials

圖9 多材料組合下的優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Optimization results of multi-material combination

4 結(jié)論

本文主要研究單一體積約束條件下柔度最小的考慮慣性載荷作用的多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，通過(guò)不同數(shù)值算例的對(duì)比，確立了基于RAMP 插值函數(shù)的導(dǎo)重法，能夠有效減少優(yōu)化結(jié)果的灰度單元，有助于獲得清晰的拓?fù)錁?gòu)型，降低結(jié)構(gòu)的整體柔度.并有下列結(jié)論：所受慣性載荷的影響越大，所在設(shè)計(jì)區(qū)域分布材料彈性模量越大；選取不同材料用于多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，材料的模量密度比越大，結(jié)構(gòu)的整體柔度越小，剛度越大，對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用有著一定的指導(dǎo)作用.