李 彬,馬永峰,梁 波

(1.大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028;2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,安徽 滁州 239000)

0 引言

四階退化拋物型方程在生物數(shù)學(xué)、材料科學(xué)、工程、圖像分析、海洋物理等領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用，而Cahn-Hilliard方程、薄膜方程和半導(dǎo)體方程為代表的四階方程在這些領(lǐng)域中應(yīng)用更為廣泛。Cahn-Hilliard方程通常是用來(lái)描述相變理論。(1)參見J. W. Cahn, J. E. Hilliard, “Free energy of a nonuniform system. i. interfacial free energy”, J. Chem. Phys. no.28, 1958.薄膜模型刻畫了一層超薄的粘性可壓縮的流體沿傾斜介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，方程中的未知解通常代表薄膜的厚度或高度。(2)參見A. Zangwill, “Some causes and a consequence of epitaxial roughening”, Journal of Crystal Growth. no.163, 1996.此外，半導(dǎo)體型模型與四階退化的拋物方程也具有一定的聯(lián)系，其中雜化量子漂移—擴(kuò)散模型和混合量子流體動(dòng)力學(xué)模型可以被認(rèn)為是四階拋物方程的邊界退化問(wèn)題。(3)參見F. D. Michele, M. Mei, B. Rubino, R. Sampalmieri, “Thermal equilibrium solution to new model of bipolar hybrid quantum hydrodynamics,” Journal of Differential Equations. no.263, 2017.

梁波、吳曉琴等人研究了一類四階拋物方程在一維情況下的時(shí)間周期解的存在性問(wèn)題：(4)參見梁波、吳曉琴、張振宇：《一類非線性四階拋物方程周期解的存在性》,《大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)》2018年第5期。

u(x，t+ω)=u(x，t)x∈(0，1)，t∈R，

ux|x=0，1=uxxx|，x=0，1=0，t∈R。

周鳴君、王春朋等人根據(jù)退化項(xiàng)xλ退化性的強(qiáng)弱分別研究了一類邊界退化的二階拋物型方程初邊值問(wèn)題解的淬火現(xiàn)象。(5)參見Zhou Mingjun, Wang Chunpeng and Nie, Yuanyuan, “Quenching of solutions to a class of semilinear parabolic equations with boundary degeneracy”, J. Math. Anal. Appl. no.421, 2015.問(wèn)題如下：

u(x，0)=0，x∈(0，a)。

其中，λ>0，a>0，f∈C2([0，c))(c>0)，且f滿足下列條件：

這篇文章證明了在退化性不強(qiáng)的情況下，存在一個(gè)臨界長(zhǎng)度，當(dāng)空間間隔小于該臨界值時(shí)，解在時(shí)間上全局存在，當(dāng)空間間隔大于該臨界值時(shí)，解在有限時(shí)間內(nèi)將會(huì)產(chǎn)生淬火現(xiàn)象。

我們考慮將其進(jìn)行改進(jìn)得到本文所要討論的邊界退化的四階拋物型方程：

ωt+(xλωxx)xx-(xλωx)x=g(x，t)，(x，t)∈(0，a)×(0，T)，

(1)

ωx(x，t)|?Ω=0，ω(x，t)|?Ω=0，t∈(0，T)，

(2)

ω(x，0)=ω0(x)，x∈(0，a)，

(3)

其中，λ>0，a>0，g(x，t)∈L2((0，a)×(0，t))。

我們發(fā)現(xiàn)，比較原則和最大值原理對(duì)于高階偏微分方程是不成立的，因此我們有必要采用一些新的原理、方法或技術(shù)。那么，本文將考慮采用能量估計(jì)以及漸進(jìn)極限的討論來(lái)證明該問(wèn)題解的存在性。

定義 我們稱ω=ω(x，t)是問(wèn)題(1)-(3)在QT=(0，a)×(0，T)上的一個(gè)弱解，如果滿足下列條件：

此定理為本文主要結(jié)論，下面將利用近似解的估計(jì)和漸進(jìn)極限討論給出相應(yīng)的證明。

1 非退化情形下解的存在唯一性

為了研究邊界退化問(wèn)題(1)-(3)，先考慮其正則化問(wèn)題：

ωζt((xλ+ζ)ωζxx)xx((xλ+ζ)ωζx)x=g(x，t)，(x，t)∈(0，a)×(0，T)，

(4)

ωζx(x，t)|?Ω=0，ωζ(x，t)|?Ω=0，t∈(0，T)，

(5)

ωζ(x，0)=ω0ζ(x)，x∈(0，a)，

(6)

其中，ζ>0。

本節(jié)，我們將用ωζ表示初邊值問(wèn)題(4)-(6)的解，且假設(shè)初始函數(shù)ω0ζ→ω0在L2(Ω)中強(qiáng)收斂，它的存在性如下：

使其滿足下面的方程：

(ωζnt，Φk)+(xλωζnxx，Φkxx)+(xλωζnx，Φkx)=(g，Φk)，k=1，2，…，n.

(7)

(8)

在L2(Ω)中強(qiáng)收斂，則問(wèn)題(7)-(8)解的存在性可以由Peano定理來(lái)保證。下面對(duì)近似解進(jìn)行估計(jì)。

對(duì)其在(0，t)上積分，得：

然后，可以得到：

(9)

其中μ是Poincare不等式中的常數(shù)。

(ωζnt，ωζnn)+((xλ+ζ)ωζnxx，ωζntxx)+((xλ+ζ)ωζnx，ωζntx)=(t，ωζnt)

對(duì)其在(0，t)上積分，得：

然后，可以得到：

(10)

由(9)-(10)，可以得到如下估計(jì)：

(11)

‖ωζnt‖L2(0，T；L2(Ω))≤C。

(12)

(13)

ωζnt→ωζt在L2(0，T；L2(Ω))中弱收斂。

(14)

下面，證明解的唯一性。

令ω，υ分別為問(wèn)題(4)-(6)的兩個(gè)弱解。由弱解的定義，可以得到：

對(duì)于任意固定的s∈[0，T]，我們可以選擇作χ[0，s](ω-υ)為上述等式中的檢驗(yàn)函數(shù)，其中χ[0，s]是[0，s]上的檢驗(yàn)函數(shù)。令Qs=Ω×(0，s)，因此就有：

由此可得：

因此，ω(x，s)=υ(x，s)在QT上幾乎處處成立，解的唯一性證明完畢。

2 退化情形下解的存在性

本節(jié)的主要內(nèi)容是建立不依賴于ζ的一致估計(jì)以及討論ζ→∞的極限。其中，一致估計(jì)的結(jié)果由下面的引理給出。

引理1 逼近解ωζ具有如下的一致估計(jì)：

‖ωζ‖L∞(0，T；H1(Ω))≤C；

(15)

‖ωζt‖L2(0，T；L2(Ω))≤C；

(16)

(17)

(18)

其中，C不依賴于ζ。

證明：令χ[0，t](t)為區(qū)間[0，t](其中0≤t≤T)上的檢驗(yàn)函數(shù)，取命題-(ⅱ)中φ=ωζχ[0，t](t)。

于是有：

于是，可以得到：

(19)

其中，μ是Poincare不等式中的常數(shù)。

然后，取命題-(ⅱ)中的檢驗(yàn)函數(shù)為φ=ωζtχ[0，t](t)，于是有：

然后，可以得到：

(20)

由(19)-(20)，可以得到估計(jì)(15)-(18)，證畢。

下面證明本文的定理，即證明解在退化情形下的存在性。

根據(jù)先驗(yàn)估計(jì)(15)-(18)，結(jié)合Aubin-Lions緊致性定理可知，存在ω和{ωζ}(不妨仍然記為其本身)使得：

ωζ→ω在L∞(0，T；H1(Ω))中弱收斂；

(21)

ωζt→ωt在L2(0，T；L2(Ω))中弱收斂；

(22)

(23)

(24)

在命題-(ⅱ)中令ζ→∞可得：

所以是問(wèn)題(1)-(3)在QT上的一個(gè)弱解。結(jié)合ω∈L∞(0，T；L2(Ω))和ωt∈L∞(0，T；L2(Ω))，應(yīng)用Aubin引理(6)參見伍卓群、尹景學(xué)、王春朋：《橢圓與拋物型方程引論》,北京：科學(xué)出版社,2003年?？梢缘玫溅亍蔆(0，T；L2(Ω))。