巢海遠(yuǎn) 肖青云

(1.江蘇理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,常州 213001)(2.常州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人事處,常州 213001)

圖像采樣定理和圖像幾何變換是“數(shù)字圖像處理”課程教學(xué)的重要知識點(diǎn)。學(xué)生需要有足夠的先修基礎(chǔ)知識和扎實(shí)的數(shù)理功底,才能深入消化理解教材上抽象公式背后的數(shù)學(xué)原理。

在課程教學(xué)實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn):一方面,部分專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)知識存在斷層,加之專業(yè)課時(shí)限制使得教師沒有過多的時(shí)間補(bǔ)習(xí)基礎(chǔ)知識并深入展開講解,從而導(dǎo)致很多學(xué)生對于課程教學(xué)中的相關(guān)數(shù)學(xué)原理并未理解透徹。另一方面,以圖像采樣定理為例,很多教材[1-5]確實(shí)都沒有給出該知識點(diǎn)的詳細(xì)解析,相關(guān)文獻(xiàn)[6-8]雖有分析,但內(nèi)容艱深晦澀,超出學(xué)生的理解能力,導(dǎo)致學(xué)生想自己去查閱資料深入理解知識點(diǎn)也很困難。因此,學(xué)生大都只能機(jī)械式記憶結(jié)論,感覺似懂非懂,這不利于培養(yǎng)理論扎實(shí)和基礎(chǔ)寬厚的理工科學(xué)生。

基于此,下面將圍繞圖像采樣定理和圖像幾何變換兩個(gè)知識點(diǎn)作深入而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容探析,以消除學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑,從而提高教學(xué)效果。

1 圖像采樣定理教學(xué)解析

圖像數(shù)字化是指模擬圖像f(x,y)經(jīng)過采樣和量化兩個(gè)步驟成為數(shù)字圖像f(m,n)的過程,如圖1所示。圖像采樣就是把模擬圖像f(x,y)變成空間位置上離散化的樣值圖像fs(m,n),其中m,n滿足如下關(guān)系式:0≤m≤M,0≤n≤N,式中M和N分別表示行和列的采樣點(diǎn)數(shù),一個(gè)采樣點(diǎn)(m,n)通常稱為像素。

圖1 圖像數(shù)字化

經(jīng)過采樣后得到的空間離散的樣值圖像fs(m,n)應(yīng)該包含模擬圖像f(x,y)的全部信息,即從fs(m,n)可以無失真地恢復(fù)出f(x,y)。要確保做到這一點(diǎn),圖像采樣過程需要遵循圖像采樣定理。

圖像采樣定理在二維信號頻域卷積定理的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步分析樣值圖像fs(m,n)傅立葉變換后的頻譜表達(dá)式Fs(u,v),得到頻譜Fs(u,v)為源圖頻譜F(u,v)沿u,v方向按采樣頻率進(jìn)行周期延拓的規(guī)律。Fs(u,v)頻譜不發(fā)生混疊即可包含F(xiàn)(u,v)的全部信息,從而可以無失真地恢復(fù)出f(x,y)。采樣定理即是要探究Fs(u,v)頻譜不發(fā)生混疊需要滿足的條件。其描述和解析如下:

【圖像采樣定理】已知模擬圖像f(x,y)是一個(gè)二維有限帶寬函數(shù)(頻譜有截止頻率),f(x,y)的傅里葉變換為:

其中,Wu,Wv為u,v方向上的帶寬。為了能夠無失真地恢復(fù)原始模擬圖像,在理想采樣條件下,采樣間隔(周期)Δx,Δy需滿足以下條件:

證明:

圖像的理想采樣等效于源圖f(x,y)與二維均勻沖擊陣列相乘(如圖2所示),二維均勻沖擊陣列函數(shù)可表示為:

圖2 采樣陣列

(1)

其中Δx,Δy分別表示x,y方向上的采樣周期。

設(shè)源圖f(x,y)與二維均勻沖擊陣列相乘后的樣值圖像為fs(x,y),則:

fs(x,y)=f(x,y)·S(x,y)

(2)

由頻域卷積定理,可得樣值圖像為fs(x,y)的傅立葉變換Fs(u,v)為:

(3)

將式(1)代入式(3)中,并由δ函數(shù)的分離性可得下式(4):

(4)

其中:

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(3)、(4)、(8)綜合可得樣值函數(shù)的頻譜Fs(u,v)為下式(9):

(9)

由δ函數(shù)的卷積性質(zhì)以及卷積的位移性質(zhì)(可參考教材[9]第50-52頁),得式(10):

(10)

(a)F(u,v)

教材[1]第25頁中直接給出了公式(8)和公式(10),詳細(xì)的分析過程都省略了,大部分學(xué)生查閱該本教材時(shí)甚感困惑,理解不透。主要原因是上述解析過程中用到了δ函數(shù)及其性質(zhì)、卷積運(yùn)算及其性質(zhì)、傅立葉變換及其性質(zhì)等諸多信號分析與處理的知識,沒有相關(guān)基礎(chǔ)的學(xué)生要理解透徹確實(shí)需要更多的耐心和逐步的剖析。

需要說明的是,上述解析僅為在理想采樣條件下的理論分析。

2 圖像幾何變換教學(xué)解析

圖像的幾何變換(空域處理)是圖像處理的基礎(chǔ)內(nèi)容,幾何變換實(shí)質(zhì)是改變像素的空間位置或估算新空間位置上的像素值?；镜膸缀巫儞Q為平移、縮放和旋轉(zhuǎn),對應(yīng)的變換矩陣T1、T2、T3分別如下:

其中Δx和Δy為平移量,Sx和Sy為縮放因子,θ為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。

任意一個(gè)幾何變換都可以分解為一系列的基本變換,下面給出該結(jié)論的解析。

任意一個(gè)幾何變換都可以分解為一系列的基本變換,換言之即通過基本變換的組合可表達(dá)任意的幾何變換。欲證明該結(jié)論,首先可先證明如下描述的變換定理:

【變換定理】任意的一個(gè)變換矩陣T都可以分解成T1、T2、T3三個(gè)基本變換矩陣相乘,且分解不唯一。

證明:

設(shè)任意的一個(gè)變換矩陣為:

(11)

式(11)中a,b,c,d,p,q為確定值。

設(shè)三個(gè)基本變換矩陣相乘為下式:

令T=T1·T2·T3可得:

整理可得式(12):

(12)

式(12)方程組中變量有5個(gè)自由度,但有效方程為4個(gè),故Δx、Δy、Sx、Sy、θ有無窮個(gè)解。

設(shè)?θ,cosθ-sinθ=α,sinθ+cosθ=β,可解得式(13)和(14):

(13)

(14)

因此T1、T2、T3可分別表示為:

綜上所述,可得任意的一個(gè)幾何變換矩陣T都可以分解成T1、T2、T3三個(gè)基本變換矩陣相乘,且分解不唯一。證畢!

在上述變換定理的基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步分析,顯而易見,T1、T2、T3都是可以進(jìn)一步分解的,即:

T1=T11·T12…T1i…T1L

T2=T21·T22…T2i…T2M

T3=T31·T32…T3i…T3N

其中T1i,T2i,T3i分別為基本形式的平移、縮放、旋轉(zhuǎn)變換矩陣,L,M,N為根據(jù)實(shí)際需求分解的數(shù)目。

由此可得:

即任意一個(gè)幾何變換都可以分解為一系列的基本變換。

上述結(jié)論的解析有助于學(xué)生深刻理解圖像幾何變換的原理,為講解圖像插值奠定好基礎(chǔ)。

3 結(jié)語

對圖像采樣定理和圖像幾何變換兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探析解讀,目的是為了進(jìn)一步補(bǔ)充完善很多教材和實(shí)際教學(xué)過程中省略的知識邏輯,以便更多普通院校的學(xué)生能夠及時(shí)獲得完整、清晰的答疑解惑。

“數(shù)字圖像處理”課程本身具有一定的深度和難度,對知識和能力要求都比較高,有時(shí)候?qū)W生提出的問題對教師而言也是挑戰(zhàn),促使教師不斷地深化對教材和課程內(nèi)容的研習(xí)。教師也只有認(rèn)真用心地投入教學(xué),才能真正體會到教學(xué)相長、教研相長。