盧斌先 卞星明 皮 偉

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院,北京 102206)

為了使學(xué)生更深入理解部分電容的概念,將電氣工程兩門最基礎(chǔ)的課程“工程電磁場(chǎng)”和“電路”緊密聯(lián)系起來(lái),從學(xué)生比較熟悉的知識(shí)點(diǎn)出發(fā),本文按照以下思路開展部分電容的講授。

1 即時(shí)系統(tǒng)與部分電容

即時(shí)系統(tǒng):由單一性質(zhì)的電磁元件組成的電磁系統(tǒng)。例如只由等效的電容元件組成的系統(tǒng)就是一種即時(shí)系統(tǒng),如圖1所示。該電磁系統(tǒng)還滿足靜電獨(dú)立系統(tǒng)的要求,即所有n+1個(gè)電極電荷的代數(shù)和等于零,該系統(tǒng)與外系統(tǒng)無(wú)電力線的聯(lián)系。其中“0”代表的是參考導(dǎo)體。對(duì)于結(jié)點(diǎn)(電極)①,根據(jù)微分和積分電流連續(xù)性方程

圖1 3+1多電極即時(shí)系統(tǒng)

(1)

(2)

可得

i1=d(q10+q12+q13)/dt=dq1/dt

(3)

其中q10、q12和q13分別是電極①相對(duì)參考電極、電極②和電極③而感應(yīng)的電荷,電極①表面的總電荷是由與其關(guān)聯(lián)所有電容的電荷代數(shù)和共同決定的,因此與其關(guān)聯(lián)的各個(gè)電容C10、C12和C31被稱為部分電容,相應(yīng)的電荷為部分電荷。公式(3)為部分電荷守恒方程。如果i1=0,則電極①屬于懸浮導(dǎo)體,總電荷

q1=q10+q12+q13=0

(4)

2 多端口庫(kù)伏表示方法

2.1 部分電容法

假設(shè)電磁系統(tǒng)為正弦穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)?；诨鶢柣舴螂娏鞫?KCL:Kirchhoff′s Current Law)和電容支路伏安關(guān)系(VAR:volt-ampere relationship)可得

(5)

將公式(3)寫成相量表示形式

(6)

(7)

由于是全部電容組成即時(shí)系統(tǒng),公式(7)中所有正弦量均同相位。所以可寫成時(shí)域的代數(shù)形式

q1=C10u10+C12u12+C13u13

(8)

考慮其他兩個(gè)電極,則

(9)

其中方程右側(cè)的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)部分電容對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電荷分量。但這種表示不能表示成矩陣形式,因此在理論問(wèn)題分析中很少使用。

2.2 感應(yīng)系數(shù)法

基于相量法,列圖1所示3+1電極即時(shí)系統(tǒng)結(jié)點(diǎn)電壓方程,得

(10)

將(6)代入,并考慮即時(shí)系統(tǒng)

(11)

簡(jiǎn)化后得

(12)

方程(12)中的系數(shù)被稱為感應(yīng)系數(shù)。對(duì)照(11)和(12)可以清楚地看出感應(yīng)系數(shù)與部分電容的關(guān)系。方程(12)可寫為矩陣形式(13)

[qi]=[βij][φj]

(13)

用感應(yīng)系數(shù)表示電容即時(shí)系統(tǒng)多端口關(guān)系比用部分電容表示方便,同時(shí)容易與電路理論相融合,因此得到了廣泛的應(yīng)用。但值得一提的是在很多文獻(xiàn)中,矩陣[βij]直接用[Cij]表示,同時(shí)稱其為電容矩陣。之所以[βij]被稱為感應(yīng)系數(shù),是因?yàn)榉匠讨须娢粸樽宰兞?感應(yīng)電荷為因變量,在電極電位激勵(lì)下,電極感應(yīng)出了電荷。

語(yǔ)言學(xué)家D.A.Wilkins 在Linguistics in Language Teaching（1972）一書中論述了詞匯教學(xué)在交際中的重要性：“Without vocabulary, nothing can be conveyed.”[1]針對(duì)目前詞匯教學(xué)效果不甚理想的情況，為了促進(jìn)教師多渠道詞匯教學(xué)，把枯燥的詞匯教學(xué)與生活情境相融合、與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，讓詞匯教學(xué)充滿趣味性、真實(shí)性、形象性和直觀性，改變學(xué)生死記硬背單詞的無(wú)奈現(xiàn)狀、增強(qiáng)記憶效果，本文從詞匯教學(xué)的有效性方面進(jìn)行了簡(jiǎn)單研究。

2.3 電位系數(shù)法

將(13)變換為

[φi]=[αij][qj]

(14)

其中

[αij]=[βij]-1

(15)

αij被稱為電位系數(shù),之所以稱為電位系數(shù)是因?yàn)樽宰兞繛殡姾蓂,因變量為電位φ。從“工程電磁場(chǎng)”課程角度講,這是一個(gè)更重要的方程,自變量電荷q就是準(zhǔn)靜態(tài)電場(chǎng)(EQS:electro-quasistatic system)系統(tǒng)的激勵(lì)源,而電位φ就是響應(yīng),這正是麥克斯韋所述的因果關(guān)系,激勵(lì)產(chǎn)生響應(yīng)。該方程可以理解為EQS系統(tǒng)的積分方程。工程電磁場(chǎng)教材[1]中例題很好地討論了αij與結(jié)構(gòu)及介電常數(shù)之間的關(guān)系。

3 電容即時(shí)電磁系統(tǒng)的參數(shù)定義

3.1 關(guān)于互有電容和互有感應(yīng)系數(shù)關(guān)系討論

根據(jù)(9)、(12)和(14)可以定義部分電容、感應(yīng)系數(shù)和電位系數(shù)。

Cij=qi/uij|ui0=…=ui,j-1=ui,j+1=…=ui,n=0

(16)

βij=qi/φj|φ1=…=φj-1=φj+1=…=φn=0

(17)

αij=φi/qj|q1=…=qj-1=qj+1=…=qn=0

(18)

部分電容和感應(yīng)系數(shù)定義如圖2所示。根據(jù)電極①和電極②之間的互有部分電容和互有感應(yīng)系數(shù)定義,可得圖2(a)和(b)。根據(jù)替代定理,圖2(a)中的電壓源可以接在電極②和參考電極之間,所以實(shí)際上圖2(a)和(b)是同一個(gè)電磁問(wèn)題,只不過(guò)電極②的極性發(fā)生了變化。也正是這個(gè)原因,可以看到互有感應(yīng)系數(shù)與互有部分電容相差一個(gè)負(fù)號(hào)。由圖2(a)可得

(a)電極①關(guān)聯(lián)部分電容C12的定義

(19)

由圖2(b)可得

(20)

從圖2中u12和φ2相對(duì)于電極②的參考極性可以看出β12=-C12,C12是部分電容,C12>0,所以β12<0。

3.2 關(guān)于自有電容和自有感應(yīng)系數(shù)關(guān)系的討論

由圖2(b)可得

(21)

=(C20+C21+C23)φ2

(22)

β22=C20+C21+C23

(23)

C21=-β21,C23=-β23

(24)

β22=C20-β21-β23

(25)

C20=β22+β21+β23

(26)

其中β21和β23實(shí)際上都小于零。

4 結(jié)語(yǔ)

基于KCL定律和結(jié)點(diǎn)電壓方程,結(jié)合電磁場(chǎng)理論和電路理論,討論了部分電容、感應(yīng)系數(shù)和電位系數(shù),分析了這些系數(shù)之間的相互關(guān)系。該教學(xué)思路易于被學(xué)生理解和接受,同時(shí)將“電路”與“工程電磁場(chǎng)”課程很好地銜接起來(lái)。